Mit Selbsttests gezielt Mathematik lernen

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1 Mit Selbsttests gezielt Mathematik lernen

2 Gert Höfner Mit Selbsttests gezielt Mathematik lernen Für Studienanfänger aller Fachrichtungen zur Vorbereitung und studienbegleitend

3 Gert Höfner Langenfeld, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2017 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Planung: Dr. Andreas Rüdinger Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, Berlin, Germany

4 Vorwort Im Mathematikunterricht werden derzeit vor allem schematische Rechenverfahren eingeübt, bei denen das Verständnis für die eigentliche Problemstellung vernachlässigt wird. Auch die Vorkurse an den Hochschulen konzentrieren sich im Wesentlichen auf diese, bereits beherrschten, schematischen Rechenverfahren. Für eine Vertiefung des mathematischen Verständnisses fehlt in diesen Kursen die Zeit. Der vorliegende Kurs ist deshalb grundsätzlich anders aufgebaut. Er hilft Ihnen Ihre Wissenslücken zu erkennen und zu schließen. Der Kurs ist in 5 Tage gegliedert, die jeweils für ein Teilgebiet der Mathematik stehen. Jeder Tag besteht wiederum aus 5 Kapiteln. Im ersten Kapitel können Sie Ihren Wissensstand überprüfen. Nach einem Vergleich mit der Lösung im zweiten Kapitel entscheiden Sie, ob Sie mit dem nächsten Test fortfahren dürfen. Wenn Sie bei dem Test feststellen, dass Sie die Aufgabe nicht lösen konnten oder sehr unsicher waren, sollten Sie die Erklärungen und Informationen im dritten Kapitel studieren, die Sie durch Übungen im vierten Kapitel vertiefen können. Ihr Lernerfolg lässt sich anschließend mit den Lösungen zu den Übungen im fünften Kapitel überprüfen, bevor Sie zum nächsten Test übergehen. Sollten Sie die Arbeit an einem Teil nicht an einem Tag abschließen, dann war die Zeit notwendig, um die fehlenden Kenntnisse aufzuarbeiten. Bedanken möchte ich mich bei Herrn Dipl.-Ing. Arne Brockmann für die sorgfältige und pünktliche Anfertigung des Manuskripts in LT A EX und bei Herrn Dr. Andreas Rüdinger vom Springer Verlag in Heidelberg für seine wesentlichen Hinweise und die fürsorgliche Betreuung bei der Ausarbeitung des Werkes. Langenfeld, im Juni 2016 Gert Höfner

5 Inhaltsverzeichnis Vorwort I 1. Tag Arithmetik Tests zur Arithmetik Summenzeichen Produktzeichen Vorrangsregeln Gleiches miteinander multiplizieren Binomischer Satz Klammern Absoluter Betrag Bruchrechnung Rechenoperationen der dritten Stufe Wurzeln Logarithmen Logarithmensysteme Logarithmengesetze Anwendung der Logarithmenrechnung Namen für Potenzen von zehn Lösungen zu den Tests zur Arithmetik Summenzeichen Produktzeichen Vorrangsregeln Gleiches miteinander multiplizieren Binomischer Satz Klammern Absoluter Betrag Bruchrechnung Rechenoperationen der dritten Stufe Wurzeln Logarithmen Logarithmensysteme Logarithmengesetze Anwendung der Logarithmenrechnung Namen für Potenzen von zehn v

6 viii Inhaltsverzeichnis 3 Informationen zu den Themen der Arithmetik Summenzeichen Produktzeichen Grundrechenarten und Rechengesetze Gleiches miteinander multiplizieren Binomischer Satz Klammern Absoluter Betrag Bruchrechnung Rechenoperationen der dritten Stufe Wurzeln Logarithmen Logarithmensysteme Logarithmengesetze Anwendung der Logarithmenrechnung Namen für Potenzen von zehn Übungsaufgaben Arithmetik Summenzeichen Produktzeichen Vorrangsregeln Gleiches miteinander multiplizieren Binomischer Satz Klammern Absoluter Betrag Bruchrechnung Rechenoperationen der dritten Stufe Wurzeln Logarithmen Logarithmensysteme Logarithmengesetze Anwendung der Logarithmenrechnung Namen für Potenzen von zehn Lösungen zu den Übungsaufgaben Arithmetik Summenzeichen Produktzeichen Vorrangsregeln Gleiches miteinander multiplizieren

