Mit 119 Bildern, 368 Beispielen und 225 Aufgaben mit Lösungen

Transkript

1 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Ein Lehr- und Übungsbuch für Bachelors 2., aktualisierte Auflage Mit 119 Bildern, 368 Beispielen und 225 Aufgaben mit Lösungen Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag

2 Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen einer reellen Variablen in ökonomischen Problemen Mathematische Grandbegriffe Funktionsbegriff Ein Funktionenreservoir Eigenschaften von Funktionen Umkehrfunktion Funktionen für ökonomische Zusammenhänge Funktionen und ökonomisches Wachstum 30 Aufgaben 1.1 bis Differenzialrechnung für Funktionen einer reellen Variablen in ökonomischen Problemen Einführung Mathematische Grundlagen Grenzwert 37 Aufgaben 2.1 bis Stetigkeit Ableitung 47 Aufgaben 2.7 bis Differenzial 56 Aufgabe Untersuchung von Funktionen mithilfe ihrer Ableitungen 60 Aufgaben 2.17 und Nichtlineare Gleichungen in ökonomischen Problemen und deren Lösung.. 66 Aufgaben 2.19 und Ökonomische Probleme und Ableitungen von Funktionen 71 Aufgaben 2.21 bis Reagibilität und Ableitungen 79 Aufgaben 2.30 bis Extremwertaufgaben der Ökonomie Extrema für Kostenfunktionen 98 Aufgaben 2.42 bis Gewinnmaximum 110 Aufgaben 2.49 bis Die Regel von de L'HOSPITAL 142 Aufgabe Reihen und Potenzreihen Reihen Potenzreihen Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe MAcLAURiNsche Reihen 153

3 8 Inhaltsverzeichnis Allgemeine TAYLOR-Reihen 157 Aufgaben 2.59 bis 2.61 * Komplexe Zahlen Definition und Darstellung komplexer Zahlen Das Rechnen mit komplexen Zahlen Funktionen mit mehreren Veränderlichen Definition und Darstellungsform von Funktionen mit mehreren Veränderlichen Partielle Differenziation 172 Aufgaben 3.1 bis Partielle Ableitungen höherer Ordnung 175 Aufgabe Tangentialebene und das totale Differenzial Geometrische Betrachtungen 178 Aufgabe Das totale Differenzial Spezielle Ableitungstechniken Differenziation nach einem Parameter Implizite Differenziation Anwendungen Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme Lokale Extrema und Sattelpunkte Fehlerrechnung Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen 191 Aufgaben 3.6 bis Integralrechnung Integration als Umkehrung der Differenziation - das unbestimmte Integral Aufgaben 4.1 bis Aufgabe Das bestimmte Integral - Hauptsatz der Integralrechnung 204 Aufgaben 4.5 und Uneigentliche Integrale Geometrische Anwendungen Flächenberechnung Länge einer Kurve Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern Anwendung der Integralrechnung in ökonomischen Zusammenhängen Numerische Integration 219 Aufgabe Doppelintegrale Doppelintegrale in kartesischen Koordinaten Doppelintegrale in Polarkoordinaten 224 Aufgabe

4 Inhaltsverzeichnis 9 5 Lineare Algebra in Betriebs- und Volkswirtschaft Einführende Beispiele ökonomischen Inhalts 228 Aufgaben 5.1 und Mathematische Grundlagen der Matrizen-und Vektorrechnung Matrizen und Vektoren sowie ihre Spezifizierungen 232 Aufgaben 5.3 und Rechnen mit Matrizen und Vektoren 236 Aufgaben 5.5 bis Inverse Matrix 245 Aufgaben 5.9 bis GAUSSscher Algorithmus 252 Aufgaben 5.13 und Lineare Unabhängigkeit von Vektoren 258 Aufgaben 5.15 bis Matrizen und Vektoren in Betriebs- und Volkswirtschaft 263 Aufgaben 5.18 bis Mathematische Grundlagen linearer algebraischer Gleichungssysteme Einführung Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme: Begriff und Methode Aufgaben 5.23 bis GAUS S scher Algorithmus zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme 281 Aufgaben 5.26 bis Basislösungen 292 Aufgaben 5.31 bis Zusammenfassende Aussagen über lineare algebraische Gleichungssysteme 299 Aufgaben 5.37 bis Lineare algebraische Gleichungssysteme in Betriebs- und Volkswirtschaft Aufgaben 5.41 und Determinante einer Matrix 311 Aufgaben 5.43 und Das Eigenwertproblem für quadratische Matrizen 315 Aufgabe Lineare Optimierung in Volkswirtschaft und Betriebswirtschaft Problemstellungen und Grundbegriffe Aufgabenstellung und Beispiele Das Rechnen mit Ungleichungen Die grafische Lösung Allgemeine mathematische Formulierung des linearen Optimierungsproblems Der Simplex-Algorithmus Die Grundideen des Simplex-Verfahrens Der Austauschschritt im Simplex-Tableau Die Simplex-Regeln 338

