Inhaltsverzeichnis s.

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1 Inhaltsverzeichnis s. Abschnitt I. Rechnung mit bestimmten Grössen. Capitel I. Elemente der Lehre von den ganzen Zahlen. 1. Begriff der Zahl. Unabhängigkeit einer Summe gegebener Zahlen von der Anordnung der Summation 1 2. Producte, Quotienten und Reste 2 3. Unabhängigkeit eines Products gegebener Zahlen von der Anordnung der Multiplication 3 4. Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen 7 5. Aufsuchung des grossesten gemeinsamen Theilers zweier Zahlen 8 6. Relative Primzahlen 9 7. Zerlegung einer zusammengesetzten Zahl in ein Product von Primzahlen Divisoren einer Zahl Anzahl der relativen Primzahlen zu einer Zahl m, die nicht grösser sind als m Addition, Subtraction und Multiplication von positiven und negativen ganzen Zahlen 18 Capitel IL Rechnung mit Brüchen. 11. Definition des Theilens oder der Division Addition, Subtraction, Multiplication und Division von positiven und negativen Brüchen 25

2 Vili - Inhaltsverzeichniss. Capitel III. Rechnung mit Potenzen von ganzen und gebrochenen Exponenten» Rechnung mit rationalen und irrationalen Grössen. 13. Potenzen eines gegebenen Bruches Definition der positiven Wurzel des nten Grades aus einem gegebenen positiven Bruche Folge von Brüchen, die sich einem Grenzwerthe nähern Ausdehnung der Addition, Subtraction, Multiplication und Division auf Grenzwerthe Eindeutigkeit der positiven Wurzel des nten Grades aus einem gegebenen positiven Bruche. Definition der rationalen und der irrationalen Grössen. Zusammenfassung der rationalen und der irrationalen Grössen unter der Benennung der bestimmten Grossen Producte und Quotienten von positiven wten Wurzeln aus positiven rationalen Brüchen Rechnung mit Potenzen, deren Basis ein rationaler Bruch ist und deren Exponenten positive oder negative ganze Zahlen sind. Eindeutige Definition der Potenzen, deren Basis ein positiver rationaler Bruch ist und deren Exponenten positive oder negative rationale Brüche sind. Rechnung mit solchen Potenzen Addition, Subtraction, Multiplication und Division von beliebigen rationalen oder irrationalen Grössen. Entsprechende Ausdehnung des Gebietes der Analysis. Rechnung mit Potenzen, deren Basis eine beliebige rationale oder irrationale Grösse ist und deren Exponenten positive oder negative rationale Brücke sind 58 Abschnitt II. Elemente der Algebra. Capitel I. Definition der Algebra. 21. Rationale ganze und rationale gebrochene Ausdrücke Constante und variable Elemente 64

3 Inhaltsverzeichniss. IX Capitel IL Algebraische rationale ganze Functionen mit einer Variable nnd einem beliebig hohen Grade. Algebraische Gleichungen mit einer Unbekannten nnd einem beliebig hohen Grade. 23. Ganze Function des ersten Grades mit einer Variable. Gleichung des ersten Grades mit einer Unbekannten Ganze Function des zweiten Grades mit einer Variable. Gleichung des zweiten Grades mit einer Unbekannten Bedingungen für die Zerlegung einer Function des zweiten Grades einer Variable in ein Product von zwei Factoren des ersten Grades Einführung der Rechnung mit reellen und imaginären oder mit complexen Grössen. Addition, Subtraction, Multiplication der complexen Grössen Division der complexen Grössen. Einheiten auf dem Gebiete der complexen Grössen Zerlegbarkeit von jeder Function des zweiten Grades einer Variable bei Anwendung der Rechnung mit complexen Grössen Reine Gleichungen eines beliebigen hohen Grades von der Gestalt w"=.. N Darstellung einer complexen Grösse mit Anwendung des Sinus und des Cosinus eines zugehörigen Winkels. Entsprechende Darstellung einer ganzen Potenz einer complexen Grösse Allgemeine Auflösung der reinen Gleichungen eines beliebig hohen Grades = Betrachtung der sämmtlichen Wurzeln einer reinen Gleichung eines beliebigen Grades = G Reine Gleichungen eines beliebig hohen Grades von der Gestalt co n =A-\-Bi. Allgemeine Auflösung derselben Auflösung der reinen quadratischen Gleichung 2 = -^durch Ausziehung von Quadratwurzeln Wurzeln der Gleichung = 1 oder nte Wurzeln der Einheit Eigenschaften der wten Wurzeln der Einheit. Primitive nte Wurzeln der Einheit Zusammensetzung^ von Wurzeln der Einheit einer gegebenen Ordnung aus Wurzeln der Einheit einer niedrigeren Ordnung. Auflösung von unbestimmten Gleichungen des ersten Grades -

