VO Mathematik I für Studierende der Wirtschaftswissenschaften

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1 VO Mathematik I für Studierende der Wirtschaftswissenschaften ao. Univ.-Prof. Mag. Dr. Andreas J. Novák December 3, Einleitung 1.1 Mathematische Schreibweisen: für alle es existiert ein/eine n n 5 a 0 + a 1 + a + + a n 1 + a n = a i = i=0 n b i = b 0 b 1 b b n 1 b n i=0 k= 5 a k+5 1. Zahlenmengen natürliche Zahlen N = {0, 1,, 3, 4, } oder N = {1,, 3, 4, 5 } N 0 = {0, 1,, 3, 4, 5 } N ist abgeschlossen bezüglich Addition und Multiplikation (i.e. n, m N n + m N, n.m N) aber NICHT abgeschlossen bzgl. Subtraktion! 1

2 ganze Zahlen Z = { 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, } Z ist abgeschlossen bzgl. Addition, Subtraktion, Multiplikation, aber NICHT bzgl. Division. rationale Zahlen IQ = { } p, p, q, Z, q 0 q oder als Dezimalbruchentwicklung: a 0, a 1 a a 3 wobei a 0 Z, a i {0, 1,, 9} Dezimalbruchentwicklung bricht nach endlich vielen Gliedern ab oder wird periodisch. z.b.: 5.17,.1, Behauptung: / IQ Beweis: INDIREKT (d.h. man nimmt das Gegenteil an und folgert daraus einen Widerspruch) angenommen = p, obda p und q sind nicht beide gerade (sonst kürzen!) q durch Quadrieren und multiplizieren q = p d.h. p ist gerade. p ist gerade p ist durch 4 teilbar, d.h. p = 4s q = 4s q = s, d.h. q ist gerade q ist gerade! Dies ist ein Widerspruch zur Annahme! Als Menge der reellen Zahlen R bezeichnen wir alle Dezimalbruchentwicklungen der Form a 0, a 1 a a 3 wobei a 0 Z, a i {0, 1,, 9} Die Gleichung x = 1 ist in R unlösbar IC = {a + bi a, b R} mit i = 1

3 Rechenregeln in (R, +,.) : Assoziativgesetze: a + (b + c) = (a + b) + c, a(bc) = (ab)c Kommutativgesetze: a + b = b + a, ab = ba Distributivgesetze: a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc Potenzen a n = } a.a.a. {{ a} n mal n N a n a m = a n+m n, m N (a n ) m = a nm a 0 = 1 a n = 1 a n Wurzeln: Für jede positive reelle Zahl a R und jede natürliche Zahl n N gibt es genau eine positive reelle Zahl b, die die Gleichung b n = a erfüllt. b = a 1 n = n a n-te Wurzel aus a Potenzen mit rationalen Exponenten: x = p q IQ, a > 0, a R ax = (a 1 q ) p x, y IQ, a, b R, a, b > 0 a x a y = a x+y, (a x ) y = a xy, a x b x = (ab) x Binomialkoeffizienten: n(n 1)(n ).1 für n N, n > 0 n! = 1 für n = 0 n faktorielle 3

4 Für n, k N : ( ) n = k n! k!(n k)! = n(n 1)(n ) (n k + 1) k! n über k ( ) ( ) n n + = k k + 1 Binomischer Lehrsatz (a + b) = a + ab + b (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 ( ) n + 1 k + 1 (a + b) n = ( ) n 0 a n b 0 + ( ) n 1 a n 1 b 1 + ( ) n k a n k b k + ( ) n n 1 a 1 b n 1 + ( n n) a 0 b n = = n ( n ) k=0 k a n k b k Ungleichungen von Bernoulli (i) (1 + x) n > 1 + nx, für alle x R, x > 0, n N, n (ii) (1 x) n > 1 nx, für alle x R, 0 < x < 1, n N, n Vollständige Induktion A(n), n = n 0, n 0 + 1, n 0 +, n 0 + 3, sei eine Folge von Aussagen Beweise die Gültigkeit von A(n) für alle n n 0 durch folgende Schritte: 1. Induktionsanfang: Zeige, dass die Aussage A(n 0 ) wahr ist.. Induktionsannahme: Nehme an, dass A(n) wahr ist. 3. Induktionsschritt: Zeige, dass unter der Induktionsannahme (A(n) ist wahr) A(n + 1) wahr ist. 4

