IX Mit Brüchen muss man umgehen können - Gebrochenrationale Funktionen

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1 Inhaltsverzeichnis Vorworte xiii I Einführung Ein paar Beispiele Interpretation von Schaubildern Mathematische Beschreibung von Abhängigkeiten Der Begriff der F unktion Einteilung des Zahlenstrahls - In terv alle II Lineare Funktionen Die Streckenlänge im kartesischen Koordinatensystem Der Mittelpunkt einer Strecke im kartesischen Koordinatensystem Die Hauptform der Geradengleichung Die gegenseitige Lage von G e ra d e n Über Schnittwinkel und orthogonale Geraden Eine neue Möglichkeit, die Steigung zu berechnen Zueinander orthogonale Geraden Der Schnittwinkel zweier G eraden III Quadratische Funktionen Die Binomischen F o rm e ln Die 1. Binomische F o rm e l Die 2. Binomische F o rm e l Die 3. Binomische F o rm e l Der Weg zurück - Die Binomischen Formeln im Rückw ärtsgang III.2 Der Umgang mit quadratischen Funktionen Die Mitternachtsformel (MNF) Von der Scheitelform zur Normalform und wieder zurück - There and back again Scheitelermittlung durch Absenken Die Herleitung der M itternachtsform el Der Umgang mit Parabelscharen - Grundlagen Parameterfunktionen Zusammenfassung des Unterkapitels über Parameterfunktionen... 65

2 IV Grundlagen Potenzfunktionen 67 IV. 1 Potenzfunktionen - Definition und ein paar Eigenschaften IV. 1.1 Parabeln n-ter O rd n u n g IV. 1.2 Hyperbeln n-ter Ordnung IV.2 Die Potenzgesetze IV.2.1 Warum Hochzahlen praktisch sind IV.2.2 Das nullte Potenzgesetz und noch eine D efinition IV.2.3 Das erste Potenzgesetz IV.2.4 Das zweite Potenzgesetz IV.2.5 Das dritte Potenzgesetz IV.2.6 Das vierte Potenzgesetz IV.2.7 Das fünfte Potenzgesetz IV.2.8 Rationale Hochzahlen IV.2.9 Rechnen ohne Klammern - Vorfahrtsregeln beim R e c h n e n IV.3 Rechnen mit Wurzeln - Einfache Wurzelgleichungen IV. 4 Die Logarithmengesetze V Ganzrationale Funktionen - Eine Einführung 91 V. l Definition und Grenzverhalten V.2 Zur Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen V.3 Noch mehr Symmetrie - Symmetrie zu beliebigen Achsen und Punkten. 96 V.4 Ganzrationale Funktionen und ihre Nullstellen V.4.1 Warum die Polynomdivision funktioniert V.4.2 Das Horner-Schema V.4.3 Nullstellen und Substitution bei ganzrationalen Funktionen V.5 Das Baukastenprinzip - Zusammengesetzte Funktionen V.5.1 Addition und Subtraktion von Funktionen V.5.2 Multiplikation und Division von Funktionen V.6 Den Überblick behalten - Gebietseinteilungen vornehmen V.7 Beträge von Zahlen/Funktionen und Betragsgleichungen V.7.1 Vom Betrag einer Zahl und den dazugehörigen Rechenregeln V.7.2 Der Betrag einer Funktion oder Ebbe in den Quadranten Nummer III und I V V.7.3 Die abschnittsweise definierte Funktion in Gleichungen - Jetzt wird s kritisch! 121 V. 7.4 Betragsgleichungen VI Die vollständige Induktion und (ihre) Folgen 131 VI. 1 G rundlagen VI. 1.1 Ein paar Spielregeln zu Beginn VI. 1.2 Darstellungsformen von Folgen VI. 1.3 Die Definition der M onotonie VI.1.4 Der Nachweis der Monotonie VI.1.5 B eschränktheit

