Stoffübersicht Matur 4LM 2003 (mit Fragen)

Transkript

1 Stoffübersicht Matur 4LM 2003 (mit Fragen) Grundlagen Bruchrechnen (Doppelbrüche) Was ist ein Doppelbruch? Wie macht man aus einem Doppelbruch einen einfachen Bruch? Wie macht man einen Nenner "wurzelfrei", wenn er aus einer Summe (Zahl + Wurzel) besteht? Binomische Formeln Wie lauten die drei binomischen Formeln? Was ist daran nützlich, wenn die Diskriminante einer quadratischen Gleichung eine erste oder zweite binomische Formel ist? Faktorisieren Was ist das Ziel beim "Faktorisieren"? Bei welchen Problemen ist "Faktorisieren" ein nützlicher Weg? Wie faktorisiert man Trinome? Rechnen mit Wurzeln Wie ist die Wurzel einer Zahl definiert? Gibt es den Ausdruck "Minus Wurzel aus 34"? Formelblatt Das Formelblatt ist wichtige Voraussetzung für alle Aufgaben! Gleichungen aller Art lösen Gleichungssysteme Mit welchem Verfahren lassen sich grundsätzlich alle (lösbaren) Gleichungssysteme lösen? Wie viele Lösungen kann ein lineares 2x2 (3x3) Gleichungssystem haben? Welches sind die geometrischen Entsprechungen eines linearen 2x2 (3x3) Gleichungssystemes? Wurzelgleichungen Wie bringt man die Wurzeln bei einer Wurzelgleichung weg? Wieso muss man die berechneten Lösungen immer kontrollieren? Quadrierte Gleichungen Welche Art Gleichung nennt man "Quadrierte Gleichung"? Wie löst man "Quadrierte Gleichungen" auf (ohne dabei eine Lösung zu verlieren...)? Quadratische Gleichungen Von welchem Ausdruck hängt die Lösbarkeit einer quadratischen Gleichung ab und wie ist diese Abhängigkeit genau? Wie lautet die Lösungsformel der allgemeinen quadratischen Gleichung? Was versteht man unter einer "Biquadratischen Gleichung" und wie kann man diese lösen? Erich Peier Seite 1/6 März 2003

2 Potenzgleichungen Wie löst man Potenzgleichungen grundsätzlich nach x auf? Exponentialgleichungen Wie löst man Exponentialgleichungen grundsätzlich nach x auf? Bei welchen Fragestellungen entstehen Exponentialgleichungen, die nach dem Exponenten aufgelöst werden müssen? Trigonometrie Definition der Winkelfunktionen Wie sind Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels definiert? (Für Winkel zwischen 0 und 360 ) Wie findet man die Winkel, wenn die Werte der Winkelfunktionen gegeben sind. (z.b. sin x = ; Finde alle x zwischen 0 und 720 Grad) Sinus- und Cosinussatz Wann ist beim Sinussatz Vorsicht geboten? Wie hängen Satz von Pythagoras und Cosinussatz zusammen? Wieso liefert der Cosinussatz bei Dreiecksberechnungen immer eindeutige Winkel, während das beim Sinussatz nicht der Fall ist? Wieso braucht man Sinussatz und Cosinussatz im rechtwinkligen Dreieck nicht? Analytische Geometrie Skalarprodukt zweier Vektoren Wie lautet die Definition des Skalarproduktes? Bei welchen Problemen wird zur Lösung mit Vorteil das Skalarprodukt verwendet? Warum kann ein Skalarprodukt negativ sein? Wie findet man einen zu einem gegebenen Vektor senkrecht stehenden Vektor? Vektordarstellung von Geraden im Raum Erkläre die Begriffe Ortsvektor und Richtungsvektor bei der Geradendarstellung im Raum. Welchen der beiden Vektoren kann man in der Geradengleichung durch einen kollinearen Vektor ersetzen? Wieso? Was bewirkt der Parameter t in der Geradengleichung? Wie kann man die gegenseitige Lage von Geraden bestimmen? Koordinatendarstellung von Geraden (s. lineare Funktionen) Vektordarstellung von Ebenen Wieso braucht es bei der Ebenendarstellung zwei Richtungsvektoren? Welche Bedingung müssen die beiden Richtungsvektoren erfüllen, damit tatsächlich eine Ebene dargestellt wird? Was bewirken die Parameter u und v in der Ebenengleichung? Koordinatendarstellung von Ebenen Wieso liegt der Ursprung nicht auf der Ebene Ax+By+Cz+1=0? Wie schneidet man eine Gerade mit einer Ebene? Wie findet man die Koordinatengleichung einer Ebene, wenn drei Punkte der Ebene gegeben sind? Erich Peier Seite 2/6 März 2003