5 Aus den Punkten (1) - (3) folgt dann, dass A(n) für alle n n 0 wahr ist. (iterativ) Bsp: Ungl. von Bernoulli: A(n) : (1 x) n > 1 nx, x R, 0 < x < 1, n 0 = 1. Induktionsanfang: A() ist wahr, da (1 x) = 1 x + x > 1 x. Induktionsannahme: A(n) ist wahr, d.h. (1 x) n > 1 nx, x R, 0 < x < 1 3. Induktionsschritt: Zeige, dass A(n + 1) wahr ist. (1 x) (n+1) = (1 x) (1 x) n > (1 x)(1 nx) = }{{}}{{} >0 >(1 nx) = 1 (n + 1)x + nx > 1 (n + 1)x Dreiecksungleichung: x + y x + y x, y R Beweis: x x x R Fall I: x + y 0 : x + y = x + y x + y Fall II: x + y < 0 ( x) + ( y) > 0 : x + y = ( x) + ( y) x + y = x + y 5

6 Folgen und Reihen.1 Folgen.1.1 Definition und Darstellung: Beispiele: 1. Wie würden die folgenden Zahlenfolgen fortgesetzt werden:, 7, 1, 17,... 3, 1, -1, -3,..., 8, 3, 18,... 3, -6, 1, -4, , 7, 36, , 4, 9, 16,.... Zinseszinsrechnung: Ein Kapital wird zu einem effektiven Jahreszins von 4.5% solange angelegt, bis es sich verdoppelt hat. Wie viele Jahre muss man warten? 3. In diesem Jahr hat ein Unternehmen Jahreseinnahmen von 100 Millionen Euro. Es wird erwartet, dass diese Einnahmen pro Jahr um 16% während der nächsten Dekade gesteigert werden können. Wie hoch sind die erwarteten Einnahmen im zehnten Jahr und wie groß sind die Gesamteinnahmen, die über die Periode erwartet werden? 4. Angenommen, man legt auf das erste Feld eines Schachbretts ein Korn, auf das zweite Feld das doppelte, also zwei, auf das dritte wiederum die doppelte Menge, also vier und so weiter. Wieviele Körner liegen auf dem letzten (dem 64tem) Feld? 6

7 Wieviele Körner liegen insgesamt auf dem Schachbrett? (siehe z.b. ibn Dahir) Definition: 1. Unter einer Folge versteht man eine Aneinanderreihung von durchnummerierten (reellen) Zahlen.. Entsprechend der Anzahl der Folgenglieder kann man zwischen endlichen und unendlichen Folgen unterscheiden. Beispiele: (1, 4, 7, 5, 8, 10) (endlich) (1,, 3, 4, 5, 6, 7,... ) (unendlich) Bemerkung: Eine (unendliche) Folge kann man auch als Funktion von N 0 nach R auffassen. f : N R n a(n) = a n oder kurz (a n ) n=0 Schreibweise 7

8 Endliche Folgen: (a n ) n n=n 1 = (a n1, a n1 +1,..., a n 1, a n, a n+1,..., a n ) Unendliche Folgen: (a n ) n=n 1 = (a n1, a n1 +1, a n1 +, a n1 +3,... ) Es sind auch Folgen der Form (, a 4, a 3, a, a 1, a 0, a 1, a, a 3, a 4, ) möglich. Alternative Schreibweise: (a n ) n I wobei die Indexmenge I eine Teilmenge der natürlichen bzw. ganzen Zahlen ist (häufig I = N oder I = N 0 ) Die (reelle) Zahl a n heißt Folgenglied zum Index n oder n-tes Folgenglied. n in (a n ) n I wird als Laufindex bezeichnet Beispiele: (a n ) 5 n=1 = (a 1, a, a 3, a 4, a 5 ) Der Kurswert einer Aktie am n-ten Tag seit dem Beginn der Aufzeichnung (b n ) 7 n=4 = (b 4, b 5, b 6, b 7 ) (c n ) n=1 = (c 1, c, c 3, c 4,... ) (d n ) n {1,4,8} = (d 1, d 4, d 8 ) Anzahl der Bewohner der Häuser einer Straße (n entspricht der Hausnummer): h 1 = 3, h = 5, h 3 = 0, h 4 = 41,..., h 13 = 17 (h n ) 13 n=1 = (3, 5, 0, 41,..., 17) Darstellungsformen: Direkte Angabe der einzelnen Folgenglieder (z.b. Werte einer Mess- Reihe ). Dies ist nur bei endlichen Folgen möglich. 8

