Mathematik für Ingenieure mit Maple

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1 Thomas Westermann Mathematik für Ingenieure mit Maple Band 1: Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen, Vektor- und Matrizenrechnung, Komplexe Zahlen, Funktionenreihen 2. Auflage Mit 300 Abbildungen, 262 Aufgaben und Lösungen Springer

2 Inhaltsverzeichnis Kapitel I: Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme 1 1. Mengen 1 2. Natürliche Zahlen Peanosche Axiome Vollständige Induktion Geometrische Summenformel Permutationen Der binomische Lehrsatz 9 3. Mathematische Beweismethoden Reelle Zahlen Zahlenmengen und Operationen Die Rechengesetze für reelle Zahlen Potenzrechnen Logarithmen Anordnung der reellen Zahlen Gleichungen und Ungleichungen mit MAPLE Gleichungen Ungleichungen Lineare Gleichungssysteme Ein Einführungsbeispiel Begriffsbildung und Notation Das Lösen von linearen Gleichungssystemen Lösen von linearen Gleichungssystemen mit MAPLE 33 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 36 Aufgaben zu Kapitel I 38 Kapitel II: Vektorrechnung Vektoren im R Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Addition zweier Vektoren Die Länge (der Betrag) eines Vektors Das Skalarprodukt zweier Vektoren Geometrische Anwendung Vektoren im R Rechenregeln für Vektoren Projektion eines Vektors Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren Das Spatprodukt von drei Vektoren Vektorrechnung mit MAPLE Geraden und Ebenen im R Vektorielle Darstellung von Geraden Lage zweier Geraden zueinander 64

3 Inhaltsverzeichnis 4.3 Abstandsberechnung zu Geraden Vektorielle Darstellung von Ebenen Lage zweier Ebenen zueinander Abstandsberechnung zu Ebenen Berechnung des Schnittes einer Geraden mit einer Ebene Punkte, Geraden und Ebenen mit MAPLE Definition der geometrischen Objekte Beziehungen von geometrischen Objekten zueinander Die MAPLE-Prozedur geomet Vektorräume Vektorrechnung im R n Vektorräume Linearkombination und Erzeugnis Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit Basis und Dimension 95 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 99 Aufgaben zu Kapitel II 100 Kapitel III: Matrizen und Determinanten Matrizen Einführung, spezielle Matrizen Rechenoperationen für Matrizen Inverse Matrix Das Matrizenrechnen mit MAPLE Lineare Abbildungen Anwendungsbeispiele Determinanten Einführung Rechenregeln für zweireihige Determinanten n-reihige Determinanten Anwendungen von Determinanten Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen Lineare Gleichungssysteme, Rang Anwendungen 136 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 140 Aufgaben zu Kapitel III 142 Kapitel IV: Elementare Funktionen Grundbegriffe und allgemeine Funktionseigenschaften Grundbegriffe Elementare Funktionen in MAPLE Allgemeine Funktionseigenschaften Polynome Festlegung von Polynomen durch Wertepaare 164

4 L Inhaltsverzeichnis xi 2.2 Koeffizientenvergleich Teilbarkeit durch einen Linearfaktor Nullstellenproblem Interpolationspolynome mit dem Newton-Algorithmus Polynome mit MAPLE Rationale Funktionen Rationale Funktionen Anwendung: Übertragungsfunktion bei LC-Kreisen Rationale Funktionen mit MAPLE Potenz- und Wurzelfunktionen Exponential- und Logarithmusfunktion Exponentialfunktion Logarithmusfunktion Trigonometrische Funktionen Grundbegriffe Sinus- und Kosinusfunktion Tangens- und Kotangensfunktion Arkusfunktionen 199 Zusammenstellung der Vereinfachungsbefehle von MAPLE 205 Aufgaben zu Kapitel IV 206 Kapitel V: Die komplexen Zahlen Darstellung komplexer Zahlen Algebraische Normalform Trigonometrische Normalform Exponentielle Normalform Umformungen der Normalformen Komplexe Zahlen mit MAPLE Komplexe Rechenoperationen Addition Subtraktion Multiplikation Division Potenz Wurzeln Fundamentalsatz der Algebra Komplexe Rechnung mit MAPLE Anwendungen Übertragungsfunktion für RCL-Filterschaltungen Übertragungsfunktion für lineare Ketten Beispiele Dimensionierung von Hoch- und Tiefpässen 254 Aufgaben zu Kapitel V 259

5 XÜ Inhaltsverzeichnis Kapitel VI: Differential- und Integralrechnung Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion Reelle Zahlenfolgen Funktionsgrenzwert Stetigkeit einer Funktion Differentialrechnung Einführung Rechenregeln bei der Differentiation Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik Differential einer Funktion Anwendung der Differentialrechnung in der Mathematik Extremwertaufgaben (Optimierungsprobleme) Sätze der Differentialrechnung Spektrum eines strahlenden schwarzen Körpers Integralrechnung Das Riemann-Integral Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung Grundregeln der Integralrechnung Integrationsmethoden Uneigentliche Integrale Anwendungen der Integralrechnung 360 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 379 Aufgaben zu Kapitel VI 380 Kapitel VII: Funktionenreihen Zahlenreihen Beispiele Konvergenzkriterien Potenzreihen Taylorreihen Taylorreihen mit MAPLE Anwendungen Näherungspolynome einer Funktion Integration durch Potenzreihenentwicklung Komplexwertige Funktionen Komplexe Potenzreihen Die Eulersche Formel Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion Komplexe Hyperbelfunktionen Differentiation und Integration 437 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 440 Aufgaben zu Kapitel VII 441

6 Inhaltsverzeichnis XU1 Kapitel VIII: Numerisches Lösen von Gleichungen Intervallhalbierungs-Methode Pegasus-Verfahren Banachsches Iterationsverfahren Newton-Verfahren Regula falsi Bestimmung von Polynom-Nullstellen 474 Aufgaben zu Kapitel VIII 477 Kapitel IX: Numerische Differentiation und Integration Numerische Differentiation Differenzenformeln für die erste Ableitung Differenzenformeln für die zweite Ableitung Differenzenformeln für die n-te Ableitung Numerische Integration Die Rechteckregel Die Trapezregel Die Simpson-Regel 491 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 493 Aufgaben zu Kapitel IX 494 Anhang A: Lösungen zu den Übungsaufgaben 495 Anhang B: Einführung in MAPLE 507 Anhang C: Die CD-ROM 517 Literaturverzeichnis 521 Index 523 Verzeichnis der MAPLE-Befehle 533

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