3 Funktionen Lineare Funktionen Wie lautet die allgemeine Gleichung der linearen Funktion? Welche Bedeutung haben m und b? Wie ist die Steigung einer Geraden definiert? Welchen Zusammenhang haben Steigung und Steigungswinkel einer Geraden? Wie steil ist "100%"? Welche Beziehung besteht zwischen den Steigungen zweier zueinander senkrecht stehender Geraden? Wie viele Schnittpunkte können zwei Geraden haben? Wie bestimmt man den Schnittwinkel zweier Geraden? Quadratische Funktionen Wie lautet die allgemeine Form einer quadratischen Funktion? Wie hängt das Aussehen einer Parabel von a (von b, von c) ab? Hat die Parabel eine Symmetrie? Wo liegt der Scheitelpunkt einer Parabel? Wie heisst die Scheitelpunktsform einer quadratischen Funktion und wieso heisst sie denn so? Wie bestimmt man die Schnittpunkte einer Parabel mit den Koordinatenachsen? Wie berechnet man die Tangentengleichung einer Tangenten, die durch einen Parabelpunkt geht? Potenzfunktionen Wie sehen die Graphen von Potenzfunktionen y=x^z in Abhängigkeit des Exponenten z aus? (z ist eine ganze Zahl) Wo sind die Asymptoten? Hat es Pole? Wie sehen die Graphen der Potenzfunktionen im Ursprung aus? (in Abhängigkeit von z...) Exponentialfunktionen Worin unterscheidet sich lineares von exponentiellem Wachstum? Wie lautet die allgemeine Gleichung einer Exponentialfunktion? Erkläre die verschiedenen Teile der Gleichung der Exponentialfunktion. Erkläre die Begriffe q und r und ihren Zusammenhang bei exponentiellem Wachstum. Wie sieht der Graph bei exponentiellem Wachstum aus? (Vergleiche mit linearem Wachstum) Was ändert an der Funktionsgleichung, wenn exponentielle Abnahme (statt Wachstum) vorliegt? Logarithmusfunktionen Wo wird der Logarithmus vor allem eingesetzt? Was versteht man unter dem Logarithmus von b zur Basis a? Was ist dann der Zehnerlogarithmus bzw. der natürliche Logarithmus? Wie hängen Zehnerlogarithmus einer Zahl und die Anzahl Stellen dieser Zahl zusammen? Wie lauten die drei Logarithmusgesetze? Wie sieht der Graph einer Logarithmusfunktion aus? Hat er eine horizontale Asymptote? Ganzrationale Funktionen Wie viele Nullstellen (Extrema/Wendepunkte) hat eine ganzrationale Funktion n-ten Grades höchstens? Wann liegt ein Maximum (Minimum) vor? Erich Peier Seite 3/6 März 2003

