Abschnitt IV. Exponentialfunctionen nnd Logarithmen, trigonometrische Functionen und inverse trigonometrische Functionen.

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1 Abschnitt IV. Exponentialfunctionen nnd Logarithmen, trigonometrische Functionen und inverse trigonometrische Functionen. Capitel I. Exponentialfunctionen und Logarithmen Exponentialfunctionen. Die Rechnung mit den Potenzen, deren Basis eine beliebige bestimmte positive Grösse ist, und deren Exponenten positive oder negative rationale ganzzahlige Brüche sind, gründet sich auf den Nachweis, dass die reelle positive nte Wurzel aus der Grösse eindeutig bestimmt ist. Dieser Nachweis ist in 20 geführt, und an denselben schliesst sich die Definition einer Potenz als eindeutig bestimmte positive Grösse; hier bedeutet n eine positive ganze Zahl und a eine positive oder negative ganze Zahl. Wenn n 1 eine zweite positive ganze Zahl, und b x eine zweite positive oder negative ganze Zahl ist, so sind die Regeln für die Rechnung mit den Potenzen von der Basis und von rationalen gebrochenen Exponenten in den Gleichungen enthalten, die sich in (10) des 19 und in (2) des 20 finden, und folgendermassen lauten (1). =C, 1 (2) = " "', ' 1

2 100. Exponentialfunctionen. 477 ï ct=c m \ Die Potenz G ist die einzige positive reelle Wurzel der reinen Gleichung des Men Grades to n =a a und die Potenz ist gleichzeitig sowohl die einzige positive reelle Wurzel der reinen Gleichung des wten Grades ip = G wie auch die ate Potenz der Grösse G. In so fern bildet die Rechnung mit den Potenzen, deren Exponenten ganzzahlige Brüche sind, einen Theil der Algebra. Man kann nun, wie sogleich gezeigt werden soll, den Begriff der Potenz einer Basis dahin ausdehnen, dass der Exponent eine beliebige rationale oder irrationale bestimmte reelle Grösse sein darf; dieser erweiterte Begriff geht dann über das Gebiet der Algebra hinaus. Der zu dem bezüglichen Zwecke führende Process besteht in einer Anwendung des Gedankenganges, auf dem die Rechnung mit Grössen, die nicht rationale ganzzahlige Brüche dargestellt sind, überhaupt beruht, und der in den 15 und 16 auseinander gesetzt ist. Wir kehren nunmehr zu dem damaligen Ausgangspunkte zurück und machen dieselbe Annahme wie in 15, dass eine Reihe von rationalen ganzzahligen Brüchen (5) /,/',... gegeben sei, welche durch die Befolgung bestimmter Vorschriften unbeschränkt fortgesetzt werden kann und so beschaffen ist, dass ihre Individuen einen bestimmten Werth numerisch niemals überschreiten, und dass sich immer für einen beliebig gegebenen kleinen Zahlenwerth ein Bruch p bezeichnen lässt, dessen mit irgend einem späteren Bruche der Reihe y P+s genommener Unterschied y P y P *, abgesehen von seinem Vorzeichen, unter dem Werthe w liegt. Die Brüche der Reihe (5) mögen nach einander der bestimmten reellen positiven Grösse als Exponenten beigelegt werden, wodurch die entsprechende Reihe von bestimmten Grössen -