4 X Inhalts ver zeichniss. mit zwei Unbekannten in ganzen Zahlen. Zerlegung eines Bruches in Partialbrüche Fortsetzung Darstellung der sämmtlichen Wurzeln der Gleichung = + Bi, oder der sämmtlichen ntcn Wurzeln aus einer complexen Grösse A + Bi durch Anwendung von einer beliebigen dieser Wurzeln und der sämmtlichen wten Wurzeln der Einheit Hülfsauf gaben zur Darstellung der nten Wurzeln aus einer complexen Grösse A-\-Bi Theilung eines Kreises in «gleiche Theile. Merkmale der Theilungen eines Kreises, die mit alleiniger Hülfe von Lineal und Zirkel ausführbar sind Bestimmung eines Punktes in einer Ebene durch die Geometrie des Descartes oder die analytische Geometrie. Gauss' geometrische Darstellung der complexen Grössen. Deutung der Addition und Multiplication von complexen Grössen und der Bestimmung der wten Wurzeln aus einer complexen Grösse Zusammenhang zwischen einer ganzen Function eines beliebigen Grades einer Variable und den Werthen der Variable, für welche die Function verschwindet, oder den Wurzeln der zugehörigen Gleichung Fortsetzung m Fortsetzung Symmetrische Verbindungen der gegebenen sämmtlichen Wurzeln einer Gleichung. Binomischer Lehrsatz für ganze positive Exponenten Reelle und complexe Factoren des ersten Grades einer Function einer Variable Aus dem Gebiete der reinen Gleichungen entnommene Beispiele für die Zerlegung einer Function einer Variable in Factoren des ersten Grades Transformation einer ganzen Function einer Variable durch Einführung einer neuen Variable. Entwickelung, die nach den Potenzen der neuen Variable geordnet ist. Ableitungen einer ganzen Function Besondere Transformation Allgemeine Auflösung der Gleichung des dritten Grades mit einer Unbekannten Fortsetzung 193

5 Inhaltsverzeichniss. XI 53. Discussion der Beschaffenheit der Wurzeln bei einer cubischen Gleichung, deren Coëfficiënten reell sind Ausdrücke der Wurzeln einer cubischen Gleichung durch Anwendung von Wurzelzeichen. Allgemeine Deutung der Wurzelzeichen Allgemeine Auflösung der Gleichung des vierten Grades mit einer Unbekannten Discussion der Beschaffenheit der Wurzeln bei einer biquadratischen Gleichung, deren Coëfficiënten reell sind Verbindungen der Wurzeln einer Gleichung des zweiten, dritten und vierten Grades, die eine bestimmte Beziehung zu der Auflösung der betreffenden Gleichung haben. Anzahl der Werthe dieser Verbindungen bei vollständiger Vertauschung der Wurzeln unter einander Darstellbarkeit der rationalen ganzen symmetrischen Verbindungen von n Elementen durch n symmetrische Grundverbindungen Beispiele zu dem vorigen. Differenzenproduct der gegebenen Wurzeln einer Gleichung. Discriminante einer Gleichung Auflösbarkeit einer algebraischen Gleichung überhaupt. Auflösbarkeit einer algebraischen Gleichung durch Zurückführung auf reine Gleichungen Beweis des Satzes, dass jede algebraische Gleichung mit einer Unbekannten durch einen reellen oder complexen Werth befriedigt werden kann Fortsetzung Fortsetzung Fortsetzung Fortsetzung Fortsetzung Zerlegung einer rationalen ganzen Function eines beliebig hohen Grades von einer Variable in Factoren des ersten Grades Aufsuchung des grossesten gemeinsamen Theilers von zwei ganzen Functionen einer Variable Entwicklung eines Bruches, dessen Zähler und Nenner ganze Zahlen sind, in einen Kettenbruch. Entwickelung eines Bruches, dessen Zähler und Nenner ganze Functionen einer Variable sind, in einen Kettenbruch 290