9 Explizite Darstellung a n kann für jeden Index n I unmittelbar berechnet werden. Beispiele 1. a n = 1 (a n n) n N = ( 1 n )n N = ( 1, 1, 1, 1,... ) 3 4. a n = 1 3n (a n ) n N = (1 3n) n N = (, 5, 8, 11,... ) Rekursive Darstellung a n wird nicht direkt, sondern anhand der vorherigen Folgenglieder (mittels Rekursionsformel) berechnet. Beispiel: Fibonacci-Folge: a 0 = 1, a 1 = 1 (Anfangsbedingungen); a n = a n 1 + a n (n ) (Rekursionsformel) Dies ergibt die Folge (a i ) i=0 = (1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, ). Unterschied zwischen Mengen und Folgen: Mengen Die Abfolge der Elemente der Menge ist irrelevant. Die Elemente müssen unterscheidbar sein. Beispiel: {1,, 3, 4, 5} = {3,, 5, 4, 1} Folgen Die Abfolge der Folgenglieder ist wichtig. Idente Folgenglieder können beliebig oft vorkommen. Beispiel: (1,,, 4, 3, 5) (1,, 3, 4, 5, ) 9

10 .1. Arithmetische und geometrische Folgen: arithmetische Folgen Definition 1a Eine Folge (a n ) n=0 heißt arithmetisch, falls die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant (d.h. unabhängig von n) ist. a n+1 a n = d d ist konstante Zahl Definition 1b Eine Folge (a n ) n=0 heißt arithmetisch, falls es Konstanten a 0, d gibt, sodass a n = a 0 +nd, n N. D.h. die Folgenglieder entsprechen dem Bildungsgesetz a n = a 0 + nd. Behauptung: Def. 1a und 1b sind äquivalent: : a n+1 a n = a 0 + (n + 1)d (a 0 + nd) = d : a n = a }{{} n 1 +d = a n +d = = a }{{} 0 + nd a n +d a n 3 +d Beispiele: Ist die Folge (, 5, 8, 11, 14, 17,... ) arithmetisch? Die Folge (a n ) n=0 mit a n = + 3n (n 0) ist arithmetisch. Von einer Folge (c k ) k=1 ist bekannt, dass die rekursive Beziehung c j+1 = c j + d, j N besteht. Ist die Folge arithmetisch? geometrische Folgen Definition a 10

11 Eine Folge (b n ) n=0 heißt geometrisch, falls der Quotient aufeinanderfolgender Glieder konstant (d.h. unabhängig von n) ist, d.h. b n+1 = b n q q ist konstante Zahl für ALLE n Definition b Eine Folge (b n ) n=0 heißt geometrisch, falls diese dem Bildungsgesetz b n = b 0 q n, n N mit geeigneten Konstanten b 0, q folgt. Behauptung: Def. a und b sind äquivalent: Beispiele: b n+1 : = b 0q n+1 = b 0q n q b n b 0 q n b 0 q = q n : b n = b }{{} n 1 q = b n q = = b }{{} 0 q n b n q b n 3 q Ist die Folge (3, 6, 1, 4, 48, 96,... ) geometrisch? Die Folge b n = 3 n 1, n = 1,, 3, ist geometrisch.(q = ) Ist die Folge (3, 16, 8, 4,, 1, 1/,... ) geometrisch? Die Folge b n = 3 ( 1 ) n, n = 0, 1,, 3, ist geometrisch. (q = 1/) Verzinsung des Kapitals: K 0 Kapital zum Zeitpunkt 0, r Zinssatz (p.a.) Unter der Annahme konstanter Zinsen und Berücksichtigung von Zinseszinsen beträgt das Kapital nach n Jahren K n = K 0 (1 + r) n = K 0 q n, n = 0, 1,, 3, 11