3 478 Exponentialftmctionen (6) C r,c r \... entsteht. Die Grosse muss von der Einheit verschieden sein, wenn nicht alle diese Grössen selbst den Werth der Einheit haben sollen. Im übrigen darf ebenso gut über als unter der Einheit liegen; um eine feste Vorstellung zu haben, wird von jetzt ab angenommen, dass G grösser als die Einheit sei. Man kann nun beweisen, dass aus der vorausgesetzten Eigenschaft der Brüche y\ 7",... eine entsprechende Eigenschaft der Grössen C Y, Q Y,... folgt. Da sich zu jedem beliebig kleinen gegebenen Zahlenwerth w eine solche ganze Zahl M wählen lässt, dass der Bruch -== noch kleiner ist als to, so steht nichts im Wege, bei der von den Brüchen (5) zu erfüllenden Forderung den beliebig kleinen gegebenen Zahlenwerth durch einen passend gewählten Bruch - zu ersetzen. Es darf also verlangt werden und ist in Folge der getroffenen Voraussetzung immer möglich, für jeden dem Bruche beizulegenden kleinen Werth eine Zahl p so zu bestimmen, dass, wie auch immer die positive Zahl s angenommen werde, die Bedingung 1 ; M ' erfüllt ist. Da die Grösse befindet sich die Grösse 1 7 M über der Einheit liegen soll, so ebenfalls über der Einheit, und die Potenz über oder unter der Einheit, je nachdem die ganze Zahl a positiv oder negativ ist, während die Grösse = 1 ist. Demnach folgt aus der obigen Gleichung (2), dass, wenn für zwei Brüche und L die Differenz n n 1 n Wj 1 - positiv ist oder heit liegen oder > a bx n die Ungleichheit > gilt, der Quotient r- über der EincT 1 sein muss. Vermöge dessen zieht die r

4 100. Exponentialfunctionen. 479 aufgestellte Bedingung (7) die Ungleichheit (8) C^^-^UC 1 nach sich. Auf Grund derselben haben die Individuen der Reihe (6) die Eigenschaft, dass der Quotient des Individuums G Y und + *> irgend eines Individuums G von höherer Stellenzahl zwischen L _L den Grössen und G eingeschlossen bleibt. j_ IT Die Grösse muss, da G grösser als die Einheit ist, ebenfalls grösser als die Einheit sein; sie kommt aber der Einheit um so näher, je grösser die Zahl M genommen wird. Es sei j_ (9) G*= 1 + wo eine positive Grösse bedeutet, so folgt daraus C=(l +df und man kann aus einer in 19 angestellten Betrachtung oder aus dem in 46 bewiesenen binomischen Lehrsatze schliessen, dass (1+d) 1 grösser ist als der Ausdruck \ -. Mithin ergiebt sich (10) G> 1 + Md, Q l deshalb ist <$< - -, und folglich i (io*) 0 7 =1 +,<1 + - = -. Man darf daher aus (8) die Schlüsse ziehen, dass i vo) v(p+0 / C l\ y(p+*) (11) C y <C G Y <[^^) c > und dass (12) (/">«? ( <(l + y-)0^ ist. Weil aber keiner der Brüche (5) einen bestimmten Werth numerisch überschreiten darf, so kann auch keine von den sämmtlichen mit diesen Brüchen als Exponenten gebildeten Potenzen der Basis G einen gewissen positiven Werth überschreiten. Daher folgen aus (11) und (12) beziehungsweise die Ungleichheiten

5 480 Exponentialfunctionen (13) yip) v(p+s) 1 v(p+0 (7 1 ^ - < / <±-±, 7 14) ^y^ + O c Y -c r >) C l < - ^ C l -~ < - :» Die Differenz von zwei Grössen aus der Reihe (6) von dem Zeiger p und dem Zeiger p+s, der um irgend eine Zahl s grösser yip) y (P + S) ist als p, C, ist also abgesehen von ihrem Vorzeichen / 1 I \ TT kleiner als der Werth - - und kann daher durch die Wahl M einer hinreichend grossen Zahl M beliebig klein gemacht werden. Ebenso wie in 15 von den ganzzahligen Brüchen (5) der Ausdruck gebraucht wird, dass sie sich einem Grenzwerthe nähern, so berechtigt die eben nachgewiesene Eigenschaft der bestimmten Grössen (6) zu der Aussage, dass dieselben sich ebenfalls einem Grenzwerthe nähern. Es ist in 16 ein eigenes Zeichen für den Grenzwerth der Reihe von ganzzahligen Brüchen (5), nämlich, eingeführt und die Rechnung mit Grenzwerthen begründet worden. In demselben Sinne darf ein Zeichen für den Grenzwerth der Reihe von bestimmten Grössen (6) eingeführt werden. Das übliche Zeichen hiefür ist das Zeichen einer Potenz von der Basis und dem Exponenten &, (15) (f. Insofern also, als durch eine beliebige bestimmte, positive oder negative, rationale oder irrationale Grösse ausgedrückt wird, stellt das vermöge der Reihe (6) definirte Zeichen die erwähnte Verallgemeinerung des Begriffs einer Potenz dar. In 15 wurde hervorgehoben, dass die auf einander folgenden Brüche (5) entweder die Beschaffenheit haben, ihrem numerischen Wer the nach allmählig unter jede noch so kleine Grösse herabzusinken, oder die Beschaffenheit, beliebig weit fortgesetzt niemals numerisch kleiner zu werden als eine gewisse feste Grösse, und dass in dem zweiten Falle die sämmtlichen Brüche von einer bestimmten Stelle ab entweder positiv oder negativ sein müssen. Dem ersten Falle entspricht die Bezeichnung, dass der Grenzwerth & die Null sei, dem zweiten Falle, je nachdem die eine oder die andere Voraussetzung zutrifft, die Aussage, dass der Grenzwerth & positiv sei, oder dass der Grenzwerth ne-