6 XII Inhaltsverzeichniss, Capitel III. Algebraische rationale ganze Functionen von beliebig vielen Yariabeln und beliebig hohen Graden. 70. Gleichheit der Coëfficiënten bei zwei Functionen, die für unbestimmte Werthe der Yariabeln einander gleich sind. Homogene Functionen. Transformation der homogenen Functionen durch eine Substitution des ersten Grades 296 Capitel IV. Systeme von n ganzen homogenen Functionen des ersten Grades mit n Yariabeln. Allgemeine Auflösung von n Gleichungen des ersten Grades mit n Unbekannten. Lehre der Determinanten. 71. Zwei Functionen des ersten Grades mit zwei Variabein. Allgemeine Auflösung von zwei Gleichungen des ersten Grades mit zwei Unbekannten. Determinanten des zweiten Grades Drei Functionen des ersten Grades mit drei Variabein. Allgemeine Auflösung von drei Gleichungen des ersten Grades mit drei Unbekannten. Determinanten des dritten Grades System von n ganzen Functionen des ersten Grades mit n Variabein. Eintheilung der sämmtlichen Permutationen von n Zeigern in zwei Classen Allgemeine Definition einer Determinante des wten Grades. Grundeigenschaften einer Determinante. Allgemeine Auflösung von n Gleichungen des ersten Grades mit n Unbekannten für den Fall einer von Null verschiedenen Determinante Vollständige Discussion der Auflösung von n Gleichungen des ersten Grades mit n Unbekannten Juir den Fall einer verschwindenden Determinante Transformation eines Systems von n Functionen des ersten Grades mit n Variabein durch eine Substitution des ersten Grades. Multiplicationssatz der Determinanten Eigenschaften der adjungirten Elemente eines gegebenen Systems von Elementen 344

7 Inhaltsverzeiclmiss. Capitel V. XIIÏ Ganze homogene Functionen eines beliebig hohen Grades mit zwei Variabein. 78. Zerlegung der ganzen homogenen Functionen mit zwei Variabeln in homogene Factoren des ersten Grades 351 Capitel VI. Ganze homogene Functionen des zweiten Grades, oder quadratische Formen mit beliebig vielen Variabein. 79. Eintheilung der ganzen homogenen Functionen des zweiten Grades mit zwei Variabein und reellen Coëfficiënten Gauss' geometrische Darstellung der wesentlich positiven ganzen homogenen Functionen des zweiten Grades mit zwei Variabein. System parallelogrammatisch geordneter Punkte in der Ebene. Verschiedene Anordnungen eines solchen Systems Transformation der quadratischen Formen mit beliebig vielen Variabein. Eigenschaften der Determinante einer quadratischen Form Zurückführung einer quadratischen Form, deren Determinante gleich Null ist, auf eine quadratische Form, bei der die Anzahl der Variabein den kleinsten möglichen Werth hat Zusammenhang einer quadratischen Form mit der zu ihr adjungirten quadratischen Form Verwandlung einer quadratischen Form in eine Summe von Quadraten, die mit constanten Factoren multiplicirt sind. Aufstellung der Kriterien dafür, dass eine quadratische Form, deren Coëfficiënten reell sind, wesentlich positiv oder wesentlich negativ oder keines von beiden sei Wesentlich positive ternäre quadratische Formen. Bestimmung eines Punktes im Räume durch rechtwinklige Coördinaten und durch Coördinaten eines beliebigen Axensystems. Gauss' geometrische Darstellung der wesentlich positiven ternären Formen Geometrische Deutung der aus einer Substitution des ersten Grades hervorgehenden Transformation einer positiven ternaren Form 416