12 Sukzessive Auf- oder Abdiskontierung eines Gutes. Beispiel: Ist die Folge (a n ) n=0 mit a n = (n 1) n eine arithmetische oder geometrische Folge oder keines von beiden? Kriterium: Ist d = a n+1 a n eine konstante Zahl n arithmetische Folge Ist q = a n+1 a n eine konstante Zahl n geometrische Folge Beispiel: Gibt es eine Folge, die sowohl arithmetisch als auch geometrisch ist?.1.3 Monotonie und Beschränktheit: Monotonie: Eine Folge (a n ) n=0 heißt monoton wachsend a n+1 a n, n N 0 streng monoton wachsend a n+1 > a n, n N 0 konstant a n+1 = a n, n N 0 monoton fallend a n+1 a n, n N 0 streng monoton fallend a n+1 < a n, n N 0 Beispiele: Die Folge (a n ) n=0 mit a n = + 3n ist streng monoton wachsend. ( a n = (, 5, 8, 11,... )) Die Folge (a n ) n=0 mit a n = 13 n ist streng monoton fallend. ( a n = (13, 11, 9, 7,... )) (,,,,... ): konstante Folge (gleichzeitig monoton wachsend und fallend) a n = n 1 n (a n) n N ist streng monoton wachsend 1

13 a n = n+5 5n+3 (a n) n N ist streng monoton fallend a n = ( 1) n (a n ) n N erfüllt keines der Kriterien a n = n, 0 n 4, wachsend a n = 3, n 5 ist monoton wachsend aber nicht streng monoton Bemerkung: Im Fall von Folgen (a n ) n N0 a n > 0(a n < 0), n N 0 gilt: mit strikt positiven (negativen) Gliedern, i.e. monoton wachsend a n+1 /a n ( )1, n N 0 streng monoton wachsend a n+1 /a n > (<)1, n N 0 konstant a n+1 /a n = 1, n N 0 monoton fallend a n+1 /a n ( )1, n N 0 streng monoton fallend a n+1 /a n < (>)1, n N 0 Beispiel: (a n ) n N = ( n! n )n N (a n) n N ist m.w. Beschränktheit: Eine Folge (a n ) n I heißt nach oben beschränkt wenn es eine Zahl M h R gibt, sodass für alle n I gilt, dass a n M h. nach unten beschränkt wenn es eine Zahl M l R gibt, sodass für alle n I gilt, dass a n M l. beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist., d.h. es gibt eine reelle Zahl M, sodass a n M, n I. Definition: 13

14 Unter dem Supremum sup(a n ) n I versteht man die kleinste obere Schranke der Folge. Unter dem Infimum inf(a n ) n I versteht man die größte untere Schranke der Folge..1.4 Konvergenz und Grenzwert Konvergenz: 1. Eine Folge (a n ) n N heißt Nullfolge, falls für jede beliebige noch so kleine Zahl ɛ > 0 eine Zahl N(ɛ) existiert, sodass a n < ɛ für alle n N(ɛ). ( ab einem hinreichend großen Index N sind alle Folgenglieder beliebig nahe bei 0 ). Eine Folge (a n ) n N heißt konvergent gegen eine reelle Zahl a, wenn die Folge (a n a) n N eine Nullfolge ist. lim a n = a n (a Grenzwert oder Limes der Folge) 3. Mathematisch exakte Definition des Grenzwertes: a ist Limes von (a n ) n N0, falls es für jedes (noch so kleine) ε > 0 ein N(ε) N 0 gibt, sodass für alle n N(ε) gilt: a n a < ε (oder kompakter: ε > 0 N(ε) N 0 sodass n N(ε) : a n a < ε). (d.h. ab einem hinreichend großen Index N(ɛ) liegen alle weiteren Folgeglieder beliebig nahe zum Grenzwert a.) Beispiele: 1. Bsp: Die harmonische Folge ( 1 n) ist eine Nullfolge. n=1 14