7 Inhaltsverzeichnis ix 5.5 Binomischer Satz Klammern Absoluter Betrag Bruchrechnung Rechenoperationen der dritten Stufe Wurzeln Logarithmen Logarithmensysteme Logarithmengesetze Anwendung der Logarithmenrechnung Namen für Potenzen von zehn II 2. Tag Algebra Tests zur Algebra Einteilung der Gleichungen Einfache Gleichungen Gleichungen mit Klammern Gleichungen mit Beträgen Bruchgleichungen Formeln umstellen Textaufgaben Prozent sind Hundertstel Einkaufspreis und Selbstkosten Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Quadratische Gleichungen Polynomgleichungen Wurzelgleichungen Exponentialgleichungen Logarithmengleichungen Lineare Ungleichungen Lineare Ungleichungssysteme Determinanten Lösungen zu den Tests zur Algebra Einteilung der Gleichungen Einfache Gleichungen Gleichungen mit Klammern Gleichungen mit Beträgen

8 x Inhaltsverzeichnis 7.5 Bruchgleichungen Formeln umstellen Textaufgaben Prozent sind Hundertstel Einkaufspreis und Selbstkosten Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Quadratische Gleichungen Polynomgleichungen Wurzelgleichungen Exponentialgleichungen Logarithmengleichungen Lineare Ungleichungen Lineare Ungleichungssysteme Determinanten Informationen zu den Themen der Algebra Einteilung der Gleichungen Einfache Gleichungen Gleichungen mit Klammern Gleichungen mit Beträgen Bruchgleichungen Formeln umstellen Textaufgaben Prozent sind Hundertstel Grundwert Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Quadratische Gleichungen Polynomgleichungen Wurzelgleichungen Exponentialgleichungen Logarithmengleichungen Lineare Ungleichungen Lineare Ungleichungssysteme Determinanten Übungsaufgaben Algebra Einteilung der Gleichungen Einfache Gleichungen Gleichungen mit Klammern

9 Inhaltsverzeichnis xi 9.4 Gleichungen mit Beträgen Bruchgleichungen Formeln umstellen Textaufgaben Prozent sind Hundertstel Grundwert Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Quadratische Gleichungen Polynomgleichungen Wurzelgleichungen Exponentialgleichungen Logarithmengleichungen Lineare Ungleichungen Lineare Ungleichungssysteme Determinanten Lösungen zu den Übungsaufgaben Algebra Einteilung der Gleichungen Einfache Gleichungen Gleichungen mit Klammern Gleichungen mit Beträgen Bruchgleichungen Formeln umstellen Textaufgaben Prozent sind Hundertstel Grundwert Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Quadratische Gleichungen Polynomgleichungen Wurzelgleichungen Exponentialgleichungen Logarithmengleichungen Lineare Ungleichungen Lineare Ungleichungssysteme Determinanten III 3. Tag Analysis I Tests zur Analysis I

10 xii Inhaltsverzeichnis 11.1 Einteilung der Funktionen Darstellung der Funktionen Allgemeine Eigenschaften der Funktionen Normalform lineare Funktion Zwei-Punkte-Gleichung Punkt-Richtungs-Gleichung Achsen-Abschnitts-Gleichung Quadratische Funktion Potenzfunktion Wurzelfunktion Exponentialfunktion Logarithmusfunktion Arithmetische Folgen Geometrische Folgen Lösungen zu den Tests zur Analysis I Einteilung der Funktionen Darstellung der Funktionen Allgemeine Eigenschaften der Funktionen Normalform lineare Funktion Zwei-Punkte-Gleichung Punkt-Richtungs-Gleichung Achsen-Abschnitts-Gleichung Quadratische Funktion Potenzfunktion Wurzelfunktion Exponentialfunktion Logarithmusfunktion Arithmetische Folgen Geometrische Folgen Informationen zu den Themen der Analysis I Einteilung der Funktionen Darstellung der Funktionen Allgemeine Eigenschaften der Funktionen Normalform lineare Funktion Zwei-Punkte-Gleichung Punkt-Richtungs-Gleichung Achsen-Abschnitts-Gleichung

