Mathematik für das Lehramt an Gymnasien. F. Wille, Analysis

Transkript

1 Mathematik für das Lehramt an Gymnasien F. Wille, Analysis

2 Mathematik für das Lehramt an Gymnasien Herausgegeben von Prof. Dr. W. Degen, Stuttgart, Prof. Dr. K. Kirchgässner, Stuttgart, Oberstudienrat M. Toussaint, Karlsruhe, Prof. Dr. E. Walter, Freiburg Die Reihe Mathematik für das Lehramt an Gymnasien behandelt die für den Unterricht in der Sekundarstufe II bedeutsamen Gebiete der Mathematik. Die einheitlich konzipierten Bände vermitteln dem Lehramtskandidaten klassischen und neueren Universitätsstoff in einer auf den Schulunterricht bezogenen konkretisierten Form. Dem in der Praxis stehenden Lehrer dienen die Darstellungen dieser Reihe zur Vertiefung und Erweiterung seines theoretischen Wissens und bieten ihm den wissenschaftlichen Hintergrund für eine eigene Gestaltung des Unterrichts.

3 Analysis Eine anwendungsbezogene Einführung Von Dr. rer. nato Friedrich Wille Professor an der Gesamthochschule Kassel Mit 80 Figuren, 88 Beispielen und 83 übungen B. G. Teubner Stuttgart

4 Prof. Dr. rer. nato Friedrich Wille Geboren 1935 in Bremen. Studium der Mathematik und Physik in Marburg, an der Freien Universität Berlin und in Göttingen Diplom, Industriepraxis. Von 1963 bis 1968 wiss. Mitarbeiter der Aerodynamischen Versuchsanstalt (A VA) Göttingen Promotion, Leiter des Rechenzentrums Göttingen, ab 1966 stellv. Abteilungsleiter. Von 1968 bis 1971 wiss. Assistent an den Universitäten Freiburg und Düsseldorf sowie freier wiss. Mitarbeiter der Deutschen Forschungs- und Versuchsanstalt für Luft- und Raumfahrt (DFVLR) Gast am Battelle-Institut in Genf Habilitation, 1972 Wiss. Rat und Professor in Düsseldorf Professor für Angewandte Mathematik an der Gesamthochschule Kassel. QP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Wille, Friedrich Analysis: e. anwendungsbezogene Einf Aufl. - Stuttgart : Teubner, (Mathematik für das Lehramt an Gymnasien) ISBN ISBN (ebook) DOI / Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, besonders die der Übersetzung, des Nachdrucks, der Bildentnahme, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege, der Speicherung und Auswertung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei Verwertung von Teilen des Werkes, dem Verlag vorbehalten. Bei gewerblichen Zwecken dienender Vervielfältigung ist an den Verlag gemäß 54 UrhG eine Vergütung zu zahlen, deren Höhe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. B. G. Teubner, Stuttgart 1976 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1976 Binderei: G. Gebhardt, Ansbach Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen

5 Meinen Eltern

6 Vorwort Der Studierende des Faches Mathematik steht häufig vor dem Problem: Wozu sind die mathematischen Begriffe, Sätze und Denkweisen gut, die in großer Vielzahl auf ihn einstürmen? Wozu werden die Ergebnisse gebraucht, flir welche weiteren überlegungen sind sie wiederum Grundlage und Ausgangspunkt? Die vorliegende Einführung in die Analysis hat zum Ziel, dem Leser bei diesen Fragestellungen zu helfen, ihm Beweggründe flir die wichtigsten Grundbegriffe, Ansätze und Ziele der Differential- und Integralrechnung zu vermitteln. Als Schlüsselproblem erweist sich dabei die Frage nach den Lösungen von Gleichungen und Gleichungssystemen. Hiervon ausgehend werden Abbildungsbegriff, Konvergenzbegriff (Iteration), Stetigkeit (Lösungsexistenz ), Differenzierbarkeit (Newton-Verfahren) und vieles mehr erschlossen. Andere Inhalte wurzeln auf natürliche Weise in geometrischen Fragestellungen, wie die Integralrechnung (Flächeninhaltsberechnung) und die trigonometrischen Funktionen (Entfernungsbestimmung). Der Leser erhält damit eine Richtschnur in die Hand, mit der sich die Differential- und Integralrechnung überschaubar gliedert. Bei der Stoffauswahl wurden Inhalte bevorzugt, die einerseits breiten Anwendungsbezug haben, andererseits vorbereitend zu Begriffsbildungen der höheren Analysis hinführen, insbesondere zur Funktionalanalysis, wie z. B. der Banachsche Fixpunktsatz, der Borsuksche Antipodensatz, der Brouwersche Fixpunktsatz, das Newton-Verfahren für mehrere Veränderliche und anderes mehr. Die numerischen Verfahren, die in diesem Buch behandelt werden, lassen sich bequem auf Kleinrechnern durchführen, wie sie heute in der Schule vielfach verwendet werden. Schließlich sei erwähnt, daß bei der Einführung der Konvergenz wie auch der Stetigkeit ein neuer Weg beschritten wird. Und zwar wird bei der Konvergenz mit monotonen Folgen begonnen, die erfahrungsgemäß für Schüler und Studienanfänger leichter faßlich sind als beliebige Folgen. Bei der Stetigkeit wird von der Upschitz-Stetigkeit ausgegangen, die dann in naheliegender Weise zur Stetigkeit verallgemeinert wird. An Vor k e n n t n iss e n wird nur wenig vorausgesetzt: etwas schulische Geometrie, das Rechnen mit reellen Zahlen und einige einfache Symbole der Mengenschreibweise (vgl. Symbolverzeichnis). Eine systematische Einführung der reellen Zahlen ist im Anhang untergebracht, da es zweckmäßig erscheint, nicht mit der ermüdenden Erläuterung der Gesetze reeller Zahlen zu beginnen, sondern sie dann nachzuschlagen, wann man sie braucht, z. B. bei der Anwendung des archimedischen Satzes, des Intervallschachtelungsprinzips oder der vollständigen Induktion. Die Existenz von Wurzeln wird ~ ebenfalls im Anhang behandelt. Das Arbeiten mit diesen Wurzeln wird daher im übrigen Text als bekannt vorausgesetzt. Die vorliegende Einführung kann einerseits als Lehrbuch für Studenten in der Analysisvorlesung verwendet werden; andererseits wird durch Inhalte, die neueren Entwicklungen Rechnung tragen, besonders der Lehrerfortbildungsbereich angesprochen. Schulische Belange sind durch eine Reihe unterrichtsnaher Anwendungen und Beispiele berucksich-

7 Vorwort 7 tigt. Einige neue Darstellungen, wie z. B. die elementaren Beweise zum Borsukschen Antipodensatz und zum Brouwerschen Fixpunktsatz, mögen darüber hinaus bei Mathematikern allgemein Interesse finden. Zum Schluß möchte ich mich besonders bei Herrn Professor Dr. K. Kir c h g ä s s n e r bedanken. Von ihm stammen Anregung und Grundidee zu diesem Buch sowie viele wertvolle Hinweise. Ferner bin ich Herrn Doz. Dr. P. W i I den aue r zu Dank verpflichtet für sein sorgfältiges Korrekturlesen und die damit verbundenen Verbesserungsvorschläge. Herrn E. Raa bedanke ich für die Herstellung einiger Computerbilder und Frau u. Wal t her flir die sorgfältige Erstellung des Schreibmaschinenmanuskriptes. Besonders danken aber möchte ich meiner Frau, der Hüterin meiner Arbeitsruhe. Schließlich gilt mein Dank dem Verlag B. G. Teubner, der geduldig und bereitwillig auf alle Wünsche und Vorschläge einging. Kassel, im Sommer 1976 F. Wille

8 Logische Abhängigkeit der einzelnen Abschnitte voneinander I Gleichungen, Abbildungen 2.1 Kontraktionen Folgen H23 Banachseher FixpunktSAtz 3.1 Stetigkeit Kompaktheit Borsukscher Antipodensatz I l4.6 Anwendungs- I beispiele I l 5.4 Numerische Integration L I Geometrische L Anwendungen I Differentialrechnung einer reellen 4.3 J 4.4 Veränderlichen ) 5.2 Integralbegriff 5.3 Analytische Integration Anwendungen in L der Mechanik I H Differentialrechnung mehrerer reeller Veränderlicher 6.3 Nichtlineare Gleichungssysteme L i n e Gleichungssysteme, ~ r e ~ Matnzen

9 Inhalt 1 Gleichungssysteme - Abbildungen 1.1 Der n-dimensionale Raum Rn Gleichungssysteme und Punkte des Rn Arithmetik im Rn Das innere Produkt Normen Abbildungen Graphische Näherungslösungim R Abbildungen und Funktionen Zusammenhang mit Gleichungen Kontraktive Abbildungen - Konvergenz 2.1 Lipschitz-Stetigkeit, Kontraktionen Beispiel zur Iteration Lipschitz-Stetigkeit Kontraktionssatz für eine reelle Veränderliche 2.2 Konvergente Folgen Unendliche Folgen Monoton fallende Nullfolgen Konvergenz von Folgen Beschränkte Folgen und Mengen Konvergenzkriterien Konvergenzgeschwindigkeit und -beschleunigung Steffensen-Verfahren, Konvergenzordnung Der Banachsche Fixpunktsatz Topologische Begriffe Der Banachsche Fixpunktsatz im Rn Der Banachsche Fixpunktsatz in vollständigen metrischen Räumen Lösungsexistenz - Stetigkeit 3.1 Stetige Abbildungen - Zwischenwertsatz Stetigkeit Grenzwerte bei Abbildungen Zusammengesetzte stetige Abbildungen Zwischenwertsatz, Intervallteilungsverfahren Regula falsi Stetigkeit und Kompaktheit - Satz vom Maximum Satz vom Maximum Normäquivalenz im Rn