15 Folgenglieder werden immer kleiner, bleiben aber immer > 0. Die Folge geht beliebig nah an 0, erreicht dies jedoch nie. Beweis: Wähle ein beliebig kleines ɛ > 0 (z.b. ein Millionstel, i.e ) Wir betrachten nun die Funktion f : R Z, die jeder reellen Zahl x die gr oßte ganze Zahl x zuordnet, i.e. z.b..77 =, 4. = 4,.54 = 3 Sei N(ɛ) = 1 ɛ + 1. N(ɛ) > 1 ɛ x = größte ganze Zahl x Dann gilt für alle n N(ɛ) : a n = 1 n = 1 n 1 N(ɛ) < ɛ. Weitere Nullfolgen a n = ( 1)n n lim n a n = 0 a n = 1 n α mit α > 0 lim n a n = 0 3. a n = L + ( 1)n. lim n n a n = L Divergenz Folgen, die nicht konvergent sind, heißen divergent. 15

16 Bestimmt divergente Folgen: Falls die Folgenglieder systematisch jede Schranke überschreiten (bzw. unterschreiten). Man schreibt lim n a n = (bzw. lim n a n = ). Unbestimmt divergente Folgen: Divergente Folgen, die weder gegen + noch gegen streben. Beispiele für divergente Folgen: Die Folge (a n ) n=0 = (( 1)n ) n=0 = (1, 1, 1, 1, 1, ) ist unbestimmt divergent. Der Limes der Folge a n = n α mit α R, α > 0 ist ; i.e. lim n n α = Die Folge (b n ) mit b n = ( 1) n +1/n, n N ist unbestimmt divergent. Die Häufungspunkte dieser Folge sind { 1, 1}. 16

17 Eigenschaften und Rechenregeln: Jede konvergente Folge (a n ) n=0 ist beschränkt wähle z.b. ɛ = 1. Konvergenz N sodass a n a < 1 bzw. a 1 < a n < a + 1 n N. Weiters gilt: min{a 0, a 1, a, a }{{ N 1 } a } i max{a 0, a 1, a, a N 1 }, i = 0, 1, N 1 }{{} endlich viele endlich viele min{a 0, a 1, a N 1, a 1} a i max{a 0, a 1, a N 1, a + 1}, i N. Die Summe zweier konvergenter Folgen ist konvergent und es gilt lim (a n + b n ) = ( lim a n ) + ( lim b n ) n n n Sei lim n a n = a und lim n b n = b. Sei ɛ > 0. N 1 sodass a n a < ɛ n N 1 N sodass b n b < ɛ n N a n + b n (a + b) = a n a + b n b a n a + b n b < ɛ n max{n 1, N } Das Produkt einer Nullfolge mit einer beschränkten Folge ist eine Nullfolge beschränkte Folge (b n ) n=0, i.e. b n < C, n N. Nullfolge (a n ) n=0, i.e. für beliebiges ɛ > 0 N, sodass a n < ɛ C n > N. a n b n = a n b n < C a n < ɛ n N. 17

18 Das Produkt zweier konvergenter Folgen ist konvergent und es gilt lim (a nb n ) = ( lim a n )( lim b n ) n n n Sei lim n a n = a und lim n b n = b, sowie ɛ > 0. Die Folge (a n ) n=0ist beschränkt, i.e. a n < C n N. N 1 sodass a n a < ɛ ( b + 1) n N 1 N sodass b n b < ɛ C n N a n b n ab = a n b n a n b + a n b ab a n b n a n b + a n b ab a n b n b + b a n a < < C b n b + b a }{{} n a < ɛ }{{} n max{n 1, N } < ɛ < ɛ C ( b +1) Konvergiert eine Folge gegen einen Grenzwert ungleich 0, so konvergiert auch die Folge der Kehrwerte und es gilt: lim n 1 a n = 1 lim n a n Sei obda lim a n = a > 0. Es existiert ein N 1 sodass a < a n n N 1 sowie ein N sodass a n a < a ɛ n N. 1 1 a n a a a n aa n < a a n a < ɛ n max{n 1, N } 18

