Großes Lehrbuch der Mathematik für Ökonomen

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1 Großes Lehrbuch der Mathematik für Ökonomen Von Professor Dr. Karl Bosch o. Professor für angewandte Mathematik und Statistik an der Universität Stuttgart-Hohenheim und Professor Dr. Uwe Jensen R. Oldenbourg Verlag München Wien

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort XI 1. Grundlagen der Mengenlehre Grundbegriffe Mengenoperationen Direkte Produkte von Mengen Abbildungen von Mengen Aufgaben Zahlenbereiche und Grundrechenarten Die natürlichen Zahlen Die ganzen Zahlen Die rationalen Zahlen Die reellen Zahlen Das Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen Kleiner- oder Größer-Beziehungen Der Betrag einer reellen Zahl Die komplexen Zahlen Aufgaben Weitere elementare Grundlagen Summen und Produkte Das Prinzip der vollständigen Induktion Binomische Formeln und binomischer Lehrsatz Binomische Formeln Fakultäten und Binomialkoeffizienten Der binomische Lehrsatz Kombinatorik Arithmetische und geometrische Folgen und Reihen Aufgaben Grundlagen der Finanzmathematik Verzinsung einmaliger Einzahlungen Rentenrechnung Rentenzahlungen zu den Verzinsungszeitpunkten Unterjährige Rentenzahlungen Rentenzahlungen aus einem verzinsten Anfangskapital Tilgungsrechnung Ratentilgung Annuitätentilgung Aufgaben 60

3 VI Inhaltsverzeichnis 5. Folgen und Reihen Grundlegende Eigenschaften von Folgen Konvergente und divergente Folgen Die Eulersche Zahl e Reihen Aufgaben Differentialrechnung bei reellen Funktionen einer Variablen Grundbegriffe für reelle Funktionen einer Variablen Grenzwerte von Funktionen Grenzwerte für x»x Einseitige Grenzwerte Grenzwerte für x > ± oo Stetige Funktionen Ableitungen einer Funktion Der Differenzenquotient Die erste Ableitung (Ableitung erster Ordnung) Ableitungsregeln Das Differential einer Funktion und Grenzfunktionen Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung Ableitungen höherer Ordnung Exponentialfunktion und Logarithmus Definition der Exponentialfunktion zur Basis a Logarithmusfunktionen Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion u. Logarithmus Ableitungen der Logarithmus- und Exponentialfunktion Potenzfunktionen und Ableitung der Funktion u(x) v ' x^ Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen im Einheitskreis Trigonometrische Funktionen im rechtwinkligen Dreieck Allgemeine Sinusfunktion Anderungsraten und Elastizitäten Kurvendiskussion Definitionsbereich Symmetrie Nullstellen Asymptotisches Verhalten Monotonie Krümmungsverhalten (konvexe und konkave Bereiche) Extremwerte Wendepunkte Taylorpolynome Grenzwertbestimmung bei unbestimmten Ausdrücken die Regel von de l'hospital 146

4 VII Unbestimmte Ausdrücke der Form g, e, -^2 H Unbestimmte Ausdrücke der Form 0 ( ± oo) Unbestimmte Ausdrücke der Form oo oo Unbestimmte Ausdrücke der Form 0 ; 1 ; oo Numerische Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen (Lösung von Gleichungen) Intervallhalbierungsmethode Regula falsi (lineares Eingabein) Newton-Verfahren Aufgaben Integralrechnung bei Funktionen einer Variablen Das bestimmte Integral Die Integralfunktion Das unbestimmte Integral und Stammfuktion Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe einer beliebigen Stammfunktion Integrationsregeln Linearitätseigenschaften Partielle Integration Die Substitutionsmethode (Einführung einer neuen Veränderlichen) Uneigentliche Integrale Integrale über unbeschränkte Gebiete Integrale von unbeschränkten Funktionen Anwendungen der Integralrechnung Bestimmung einer Funktion bei vorgegebener Grenzfunktion Bestimmung einer Funktion aus einer vorgegebenen Elastizität Gesamtumsatz bei stetigen Preissenkungen Die Konsumentenrente Die Produzentenrente Kapitalwert eines Ertragsstromes Numerische (näherungsweise) Integration Integration mit Hilfe von Taylorpolynomen Integration mit Hilfe von Rechtecksapproximationen Integration mit Hilfe der Sehnen-Trapezformel Integration mit Hilfe der Simpsonschen Regel (Keplersche Faßregel) Aufgaben Funktionen von zwei Variablen Definition und Darstellung einer Funktion zweier Variabler Stetige Funktionen von zwei Variablen Partielle Ableitungen (erster Ordnung) Das totale (vollständige) Differential 205

5 VIII Inhaltsverzeichnis 8.5 Die verallgemeinerte Kettenregel und Ableitung impliziter Funktionen Richtungsableitung und Gradient Homogene Funktionen Partielle Elastizitäten Partielle Ableitungen höherer Ordnung Taylorpolynome Extremwerte (ohne Nebenbedingungen) und Sattelpunkte Extremwerte unter einer Nebenbedingung Lösung mit Hilfe der Elimination einer Variablen Lösung mit Hilfe der Methode von Lagrange Aufgaben Funktionen von mehreren Variablen Stetige Funktionen von n Variablen Partielle Ableitungen Totales Differential, Kettenregel und Ableitungen impliziter Funktionen Homogene Funktionen und partielle Elastizitäten Extremwerte (ohne Nebenbedingungen) Extremwerte unter Nebenbedingungen Lösung mit Hilfe der Elimination von Variablen Lösung mit Hilfe der Methode von Lagrange Aufgaben Differential- und Differenzengleichungen Differentialgleichungen Trennung der Variablen Die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ' Differenzengleichungen Homogene lineare Differenzengleichungen 1. und 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Lineare Differenzengleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Anwendungsbeispiele Aufgaben Vektoren Vektoren in der Ebene R Vektoren im dreidimensionalen Raum R Vektoren im n-dimensionalen Raum R n Aufgaben 314

6 IX 12. Matrizen Grundbegriffe der Matrizenrechnung Der Begriff einer Matrix Vergleich zweier Matrizen vom gleichen Typ Die transponierte Matrix Das Rechnen mit Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl Addition (Subtraktion) zweier Matrizen Multiplikation zweier Matrizen Der Rang einer Matrix Aufgaben Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten Lineare Gleichungen mit drei Unbekannten Allgemeine linere Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit mehreren rechten Seiten und Matrizengleichungen Aufgaben Determinanten Determinanten von 2 x 2-Matrizen Determinanten von 3 x 3-Matrizen Determinanten von n x n-matrizen Lineare Abbildungen im R n Determinanten von n x n-matrizen Berechnung der inversen Matrix mit Determinanten Die Cramersche Regel Aufgaben Eigenwertprobleme und quadratische Formen Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen Quadratische Formen Standard-Darstellung von quadratischen Formen Die allgemeine quadratische Form Hauptachsentransformation Definite und semidefinite Matrizen Extremwerte von quadratischen Formen Hauptachsentransformation durch die Bestimmung von Extremwerten der quadratischen Form unter Nebenbedingungen Aufgaben 455

7 16 Lineare Optimierung Lineare Optimierung bei zwei Variablen Allgemeine Problemstellung der linearen Optimierung Theoretische Grundlagen der linearen Optimierung Das Simplexverfahren Das Grundprinzip des Simplexverfahrens Die Theorie des Simplexverfahrens Durchführung des Simplexverfahrens Aufgaben 493 Literaturverzeichnis 496 Register 497