Einführungskurs Höhere Mathematik I

Transkript

1 S. K. Stein Einführungskurs Höhere Mathematik I Funktionen Grenzwerte' Ableitungen

2 Grundlagen des Studiums Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 von L. Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2 von L. Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3 von L. Papula Mathematische Formelsammlung von L. Papula Übungen zur Mathematik von L. Papula vieweg technic tools Mathematik 12 Excel Programme von G. Küveler vieweg technic tools Technische Mechanik 10 Excel Programme von H.-J. Holland Grundzüge der Physik von R. Strehlow Ökologikum, Das Umweltlexikon auf CD-ROM von B. Best Die Erforschung des Chaos von J. Argyris Vieweg ~

3 Sherman K. Stein Einführungskurs Höhere Mathematik I Funktionen Grenzwerte Ableitungen Zusammengestellt durch Angelika Erhardt-Ferron und Hildebrand Walter

4 Einführungskurs Höhere Mathematik I ist die Auskopplung des ersten Teils aus dem Gesamtband desselben Verfassers, erschienen 1981 im sei ben Verlag unter dem Titel Einführungskurs Höhere Mathematik. Titel der Originalausgabe: Sherman K. Stein Calculus and Analytic Geometry McGraw-Hill Book Company, New York Wissenschaftliche Beratung: Roman Sexl Übersetzung: Ernst Streeruwitz Zusammenstellung: Angelika Erhard-Ferron Hildebrand Walter Alle Rechte vorbehalten Springer Fachmedien Wiesbaden 1996 Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlags gesellschaft mbh, Braunschweig/Wiesbaden, 1996 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf säurefreiem Papier ISBN DOI / ISBN (ebook)

5 v Vorwort Einführungskurs Höhere Mathematik will sowohl den Studierenden als auch den Lehrenden einen leicht lesbaren und abwechslungsreichen Text an die Hand geben, der die wichtigsten Gebiete der Infinitesimalrechnung in einer und in mehreren Variablen darbietet. Er ist sowohl als begleitende Literatur für Vorlesungen geeignet als auch für das Selbststudium. Bei der Behandlung des Stoffes wird auf eine möglichst einfache Darstellung Wert gelegt. Jedes Kapitel schließt mit einem ganz wesentlichen Abschnitt, der Zusammenfassung. Sie gibt dem Leser einen Überblick über das gesamte Kapitel. Alle neuen Begriffe und Symbole sowie die wichtigsten Ergebnisse werden wiederholt. Testaufgaben schließen sich an. Insgesamt bilden diese Zusammenfassungen eine Leitlinie für die Durcharbeitung des Buches. Die Übungs aufgaben der einzelnen Abschnitte dienen nicht der Wiederholung. Allerdings wird durch neue Anwendungen oder alternative Ansätze die Möglichkeit gegeben, das Verständnis nochmals zu überprüfen. Zunächst sollte jeder Abschnitt sorgfältig und vollständig gelesen werden, bevor die Übungsaufgaben bearbeitet werden. Die Beispiele des Textes sollten selbständig und ohne Zuhilfenahme des Buches gelöst werden, um die Aufarbeitung des dargestellten Stoffes zu überprüfen. Die Übungen werden im allgemeinen durch quadratische Trennzeichen (. oder ) in drei verschiedene Kategorien eingeteilt. In der ersten und umfangreichsten Gruppe sind Standardaufgaben enthalten, die für den Leser die Definitionen und Rechnungen grundsätzlich veranschaulichen sollen. Die zweite Gruppe umfaßt umfangreichere Berechnungen oder führt etwas über den Text hinaus. Die Beispiele der letzten Gruppe behandeln schließlich alternative Gesichtspunkte oder theoretische Ansätze und sind manchmal etwas schwieriger; sie sollten nur sparsam eingesetzt werden, etwa im Rahmen von Wiederholungen. Das Buch enthält wesentlich mehr Übungen, als während einer typischen Vorlesung behandelt werden können. Einführungskurs Höhere Mathematik gliedert sich in 4 Teile und stellt für das Studium an Hoch- und Fachhochschulen den Stoff des ersten Semesters zusammen. Wiesbaden, im März 1996 S. K. Stein A. Erhardt-Ferron H. Walter

6 VII Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen und ihre Schaubilder; der Anstieg einer Geraden Funktionen... 1 Übungen Die Wertetabelle und das Schaubild einer Funktion Übungen Der Anstieg einer Geraden Übungen Zusammenfassung Wichtige Ergebnisse Begriffe und Symbole Testaufgaben zu Kapitell Übungen zu Kapitell Die Ableitung Vier Variationen zu einem Thema Übungen Die Ableitung eines Polynoms Übungen Die Ableitung einer Funktion Übungen Zusammenfassung Begriffe und Symbole Wichtige Ergebnisse Testaufgaben zu Kapitel Übungen zu Kapitel Grenzwerte und stetige Funktionen Überblick über die Exponentialfunktion Übungen Die Zahl e Übungen... " Der Grenzwert einer reellen Funktion Übungen Mehr über Grenzwerte und die Zahl e Übungen Trigonometrische Grundbegriffe Übungen Der Grenzwert von (sin 9)/9 für Stetige Funktionen Übungen... 51

