Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker

Transkript

1 e von Folgen und Reihen

2 Allgemeine Folgen Nullfolgen Allgemeine Folgen Erinnerung: Folgen Wird jeder natürlichen Zahl n eine reelle Zahl a n zugeordnet, so spricht man von einer Zahlenfolge oder kurz Folge und schreibt {a n } bzw. n a n. Beispiele für allgemeine Folgen und ihre Darstellung (allgemeines Glied): 1, 1 2, 1 3, 1 4,... a n = 1 n 1, 2, 3, 4,... a n = n n+1 2, 3 2, 4 3, 5 4,... a n = ( 1) n n+1 n 2, 9, 64, 625,... a n = (n+1)n = ( n+1 n n n Zähler: 2 1, 3 2, 4 3,... Nenner: 1 1, 2 2, 3 3,... ) n = ( n) n

3 Allgemeine Folgen Nullfolgen Nullfolgen Anschauliche Erklärung: Eine Nullfolge ist eine Folge, deren Glieder a n sich (für wachsendes n) immer mehr dem Wert Null nähern. Beispiel: a n = 1 ist eine Nullfolge. n Betrachtet man z.b. das Glied a , so hat dies nur noch den Wert 0,000001, ist also fast Null.

4 Allgemeine Folgen Nullfolgen Nullfolgen Kann man berechnen, ab welchem Glied sich diese Folge bis auf 0,2 Einheiten der Null genähert hat? Bezeichnung für diesen Abstand (0,2) ist allgemein der griechische Buchstabe ɛ (Epsilon). Also: Ab welchem Glied gilt a n < ɛ?

5 Allgemeine Folgen Nullfolgen Nullfolgen Beispiel: a n = 1 n Ab welchem Glied ist a n = 1 kleiner ɛ? n 1 Also, ab welchem Glied gilt: < ɛ n Formel nach n umstellen: 1 ɛ < n ɛ einsetzen: 1 0,2 < n Wir erhalten: n > 5 Ergebnis: Ab dem 6. Glied sind die Glieder der Folge a n = 1 n kleiner als 0,2.

6 Allgemeine Folgen Nullfolgen Nullfolgen Frage: sind alle Glieder nach dem 6. Glied kleiner als 0,2? Theoretisch könnte die Folge danach wieder nach oben ausreiÿen und z. B. folgenden Verlauf zeigen:

7 Allgemeine Folgen Nullfolgen Nullfolgen Frage: sind alle Glieder der Folge a n = 1 nach dem 6. Glied n kleiner als 0,2? Ja, alle Glieder ab dem 6. Glied sind kleiner als 0,2, denn wie gesehen gilt: a n < 0, 2 = 1 1 < 0, 2 = n > n 0, 2 = n > 5 Da wir nur Äquivalenzumformungen vorgenommen haben, darf das Implikationszeichen (= ) sogar durch ein Äquivalenzzeichen ersetzt werden ( ). a n < 0, < 0, 2 n > n 0, 2 n > 5 Folglich gilt: n > 5 = a n < 0, 2.

8 Allgemeine Folgen Nullfolgen Nullfolgen Aufgabe: Ab welchem Glied hat sich die Folge a n = 1 n 0,003 Einheiten der Null genähert? bis auf Glieder der Folge: a n = 1 n Ab welchem Glied gilt 1 n < ɛ? Formel nach n umstellen: 1 ɛ < n Setze ɛ ein: 1 0,003 < n Wir erhalten n > 333, 333 Ergebnis: ab dem 334. Glied sind die Glieder der Folge kleiner als 0,003.

9 Allgemeine Folgen Nullfolgen Nullfolgen: N(ɛ) Denition: Wir betrachten wieder eine Nullfolge und ein beliebiges ɛ: Die erste Zahl n, bei dem ein Glied kleiner als ɛ ist, nennt man N(ɛ).

10 Allgemeine Folgen Nullfolgen Nullfolgen: Folgen mit negativen Gliedern (I) Frage bisher: Für welche n gilt: a n < 0, 2 Was ist, wenn die Folge negative Glieder hat? Dann sind alle Glieder kleiner als 0,2!

11 Allgemeine Folgen Nullfolgen Nullfolgen: Folgen mit negativen Gliedern (II) Sinnvoller: Wann ist der Betrag der Folge kleiner als 0,2? Für welche n gilt: a n < 0, 2 Anders ausgedrückt: wann hat die Folge den Bereich +/ ɛ erreicht?