19 Einschachtelungsprinzip: Gilt a n b n c n für alle n N und lim n a n = lim n c n = L, so gilt auch lim n b n = L. Beispiel: Sei b n = sin( 1 n ). Zeigen wir dass lim n b n = 0. Sei a n = 0 und c n = 1, für alle n N. Dann gilt: n 0 sin( 1 n ) 1 n, n N und nachdem lim n a n = lim n c n = 0, es folgt lim n b n = 0. Proposition: Eine Folge, die monoton wachsend und nach oben beschränkt ist, ist konvergent. Analog gilt: Eine Folge, die monoton fallend und nach unten beschränkt ist, ist konvergent. Folgerung: Sei (a n ) n N eine monotone Folge (monoton wachsend oder monoton fallend). Dann gilt: (a n ) n N ist konvergent (a n ) n N ist beschränkt. Bemerkung: Das heißt nicht, dass konvergente Folgen monoton sein müssen. Anwendungen: 1.. n 3 + n 7n + lim n 4n 3 + 8n 1 + = lim 7 + n n n 3 n = lim ( 1 + ) 7 + n n n 3 n n lim ( ) = n n 3 = lim 1 + lim 7 lim + lim n n n 3 lim 4 + lim 8 lim = 1 4 n n 3 n 3 1n + 5 lim n 4n 4 + n = lim n n n n = lim n n 4 ( ) n n n 4 lim ( ) = 4 + n n 4 19

20 = lim 1 lim + lim 5 n n n 4 lim 4 + lim lim = 0 4 = 0 n n 4 3. lim n n 4 + 3n 1 n 3 + n = lim n n n 3 n + 1 = lim ( ) n n n 3 n n lim ( + 1 ) = 3 n n 3 = lim n + lim 3 n lim 1 n 3 lim + lim 1 n lim n 3 unbeschränkt, divergent 4. ( lim n + 4n + (n n + n 1) + 4n + ) (n + n 1) = lim n n n + 4n + + n + n 1 = = lim n n + n n = 1 + n 1n lim( + 3 n ) lim(1 + 4 n + n ) + lim(1 + n 1 n ) = 1 a b = (a b)(a + b) a + b = a b a + b 0

21 . Reihen Gegeben sei eine Folge (a j ) j=1. Dann können folgende Partialsummen gebildet werden: s 1 = a 1 s = a 1 + a s 3 = a 1 + a + a 3... s k = a 1 + a + + a k Definition: Die Folge (s k ) k=1 = (a 1, a 1 + a, a 1 + a + a 3, ) heißt Reihe mit Gliedern a n. Beispiele: Schüler bekommen die Aufgabe, die natürlichen Zahlen zwischen 1 bis 100 aufzusummieren. Wie kann dies leicht berechnet werden? 100 i=1 i =? Die Folge (a i ) 100 i=1 mit a i = i bildet eine arithmetische Folge. Schachbrettbeispiel: Angenommen, man legt auf das erste Feld eines Schachbretts ein Korn, auf das zweite Feld das doppelte, also zwei, auf das dritte wiederum die doppelte Menge, also vier und so weiter. Wieviele Körner liegen insgesamt auf dem Schachbrett? Die Anzahl der Körner entsprechen einer geometrischen Folge, i.e. K i = i 1, i = 1,, 64 1

