Höhere Mathematik. Grundlagen Beispiele Aufgaben. Mit 887 Bildern, 525 vollständig durchgerechneten Beispielen und 4759 Aufgaben

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1 shermann K. stein Einf ührungskurs Höhere Mathematik Grundlagen Beispiele Aufgaben Mit 887 Bildern, 525 vollständig durchgerechneten Beispielen und 4759 Aufgaben Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig/Wiesbaden

2 IX Inhaltsverzeichnis 1 Die zwei Hauptprobleme der Infinitesimalrechnung Die Berechnung der veränderlichen Geschwindigkeit 1 Übungen Die Berechnung des Weges bei veränderlicher Geschwindigkeit 4 Übungen Zusammenfassung 6 Testaufgaben zu Kapitel 1 7 Testfragen zur Algebra 7 2 Funktionen und ihre Schaubilder; der Anstieg einer Geraden Funktionen. 8 Übungen Die Wertetabelle und das Schaubild einer Funktion 12 Übungen Der Anstieg einer Geraden. 16 Übungen Zusammenfassung 20 Wichtige Ergebnisse 20 Begriffe und Symbole 21 Testaufgaben zu Kapitel 2 21 Übungen zu Kapitel Die Ableitung Vier Variationen zu einem Thema 23 Übungen Die Ableitung eines Polynoms 27 Übungen Die Ableitung einer Funktion 31 Übungen Zusammenfassung 37 Begriffe und Symbole 37 Wichtige Ergebnisse 37 Testaufgaben zu Kapitel 3 38 Übungen zu Kapitel Grenzwerte und stetige Funktionen Überblick über die Exponentialfunktion Übungen Die Zahle 45 Übungen Der Grenzwert einer reellen Funktion 49 Übungen Mehr über Grenzwerte und die Zahl e 55 Übungen Trigonometrische Grundbegriffe 58 Übungen Der Grenzwert von (sin ö)/ö für 8 -> 0 66 Übungen Stetige Funktionen 69 Übungen Zusammenfassung 75 Begriffe und Symbole 75 Wichtige Ergebnisse 76 Testaufgaben zur Exponentialfunktion 76 Testaufgaben zur Trigonometrie 76 Testaufgaben zu Kapitel 4 77 Übungen zu Kapitel 4 77 Übungen zu den Kapiteln 1 bis Berechnung von Ableitungen Einige Bezeichnungen für die Ableitung Übungen Die Ableitung einer Konstanten, sowie von Sinus und Kosinus 82 Übungen Logarithmen im Überblick 85 Übungen Die Ableitung der Logarithmusfunktion Übungen Die Ableitung der Summe, der Differenz und des Produktes von Funktionen 92 Übungen Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen 97