5 10 Inhaltsverzeichnis Der Simplex-Algorithmus (Phase II) Theoretische Ergänzungen und Sonderfälle Der Simplex-Algorithmus für allgemeine lineare Programme Minimumprobleme, Gleichungsrestriktionen, Varianten der Vorzeichenbeschränkungen, obere und untere Schranken Simplex-Algorithmus: Phase I und Phase II Dualität Primal-Dual Beziehung und Dualitätssätze Primal-Dual Beziehung und Komplementarität Dualer Simplex-Algorithmus (Phase III) Ökonomische Interpretationen der Größen in den Simplex-Tableaus Weiterführende Aspekte Modellbildung Spezialfälle linearer Optimierung Sensitivitätsanalyse bei der linearen Optimierung Parametrische (lineare) Optimierung Effizienz und Vergleich von LP-Solvern Ganzzahlige lineare Optimierung Nichtlineare Optimierung 364 Aufgaben 6.1 bis Finanzmathematik Zinsrechnung Einfache Zinsen und Zinseszinsen Vorschüssige Verzinsung Gemischte Verzinsung Unterjährige Verzinsung Stetige Verzinsung 380 Aufgaben 7.1 bis Barwert, Äquivalenz und Rendite Barwert und Äquivalenz Kapitalwertmethode Rendite Mittlerer Zahlungstermin und Duration 390 Aufgaben 7.12 bis Rentenrechnung Nachschüssige und vorschüssige Renten Aufgeschobene, abgebrochene und ewige Rente Jährliche Verzinsung - unterjährige Rentenzahlung Unterjährige Verzinsung 405 Aufgaben 7.21 bis Kreditrechnung Grundbegriffe Ratentilgung Annuitätentilgung 410

6 Inhaltsverzeichnis Unterjährige Verzinsung, Tilgung und Rückzahlung Ratenkredit 421 Aufgaben 7.32 bis Kurs- und Renditerechnung Grundlagen Zinsschuld Annuitätenschuld 429 Aufgaben 7.42 bis Abschreibung Grundlagen Lineare Abschreibung Geometrisch-degressive Abschreibung Weitere Abschreibungsarten Vergleich linearer und geometrisch-degressiver Abschreibung 439 Aufgaben 7.49 bis Weitergehende Betrachtungen Rendite und Risiko Neuere" Finanzprodukte 444 Aufgaben 7.56 bis Weitere praktische Probleme und deren Lösung Nichtlineare Optimierung Problemstellung, Grundlagen und grafische Lösungen Karush-Kuhn-Tucker-Theorie (KKT-Theorie) Nichtlineare Optimierungsprobleme ohne Nebenbedingungen Bausteine der allgemeinen NLP-Techniken (Übersicht) 460 Aufgaben 8.1 bis Problemlösungen mit einem Standard-Software-System (Allgemeine) LP-Probleme Ausgewählte NLP-Probleme Portfolio-Probleme Transportprobleme Zuordnungsprobleme Netzwerkprobleme Netzplantechniken Kundenwanderung Verwaltung von Modellen: Algebraische Eingabe und Solver 485 Lösungen 488 Literaturverzeichnis 521 Sachwortverzeichnis 523