2.5.5 Fundamentalsatz der Algebra, Folgen und Reihen, stetige Funktionen im Komplexen

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1 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Reelle Zahlen Die Zahlengerade Rechnen mit reellen Zahlen Ordnung der reellen Zahlen und ihre Vollständigkeit Mengenschreibweise Vollständige Induktion Potenzen, Wurzeln, Absolutbetrag Summenformeln: geometrische, binomische, polynomische Elementare Kombinatorik Fragestellungen der Kombinatorik Permutationen Permutationen mit Identifikationen Variationen ohne Wiederholungen Variationen mit Wiederholungen Kombinationen ohne Wiederholungen Kombinationen mit Wiederholungen Zusammenfassung Funktionen Beispiele Reelle Funktionen einer reellen Variablen Tabellen, graphische Darstellungen, Monotonie Umkehrfunktion, Verkettungen Allgemeiner Abbildungsbegriff Unendliche Folgen reeller Zahlen Definition und Beispiele Nullfolgen Konvergente Folgen Ermittlung von Grenzwerten Häufungspunkte, beschränkte Folgen Konvergenzkriterien Lösen von Gleichungen durch Iteration Unendliche Reihen reeller Zahlen Konvergenz unendlicher Reihen Allgemeine Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen Konvergenzkriterien für absolut konvergente Reihen Stetige Funktionen

2 X Inhaltsverzeichnis Problemstellung: Lösen von Gleichungen Stetigkeit Zwischenwertsatz Regeln für stetige Funktionen Maximum und Minimum stetiger Funktionen Gleichmäßige Stetigkeit Grenzwerte von Funktionen Pole und Grenzwerte im Unendlichen Einseitige Grenzwerte, Unstetigkeiten Elementare Funktionen Polynome Allgemeines Geraden Quadratische Polynome, Parabeln Quadratische Gleichungen Berechnung von Polynomwerten, Horner-Schema Division von Polynomen, Anzahl der Nullstellen Rationale und algebraische Funktionen Gebrochene rationale Funktionen Algebraische Funktionen Kegelschnitte Trigonometrische Funktionen Bogenlänge am Einheitskreis Sinus und Cosinus Tangens und Cotangens Arcus-Funktionen Anwendungen: Entfernungsbestimmung, Schwingungen Exponentialfunktionen, Logarithmus, Hyperbelfunktionen Allgemeine Exponentialfunktionen Wachstumsvorgänge. Die Zahl e Die Exponentialfunktion exp(x) = e x und der natürliche Logarithmus Hyperbel- und Areafunktionen Komplexe Zahlen Einführung Der Körper der komplexen Zahlen Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus im Komplexen Polarkoordinaten, geometrische Deutung der komplexen Multiplikation, Zeigerdiagramm Fundamentalsatz der Algebra, Folgen und Reihen, stetige Funktionen im Komplexen Differentialrechnung einer reellen Variablen Grundlagen der Differentialrechnung Geschwindigkeit

3 Inhaltsverzeichnis XI Differenzierbarkeit, Tangenten Differentiationsregeln für Summen, Produkte und Quotienten reeller Funktionen Kettenregel, Regel für Umkehrfunktionen, implizites Differenzieren Mittelwertsatz der Differentialrechnung Ableitungen der trigonometrischen Funktionen und der Arcusfunktionen Ableitungen der Exponential- und Logarithmus-Funktionen Ableitungen der Hyperbel- und Area-Funktionen Zusammenstellung der wichtigsten Differentiationsregeln Ausbau der Differentialrechnung Die Regeln von de l Hospital Die Taylorsche Formel Beispiele zur Taylorformel Zusammenstellung der Taylorreihen elementarer Funktionen Berechnung von π Konvexität, geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung Das Newtonsche Verfahren Bestimmung von Extremstellen Kurvendiskussion Anwendungen Bewegung von Massenpunkten Fehlerabschätzung Zur binomischen Reihe: physikalische Näherungsformeln Zur Exponentialfunktion: Wachsen und Abklingen Zum Newtonschen Verfahren Extremalprobleme Integralrechnung einer reellen Variablen Grundlagen der Integralrechnung Flächeninhalt und Integral Integrierbarkeit stetiger und monotoner Funktionen Graphisches Integrieren, Riemannsche Summen, numerische Integration mit der Tangentenformel Regeln für Integrale Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Berechnung von Integralen Unbestimmte Integrale, Grundintegrale Substitutionsmethode Produktintegration Integration rationaler Funktionen Integration weiterer Funktionenklassen Numerische Integration Uneigentliche Integrale Definition und Beispiele Rechenregeln und Konvergenzkriterien Integralkriterium für Reihen