6 100. Exponentialfunctioneii. 481 gativ sei. Man kann nun leicht beurtheilen, wie sich die Grössen (6) bei jeder der drei Annahmen verhalten. Wenn die Brüche (5) sich der Null als Grenzwerth nähern, so können sie entweder von einer bestimmten Stelle ab positiv bleiben oder von einer bestimmten Stelle ab negativ bleiben oder fortwährend ihr Vorzeichen wechseln ; immer müssen die Werthe der Brüche von einer gewissen Stellenzahl p ab zwischen den Grenzen und 4- -yj liegen, wo M, wie vorhin, eine beliebig grosse positive ganze Zahl bedeutet. Hieraus folgt aber vermöge einer schon angewendeten Schlussweise, dass die gleichstelligen Grössen der Reihe (6) zwischen den Grenzen j_ und G eingeschlossen sind. Nun stellte sich heraus, dass kleiner Q ist als die Grösse 1 4 ^, mithin liegen die in Rede ste- Q l henden Grössen der Reihe (6) zwischen den Grenzen 1 H - M und ^, welche beide von der Einheit beliebig wenig verschieden sind, und nähern sich deshalb der Einheit als ihrem Grenswerthe. Sobald die Brüche (5) von einer bestimmten Stelle ab positiv sind und einen gewissen festen von der Null verschiedenen Werth stets übertreffen, so liegen die gleichstelligen Grössen der Reihe (6) aus den erörterten Gründen über einem gewissen die Einheit übertreffenden Werthe. Sobald die Brüche (5) von einer bestimmten Stelle ab negativ sind und numerisch einen gewissen festen von der Null verschiedenen Werth stets übertreffen, so befinden sich die gleichstelligen Grössen der Reihe (6) unter einem gewissen unterhalb der Einheit liegenden Werthe. Diese Ergebnisse lassen sich in den Satz zusammen fassen, dass die Grösse G~, bei der einen bestimmten positiven die Einheit übertreffenden Werth hat, und die stets positiv ist, für jeden positiven Werth grösser als die Einheit, für jeden negativen Werth von Meiner als die Einheit, und für den Werth =0 gleich der Einheit ist. Lipschitz, Analysis. 31

7 482 Ëxponentialfunctioneü. 1ÔÔ. Nachdem die Potenz mit dem beliebigen Exponenten definirt ist, darf auch der Werth der Grösse mitdenwerthen der einzelnen in (6) auf einander folgenden Potenzen C Y, C Y,... verglichen werden, und dann berechtigen die obigen Ungleichheiten (13) und (14) zu der Aussage, dass, wofern der Bruch y (p der bestimmten Grösse & beliebig nahe kommt, der numerische Werth der Differenz C Y P beliebig Mein wird. Hieraus ergiebt sich weiter, dass, wenn zwei bestimmte Grössen und t eine numerisch beliebig Meine Differenz haben, auch der numerische Werth der Differenz * beliebig Mein wird. Um die Regeln für die Rechnung mit Potenzen von beliebigen Exponenten zu erhalten, werde, wie in 15, eiue zweite Reihe von Brüchen (16) «',... betrachtet, welche mit der Reihe der Brüche (5) die gleichen Anforderungen erfüllt Der Grenzwerth, dem sich die Brüche (16) nähern, In Folge der getroffenen Voraussetzungen nähern sich die Grössen (17) (f,(f\.. einem Grenzwerthe, der mit zu bezeichnen ist. Wir bilden jetzt drei neue Reihen von Grössen; indem jedes Glied von (6) mit jedem gleichstelligen Gliede von (17) multiplicirt wird, vermöge der Formel (1) die Reihe (18) <f + ",Cr + *,..., indem jedes Glied von (6) durch jedes gleichstellige Glied von (17) dividirt wird, vermöge der Formel (2) die Reihe (19) *'"*', C y "~*",... und indem jedes Glied von (6) auf eine Potenz erhoben wird, deren Exponent durch das gleichstellige Glied von (16) bezeichnet ist, vermöge der Formel (3) die Reihe (20) C Y ' S ',C Y " B '\... Nun ist aus den gleichstelligen Gliedern der Reihen (5) und (16) die Reihe der Exponenten in (18) durch Addition, die Reihe der Exponenten in (19) durch Subtraction, die Reihe der Exponenten in (20) durch Multiplication entstanden. Die ge-

8 1Ô8. Ëxponentialfunctioneü. 483 nannten Reihen fallen daher respective mit den drei Reihen zusammen, die in 16 mit (1), (2), (3) bezeichnet sind. Von jeder dieser Reihen ist dort nachgewiesen, dass ihre Glieder sich einem bestimmten Grenzwerthe nähern, und die bezüglichen drei Grenzwerthe haben die Bezeichnung erhalten (21) Hiernach müssen sich auch die Glieder der Reihe (18), die Glieder der Reihe (19), die Glieder der Reihe (20) einem Grenzwerthe nähern, und zwar sind die Grenzwerthe respective durch (22) (f~, zu bezeichnen. Wenn man jetzt nach dem Vorgange des 16 die Bezeichnung der Operationen, welche mit den einzelnen Individuen einer Reihe vorgenommen sind, auf den Grenzwerth überträgt, so gilt die Aussage, dass das Product des Grenzwerthes und des Grenzwerthes G gleich dem Grenzwerthe der Glieder von (18), der Quotient bei der Division des Grenzwerthes durch den Grenzwerth gleich dem Grenzwerthe der Glieder von (19) und der auf den Grenzwerth als Exponenten erhobene Grenzwerth & gleich dem Grenzwerthe der Glieder von (20) ist; die Ausdrücke der in Rede stehenden Grenzwerthe sind in (22) angegeben. Bedienen wir uns hingegen einer andern Sprache, so sind die Zeichen für beliebig bestimmte positive oder negative Grössen, und es entstehen die für die Rechnung mit Potenzen von beliebigen positiven oder negativen Exponenten geltenden drei Regeln (23) d*. (?=(?+*, (24) = * (25) ) e welche beziehungsweise dieselbe Gestalt haben, wie die obigen für rationale gebrochene Exponenten aufgestellten drei Regeln (\\ (2), (3). Es ist zuerst in 16 darauf hingewiesen und dann in 20 noch einmal betont worden, dass für irgend zwei bestimmte gegebene Grössen die entweder einen positiven Werth oder einen negativen Werth oder den Wertb

9 484 Ëxponentialfunctionen Null hat, und dass je nach diesen drei Fällen entweder grösser oder kleiner oder sein muss. Da sich nun gezeigt hat, dass die Potenz ~~, @<0 = 0 ist, einen Werth erhält, der über der Einheit liegt, oder unter der Einheit liegt, oder der Einheit gleich ist, so erlaubt die Gleichung (24) den Schluss, dass, je ist, entweder die Potenz G grösser als die Potenz G, oder die Potenz G Meiner als die Potenz G, oder die Potenz gleich der Potenz ausfällt Fortsetzung. Allgemeiner Begriff der Function einer variabeln Grösse. Nachdem für eine bestimmte positive die Einheit tibertreffende Basis und für eine beliebig positive oder negative bestimmte Grösse & als Exponent die Grösse G vollständig definirt worden ist, kann der Exponent als eine beliebig veränderliche positive oder negative Grösse aufgefasst werden. Zu jedem positiven oder negativen Werthe der Variable x gehört dann ein eindeutig definirter Werth G, und diese Beziehung lässt sich unter einem neuen Gesichtspunkte betrachten. Der Abschnitt II enthält in 22 die Definition einer algebraischen rationalen ganzen und einer algebraischen rationalen gebrochenen Function einer Variable x; der Werth einer rationalen ganzen Function ist für jeden Werth der Variable x bestimmt, der Werth einer rationalen gebrochenen Function, die stets als der Quotient von zwei rationalen ganzen Functionen dargestellt werden kann, ist für alle Werthe der Variable x mit Ausnahme von denjenigen Werthen bestimmt, für die der Nenner jenes Quotienten gleich Null wird. Von den trigonometrischen Functionen eines Winkels, dem Sinus und dem Cosinus desselben, ist seit 30 häufig die Rede gewesen. Wir haben aber darauf aufmerksam zu machen, dass der Ausdruck Function in einem viel weiteren Umfange gebraucht wird, worauf schon in 96 hingedeutet ist. Wenn zu jedem reellen Werth einer Variable x, der zwischen zwei bestimmten Werthen a und b liegt, das heisst, die Bedingung a<x<lb erfüllt, eine bestimmte Grösse zugeord-

10 101. Function einer variablen Grösse. 485 net ist, welche durch die Ausführung gegebener Vorschriften gefunden wird und für andere und andere Werthe der Variable x andere und andere Werthe annehtnen kann, so sagt man, dass der Werth der betreffenden Grösse von der variablen Grösse x abhängt, oder, dass diese Grösse eine Function der Variable x ist. Der Werth der Variable x wird auch das Argument der Function genannt. Da nun für jeden reellen positiven oder negativen Werth von x die Grösse (7 r einen vollkommen bestimmten Werth erhält, so ist G* eine für alle reellen Werthe von x deßnirte Function der Variable x; dieselbe wird die Exponentialfunction mit der Basis genannt. Nach den Ausführungen des vorigen nimmt die Function C T nur positive Werthe an; sie ist vermöge der Voraussetzung, dass die Basis grösser als die Einheit sein soll, für jedes negative x kleiner als die Einheit, für jedes positive x grösser als die Einheit, und für x=0 gleich der Einheit; sobald man von einem bestimmten Werthe der Variable x zu einem grössern Werthe derselben tibergeht, so wächst auch die Function C*. Ferner wird der Werth der Differenz C Tl G x beliebig Mein, sobald die Grösse x x x positiv ist und beliebig Mein wird. Auch lässt sich leicht erkennen, dass, wofern die Variable x positive Werthe annimmt, die grösser sind als irgend eine gegebene Grösse, die Function C* ebenfalls jede gegebene Grösse übertrifft, und dass, wenn die Variable x negative Werthe annimmt, die numerisch grösser sind als irgend eine gegebene Grösse, die Function C* unter jede noch so kleine Grösse herabsinkt. Denn, wenn M eine positive ganze Zahl bedeutet, so ist nach einer schon benutzten Bemerkung, da die Basis G über der Einheit liegt, die Potenz G = (1 4- G l) grösser als der Werth \+M(C 1), welcher mit wachsendem M über jedes Mass hinauswächst; deshalb muss der Werth G für eine wachsende Zahl M über jedes Mass hinaus zunehmen, dagegen der Werth G = ^ G unter jede noch so kleine Grösse herab abnehmen. Hieraus folgt aber die behauptete Eigenschaft der Function G*j da jeder noch so grosse positive Werth von x, wofern er

