MATHEMATISCHE AUFGABENSAMMLUNG

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1 MATHEMATISCHE AUFGABENSAMMLUNG Arithmetik Algebra und Analysis Zweite verbesserte Auflage 1956 VEB DEUTSCHER VERLAG DER WISSENSCHAFTEN BERLIN

2 VII INHALT ERSTER ABSCHNITT Rechnen mit natürlichen Zahlen Allgemeines zur Zahlenschreibung 1 Addition und Subtraktion 2 Multiplikation und Division...: 5 Verbindung der vier Rechenarten 6 Vermischte Aufgaben 7 Gebrauch der Klammern 8 Gleichungen 10 Bestimmte und unbestimmte Zahlen 10 Rechnen mit ganzen Zahlen Positive und negative Zahlen 12 Addition und Subtraktion 13 Multiplikation und Division 14 Gleichungen 14 Setzen von Klammern 15 Auflösen und Einführen von Klammern 15 Gleichungen mit Klammern 16 Multiplikation von Summen 17 Binomische Formeln 19 Rechnen mit rationalen Zahlen Teilbarkeit der Zahlen. Primzahlen 20 Echte und unechte Brüche 21 Verwandlung unechter Brüche in gemischte Zahlen 21 Verwandlung gemischter Zahlen in unechte Brüche 21 Erweitern und Kürzen 22

3 VIII Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche 23 Erweitern (eingliedrige Zähler und Nenner) 23 Kürzen (eingliedrige Zähler und Nenner) 23 Aufsuchen des Hauptnenners 24 Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche 25 Addition und Subtraktion (eingliedrige Zähler und Nenner) 25 Addition und Subtraktion (Summen im Zähler) 26 Multiplikation von gewöhnlichen Brüchen 27 Division von gewöhnlichen Brüchen 28 Multiplikation von Brüchen 30 Division von Brüchen 31 Multiplikation und, Division rationaler Zahlen 32 Gleichungen 33 Dezimalbrüche 33 Erweitern und Kürzen von Dezimalbrüchen 34 Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen 35 Endliche und periodische Dezimalbrüche 36 Vermischte Aufgaben 37 Dezimalbrüche und gewöhnliche Brüche in einer Aufgabe 38 Genauigkeit beim Rechnen mit Brüchen 39 Brüche und Prozentaufgaben 40 Multiplikation und Division von Dezimalbrüchen 42 Verbindung der vier Rechnungsarten mit Brüchen und Dezimalbrüchen 43 Gleichungen 45 Verhältnis zweier Zahlen ч 47 Fortlaufende Verhältnisse, 48 Proportionen 49 Sätze über Proportionen 50 Aufgaben aus der Physik 51 Erweitern (Summen in Zähler und Nenner) 51 Kürzen (Summen in Zähler und Nenner) 52 Addition und Subtraktion 53 Multiplikation, 54 Verwandlung von Summen in Produkte 55 Division von Summen 56 Division einer Summe durch eine Summe ; 56 Rechenvorteile 57 Multiplikation von Brüchen (Summen in Zähler und Nenner) 58 Division von Brüchen (Summen in Zähler und Nenner) '. 59 Gleichungen 61 ZWEITER ABSCHNITT Lineare Punktionen und Gleichungen Empirische Funktionen 64 Lineare Funktionen 66 Graphische Lösung zweier linearer Gleichungen mit 2 Unbekannten 68 Lineare Gleichungssysteme mit 2 Unbekannten 68 Lineare Gleichungssysteme mit 3 und mehr Unbekannten, 72 Determinanten, 74 Anwendungen der Gleichung 1. Grades mit einer Unbekannten 76 Anwendungen der Gleichungen 1. Grades mit mehreren Unbekannten 84

4 IX DRITTER ABSCHNITT Quadratische Gleichungen und Punktionen Vorübungen zur quadratischen Gleichung mit einer Unbekannten 92 Reinquadratische Gleichungen 92 Quadratische Gleichungen ohne absolutes Glied 93 Vollständige quadratische Gleichungen 94 Einführung der imaginären Einheit 97 Die Punktion 2. Grades und ihr Bild 98 Vietascher Wurzelsatz 98 Anwendungen der Gleichung 2. Grades mit einer Unbekannten 99 Quadratische Gleichungssysteme mit 2 Unbekannten VIERTER ABSCHNITT Die Potenzrechnung Übungen zum Begriff der Potenz mit ganzem positivem Exponenten 108 Addition und Subtraktion von Potenzen 109 Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis 109 Potenzen von Produkten und Quotienten 111 Binomische Formeln für n = 3, 4, 112 Potenzen von Potenzen mit ganzen positiven Exponenten ' 113 Potenzen mit negativen Exponenten und dem Exponenten Null 114 Die Potenzfunktion у = x n 116 / Angewandte Aufgaben 118 Das Rechnen mit Wurzeln Übungen zum Begriff der Wurzel 119 Irrationale Wurzeln 121 Wurzelfunktionen 123 Multiplikation von gleichnamigen Wurzeln 124 Rationalmachen des Nenners 126 Division von gleichnamigen Wurzeln 128 Potenzieren Und Radizieren von Wurzeln 128 Multiplikation und Division ungleichnamiger Wurzeln 130 Wurzeln aus Wurzeln 131 Potenzen mit gebrochenen Exponenten Potenz und Wurzel 131 Rechnen mit Bruchpotenzen 132 Wurzelgleichungen 133 Die Logarithmen Der Logarithmus als Potenzexponent. Verwendung verschiedener Basen 136 Dekadische Logarithmen 137 Das Rechnen mit Logarithmen 138 Exponentialgleichungen 141 Eingekleidete Aufgaben 142 Die Exponentialfunktion 146 Die logarithmische Funktion i 146 Logarithmische Skalen 146 Der Rechenstab 147 Angewandte Aufgaben zur Multiplikation und Division mit dem Rechenstab 149 Quadrieren und Wurzelziehen mit dem Rechenstab 150 Dritte Potenzen und dritte Wurzeln mit dem Rechenstab 152

5 X MWFTSR ABSCHNITT! Arithmetische Folgen Berechnung des Endgliedes und einzelner Zwischenglieder 153 Berechnung des Anfangsgliedes ' 155 Berechnung der Differenz 156 Berechnung der Gliederanzahl 157 Arithmetische Folge und lineare Funktion 159 Arithmetische Eeihen Berechnung der Summe von Zahlen aus der natürlichen Zahlenreihe 160 Berechnung von Summe, Differenz und Gliedern 161 Berechnung von Gliederanzahl, Differenz und Gliedern 163 Verwendung des Summenzeichens S i 166 Geometrische Folgen Berechnung von Gliedern, Quotient und Gliederanzahl 165 Wachstumsrechnung 167 Zinseszinsrechnung 171 Geometrische Reihen Berechnung von Summe/Anfangsglied, Quotient, Gliederanzahl und Endglied endlicher geometrischer Reihen 172 Berechnung von Summe, Anfangsglied und Quotient unendlicher geometrischer Reihen : 174 Zusammengesetzte Zinseszinsrechnung 177 SECHSTER ABSCHNITT Differentialrechnung Funktionen- Gleichungen 181 Grenzwertbetrachtungen 182 Darstellung rationaler Funktionen 184 Differentialquotient 185 Differentiation ganzer rationaler Funktionen 186 Kurvendiskussion 188 Extremwertaufgaben 188 Differentiation gebrochener rationaler Funktionen 189 Kurvendisküssion 190 Extremwertaufgaben 191 Zusammengesetzte Funktionen und Umkehrung einer Funktion 192 Differentiation irrationaler Funktionen 194 Kurvendiskussion 195 Extremwertaufgaben : 196 Differentiation trigonometrischer Funktionen. Anwendungen 197 Differentiation zyklometrischer Funktionen. Anwendungen 201 Logarithmen 1 zu verschiedenen Basen 202 Differentiation der Exponential- und Logarithmusfunktionen. Anwendungen 203 Differential und Differentialquotient 205 Anwendungen des Differentials auf die Fehlerrechnung 206 Anwendungen der Fehlerrechnung 209 Logarithmische Differentiation 213

6 Integralrechnung Begriff des Integrals 214 Zusammenhang zwischen Differential- und Integralrechnung 215 Integration durch Grundintegrale 217 Integration durch Substitution 219 Partielle Integration ' 221 Integration durch Teilbruchzerlegung 222 Berechnung bestimmter Integrale 223 Anwendungen der Integralrechnung 226 XI -SIEBENTER ABSCHNITT \ ' Unendliche Reihen. Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen Konvergenz und Divergenz unendlicher geometrischer Reihen 229 Bildungsgesetz, Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen. Quotientenkriterium. 232 Die geometrische Veranschaulichung von Potenzreihen. Schmiegungsparabeln 236 Die Taylorsche Reihe 237 Die Maclaurinsche Reihe 238 Die Reihenentwicklung der trigonometrischen Funktionen 239 Die binomische Reihe 240 Die Exponentialreihe 242 Die logarithmische Reihe 243 ACHTER ABSCHNITT Komplexe Zahlen Imaginäre Zahlen, 245 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen 246 Multiplikation und Division, Potenzieren und Radizieren komplexer Zahlen 247 Groniometrische Form der komplexen Zahlen. Moivrescher Satz 249 Begriff der Einheitswurzel. Binomische Gleichungen 263 NEUNTER ABSCHNITT Anwendungen der Infinitesimalrechnung in Naturwissenschaft und Technik Mechanik, 265 Elektrizitätslehre 278 Wärmelehre i 290 Radioaktivität 293