7 VIII Inhaltsverzeichnis 3.8 Zusammenfassung Begriffe und Symbole Wichtige Ergebnisse Testaufgaben zur Exponentialfunktion Testaufgaben zur Trigonometrie Testaufgaben zu Kapitel Übungen zu Kapitel Überblicksfragen zu den Kapiteln 1 bis Berechnungen von Ableitungen Einige Bezeichnungen für die Ableitung Übungen Die Ableitung einer Konstanten, sowie von Sinus und Kosinus Übungen Logarithmen im Überblick Übungen Die Ableitung der Logarithmusfunktion Übungen Die Ableitung der Summe, der Differenz und des Produktes von Funktionen Übungen Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen Übungen Zusammengesetzte Funktionen Übungen Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion Übungen Umkehrfunktionen Übungen Die Ableitung von b X und x a. 81 Übungen Die Ableitung der inversen trigonometrischen Funktionen Übungen Zusammenfassung Begriffe und Symbole Wichtige Ergebnisse Testaufgaben zu Kapitel 4 (Rechnungen) Testaufgaben zu Kapitel 4 (Begriffe) Übungen zu Kapitel Anwendung der Ableitung Der Satz von Rolle Übungen Der Mittelwertsatz Übungen... 98

8 Inhaltsverzeichnis IX 5.3 Die relativen Größen von t?, X" und In x Übungen... '" Natürliches Wachstum und natürlicher Zerfall Übungen Übungen Ableitungen und Grenzwerte: Die graphische Darstellung von Funktionen Übungen... '" Die zweite Ableitung und das Studium von Bewegungen Übungen...,. " Das Vorzeichen der zweiten Ableitung und seine geometrische Bedeutung Übungen Anwendungen der Maxima- und Minimarechnung Übungen Das Differential Übungen Die Regel von de I'Hospital Übungen Zusammenfassung Wichtige Ergebnisse Begriffe und Symbole Testaufgaben zu KapitelS Testaufgaben zu Kapitell bis 5 (Berechnungen) Testaufgaben zu Kapitell bis 5 (Begriffe) Übungen zu Kapitell bis Weitere Anwendungen der Ableitung Implizite Ableitung Übungen..., Der Zusammenhang von Zuwachsraten Übungen... " Zweite Ableitung und Krümmung einer Kurve Übungen Das Newtonsche Näherungsverfahren zur Lösung einer Gleichung Übungen Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Tangente Übungen Die hyperbolischen Funktionen Übungen..., '" Zusammenfassung Begriffe und Symbole Wichtige Ergebnisse Testaufgaben zu Kapitel Übungen zu Kapitel

9 X Inhaltsverzeichnis 7 Partielle Ableitungen Rechtwinklige Koordinaten für den Raum Übungen Der Graph einer Gleichung Übungen Funktionen und ihre Graphen Übungen Partielle Ableitungen Übungen Die Differenz ilf und das Differential df Übungen Die Kettenregeln Übungen Kritische Punkte Übungen Lokale Extrema und partielle Ableitungen zweiter Ordnung Übungen Zusammenfassung Begriffe Testaufgaben zu Kapitel Übungen zu Kapitel Anhang A Die reellen Zahlen Al Addition und Multiplikation (die Körperaxiome) A2 Die Ordnungsaxiome A3 Rationale und irrationale Zahlen Übungen A4 Vollständigkeit der reellen Zahlen Übungen B Analytische Geometrie B.1 Analytische Geometrie und die Abstandsformeln Übungen... '" B.2 Die Gleichungen einer Geraden Übungen B.3 Kegelschnitte Übungen BA Kegelschnitte in Polarkoordinaten Übungen C Theorie der Grenzwerte C.1 Exakte Definition eines Grenzwertes Übungen

10 Inhaltsverzeichnis XI C.2 Beweis einiger Theoreme über Grenzwerte Übungen Lösungen ausgewählter, ungeradzahliger Übungen und Testaufgaben Funktionen und ihre Schaubilder, der Anstieg einer Geraden Die Ableitung Grenzwerte und stetige Funktionen Berechnung von Ableitungen Anwendung der Ableitung Weitere Anwendungen der Ableitung Partielle Ableitungen Anhang A Die reellen Zahlen Anhang B Analytische Geometrie Anhang C Theorie der Grenzwerte 223 Sachwortverzeichnis Literaturverzeichnis

11 Inhalt der Bände Band 2 1 Das bestimmte Integral 2 Die Hauptsätze der Infinitesimalrechnung 3 Berechnung der Stammfunktion 4 Berechnung und Anwendungen bestimmter Integrale 5 Bestimmte Integrale über ebene Gebiete 6 Bestimmte Integrale über räumliche Gebiete Testaufgaben und Übungsbeispiele Anhang A Partialbrüche Anhang B Unbestimmte Integrale, Stammfunktionen Lösungen ausgewählter Test- und Übungsaufgaben Band 3 1 Vektoralgebra 2 Die Ableitung einer Vektorfunktion 3 Integrale über skalare Felder und Vektorfelder 4 Die Greensche Formel und ihre Verallgemeinerung Testaufgaben und Übungsbeispiele Lösungen aufgewählter Test- und Übungs aufgaben Band 4 1 Reihen 2 Die Taylorreihe und der Zuwachs einer Funktion 3 Das Moment einer Funktion 4 Vertauschen von Grenzwerten 5 Mathematische Modelle Testaufgaben und Übungsbeispiele Lösungen ausgewählter Test- und Übungsaufgaben