4 Wann liegt ein Wendepunkt vor? Was passiert in einem Wendepunkt? Wann liegt ein Sattelpunkt vor? Was gehört alles zu einer "Kurvendiskussion"? Was versteht man unter der "Normalen" zu einer Kurve? Wie hängen Kurvensteigung und Normalensteigung zusammen? Welcher Teil der Funktionsgleichung ist für das Verhalten für grosse, welcher für kleine x-werte zuständig? Wo schneidet eine ganzrationale Funktion die y-achse? Gebrochenrationale Funktionen Wieso bestimmt man bei gebrochenrationalen Funktionen die Definitionsmenge, während dies bei ganzrationalen Funktionen nicht getan wird? Wann liegt an einer Stelle ein Pol, wann eine Lücke vor? Wer wechselt das Vorzeichen bei einem "Pol mit Vorzeichenwechsel"? Was sagen Asymptotengleichungen aus? Wie bestimmt man die Gleichung der Asymptoten? Welche Fälle müssen unterschieden werden? Folgen und Reihen Allgemeine Folgen und Reihen Worin unterscheiden sich rekursive und explizite Darstellung von Folgen? Wie sieht die Fibonacci-Folge aus? Worin unterscheiden sich Folgen und Reihen? Arithmetische Folgen und Reihen Was kennzeichnet eine arithmetische Folge? Was hat das "arithmetische Mittel zweier Zahlen" mit einer arithmetischen Folge zu tun? Geometrische Folgen und Reihen Was kennzeichnet eine geometrische Folge? Was hat das "geometrische Mittel zweier Zahlen" mit einer geometrischen Folge zu tun? Grenzwertüberlegungen bei Folgen und Reihen Was ist der Grenzwert einer unendlichen Folge, bzw. einer unendlichen Reihe? Wieso haben unendlich arithmetische Folgen und Reihen keinen Grenzwert? In welchen Fällen haben geometrische Folgen einen Grenzwert? Was ist die harmonische Reihe und wie steht es mit der Konvergenz dieser Reihe? Unendlich geometrische Reihen In welchen Fällen haben unendlich geometrische Reihen einen Grenzwert (wieso denn genau?) und wie lautet die Formel zur Berechnung dieses Grenzwertes? Welche Art von Problemen führen auf unendliche, geometrische Reihen? Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Multiplikationssatz, Permutationen, Variationen und Kombinationen Erkläre, wieso es bei einem Wurf mit 2 verschiedenfarbigen Würfeln 36 und nicht 12 = 6+6 Wurfbilder gibt? Worin unterscheiden sich Variationen und Kombinationen? Was versteht man unter einem Binomialkoeffizient und was hat er mit Kombinatorik zu tun? Erich Peier Seite 4/6 März 2003

5 Binomischer Lehrsatz Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem binomischen Lehrsatz und dem Pascaldreieck? Aufgaben zur Kombinatorik Berechnung von Wahrscheinlichkeiten ("günstig durch möglich") Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsprobleme, die auf unendlich geometrische Reihen führen Differenzialrechnung Differenzenquotient und Differenzialquotient Welches ist die geometrische Bedeutung des Differenzialquotienten? Worin unterscheiden sich Differenzen- und Differenzialquotient? Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an? Bei welchen Problemen wird die erste Ableitung gleich Null gesetzt? Wieso wird sie gleich Null gesetzt? Die Ableitungen von f(x) = ax q, f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = e x und f(x) = ln x Wie lauten die Ableitungen der obigen Funktionen? Wie lauten die zweiten Ableitungen der Funktionen? Wie lauten Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel? Wann werden diese Regel gebraucht? Schnittwinkel zwischen zwei beliebigen Funktionen Was versteht man unter dem Schnittwinkel zweier Funktionen? Worin unterscheidet sich der Schnittwinkel zweier Geraden vom Schnittwinkel zweier beliebiger Funktionen? Kurvendiskussion Welches sind die markanten Punkte einer beliebigen Kurvendiskussion? Was ist das eigentliche Ziel jeder Kurvendiskussion? Wieso sind gebrochenrationale Funktionen schwieriger zu diskutieren als ganzrationale Funktionen? Wieso kann man bei der zweiten Ableitung nachschauen, ob ein Extremum ein Minimum oder ein Maximum ist? Extremalprobleme Wieso braucht man beim Lösen von Extremalproblemen (meistens) eine "Nebenbedingung"? Woher kommt der Name "Extremalprobleme"? Erich Peier Seite 5/6 März 2003

6 Integralrechnung Stammfunktion Warum haben die Stammfunktionen jeweils ein additive Konstante? Schreibweise des Integrals Wie hängen Summenzeichen und Integralzeichen zusammen? Was bedeutet das dx im Integral? Flächenberechnungen mit Hilfe des Integrals Was bedeutet Fläche unter der Kurve und wie berechnet man diese? Wieso kann eine Flächenberechnung Null ergeben? Wie berechnet man die Schnittfläche zwischen zwei Kurven? Rotationsintegral Was hat das Volumen eines Zylinders mit dem Volumen einer um die x-achse gedrehten Kurve zu tun? Woher kommt das PI in der Formel für das Rotationsvolumen? Uneigentliches Integral Was bezeichnet man als uneigentliches Integral und wie geht man bei der Berechnung vor? Gib ein Beispiel einer nach rechts unbegrenzten Fläche, die endlich ist! Erich Peier Seite 6/6 März 2003