Mathematik. Aufgabensammlung mit Lösungen. 6., verbesserte und erweiterte Auflage. R. Oldenbourg Verlag München Wien. Von Professor Aribert Nieswandt

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1 Mathematik Aufgabensammlung mit Lösungen Von Professor Aribert Nieswandt 6., verbesserte und erweiterte Auflage R. Oldenbourg Verlag München Wien

2 Inhaltsverzeichnis Aufgaben zur Mengenalgebra und Kombinatorik I 1 I 2 Mengenalgebra Binomialkoeffizienten, Kombinatorik Aufgaben zu Grenzwerten und Reihen I 3 Grenzwerte von Zahlenfolgen 14 Grenzwerte von Summen I 5 Grenzwerte mit Wurzelausdrücken 16 Reihen Aufgaben zu komplexen Zahlen I 7 I 8 Komplexe Zahlen, Gaußsche Zahlenebene Zweidimensionale Mengen Aufgaben zur Vektor-und Matrixalgebra und zu linearen Gleichungssystemen I 9 Vektoren, Matrizen, Gleichungssysteme 110 Kräfte im Raum 111 Matrizen, Gleichungssysteme, Inversion. Inhalte von Parallelotopen, Determinanten 112 Vektorprodukt, Rotation, Winkel zwischen Geschwindigkeitsvektoren

3 VIII Aufgaben zu reellen Funktionen einer Veränderlichen Darstellungen elementarer Funktionen 113 Definitionsbereich, Funktionsgraph 114 Funktionswerte, Umkehrfunktion, Komposition von Funktionen 115 Definitions- und Wertebereich, Graph einer trigonometrischen Funktion 116 Trigonometrische Termumformung mithilfe der Produktregel komplexer Zahlen Differentiation 117 Rationale Funktionen 118 Trigonometrische Funktionen 119 Regel von l'hospital 120 Definitionsbereich, Grenzwerte, 1. und 2. Ableitung von trigonometrischen und aus diesen komponierten Funktionen Ableitung einer Umkehrfunktion Integration 122 Unbestimmte Integration von rationalen, Wurzel- und trigonometrischen Funktionen, Substitutions- und partielle Integrationsmethoden, Graph der Integranden 123 Weiterfuhrung der unbestimmten Integration, Graphen der Integranden und Integralfunktionen 124 Bestimmte Integration von rationalen Funktionen 125 Fläche zwischen 2 Kurven Kurvendiskussion 126 Kurvendiskussion einer rationalen Funktion 127 Kurvendiskussion einer trigonometrischen Funktion 128 Kurvendiskussion einer Betragsfunktion Maxima-Minima Aufgaben 129 Maximum einer Fläche, eines Umfanges, eines Trägheitsmomentes, maximale Tragfähigkeit eines Balkens 130 Maximale Amplitude einer gedämften Schwingung 131 Minimaler Abstand zweier bewegter Punkte

4 IX Ganze rationale Funktionen 132 Polynomwertberechnung mit dem Hornerschema, Division von Polynomen, Grenzwerte, Nullstellen, Fläche zwischen Nullstellen, Monotoniebereiche Exponential- und Logarithmusfunktionen 133 Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion 134 Grenzwerte von Logarithmus- und Wurzelfunktionen 135 Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen 136 Integration von Exponential- und Logarithmusfunktionen Trigonometrische und Arcusfunktionen 137 Grenzwerte von trigonometrischen, Exponential- und Logarithmusfunktionen 138 Differentiation von Arcusfunktionen 139 Integration von Arcusfunktionen 140 Kurvendiskussion mit Arcus- und Logarithmusfunktionen Hyperbel- und Areafunktionen 141 Ableitungen von Hyperbelfunktionen 142 Verwandtschaft von hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen 143 Freier Fall mit Luftwiderstand, Anwendung von Hyperbelfunktionen 144 Grenzwerte von Hyperbelfunktionen 145 Kurvendiskussion einer Areafunktion 146 Unbestimmte Integration von Hyperbelfunktionen Schwerpunkte, Rotationskörper, Momente 147 Schwerpunkt eines Flächenstücks 148 Rotationskörper, erzeugende Fläche mit Schwerpunkt,Volumen, Mantelfläche 149 Aquitoriale und polare Flächenträgheitsmomente eines hyperbolisch begrenzten Flächenstücks, Darstellung der Rotationskörper 150 Flächenträgheitsmoment von Dreiecken 151 Schwerpunkt eines Rotationskörpers

