Mathematik für Informatik 3

Transkript

1 Mathematik für Informatik 3 - ANALYSIS - Folgen, Reihen und Funktionen - Funktionen mehrerer Veränderlicher - Extremwertaufgaben - Normen und Approximationen - STATISTIK - WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG

2 Literaturempfehlungen: Gerald Teschl, Susanne Teschl Mathematik für Informatiker Band 2 : Analysis und Statistik Springer-Verlag ISBN-13 : Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Vieweg und Teubner, 2009 ISBN: Manfred Brill Mathematik für Informatiker Hanser Weitere Quellen: Skripte von Prof.M.Martin, Dr Ochs, Prof.Wenisch

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte Zahlenfolgen 1,3,5,7,9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, ,

4 Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind (n N; auch üblich: n N 0 ): { a n } = a 1, a 2, a 3,, a n. Man unterscheidet endliche Folgen mit n N und unendliche Folgen mit n. Wir betrachten hier ausschließlich unendliche Folgen. Die Vorschrift zur Vorgabe einer Zahlenfolge kann entweder in Form eines analytischen Ausdrucks oder in Form einer Rekursionsformel erfolgen. Beispiel: Der analytische Ausdruck (a n ) n N = (a n ) 1 = (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,.

5 Arithmetrische Folgen (Rekursionsformel): Die Differenz benachbarter Glieder ist konstant: a n+1 - a n = d n N Beispiel: a n = 2n ergibt eine arithmetrische Folge 2, 4, 6, 8, 10, 12,. a n = a 1 + (n - 1) 2 Geometrische Folgen (Rekursionsformel): Der Quotient benachbarter Glieder ist konstant: a n+1 : a n = q n N. Beispiel: a n = 1 2 n ergibt eine geometrische Folge. 1 2, 1 4, 1 8, 1, a n = a 1 ( 1 2 ) n-1

6 Exkurs : Arithmetrisches Mittel a arithm = (a 1 + a a n 1 + a n ) / n Geometrisches Mittel a geom = n a 1 a 2 a 3 a n 1 a n

7 Eigenschaften unendlicher Folgen: streng monoton fallend a n+1 < a n monoton fallend a n+1 a n streng monoton steigend monoton steigend konstant a n+1 > a n a n+1 a n a n+1 = a n x ist untere Schranke der Folge x a n n y ist obere Schranke der Folge y a n n beschränkte Folge alternierende Folge x a n y n Werte sind abwechselnd positiv und negativ

8 Beispiele a) a n = n 2 mit 1, 4, 9, 16, 25, 36,. ist unbeschränkt und streng monoton steigend. 1 ist die untere Schranke. b) a n = 1 mit 1, 1, 1, 1, ist eine beschränkte und streng n monoton fallende Folge. Die obere Schranke ist 1, die untere Schranke ist 0. c) a n = 1 n (-1)n mit -1, + 1 2, 1 3, + 1 4, 1 5, + 1 6, 1 7, ist eine alternierende (nicht monotone) Folge. Die obere Schranke ist 1/2, die untere Schranke ist -1.

9 Konvergente Folge: Eine Folge, für die ein Grenzwert existiert, heißt konvergente Folge. Eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a = 0 heißt Nullfolge. Konvergente Folgen sind immer beschränkt. Allerdings ist nicht jede beschränkte Folge konvergent! 1 und -1 bilden sogenannte Häufungspunkte, d.h. in der Epsilon-Umgebung um 1 bzw. -1 liegen unendlich viele Glieder der Folge. Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt, nämlich ihren Grenzwert.