3 X Inhaltsverzeichnis Übungen Zusammengesetzte Funktionen 100 Übungen Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion 102 Übungen Umkehrfunktionen 107 Übungen Die Ableitung von b x und x" 111 Übungen Die Ableitung der inversen trigonometrischen Funktionen 115 Übungen Zusammenfassung 120 Begriffe und Symbole 120 Wichtige Ergebnisse 120 Testaufgaben zu Kapitel 5 (Rechnungen) 121 Testaufgaben zu Kapitel 5 (Begriffe) 121 Übungen zu Kapitel Anwendungen der Ableitung Der Satz von Rolle 124 Übungen Der Mittelwertsatz 128 Übungen Die relativen Größen von e x,x" und In x Übungen Natürliches Wachstum und natürlicher Zerfall 137 Übungen Ableitungen und Grenzwerte: Die graphische Darstellung von Funktionen Die zweite Ableitung und das Studium von Bewegungen 151 Übungen Das Vorzeichen der zweiten Ableitung und seine geometrische Bedeutung 158 Übungen Anwendungen der Maxima- und Minimarechnung 163 Übungen Das Differential 170 Übungen Die Regel von de L'Hospital 175 Übungen Zusammenfassung 180 Wichtige Ergebnisse 181 Begriffe und Symbole 182 Testaufgaben zu Kapitel Testaufgaben zu den Kapiteln 1 bis 6 (Berechnungen) 183 Testaufgaben zu den Kapiteln 1 bis 6 (Begriffe) Übungen zu den Kapiteln 1 bis Das bestimmte Integral Vier Abschätzungen 191 Übungen Die exakte Lösung der vier Probleme 195 Übungen Summationszeichen 201 Übungen Das bestimmte Integral über ein Intervall Übungen Zusammenfassung 215 Begriffe und Symbole 216 Wichtige Ergebnisse 216 Testaufgaben zu Kapitel Übungen zu Kapitel Die Hauptsätze der Infinitesimalrechnung Der erste Hauptsatz der Infinitesimalrechnung 220 Übungen Der zweite Hauptsatz der Infinitesimalrechnung 224 Übungen Beweis der beiden Hauptsätze 228 Übungen Stammfunktionen 233 Übungen Zusammenfassung 235 Begriffe und Symbole 236 Wichtige Ergebnisse 236 Testaufgaben zu Kapitel Testaufgaben zu den Kapiteln 1 bis Übungen zu den Kapiteln 1 bis Berechnung von Stammfunktionen Einige Grundtatsachen 243 Übungen Die Substitutionsmethode 246 Übungen Die Verwendung einer Integraltafel 250 Übungen Substitution im bestimmten Integral 253 Übungen 254

4 Inhaltsverzeichnis XI 9.5 Partielle Integration 255 Übungen 258 f dx 9.6 Berechnung der Integrale, J (ax + b) dx, C x dx (ax 2 +bx+ cf J {ax 2 + bx + cf Übungen Integration von rationalen Funktion: Partialbruchzerlegungen 262 Übungen Integration von rationalen Funktionen in sin 0 und cos ö 266 Übungen Trigonometrische und algebraische Substitutionen 271 Übungen Zusammenfassung 274 Testaufgaben zu Kapitel Übungen zu Kapitel Berechnung und Anwendungen bestimmter Integrale Berechnung der Länge c(x) des Schnittes. 281 Übungen Die Berechnung der Querschnittsfläche A(x) 285 Übungen Berechnung von Flächen und Volumina mit Hilfe von Schnitten 290 Übungen Die Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers aus seinen Schalen 293 Übungen Der Mittelwert einer Funktion über ein Intervall Uneigentliche Integrale 301 Übungen Polarkoordinaten 309 Übungen Gleichungen in Parameterdarstellung Übungen Bogenlänge und Geschwindigkeit auf einer Kurve 318 Übungen Fläche in Polarkoordinaten 324 Übungen Oberfläche eines Rotationskörpers 327 Übungen Die Abschätzung bestimmter Integrale Übungen Zusammenfassung 339 Begriffe und Symbole 342 Testaufgaben zu Kapitel Übungen zu Kapitel Anwendungen der Ableitung Implizite Ableitung 348 Übungen Der Zusammenhang von Zuwachsraten Übungen Zweite Ableitung und Krümmung einer Kurve 355 Übungen Das Newtonsche Näherungsverfahren zur Lösung einer Gleichung 360 Übungen Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Tangente 362 Übungen Die hyperbolischen Funktionen 367 Übungen Zusammenfassung 370 Begriffe und Symbole 370 Wichtige Ergebnisse 370 Testaufgaben zu Kapitel Übungen zu Kapitel Partielle Ableitungen Rechtwinkelige Koordinaten für den Raum 374 Übungen Der Graph einer Gleichung 376 Übungen Funktionen und ihre Graphen 380 Übungen Partielle Ableitungen 383 Übungen Die Differenz A/ und das Differential df 386 Übungen Die Kettenregeln 390 Übungen Kritische Punkte 396 Übungen 399