12 Allgemeine Folgen Nullfolgen Nullfolgen: Denition Eine Folge {a n } heiÿt Nullfolge, wenn ab einem bestimmten Glied N(ɛ) alle Glieder der Folge betragsmäÿig kleiner als ɛ sind und ɛ beliebig klein gewählt werden kann. Als Formel: a n < ɛ für alle n > N(ɛ) für ɛ beliebig klein. Beispiel: Die Glieder der Folge a n = 1 werden kleiner als ein n beliebiges ɛ. Die Folge ist somit eine Nullfolge.

13 Allgemeine Folgen Nullfolgen Nullfolgen: Gegenbeispiel Gegenbeispiel: Um die Denition anschaulicher zu machen, wollen wir ein Gegenbeispiel angeben: ist keine Nullfolge. a n = n Die Glieder der Folge werden immer kleiner aber nicht beliebig klein, denn kein Glied der Folge kann kleiner als 0,01 werden.

14 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Allgemein: konvergente Folgen (Denition) Zur Denition allgemein konvergenter Folgen benützen wir wieder den Begri der ɛ-umgebung. Eine andere Formulierung der Denition von Nullfolgen: Eine Folge konvergiert gegen 0, wenn ab einem bestimmten Glied alle Glieder einen Wert zwischen 0 ɛ und 0 + ɛ haben (d. h. die Glieder liegen in der Umgebung 0 ± ɛ), wobei ɛ beliebig klein gewählt werden darf. Genauso deniert man allgemein konvergente Folgen: Eine Folge konvergiert gegen einen Wert a, wenn ab einem bestimmten Glied alle Glieder einen Wert zwischen a ɛ und a + ɛ haben (d. h. in einer Umgebung a ± ɛ liegen), wobei ɛ beliebig klein gewählt werden darf. a ist der Grenzwert der Folge.

15 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Allgemein: konvergente Folgen (Beispiel) Im Beispiel wurde a = 2 und ɛ = 0.25 gewählt:

16 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Zusammenhang: Nullfolge allgemein konvergente Folge Oberer Teil des Bildes: Folge, die gegen a = 2 konvergiert. Nun ziehen wir von jedem Glied den Wert 2 ab; wie man sieht erhalten wir eine Nullfolge.

17 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Zusammenhang: Nullfolge allgemein konvergente Folge Diese wichtige Feststellung halten wir in einem Satz fest: Die Folge {a n } konvergiert genau dann gegen a, wenn die Folge {a n a} eine Nullfolge ist. Man schreibt: a n a (für n ) oder lim n a n = a Eine Folge {a n }, die keinen Grenzwert hat, heiÿt divergent. Unterscheidung: wenn der Grenzwert ± ist: bestimmt divergent wenn kein Grenzwert existiert: unbestimmt divergent

18 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Grenzwerte von Folgen: Beispiele Beispiele für Nullfolgen: 1, 1, 1, 1 n n n+1 { ( 1) n, 1 1, 2n n 2 n k n 2 } = { 1, 1 4, 1 9, 1 16,... } 0 (konvergiert alternierend gegen 0) für k IN {2n} = {2, 4, 6, 8,... } (bestimmt divergent, wächst über alle Grenzen) {( 1) n } = { 1, 1, 1, 1 1,... } Kein Grenzwert (unbestimmt divergent)

19 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Rechenregeln für konvergente Folgen (Grenzwertsätze) Satz: Gegeben seien zwei konvergente Folgen: Die Folge {a n }, die gegen a konvergiert, a n a Die Folge {b n }, die gegen b konvergiert, b n b. Dann gilt: a n ± b n a ± b ca n ca (c IR) a n b n ab a n b n a b (b n 0, b 0) Auÿerdem: a n 0, a n > 0 = 1 a n + a n 0, a n < 0 = 1 a n

20 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Beispiel I Grenzwert von: a n = a n = lim n a n = = 5n + 8n2 Brüche immer zuerst kürzen mit 4 2n 2 der höchsten Potenz! Hier: n n Dann Regeln anwenden: 4 2 n 2 ( ) 5 lim n n lim n ( ) = n + lim 8 n 4 n 2 2 lim n 1 5 lim n n + lim 8 n = 1 4 lim n n lim 2 2 n lim n 4 n lim 2 n = 4

21 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Beispiel II a n = n 2 + n Achtung: ist i.a. nicht Null! n 2 + 2n Zu Binomischer Formel erweitern, um Wurzel im Zähler zu eliminieren. ( n a n = 2 + n n 2 + 2n)( n 2 + n + n 2 + 2n) n2 + n + n 2 + 2n = (n 2 + n) (n 2 + 2n) n2 + n + n 2 + 2n = = n n2 + n + n 2 + 2n n n n = 1 2 Brüche immer zuerst kürzen mit der höchsten Potenz! