Elemente der Mathematik für Pharmazeuten

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1 Hans-Heinrich Körle Richard Hirsch Elemente der Mathematik für Pharmazeuten Womit ein Pharmazeut rechnen muß Mit 54 Bildern und 101 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen vieweg

2 IX Inhaltsverzeichnis A Vom kleinen Einmaleins der Naturwissenschaftler 1 A1 Das Prinzip der physikalischen Größe 1 ALI Skalare Größen 1 A1.2 Vektorielle Größen 3 A2 Unsere"Zahlen und ihre Rechengesetze 6 A2.1 Reelle Zahlen als Maß-Zahlen 6 A 2.2 Die sogenannten Grundrechenarten 8 A Das Regelwerk für reelle Zahlen 8 A2.2.2 Anhang: lange Summen 11 A2.3 Anwendungen 12 A Das Mischungskreuz 12 A Prozentrechnung 13 A3 Ohne Logik geht's auch nicht 15 A3.1 Aussagen und Aussageformen 15 A3.2 Operationen an Aussagen A 3,3 Der logische Schluß 17 A3.4 Gleichungen und Ungleichungen als Aussageformen B Lineare Gleichungen 24 B 1 Lineare Gleichungen in zwei Veränderlichen 24 Bl.l Die einzelne Gleichung 24 B Warum linear"? 24 B Algebraisches: die Lösungsmengen 26 B Anwendung: eine Mischungsaufgabe 29 B Spezielle Geradendarstellungen 30 B1.2 Das System simultaner Bestimmungsgleichungen 32 B 2 Lineare Gleichungen allgemein 34 B2.1 Die einzelne Gleichung in mehr als zwei Veränderlichen. 34 B 2.2 Das allgemeine lineare Gleichungssystem 36 B 2.3 Zum Gaußschen Eliminationsverfahren B 2.4 Anwendungsbeispiele 39 B Eine Aufgabe aus der Stöchiometrie 39 B Mischen von Lösungen mit zwei Komponenten. 40 C Funktionen 42 Cl Zum Funktionsbegriff 42

3 X Inhaltsverzeichnis Cl.l Beispiele und Bezeichnungen 42 C Funktionen mit einfachen Veränderlichen C Funktionen mit mehrfachen Veränderlichen C1.2 Zur Umkehrung von Funktionen mit einfachen Veränderlichen 47 C 2 Die rationalen Funktionen 48 C2.1 Proportionale und umgekehrt proportionale Abhängigkeit. 48 C 2.2 Die ganz-rationalen Funktionen 50 C 2.3 Die gebrochen-rationalen Funktionen 53 C 3 Potenzfunktionen und Rechenregeln für Potenzen 55 C3.1 Wurzelfunktionen, rationale Exponenten 55 C 3.2 Die allgemeine Potenzfunktion 56 C 4 Exponential- und Logarithmusfunktionen 57 C4.1 Exponentialfunktionen 57 C Exponentielles Wachstum, exponentieller Zerfall in der Natur 57 C Zum Verlauf der Exponentialfunktionen 59 C4.2 Die Logarithmen 60 C Logarithmusfunktionen 60 C Die Rechengesetze für Logarithmen 62 C4.3 Anwendungen 64 C Das Gesetz des radioaktiven Zerfalls 64 C Funktionen-Analyse mit logarithmischen Maßstäben 66 C 5 Trigonometrische und zyklometrische Funktionen 69 C5.1 Das Bogenmaß der Winkel-Messung 69 C 5.2 Die Funktionen Sinus, Kosinus 70 C C cos, sin als Funktionen von Dreieckswinkeln (Grundfunktionen) 70 Kinematische Deutung und Fortsetzung der Grundfunktionen cos, sin 71 C Weiteres zur Beschreibung von Schwingungen. 74 C Ebene Polarkoordinaten 77 C Vektorkomponenten, Skalarprodukt 78 C5.3 Die Funktionen Tangens, Kotangens 80 C5.4 Die zyklometrischen oder Arkusfunktionen 81 D Grenzwerte von Funktionen 85 D1 Der Funktionslimes 85 Dl.l Vom Groß-und Kleinwerden der Funktionen 85 D1.2 Funktionslimes und Stetigkeit 86 D1.3 Der Folgenlimes 88