11 Inhaltsverzeichnis xiii 13.8 Quadratische Funktion Potenzfunktion Wurzelfunktion Exponentialfunktion Logarithmusfunktion Arithmetische Folgen Geometrische Folgen Übungsaufgaben Analysis I Einteilung der Funktionen Darstellung der Funktionen Allgemeine Eigenschaften der Funktionen Normalform lineare Funktion Zwei-Punkte-Gleichung Punkt-Richtungs-Gleichung Achsen-Abschnitt-Gleichung Quadratische Funktionen Potenzfunktionen Wurzelfunktion Exponentialfunktion Logarithmusfunktion Arithmetische Folgen Geometrische Folgen Lösungen zu den Übungsaufgaben Analysis I Einteilung der Funktionen Darstellung der Funktionen Allgemeine Eigenschaften der Funktionen Normalform lineare Funktion Zwei-Punkte-Gleichung Punkt-Richtungs-Gleichung Achsen-Abschnitts-Gleichung Quadratische Funktion Potenzfunktion Wurzelfunktion Exponentialfunktion Logarithmusfunktion Arithmetische Folgen Geometrische Folgen

12 xiv Inhaltsverzeichnis IV 4. Tag Analysis II Tests zur Analysis II Konvergente Zahlenfolgen Beispiele für konvergente Folgen Stetigkeit von Funktionen Differenzenquotient Ableitungsregeln Anwendung der Differenzialrechnung Elastizität Grundintegrale Bestimmte Integration Flächenberechnung Konsumenten- und Produzentenrente Lösungen zu den Tests zur Analysis II Konvergente Zahlenfolgen Beispiele für konvergente Folgen Stetigkeit von Funktionen Differenzenquotient Ableitungsregeln Anwendung der Differenzialrechnung Elastizität Grundintegrale Bestimmte Integration Flächenberechnung Konsumenten- und Produzentenrente Informationen zu den Themen der Analysis II Konvergente Zahlenfolgen Beispiele für konvergente Folgen Stetigkeit von Funktionen Differenzenquotient Ableitungsregeln Anwendung der Differenzialrechnung Elastizität Grundintegrale Bestimmte Integration Flächenberechnung

13 Inhaltsverzeichnis xv Konsumenten- und Produzentenrente Übungsaufgaben Analysis II Konvergente Zahlenfolgen Beispiele für konvergente Folgen Stetigkeit von Funktionen Differenzenquotient Ableitungsregeln Anwendung der Differenzialrechnung Elastizität Grundintegrale Bestimmte Integration Flächenberechnung Konsumenten- und Produzentenrente Lösungen zu den Übungsaufgaben Analysis II Konvergente Zahlenfolgen Beispiele für konvergente Folgen Stetigkeit von Funktionen Differenzenquotient Ableitungsregeln Anwendung der Differenzialrechnung Elastizität Grundintegrale Bestimmte Integration Flächenberechnung Konsumenten- und Produzentenrente V 5. Tag Analysis III Tests zur Analysis III Funktionen mit mehr als einer unabhängigen Variablen Niveaufunktion Partielle Ableitung Partielle Elastizität Totales Differenzial Extremwerte Lösungen zu den Tests zur Analysis III Funktionen mit mehr als einer unabhängigen Variablen Niveaufunktion

14 xvi Inhaltsverzeichnis 22.3 Partielle Ableitung Partielle Elastizität Totales Differenzial Extremwerte Informationen zu den Themen der Analysis III Funktionen mit mehr als einer unabhängigen Variablen Niveaufunktion Partielle Ableitung Partielle Elastizität Totales Differenzial Extremwerte Übungsaufgaben Analysis III Funktionen mit mehr als einer unabhängigen Variablen Niveaufunktion Partielle Ableitung Partielle Elastizität Totales Differenzial Extremwerte Lösungen zu den Übungsaufgaben Analysis III Funktionen mit mehr als einer unabhängigen Variablen Niveaufunktion Partielle Ableitung Partielle Elastizität Totales Differenzial Extremwerte Literaturverzeichnis