10 10 Inhalt Gleichmäßige Stetigkeit Homöomorphismen. 3.3 Der Borsuksche Antipodensatz Konvexe Mengen Der Borsuksche Antipodensatz im Rn Beweis des Borsukschen Satzes im R Beweis des Borsukschen Satzes im Rn, n;;" Verallgemeinerungen des Borsukschen Satzes Brouwerscher Fixpunktsatz und Satz von Borsuk-Ulam 4 Linearisierung von Funktionen - Differentialrechnung einer reellen Veränderlichen 4.1 Ausgangspunkt Tangentenproblem Ableitung von Polynomen Idee des Newton-Verfahrens 4.2 Grundlagen der Differentialrechnung Differenzierbare Funktionen Differentiationsregeln Mittelwertsatz Taylorsche Formel Konvergenz des Newton-Verfahrens Auswertung von Polynomen, Horner-Schema 4.3 Unendliche Reihen Konvergenz unendlicher Reihen Taylor-Reihen Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen Gleichmäßige Konvergenz Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Grenzabbildungen Potenzreihen Exponentialfunktion, Logarithmus, Hyperbelfunktionen Problemstellung: Funktionen mit der Eigenschaft f = f' Eigenschaften der Exponentialfunktion Logarithmus und a X Hyperbel- und Area-Funktionen 4.5 Trigonometrische Funktionen Entfernungsbestimmung Bogenlänge beim Kreis Sinus und Cosinus Tangens und Cotangens Arcus-Funktionen

11 Inhalt II 4.6 Anwendungsbeispiele Bewegung von Massenpunkten Fehlerabschätzung Zur geometrischen Reihe: Sparkonten und Renten Zur binomischen Reihe: physikalische Näherungsformeln Zur Exponentialfunktion: Anwachsen und Abklingen Trigonometrische Funktionen Newton-Verfahren Eindimensionale Extremalprobleme Flächen- und Rauminhalte - Integralrechnung 5.1 Grundgedanken der Integralrechnung Flächen von Funktionen Berechnung von Integralen durch Stammfunktionen 5.2 Integrale Treppenfunktionen Integrale von Regelfunktionen Grundlegende Sätze über Integrale Riemannsche Summen Analytische Integration Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Grundintegrale Substitutionsmethode Fourier-Reihen Produktintegration Integration rationaler Funktionen Integration weiterer Funktionenklassen Uneigentliche Integrale Numerische Integration Problemstellung Interpolationsformel von Lagrange und Restgliedabschätzung Integrationsformeln von Newton-Cotes Trapez- und Simpson-Formel Romberg-Integration Geometrische Anwendungen Flächeninhalte im R Rauminhalte im Rn, mehrfache Integrale Kurvenlängen Rotationskörper Anwendungen in der Mechanik Vorgänge im Schwerefeld Elastische Kräfte, Schwingungen 259

12 12 Inhalt 6 Behandlung von Gleichungssystemen - Differentialrechnung mehrerer reeller Veränderlicher 6.1 lineare Gleichungssysteme und Matrizen Gaußscher Algorithmus Matrizenrechnung lineare Abbildungen Reguläre Matrizen Normen von Matrizen 6.2 Differentialrechnung mehrerer reeller Veränderlicher Differenzierbarkeit Ableitungsmatrix Differenzierbarkeitskriterium Regeln für differenzierbare Abbildungen Höhere partielle Ableitungen Taylor-Formel Extremalprobleme 6.3 Nichtlineare Gleichungssysteme Newton-Verfahren im Rn Konvergenz des Newton-Verfahrens im Rn Implizite Funktionen, Inversensatz Extrema mit Nebenbedingungen Anhang: Reelle Zahlen AI Das Axiomensystem der reellen Zahlen A2 Abgeleitete Regeln.... A3 Natürliche Zahlen.... A4 Ganze, rationale und irrationale Zahlen A5 Archimedische Eigenschaft und Intervallschachtelungsprinzip A6 Dezimalzahlen. A7 note Wurzel aus a Lösungen zu den übungen 1 ) Literatur Symbole Sachverzeichnis ) Zu den mit * versehenen Übungen werden Lösungen angegeben oder Lösungswege skizziert.