Mathematik für Ahnungslose

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1 Mathematik für Ahnungslose Eine Einstiegshilfe für Studierende Von Dipl.-lng. Yära Detert, Rodenberg S. Hirzel Verlag Stuttgart

2 VII Inhaltsverzeichnis Vorwort Verzeichnis mathematischer Symbole V XII 1 Grundlagen Maßeinheiten und ihre Umwandlungen Bruchzahlen Dreisatzrechnung Binomische Formeln Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck (Pythagoras) Der Satz des Pythagoras Der Kathetensatz Der Höhensatz Trigonometrie Sinus, Kosinus, Tangens für den Bereich 0 <a< Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck Berechnungen an beliebigen Dreiecken Der Sinussatz Der Kosinussatz Flächenberechnung an Vielecken Quadrat (a c; b d; a _L b) Rechteck (a c; b d; a 1 b) Parallelogramm (a c; b d) Allgemeines Viereck Trapez (a c) Dreiecke Allgemeines Dreieck Rechtwinkliges Dreieck (7 = 90 ) Kreis (r - Radius) Kreisring (^ > r 2) Kreisbogen-/ausschnitt (Sektor) Regelmäßiges n-eck Berechnungen an Körpern Würfel Quader Prisma Kreiszylinder Pyramide Pyramidenstumpf Kegel Kegelstumpf Kugel Regelmäßige Polyeder Tetraeder (4 gleichseitige Dreiecke) 27

3 VIII Inhaltsverzeichnis Oktaeder (8 gleichseitige Dreiecke) Ikosaeder (20 gleichseitige Dreiecke) Dodekaeder (12 regelmäßige Fünfecke) Potenzen/Wurzeln Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Potenzen mit rationalen Exponenten Logarithmen 30 2 Analysis Funktionen Definition von Funktionen Lineare Funktionen Beispiele zum Lösen linearer Gleichungen Quadratische Funktionen Eigenschaften der quadratischen Funktion y = x 2 ; xe IR (Normalparabel) Eigenschaften der quadratischen Funktion mity = ax 2 ; xe IR Eigenschaften der quadratischen Funktion mity = x 2 + c; xelr Eigenschaften der quadratischen Funktion mity = x 2 + 6x + c; xe IR Lösen von gemischtquadratischen Gleichungen der Form x 2 + bx + c = Potenzfunktionen - Funktionen höherer Ordnung Eigenschaften der Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten Eigenschaften der Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten Eigenschaften der Wurzelfunktionen mity = xn = \/x(xe IR+) Lösen von Gleichungen höherer Ordnung Exponential- und Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen Eigenschaften der Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Eigenschaften der Logarithmusfunktion Differenzialrechnung Grenzwerte Grenzwerte einer Funktion für x oo Grenzwerte einer Funktion fürx >a Stetigkeit Differenzierbarkeit und Ableitung Ableitungsregeln Bausteine einer Kurvendiskussion Definitionsbereich/Wertebereich einer Funktion - Definitionslücken Definitionsbereich/Wertebereich Definitionslücken Symmetrieeigenschaften einer Funktion Asymptoten - Näherungskurven Vertikale Asymptoten Horizontale und schiefe Asymptoten, Näherungskurven Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen 71

4 Inhaltsverzeichnis IX Schnittpunkt mit der y-achse Schnittpunkte mitderx-achse Ableitungen Monotonie Extrempunkte Notwendige Bedingung für Extrempunkte Nachweis der hinreichenden Bedingung für einen Hochpunkt Nachweis der hinreichenden Bedingung für einen Tiefpunkt Beispiel zur Bestimmung von relativen Extrempunkten Wendepunkte Notwendige Bedingung für Wendepunkte Hinreichende Bedingung für Wendepunkte Beispiel zur Bestimmung von Wendepunkten Koeffizientenbestimmung Kurvendiskussion Ganzrationale Funktionen Gebrochenrationale Funktionen Exponentialfunktionen Trigonometrische Funktionen Bestimmung von Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften (Koeffizientenbestimmung) Extremwertprobleme Grundlagen Extremwertprobleme I Extremwertprobleme II Differenzialgleichungen Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Integralrechnung Flächeninhaltsfunktion Stammfunktion Integralfunktion - Flächenberechnung Flächeninhalt zwischen zwei Kurven Partielle Integration - Produktintegration Integration durch Substitution Uneigentliche Integrale Volumen eines Drehkörpers Komplexe Zahlen Die Zahlenebene Darstellung in kartesischen Koordinaten Darstellung in Polarkoordinaten Die EuleKsche Formel Betrag, Abstand, Einheitskreis Konjugierte komplexe Zahl Multiplikation und Division komplexer Zahlen, Potenzen 148

5 Inhaltsverzeichnis 3 Lineare Algebra/Analytische Geometrie Vektoren Vektoren im Raum Addition und Subtraktion von Vektoren Vervielfachen von Vektoren Mittelpunkt einer Strecke Lineare Abhängigkeit von Vektoren Betrag eines Vektors Skalarprodukt von Vektoren Das Skalarprodukt Rechenregeln für das Skalarprodukt Winkel zwischen zwei Vektoren Orthogonale und parallele Vektoren Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Das Einsetzungsverfahren Das Gleichsetzungsverfahren Das Additionsverfahren Gleichungssysteme mit drei und mehr Variablen - Gauß-Algorithmus Lineare Gleichungssysteme mit genau einer Lösung Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung oder mit unendlich vielen Lösungen Matrizen Addition von Matrizen Vervielfachen von Matrizen Multiplikation von Matrizen Determinanten Determinante einer 2x2-Matrix Determinante einer 3x3-Matrix Berechnung der Determinante einer 3x3-Matrix über zweireihige Unterdeterminanten Berechnung der Determinanten einer 3x3-Matrix nach der Regel von Sarrus Lösen von linearen Gleichungssystemen mithilfe von Determinanten - Cramer'sche Regel Analytische Geometrie mit Geraden Verschiedene Typen von Geradengleichungen Parameterform einer Geraden Zwei-Punkte-Form einer Geraden Lagebeziehungen von Punkten und Geraden Abstand eines Punktes von einer Geraden Lagebeziehungen von Geraden Abstand windschiefer Geraden zueinander Analytische Geometrie mit Ebenen Verschiedene Typen von Ebenengleichungen Parameterform einer Ebene Drei-Punkteform einer Ebene 195

6 Inhaltsverzeichnis XI Die Koordinatengleichung Achsenabschnittsform einer Ebene Punkt-Normalenform einer Ebene Hesse-Normalenform einer Ebene Abstand eines Punktes von einer Ebene Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Lagebeziehungen von zwei Ebenen Analytische Geometrie mit Kreisen und Kugeln Gleichungen von Kreisen und Kugeln Gleichungen von Kreisen Gleichungen von Kugeln Lagebeziehungen von Geraden und Kreisen Schnittpunkte zweier Kreise Lagebeziehungen von Geraden und Kugeln Lagebeziehungen von Ebenen und Kugeln 221 Stichwortverzeichnis 225

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