10 Reihen Definition: Eine Reihe ist die Summe der Elemente einer Folge. n=1 a n = a 1 + a 2 + a 3 + Eine Summationen von unendlich vielen Summanden ist in der Realität nicht möglich. Die Übertragung von Rechenregeln von endlichen Reihen auf unendliche Reihen ist nicht erlaubt. ( siehe Beispiel: String-Theorie i=1 i = - 1 ) 12 Man kann aber Partialsummen s n = betrachten: s 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 s 3 = a 1 + a 2 + a s n = a 1 + a 2 + a a n. n a n n=1 an der Reihe

11 Beispiel: String-Theorie Behauptung: i=1 i = - 1 oder in Worten 12 Die Summe aller natürlicher Zahlen ist minus ein Zwöftel. Falscher Beweis : S = S 1 = Diese alternierende Reihe zwischen 0 und +1 hat den Wert ½. S 2 = Hilfsschritt: 2S 2 = = = ½ (sagt der Statistiker! ) => S 2 = 1/4 S - S 2 => S = [ ] = = = 4 { } = 4 S = 4 S 3 S = S = qed. ( Wo liegt der Fehler? )

12 Bemerkung: Eine Sequenz von Produkten kann durch die folgende Kurzschreibweise dargestellt werden:

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27 Polynome sind reelle Funktionen, die sich ausschließlich mit den Rechenoperationen - Addition - Subtraktion und - Multiplikation berechnen lassen. Die allgemeine Funktionsgleichung eines Polynoms ist n k=0 p(x) = f(x) = a k x k = a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a k x k mit den Koeffizienten a 0, a 1,... a n R. Ist a n 0, so ist n = deg(p) N der Grad des Polynom.

28 Beispiele: p 1 (x) = x² + 2x + 2 n = 2 p 2 (x) = - x³ n = 3 p 3 (x) = 2 x x² + 3x 4 n = 4 p 4 (x) = 2x 7 4x 4 + 3x² -1 n = 7 Allgemein ist der Grad die höchste Potenz n, in der die Variable x in der Funktionsgleichung auftritt.

29

30 x Beispiel : f(x) = x² 1 ist kein reelles Polynom, weil es sich nicht in der Form f(x) = a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n schreiben lässt. D.h. die Division zweier Polynome ergibt nicht unbedingt wieder ein Polynom. Im Allgemeinen entsteht dadurch eine rationale Funktion.

31 Satz 18.5: Jedes nichtkonstante Polynom ist unbeschränkt. D.h., man kann keine zwei Gerade parallel zur x-achse ( als Schranken ) finden, sodass der Funktionsgraph des Polynoms ganz zwischen ihnen verläuft. Beispiel: Die Parabel f(x) = 1 3 x² - 2 x + 4 = 1 3 x² ( 1-6 x + 12 x² ) verhält sich für betragsmäßig große x wie die Parabel g(x) = 1 x² in dem 3 Sinn, dass der Ausdruck in der Klammer beliebig nahe bei 1 liegt, wenn x groß wird. Da g(x) unbeschränkt ist, muss auch f(x) unbeschränkt sein.

32 Definition 18.6 : Nullstelle einer Funktion Eine Stelle x 0, an der f(x 0 ) = 0 ist, heißt Nullstelle der Funktion f(x). Bestimmung der Nullstellen: 1. Konstante Funktion Grad n = 0 2. Lineare Funktion Grad n = 1 3. Quadratische Funktion Grad n = 2 4. Kubische Funktion Grad n = 3.. Beispiel : x³ - 7x² + 7x -1 = 0 => Faktorisierung (x-1) ( x² - 6x +1 ) = 0.

33 Eine Faktorisierung vereinfacht die Nullstellensuche entscheidend, denn dann müssen nur die Nullstellen der Faktoren gesucht werden. Generell gilt aber Satz 18.8 (Polynomdivision ) Sind p(x) und q(x) Polynome mit deg(q) deg(p), dann gibt es Polynome s(x) und r(x), sodass p(x) = s(x) q(x) + r (x). Der Grad von s(x) ist die Different deg(s) = deg(p) deg(q) und der Grad des Restpolynom r(x) ist kleiner als der des Polynoms q(x): deg ( r ) < deg ( q ). Wenn r(x) = 0 für alle x, dann ist p(x) = s(x) q(x) und man spricht von der Faktorisierung von p(x).

34 Satz ( Linearfaktor ) Sei x 1 R ( oder C ). Das Polynom p(x) lässt sich genau dann ohne Rest durch den Linearfaktor q(x) = x - x 1 dividieren, also p(x) = s(x) q(x) = s(x) (x - x 1 ), wenn x 1 eine Nullstelle von p(x) ist.