3 Inhaltsverzeichnis ix VI.2 Der Grenzwert einer F o lg e VI.2.1 Die Definition des Grenzwertes VI.2.2 Zwei Sätze und ein paar Begriffe VI.3 Die Grenzwertsätze VI.3.1 Die 3 Grenzwertsätze VI.3.2 Ein Beweis zu den Grenzwertsätzen VI.3.3 Berechnung der Grenzwerte bei rekursiven F olgen VI.4 Arithmetische und geometrische Folgen VI.4.1 Arithmetische Folgen I - Ein paar Grundlagen VI.4.2 Geometrische Folgen I - Ein paar G rundlagen VI.5 Die vollständige Induktion - Ein mächtiges Beweisverfahren VI.5.1 Arithmetische Folgen II - Die Summe der Folgenglieder VI.5.2 Geometrische Folgen II - Die Summe der Folgenglieder VI.5.3 Vollständige Induktion in Beispielen VI.6 Ein Test alles Gelernten - Die Fibonacci-Zahlenfolge VI.6.1 Einführung und historischer A b ris s VI.6.2 Die Fibonacci-Zahlenfolge - G rundlagen VI.6.3 Die Kaninchen-Aufgabe VI.6.4 Der Goldene S c h n itt VI. 6.5 Die Herleitung der expliziten F o rm e l VII Einführung in die Differentialrechnung 169 VII. 1 Vom Differenzen- zum Differentialquotienten VII.2 Die Ableitung einer Potenzfunktion und die Tangentengleichung VII.2.1 Der Umgang mit Berührpunkten VII.3 Die Herleitungen der Ableitungsregeln VII.3.1 Die Summenregel VII.3.2 Die Faktorregel VII.3.3 Die Produktregel VII.3.4 Die Quotientenregel VII.3.5 Die K ettenregel VII.4 Wichtige Punkte eines Funktionsgraphen VII.4.1 Extrempunkte VII.4.2 W endepunkte VII.4.3 Neu und alt - Ableitung trifft Param eter VII.5 Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Monotonie und die W ertetabelle VII.5.1 Stetigkeit - Ohne Sprung ans Z ie l VII.5.2 Differenzierbarkeit - Knickfrei durch s Leben VII.5.3 Monotonie - Wo geht s denn h in? VII.5.4 Die Wertetabelle - Eine oft ignorierte Zeichenhilfe VII.6 Die Kurvendiskussion - Gesamtübersicht mit Beispiel

4 VIII Über das Lösen linearer Gleichungssysteme 229 VIII.1 LGS mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen VIII.1.1 Das Gleichsetzungsverfahren VIII.1.2 Das Einsetzungsverfahren VIII.1.3 Das Additionsverfahren VIII. 1.4 Der Umgang mit Parametern bei einem L G S VIII.2 LGS mit 3 und mehr U nbekannten VIII.2.1 Das Gaußsche Eliminationsverfahren VIII.2.2 Gibt es Lösungen - und wenn ja wie viele? VIII. 3 LGS und Funktionen - Bestimmung ganzrationaler Funktionen IX Mit Brüchen muss man umgehen können - Gebrochenrationale Funktionen 253 IX. 1 Grundlagen - Umgang mit Bruchgleichungen und B rüchen IX.2 Definition der gebrochenrationalen Funktionen IX.3 Ein paar Besonderheiten - Definitionslücken und A sym ptoten IX. 4 Ableiten gebrochenrationaler Funktionen X Trigonometrische Funktionen 271 X. l Grundlagen und Ableitungsregeln X.1.1 Definition und B eispiele X.l.2 Vom Einheitskreis zur F unktion X.l.3 Das B ogenm aß X.l.4 Andere W in k e l X.1.5 Der Sinussatz X.l.6 Der Kosinussatz X.1.7 Weitere Betrachtungen zum Einheitskreis X.1.8 Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen - Ein wenig Nostalgie bei der Herleitung X.2 Übersicht über die Eigenschaften der trigonometrischen Grundfunktionen 292 X. 3 Die Modifizierung trigonometrischer Funktionen (Sinus und Kosinus) XI Wachsen ist schön - Exponentialfunktionen 305 XI. l G rundlagen XL 2 Ableiten von Exponentialfunktionen XI.3 W achstum XL3.1 Lineares W achstum XI.3.2 Exponentielles/Natürliches Wachstum XI.3.3 Beschränktes W achstum XI.3.4 Logistisches W achstum XL4 Die Grenzen erfahren - Grenzwertuntersuchung mit L'Hospital