11 486 Logarithmen keine ganze Zahl ist, zwischen zwei auf einander folgenden positiven ganzen Zahlen liegen muss, und da für jeden negativen numerisch noch so grossen Werth von x das entsprechende gilt. Die Hauptregeln für die Rechnung mit der Exponentialfunction C x sind in den Gleichungen (23), (24), (25) des vorigen enthalten, und werden, sobald = x, = x 1 gesetzt wird, zu den folgenden (1) C' G Xi =G x+x \ (2) ^ = "^ (3) {C')**=(f'\ Die Multiplication von Exponentialfunctionen mit verschiedenen positiven Basen G und D und demselben Exponenten x erfolgt nach der leicht zu begründenden Regel (4) (f D x =(CDf Logarithmen. Zu jedem positiven oder negativen Werthe der Variable x gehört ein bestimmter positiver Werth der mit einer bestimmten, die Einheit übertreffenden Basis gebildeten Exponentialfunction C x. Man kann sich nun umgekehrt eine positive Grösse gegeben denken und untersuchen, ob für dieselbe eine positive oder negative Grösse x existirt, durch welche die Gleichung (1) = C x befriedigt wird. Keinenfalls existiren zwei von einander verschiedene Grössen x und x lf welche die gestellte Aufgabe lösen. Denn wären durch zwei solche Grössen die beiden Gleichungen u = G x und u = C Ti erfüllt, so würde die Division der ersten durch die zweite zu der Gleichung 1 = C T ~ Xl fuhren, und diese schlösse einen Widerspruch in sich; es mtisste, weil x und x t von einander verschieden angenommen sind, die Differenz x x 1 positiv oder negativ sein, die Grösse G x ~~ Xt würde aber im ersten Falle über der-einheit, im zweiten Falle unter der Einheit liegen, und könnte daher niemals der Einheit gleich sein. Um die gewünschte Antwort zu finden, legen wir der Variable x

12 102. Logarithmen. 487 Reihen von auf einander folgenden Werthen bei und vergleichen die hervorgehenden Werthe der Exponentialfunction C* mit dem gegebenen Werthe u. Es werde x zuerst gleich der Reihe der positiven und negativen ganzen Zahlen gesetzt; dann entstehen die Werthe der Function C* (2)...,C 2,C\ 1, \... welche eine nach beiden Seiten unbegrenzt fortschreitende geometrische Reihe ausmachen. Die Glieder sind sämmtlich positiv, sie wachsen nach der einen Seite hin in der Weise, dass sie jede noch so grosse gegebene Grösse übertreffen, und nehmen nach der anderen Seite so stark ab, dass sie kleiner werden als jede noch so kleine gegebene Grösse. Der gegebene positive Werth muss daher entweder einem Gliede der Reihe (2) gleich sein, oder zwischen zwei Glieder der Reihe fallen. Ge-. schiebt das erste, so ist der Exponent x gefunden und gleich einer bestimmten positiven oder negativen ganzen Zahl, trifft das zweite ein, so darf man aus der Ungleichheit (3) C X+1 >u>c X schliessen, dass, wenn es einen Exponenten giebt, welcher die Gleichung (1) erfüllt, derselbe zwischen den ganzen Zahlen und 4-1 liegen muss. Man kann nun in ähnlicher Weise fortfahren, wie in 14 bei dem Nachweise der Existenz der aus einem gegebenen positiven Bruche zu ziehenden positiven wten Wurzel zu Werke gegangen ist. Zwischen die ganzen Zahlen und 4-1 werden auf einander folgende Brüche von einem beliebig angenommenen Nenner eingeschaltet, und mit diesen Exponenten die Werthe (4) &*\ \ V..C *, \& gebildet, welche wieder eine geometrische Reihe darstellen. Ihre Grösse steigt, wenn man die Glieder von rechts nach links durchläuft. Mithin muss die positive Grösse u, welche wegen (3) zwischen dem ersten und dem letzten Gliede liegt, auch entweder einem Gliede gleich sein, oder zwischen zwei auf einander folgende fallen. Demnach ist der gesuchte Exponent x