4 D2 Folgengrenzwerte 90 D2.1 Die Zahle 90 D 2.2 Der Wert einer Reihe 91 D Zum Begriff der unendlichen Reihe 91 D Ein Beispiel konkurrierender Stoffaufnahme und -abgäbe 93 E Die Lehre von den momentanen Funktionsänderungen 95 E1 Der Differentialquotient 95 El.l Geschwindigkeit - auf den Punkt gebracht 95 E1.2 Differenzierbarkeit und Differentialquotient 97 E1.3 Die sogenannte erste Näherung 100 E2 Ableitungen 101 E2.1 Die Ableitungsfunktion 101 E2.2 Ableitungsfunktionen 103 E2.3 Ableitungsregeln 104 E2.4 Ableitungen höherer Ordnung 106 E2.5 Zur Ableitung vektorwertiger Funktionen 108 E2.6 Partielle Ableitungen 110 E3 Taylorsche Formel und Taylor-Entwicklung 112 E3.1 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung 112 E3.2 Im Umfeld: Die Regeln von de L'Hospital 113 E3.3 Näherungen höheren Grades 114 E3.4 Taylorentwicklung und Taylorreihe 116 E XI Zum Wesen der Potenzreihen-Darstellung von Funktionen 116 E Anwendung auf Binompotenzen 118 E4 Extremwert-Bestimmung 119 E4.1 Begriffe 119 E4.2 Lokale Extrema und die Differentialrechnung 120 E4.3 Anwendungsbeispiele 123 E Medikament-Resorption 123 E Arithmetisches Mittel und Ausgleichsgerade F Die Umkehrung des Differenzierens 128 Fl Stammfunktionen oder unbestimmte Integrale 128 Fl.l Begriffsbildung und Grundsätzliches 128 F1.2 Die Suche nach Stammfunktionen 130 F Kata-logisches 130 F Methodisches 132 F1.3 Stammfunktionen aus der Kinematik 134

5 XII Inhaltsverzeichnis F2 Bestimmte Integrale 135 F2.1 Zur Einführung: Fallwege als Flächen 135 F2.2 Zur Begriffsbildung 136 F 2.3 Das bestimmte Integral als Funktion der oberen Integrationsgrenze 139 F2.4 Über den Umgang mit bestimmten Integralen 140 F2.5 Beispiele: Hub-und Kompressionsarbeit 142 F3 Differentialgleichungen exemplarisch 144 F3.1 Illustration der Grundbegriffe 144 F3.2 Typisches zur Aufstellung von Differentialgleichungen F Die differentielle Form von Naturgesetzen F3.2.2 Der neue Weg zur alten Formel vom stetigen Wachstum 148 F Das Fechnersche Gesetz aus der Psychophysik. 150 F3.3 Beispiele zur Reaktionskinetik 151 F3.4 Beispiele konkurierender Stoffaufnahme und-abgäbe F Ein Pharmakon in der Niere 153 F Ein Beispiel gekoppelter Differentialgleichungen 155 A Vom kleinen Einmaleins der Naturwissenschaftler 157 A1 Das Rechnen mit physikalischen Größen 157 A2 Proportionen 159 A3 Vektorrechnung 161 A4 Zahlen und ihre Rechengesetze 162 A5 Stöchiometrische Aufgaben 167 A6 Prozentrechnung 169 A7 Logik 171 B Lineare Gleichungen 173 B 1 Die einzelne Gleichung 173 B2 Simultane Bestimmungsgleichungen 175 C Funktionen 180 Cl Ganz-rationale Funktionen 180 C2 Komplexe Zahlen 180 C3 Gebrochen-rationale Funktionen 182 C4 Potenz- und Wurzelfunktionen 182 C5 Exponential-und Logarithmusfunktionen 183 C6 Trigonometrische Funktionen 190 C7 Skalarprodukt 193 C8 Arkusfunktionen 194

6 XIII D Grenzwerte von Funktionen 197 Dl Der Folgenlimes 197 E Die Lehre von den momentanen Funktionsänderungen 201 El Differentialquotient 201 E2 Ableitungsregeln 202 E3 Die Regeln von de L'Hospital 213 E4 Die Taylorsche Formel 214 E5 Extremwertbestimmung 216 E6 Partielle Ableitungen 223 F Die Umkehrung des Differenzierens 227 Fl Stammfunktionen 227 F2 Partialbruchzerlegung 233 F 3 Bestimmte Integrale 236 F4 Differentialgleichungen 244 Sachwortverzeichnis 250

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