5 XII Inhaltsverzeichnis 12.8 Lokale Extreme und partielle Ableitungen zweiter Ordnung 400 Übungen Zusammenfassung 403 Begriffe 405 Testaufgaben zu Kapitel Übungen zu Kapitel Bestimmte Integrale über ebene Gebiete Das bestimmte Integral einer Funktion über ein ebenes Gebiet 409 Übungen Die Beschreibung ebener Gebiete durch Koordinaten 414 Übungen Die Berechnung von \f(p)da in recht- R winkligen Koordinaten 417 Übungen Der Schwerpunkt einer ebenen Schicht Übungen Die Berechnung von \f{p)da in Polaris koordinaten 427 Übungen Zusammenfassung 433 Begriffe und Symbole 434 Testaufgaben zu Kapitel Übungen zu Kapitel Reihen Folgen 441 Übungen Reihen 445 Übungen Der Test für alternierende Reihen 449 Übungen Der Integraltest 452 Übungen Der Vergleichstest und der Quotiententest 457 Übungen Absolute Konvergenz 461 Übungen Das Rechnen mit Potenzreihen 465 Übungen Zusammenfassung 471 Wichtige Ergebnisse 471 Begriffe und Symbole 472 Testaufgaben zu Kapitel Übungen zu Kapitel Taylorsche Reihe und der Zuwachs einer Funktion Höhere Ableitungen und der Zuwachs einer Funktion 478 Übungen Taylorsche Reihe 483 Übungen Die Differentialgleichung der harmonischen Bewegung 489 Übungen Der Fehler bei der Abschätzung eines bestimmten Integrals 493 Übungen Der binomische Lehrsatz für beliebige Exponenten 497 Übungen Die Taylorsche Reihe von f(x;y) 500 Übungen Zusammenfassung 504 Wichtige Ergebnisse 505 Begriffe und Symbole 506 Testaufgaben zu Kapitel Übungen zu Kapitel Das Moment einer Funktion Arbeit 513 Übungen Die Kraft auf einen Damm 516 Übungen Das Moment einer Funktion 517 Übungen Zusammenfassung 522 Begriffe und Symbole 523 Testaufgaben zu Kapitel Übungen zu Kapitel Mathematische Modelle Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 526 Übungen Wahrscheinlichkeitsverteilungen 529 Übungen 531

6 Inhaltsverzeichnis XIII 17.3 Die Exponentialverteilung (Poissonverteilung) des zufälligen Verkehrs 532 Übungen Zusammenfassung 538 Wichtige Ergebnisse 538 Begriffe und Symbole 539 Testaufgaben zu Kapitel Andere Modelle 539 Übungen zu Kapitel Bestimmte Integrale über räumliche Gebiete Das bestimmte Integral einer Funktion über ein dreidimensionales Gebiet 542 Übungen Die Beschreibung räumlicher Gebiete in rechtwinkligen Koordinaten 545 Übungen Die Beschreibung räumlicher Gebiete in Zylinderkoordinaten oder Kugelkoordinaten 548 Übungen Berechnung von \f{p)dv in rechtwink- R ligen Koordinaten 553 Übungen Die Berechnung von \f(p)dv in Zylin- R der-oder Kugelkoordinaten 557 Übungen Zusammenfassung 560 Begriffe und Symbole 561 Testaufgaben zu Kapitel Übungen zu Kapitel Vektoralgebra Vektoralgebra 564 Übungen Das Produkt eines Skalares mit einem Vektor 569 Übungen Das skalare Produkt zweier Vektoren Übungen Geraden und Ebenen 580 Übungen Richtungsableitung und Gradient 585 Übungen Zwei- und dreidimensionale Determinanten 590 Übungen Das Vektorprodukt zweier räumlicher Vektoren 595 Übungen Zusammenfassung 600 Begriffe und Symbole 600 Wichtige Ergebnisse 601 Testaufgaben zu Kapitel Übungen zu Kapitel Die Ableitung einer Vektorfunktion Die Ableitung einer Vektorfunktion 604 Übungen Die Eigenschaften der Ableitung einer Vektorfunktion 613 Übungen Der Beschleunigungsvektor 615 Übungen Die Einheitsvektoren T und N 618 Übungen Die skalaren Komponenten des Beschleunigungsvektors in Richtung von T und N 623 Übungen Niveaukurven und Niveauflächen 626 Übungen Oberflächenintegrale 633 Übungen Lagrange-Multiplikator 639 Übungen Zusammenfassung 644 Begriffe und Symbole 646 Testaufgaben zu Kapitel Übungen zu Kapitel Integrale über skalare Felder und Vektorfelder Vektorfelder und skalare Felder 650 Übungen Kurvenintegrale über skalare Felder und Vektorfelder 654 Übungen Das Integral über die Normalkomponente eines Vektorfeldes 661 Übungen 667