13 488 Logarithmen X' entweder gleich einem Bruche AH, oder man hat die Ungleichheit +*^1 +i: (5) G * >u>c \ um derentwillen, wenn es einen der Gleichung (1) genügenden Exponenten giebt, derselbe zwischen den von der Zahl x ab- X* X* +1 hängenden Grenzen und liegen muss. Da die Grösse des Nenners keiner Einschränkung unterworfen ist, so kann nach und nach zu immer grössern Werthen desselben übergegangen werden. Sobald für einen bestimmten X' 4-1 X' Werth von die Werthe und l-\ bestimmt sind, T T und für einen grössern Werth = qp die entsprechenden Werthe + - und + bestimmt werden, so sind die beiden letztern innerhalb der beiden erstem eingeschlossen und es entstehen wie in 14 aus den obern und den untern Werthen zwei Reihen, deren Glieder sich demselben Grenzwerthe nähern. Indem dieser Grenzwerih als eine bestimmte Grösse aufgefasst wird, darf sein Werth mit den für ein bestimmtes gebildeten X X* Werthen und verglichen werden und liegt zwischen den letztern. Von den beiden in (5) für angegebenen Grenzen wird die obere aus der unteren erhalten, indem man die letztere mit der Grösse G multiplicirt. In Betreff der Grösse G wurde in 100 nachgewiesen, dass sie kleiner ist Q 1 als der Werth 1 4, welcher für einen hinreichend grossen Werth der Zahl z kleiner wird als eine beliebig kleine gegebene Grösse. Hieraus und aus dem Umstände, dass der Werth stets kleiner ist als die gegebene Grösse w, darf man folgern, dass die Differenz zwischen den beiden in (5) enthaltenen Grenzen der Grösse für eine hinreichend grosse Zahl

14 102. Logarithmen. 489 beliebig klein wird; mithin gilt dasselbe sowohl von dem numerischen Werthe der positiven Differenz (6) u G, wie auch von dem numerischen Werthe der negativen Differenz (7) u G Die Forderung (1) besteht darin, dass die Differenz (8) u-g* gleich Null werde. Die Differenz (6) und die Differenz (7) nehmen aber für einen genügend grossen Werth der Zahl einen beliebig Meinen numerischen Werth an, das heisst einen solchen, dessen Grenzwcrth die Null ist. Also kann der gesuchte Exponent x bei einem hinreichend grossen Werthe der k' Zahl sowohl durch den Werth X-\ wie auch durch den Werth x V -1 X H, welcher von dem er ster en um die entsprechend Meine Grösse differirti mit beliebiger Genauigkeit dargestellt werden; V X e 4-1 der Grenzwerth, welchem sich die Werthe und H beständig nähern, ist der gesuchte Exponent x, und somit ist die Existenz desselben nachgewiesen. Bei der eben behandelten Aufgabe wird der Exponent x der Logarithmus der positiven Grösse in dem. System mit der Basis G genannt und durch das Zeichen (9) #=Log bezeichnet. Vermöge der angestellten Erörterung ist die Funetion Log der Variable für alle positiven Werthe der Variable eindeutig definirt, so dass zu jedem positiven Werthe von ein und nur ein Werth der Function gehört. Man pflegt den gegebenen Werth dessen Logarithmus gesucht wird, als die Zahl oder den Numerus zu bezeichnen. Einem unter der Einheit liegenden positiven Werthe von entspricht ein negativer Logarithmus, einem über der Einheit liegenden Werthe von ein positiver Logarithmus, der Logarithmus der Einheit ist die Null. Zu fortwährend wachsenden Werthen von gehören Lo-