5 Inhaltsverzeichnis xi XII Die Ableitung der Umkehrfunktion 325 XII. 1 Was ist eine Umkehrfunktion? - Grundlagen und Begriffe XII.2 Ableiten von Umkehrfunktionen XII.2.1 Implizites Differenzieren XII. 2.2 Ableiten von Umkehrfunktionen mit der Kettenregel XIII Integralrechnung 335 XIII. 1 Schritt für Schritt zum Ziel - Ober- und Untersumme XIII. 1.1 Ober- und Untersumme XIII.2 Was haben Stammfunktionen und Integralfunktionen gemeinsam? XIII.3 Übersicht zu wichtigen Stammfunktionen XIII.3.1 Aufleiten mittels der linearen S ubstitution XIII.3.2 Etwas Interessantes - Die Produktintegration XIII.3.3 Ein praktischer Satz - Über das Aufleiten von B rüchen XIII.4 Flächenberechnung - Worauf man achten s o l l t e XIII. 5 Einmal rundherum - Berechnung von Rotationsvolum en XIV Beweise mit Vektoren führen 361 XIV. 1 Der Vektor in der analytischen Geometrie XIV.2 Linear abhängig und unabhängig XIV.3 Das Prinzip des geschlossenen Vektorzugs XIV.3.1 Ein Beispiel: Teilverhältnis der Seitenhalbierenden im D re ie c k XIV.4 Ein erstes Produkt für Vektoren: Das Skalarprodukt XIV.4.1 Von Vektoren und ihren B eträgen XIV.4.2 Das Skalarprodukt: Die Definition und ihre K onsequenzen XIV.4.3 Was man vom Skalarprodukt zum Beweisen b e n ö tig t XIV.4.4 Ein Beispiel: Der Satz des T h a ie s XIV. 5 Eine Aufgabe zur Vertiefung XV Rechnen im Raum - Analytische Geometrie 381 XV. 1 Noch ein Produkt für Vektoren: Das K reuzprodukt XV.2 Eine Runde Teamwork - Das Spatprodukt XV.3 Geraden und V ektoren XV.4 Ebenen XV.4.1 Die Koordinatenform XV.4.2 Die N orm alenform XV.4.3 Umwandeln von E b e n e n XV. 5 Lagebeziehungen XV.5.1 Gegenseitige Lagen von Geraden XV.5.2 Gegenseitige Lagen von E b e n e n XV.5.3 Gegenseitige Lagen von Ebene und G erade

6 XV.6 A b s tä n d e XV.6.1 Der Abstand zweier P u n k te XV.6.2 Die Hessesche Normalenform - Abstandsbestimmungen bei Ebenen XV.6.3 Abstände, die uns noch fehlen XV. 7 Ein kurzes Wort über Schnittwinkel XV. 8 Ein kugelrunder Abschluss XVI Wenn s nicht direkt geht - Ein wenig Numerik 421 XVI. 1 Für Nullstellen - Das Newton-Verfahren XVI. 1.1 Wann Newton nicht funktioniert XVI. 1.2 Übersicht mit B eisp ie l XVI.2 Für Flächen - Die Keplersche Fassregel XVI.2.1 Sehnentrapeze XVI.2.2 Tangententrapeze XVI. 3 Wo Kepler aufhört, da fängt Simpson an - Die Simpson-Regel XVII Wem's reell nicht genug ist - Komplexe Zahlen 431 XVII. 1 Von natürlich bis reell - Eine kurze Geschichte der Z a h le n XVII.2 Komplexe Zahlen - Definition und Grundlagen XVII.3 Rechnen mit komplexen Zahlen I XVII.4 Polarkoordinaten und komplexe Z ahlen XVII.5 Euler und eine der schönsten Gleichungen der M athem atik XVII.6 Rechnen mit komplexen Zahlen I I XVII.7 Potenzen berechnen und Wurzelziehen bei komplexen Zahlen XVII.8 Bastelstunde: A dditionstheorem e Anhang A Die Strahlensätze 459 A.l Einführende B etrachtungen A.2 Der 1. Strahlensatz A.3 Der 2. Strahlensatz A. 4 Kurzversion des 1. Strahlensatzes B Ungleich geht die Welt zugrunde - Rechnen mit Ungleichungen 465 B. l Ganz elementare R e g e ln B. 2 Beispiele statt allgemeiner Hudelei C Das Pascalsche Dreieck 469 C. l Worum es g e h t C.2 Zum Aufstellen des Dreiecks C.3 Warum das Schema funktioniert Weiterführende Literatur 475 Stichwortverzeichnis 477