22 d.h. wir suchen K i = i=1 i=1 i 1..1 Summenformeln Sei (a n ) n=0 eine arithmetische Folge, n, m N, m n. Dann gilt: m a i = i=n Anzahl der Summanden 1.Glied {}}{ (m n + 1) ( {}}{ formaler Beweis (vollständige Induktion) a n + letztes Glied {}}{ a m ) obda:n = 0 A(m) : m i=0 a i = (m + 1) (a 0 + a m ) 1. A(0) ist wahr, da 0 i=0 a i = a 0 = (0 + 1) (a 0+a 0 ). A(m) : m i=0 a i = (m + 1) (a 0+a m ) 3. A(m + 1) : m+1 i=0 a i = m i=0 a i + a m+1 = (m + 1) (a 0+a m ) + a m+1 = anschaulicher Beweis: = 1[(m + 1)a 0 + (m + 1)a m + a m+1 )] = =a m+1 =a {}}{ m+1 {}}{ = 1[(m + 1)a 0 + (m + 1)a m + a 0 + (m + 1)d + a m + d] = = 1 [(m + )a 0 + =(m+)a m+1 {}}{ (m + )a m + (m + )d) = (m+) (a 0 + a m+1 ) =a n+a m {}}{ a n + a n+1 + a n+k + + a m k + + a }{{ m 1 +a } m =a n +a m

23 (a n+k + a m k = a 0 + (n + k)d + a 0 + (m k)d = a 0 + nd + a 0 + md= a n + a m ) Generell (bei beliebigen Folgen) ändert sich die Summe nicht, wenn sowohl a n+k als auch a m k durch den Mittelwert a n+k+a m k ersetzt werden. Da bei arithmetischen Folgen a n+k + a m k = a n + a m gilt, ändert sich die Summe nicht, wenn jedes a i in der Summe durch an+am ersetzt wird. Die Summe ist daher gleich der Anzahl der Summanden multipliziert mit dem Mittelwert des ersten und des letzten Gliedes. Sei (b n ) n=0 eine geometrische Folge mit q 1, n, m N, m n. Dann gilt: m b i = i=n 1.Glied {}}{ b n Anzahl der Summanden {}}{ 1 q (m n + 1) 1 q Beweis: S := m i=n b i = b n + b n q + b n q + + b n q m n Sq = b n q + b n q + b n q b n q m n+1 S Sq = b n b n q m n+1 q 1 S = b n 1 q m n+1 1 q Falls q < 1 : i=n b i = lim b 1 q (m n+1) n m 1 q = b n 1 q Beispiele: Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis

24 00 n=3 (5 + 3n) =... 0 n=0 ( 3 ) n = n=7 4 ( 8 9) n = n=0 n =... Unendliche Reihen: Für eine Folge (a n ) n N0 heißt s k := k n=0 a n die k-te Partialsumme der Folge (a n ) n N0. Konvergente vs. Divergente Reihe Die unendliche Summe n=0 a n ist definiert als n=0 a n := lim k s k =: s, falls dieser Limes existiert. Existiert der Grenzwert lim k s k, so heißt die Reihe konvergent (gegen s R), ansonsten divergent. Bemerkungen Konvergieren die Summanden einer Reihe nicht gegen Null, so ist diese offensichtlich divergent. Für Folgen (a n ) n N0 notwendigerweise! mit lim n = 0, konvergiert die zugehörige Reihe n=0 a n nicht Es gibt relativ einfache Kriterien, um herauszufinden ob eine Reihe konvergiert oder nicht (Konvergenzkriterien). Den genauen Wert zu bestimmen ist oft schwieriger. 4

25 Beispiele Die harmonische Reihe 1 n=1 n ist divergent. s n = n k=1 1 k = n Konvergiert (s n )? Betrachten nun die Teilfolge (s n): Es gilt: (s n) 1 + n. Also ist s n unbeschränkt, und damit nicht konvergent. Die Reihe n=1 1 n ist konvergent Sei s n = 1 + ( 1 ( ) + 1 ) ( 1 n ). Beweisen Sie dass (s n ) n N konvergiert. Die Folge ist streng monoton wachsend. Zeigen wir noch dass (s n ) n N von oben beschränkt ist. Es gilt s n = 1 + ( ) 1 + ( ) ( ) n n 1 1 n = 1 + Es gilt lim n a n = π 6. ( ) ( ) ( n 1 1 ) = 1 n n 5