5 Reihenentwicklungen 152 Approximation einer 3. Wurzel mit der binomischen Reihe 153 Reihenentwicklung für Exponential- und Logarithmusfunktionen, Konvergenzradius Gliedweise Integration von Potenzreihen zur Näherungsberechnung des Integrals, Vergleich mit numerischer Integration Näherung für Jt f sin x, Je dx Gauß'sches Fehlerintegral Integralsinus Aufgaben zu Funktionen in 2 Veränderlichen Geometrieelemente gekrümmter Flächen 158 Funktion von 2 Veränderlichen, gekrümmte Fläche im Raum, Normalen- und Tangentialvektoren, Tangentialebene, Höhenlinie, 3D Graphik und Contour-Plots 159 Schnittkurve einer Fläche mit der Tangentialebene, Höhenlinien Extremwerte 160 Extremwerte mit Nebenbedingungen bei Funktionen in 2 und 3 Veränderlichen Maxima-Minima Aufgaben 161 Maximales Volumen bei gegebener Oberfläche 162 Maximierung eines Produkts bei beschränkten Faktoren 163 Maximalfehler bei experimenteller Bestimmung des Elastizitätsmoduls 164 Extrema einer Funktion in 2 Veränderlichen Mehrfachintegrale 165 Mehrfache Integrale über krummlinig begrenzten Gebieten

6 XI Aufgaben zu Elementen der Differentialgeometrie Bogenlänge und Graph 166 Kurvenlänge für Kurven in expliziter und Parameterdarstellung Geometrie- und Bahnelemente gekrümmter Kurven, Kurvendiskussion 167 Bahngleichung, Geschwindigkeit, Extrema der Bahn und Geschwindigkeit eines bewegten Teilchens 168 Astroide, Kurvendiskussion, Bogenlänge, eingeschlossene Fläche 169 Kurve in Parameter- und expliziter Darstellung, Koordinatentransformation, Berechnung von y\ y", Krümmungskreis und Evolute 170 Logarithmische Spirale, Parameteranpassung, Kurvenlänge, überstrichene Fläche 171 Zykloide, Rotation um die x-achse,mantelfläche und Volumen des Rotationskörpers Aufgaben zu Differentialgleichungen Herleiten von Differentialgleichungen, geometrische und analytische Lösung 172 Separierbare Differentialgleichung, Richtungsfeld, allgemeines Integral, Anfangswertproblem 173 Beschreibung der Bahn eines bewegten Körpers durch eine Differentialgleichung Differentialgleichungen 1. Ordnung, Separation der Variablen 174 Berechnung des allgemeines Integrals von Differentialgleichungen 1. Ordnung durch Separation der Variablen oder mithilfe des totalen Integrals einer Funktion in 2 Veränderlichen 175 Lösung von Anfangswertproblemen 1. Ordnung durch Separation der Variablen 176 Wachstumsdifferentialgleichung und Alter einer Population bei gegebener Wachstumsrate, Wachstumsentwicklung in ansteigenden Zeiträumen 177 Transformation einer Differentialgleichung 2. Ordnung in eine DG 1. Ordnung und Integration durch Separation der Variablen 178 Rotations einer hyperbolischen Parameterkurve um die Abszisse und abgeleitetes Differentialgleichungssystem

7 XII 179 Transformation von Differentialgleichungen 1. Ordnung in separierbare DG's Homogene und inhomogene Differentialgleichungen 1. Ordnung 180 Anfangswertproblem, Methode der Variation der Konstanten 181 Differentialgleichung eines Schwingungproblems Homogene lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung 182 Allgemeines Integral einer homogenen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten und Lösung eines Anfangswertproblems 183 Allgemeines Integral von Differentialgleichungen 2. Ordnung mit 2, 1, oder 0 reellen Lösungendes charakteristischen Polynoms Inhomogene lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit exponentieiier und trigonometrischer Störfunktion 184 Anfangswertproblem einer inhomogenen Differentialgleichung 2. Ordnung, Berechnung einer partikulären Lösung nach der Methode der Variation der Konstanten 185 Allgemeines Integral und Lösungskurve von Anfangswertproblemen für inhomogene Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten und exponentieiier Störfunktion 186 Gleichartiges Problem mit einer trigonometrischen Störfunktion Zeitlicher Verlauf von Losungsprozessen in Flüssigkeiten, von Schwingungsproblemen, Untersuchung von Parametereinflüssen 187 Differentialgleichung für den zeitlichen Ablauf der Lösung einer chemischen Substanz in einer Flüssigkeit 188 Homogene Differentialgleichungen 2. Ordnung, drei allgemeine Integrale und ein Anfangswertproblem 189 Differentialgleichung der Schwingung eines Pendels, allgemeines Integral, Anpassung der Konstanten an die Ausgangssituation, Schwingungsdauer 190 Inhomogene Differentialgleichungen mit exponentiellem und trigonometrischem Störglied, parameterabhängiges Anfangswertproblem, Lösungsdarstellung für verschiedene Parameterwerte