8 XIV Inhaltsverzeichniss. Reite 87. System parallelepipedisch geordneter Punkte im Räume. Verschiedene Anordnungen eines solchen Systems Trägheitsgesetz der quadratischen Formen 426 Abschnitt III. Unbegrenzt fortgesetzte Division. Capitel I. Récurrente Reihen. 89. Division von zwei rationalen ganzen Functionen einer Variable Geometrische Reihe. Ausdruck der Summe einer Anzahl von auf einander folgenden Gliedern einer geometrischen Reihe Ausführung der Division durch die Methode der unbestimmten Coëfficiënten Récurrente Reihen von verschiedener Ordnung. Ausdruck der Summe einer Anzahl von auf einander folgenden Gliedern einer recurrenten Reihe 439v 93. Zerlegung einer rationalen gebrochenen Function einer Variable in Partialbrüche. Zerlegung einer recurrenten Reihe in partielle récurrente Reihen Récurrente Darstellung der Summen der gleich hohen Potenzen der Wurzeln einer Gleichung durch die Coëfficiënten der Gleichung Partialbruchzerlegung eines Bruches, dessen Nenner aus lauter ungleichen Factoren des ersten Grades besteht Intcrpolationsformel Entwickelung der negativen ganzen Potenzen eines Binoms in eine Reihe Grenzwerth der Summe einer geometrischen Reihe bei wachsender Anzahl der Glieder Summation einer unendlich ausgedehnten recurrenten Reihe von beliebiger Ordnung 472 Abschnitt IV. Exponentialfunctionen und Logarithmen, trigonometrische Functionen und inverse trigonometrische Functionen. Capite! I. Exponentialfunctionen und Logarithmen Exponentialfunctionen 476

9 Inhalts verzeichniss. XV 101. Fortsetzung. Allgemeiner Begriff der Function einer variaheln Grösse Logarithmen 48G Capitel IL Trigonometrische Functionen und inverse trigonometrische Functionen Trigonometrische Functionen Inverse trigonometrische Functionen. Begriff der Umkehrung einer Function 497 Abschnitt V. Unendliche Summen und Producte. Capitel I. Allgemeine Eigenschaften von unendlichen Summen und Producten Definitionen Kennzeichen für die Convergenz unendlicher Summen Potenzreihen Fortsetzung. Begriff der Stetigkeit einer Function Addition, Subtraction und Multiplication von unendlichen Summen Kennzeichen für die Convergenz unendlicher Producte Anwendungen 545 Capitel IL Potenzreihen zur Entwickelung von fundamentalen Functionen der Analysis Aufstellung der Binomialreihe und der Exponentialreihe Untersuchung der Exponentialreihe Fortsetzung. Reihe mit reellem Argument zur Darstellung der Exponentialfunction Fortsetzung. Reihe mit rein imaginärem Argument zur Darstellung der trigonometrischen Functionen Sinus und Cosinus 559

10 XVI Inhaltsverzeichnis Fortsetzung. Werthbestimmung der Exponentialreihe mit beliebigem complexem Argument Untersuchung der Binomialreihe Fortsetzung Fortsetzung. Vollständige Werthbestimmung der Binomialreihe Reihe zur Darstellung der Functionen Logarithmus und Arcus tangentis 586