7 XIV Inhaltsverzeichnis 21.4 Konservative Vektorfelder 668 Übungen Zusammenfassung 673 Begriffe und Symbole 674 Testaufgaben zur Kapitel Übungen zu Kapitel Die Greensche Formel und ihre Verallgemeinerungen Die Greensche Formel und ihre physikalische Bedeutung 678 Übungen Der Beweis der Greenschen Formel 682 Übungen Abbildung einer Ebene in eine andere Ebene 684 Übungen Vergrößerungen in der Ebene: Die Jacobi- Determinante 689 Übungen Der Gaußsche Satz 696 Übungen Satz von Stokes 700 Übungen Zusammenfassung 706 Wichtige Ergebnisse 707 Begriffe und Symbole 707 Testaufgaben zu Kapitel Übungen zu Kapitel Das Vertauschen von Grenzwerten Die Gleichheit von f xy und f yx 713 Übungen 714 b 23.2 Die Ableitung von f{x;y)dx nach y... IIA a Übungen Differentiation und Integration von Potenzreihen 716 Übungen Das Vertauschen von Grenzwerten 719 Übungen Zusammenfassung 724 Anhang A Die reellen Zahlen 725 A.l Addition und Multiplikation (die Körperaxiome) 725 A.2 Die Ordnungsaxiome 725 A.3 Rationale und irrationale Zahlen 726 Übungen 727 A.4 Vollständigkeit der reellen Zahlen 727 Übungen 728 Anhang B Analytische Geometrie 728 B.l Analytische Geometrie und die Abstandsformeln 728 Übungen 730 B.2 Die Gleichungen einer Geraden 731 Übungen 732 B.3 Kegelschnitte 733 Übungen 737 B.4 Kegelschnitte in Polarkoordinaten 737 Übungen 739 Anhang C Theorie der Grenzwerte 740 C.l Exakte Definition eines Grenzwertes Übungen 742 C.2 Beweis einiger Theoreme über Grenzwerte 742 Übungen 744 Anhang D Partialbrüche 745 D.l Partialbruchzerlegungen von rationalen Zahlen 745 Übungen 745 D.2 Partialbruchzerlegung von rationalen Funktionen 746 Übungen 748 Anhang E Unbestimmte Integrale, Stammfunktionen 749 Lösungen ausgewählter, ungeradzahliger Übungen und Testaufgaben Die zwei Hauptprobleme der Infinitesimalrechnung Funktionen und ihre Schaubilder; der Anstieg einer Geraden Die Ableitung 755

8 Inhaltsverzeichnis XV 4 Grenzwerte und stetige Funktionen Berechnung von Ableitungen Anwendungen der Ableitung Das bestimmte Integral Die Hauptsätze der Infinitesimalrechnung Berechnung von Stammfunktionen Berechnung und Anwendung bestimmter Integrale Anwendungen der Ableitung Partielle Ableitungen Bestimmte Integrale über ebene Gebiete Reihen Taylorsche Reihe und der Zuwachs einer Funktion Das Moment einer Funktion Mathematische Modelle Bestimmte Integrale über räumliche Gebiete Vektoralgebra Die Ableitung einer Vektorfunktion Integrale über skalare Felder und Vektorfelder Die Greensche Formel und ihre Verallgemeinerung Das Vertauschen von Grenzwerten 792 Anhang A Die reellen Zahlen 792 Anhang B Analytische Geometrie 792 Anhang C Theorie der Grenzwerte 792 Anhang D Partialbrüche 792 Sachwortverzeichnis 793