15 490 Logarithmen garithmen, welche jede positive Zahl tiberschreiten, zu Wertben von die sich fortwährend abnehmend der Null nähern, Logarithmen, die negativ sind und deren numerischer Werth nach und nach jede Zahl übertrifft. Die Hauptregeln für die Rechnung mit Logarithmen sind eine unmittelbare Folge der Hauptregeln für die Rechnung mit der Exponentialfunetion, die in (1), (2), (3) des 101 mitgetheilt sind. Es sei der Gleichung (9) entsprechend fur eine beliebige positive Grösse u 1 (10) ^=Log u t, in Folge dessen verwandeln sich jene Gleichungen in diese + U n x ~ x \ n xx \, =G, =. Weil nun zu jeder positiven Grösse ein und nur ein Logarithmus gehört, so muss in jeder der vorstehenden Gleichungen der der Basis beigelegte Exponent der Logarithmus des auf der linken Seite befindlichen positiven Werthes sein. Die drei Exponenten sind beziehungsweise x 4- x x = Log + Log w t, x x ± = Log Log u 17 xx t =x t Log mithin gelten àie drei Hauptregeln der Rechnung mit Logarithmen (11) Log (MttJ = Log + Log M Log V ) ==Lo S w ' L S w i7 Log (u Xi ) = x x Log u. An diese Gleichungen knüpft sich die grosse praktische Bedeutung, welche die Rechnung mit Logarithmen für die Ausführung von Multiplicationen, von Divisionen und von Potenzirungen besitzt. Wenn man für dieselbe Grösse in einem System von der Basis und einem System von der Basis D den Logarithmus bestimmt, und neben die obigen Gleichungen u= C x, x = Log die Gleichungen = ZT, = log setzt, so ist aus der Gleichung C=D l0fi die Gleichung u= If 9, und aus der Verbindung der letztern mit der Gleichung u = D* die Beziehung = x Log zu schliessen, oder Log = - -^ Als die Basis des zum praktischen Gebrauche bestimmten Systems wird die Zahl Zehn genommen. Bei der Bildung des Logarith-

16 102. Logarithmen. 491 mus einer Zahl in diesem System hat die in (3) definirte ganze Zahl den Namen der Characteristik des Logarithmus, der jedesmal zu der ganzen Zahl hinzuzuaddirende echte Bruch wird als Becimalbruch dargestellt, und der Zahler des betreffenden Decimalbriichs heisst die Mantisse des Logaritimus. Da zu jeder in dem dekadischen System ausgedrückten Zahl die Characteristik des betreffenden Logarithmus leicht angegeben werden kann, so bedarf es nur der Herstellung von Tafeln für die Mantissen der Logarithmen, und diesem Zwecke dienen die üblichen Logarithmentafeln. Damit der Logarithmus einer Zahl als das Aggregat einer ganzen Zahl und eines Decimalbruches erscheine, hat man den oben mit bezeichneten Nenner successive gleich 10, 10 2,... bis zu einer beliebig hohen Potenz der Zahl Zehn zu nehmen. Es handle sich zum Beispiel um den Logarithmus der Zahl 13. Hier ist die Characteristik = 1 ; ferner ergeben sich die Werthe für = 10, V = 1 r=10 2, ' = 11 r=10 3, ' =113 1 = IO 4, ' =1139 = IO 5, '= etc. etc. Man sieht, dass, wenn die Zahl gleich der Potenz 10* gesetzt wird, die zugeordnete Zahl ' die Mantisse des auf a Decimalstellen berechneten Logarithmus bildet. Bricht man die Berechnung hier ab, so muss das Resultat genügen, dass der ' gesuchte Logarithmus zwischen den Grenzen und 10 V 4-1 liegt. Wenn aber die Berechnung bis zu einem grössern Werthe der Zahl r, etwa =10, fortgesetzt, und dem entsprechend eine auf Decimalziffern bezügliche Mantisse p' aufgesucht wird, dann sind damit für den gesuchten Logarithmus die Grenzen + J r und gewonnen, welche inner halb der früher gefundenen Grenzen liegen. Diese annähernde Bestimmung kann durch die Vergrösserung der Anzahl der Decimalziffern beliebig weit getrieben werden.