4 XII Inhaltsverzeichnis Die Integralfunktionen Ei, Li, si, ci, das Fehlerintegral und die Gammafunktion Anwendung: Wechselstromrechnung Mittelwerte in der Wechselstromtechnik Komplexe Funktionen einer reellen Variablen Komplexe Wechselstromrechnung Ortskurven bei Wechselstromschaltungen Folgen und Reihen von Funktionen Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen und -reihen Gleichmäßige und punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen Vertauschung von Grenzprozessen Gleichmäßig konvergente Reihen Potenzreihen Konvergenzradius Addieren und Multiplizieren von Potenzreihen sowie Differenzieren und Integrieren Identitätssatz, Abelscher Grenzwertsatz Der Weierstraß sche Approximationssatz Bemerkung zur Polynomapproximation Approximation von stetigen Funktionen durch Bernstein-Polynome Interpolation Polynominterpolation Splineinterpolation Fourierreihen Periodische Funktionen Trigonometrische Reihen, Fourier-Koeffizienten Beispiele für Fourierreihen Konvergenz von Fourierreihen Komplexe Schreibweise von Fourierreihen Anwendung: Gedämpfte erzwungene Schwingung Differentialrechnung mehrerer reeller Variabler Der n-dimensionale Raum R n Spaltenvektoren Arithmetik im R n Folgen und Reihen von Vektoren Topologische Begriffe Matrizen Abbildungen im R n Abbildungen aus R n in R m Funktionen zweier reeller Variabler Stetigkeit im R n Differenzierbare Abbildungen von mehreren Variablen Partielle Ableitungen Ableitungsmatrix, Differenzierbarkeit, Tangentialebene

5 Inhaltsverzeichnis XIII Regeln für differenzierbare Abbildungen. Richtungsableitung Das vollständige Differential Höhere partielle Ableitungen Taylorformel und Mittelwertsatz Gleichungssysteme, Extremalprobleme, Anwendungen Newton-Verfahren im R n Satz über implizite Funktionen, Invertierungssatz Extremalprobleme ohne Nebenbedingungen Extremalprobleme mit Nebenbedingungen Integralrechnung mehrerer reeller Variabler Integration bei zwei Variablen Anschauliche Einführung des Integrals zweier reeller Variabler Analytische Einführung des Integrals zweier reeller Variabler Grundlegende Sätze Riemannsche Summen Anwendungen Krummlinige Koordinaten, Transformationen, Funktionaldeterminanten Transformationsformel für Bereichsintegrale Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen Riemannsches Integral im R n Grundlegende Sätze Krummlinige Koordinaten, Funktionaldeterminante, Transformationsformeln Rauminhalte Rotationskörper Anwendungen: Schwerpunkte, Trägheitsmomente Parameterabhängige Integrale Stetigkeit und Integrierbarkeit parameterabhängiger Integrale Differentiation eines parameterabhängigen Integrals Differentiation bei variablen Integrationsgrenzen Anhang 597 A Lösungen zu den Übungen 599 Symbole 605 Literaturverzeichnis 607 Stichwortverzeichnis 611

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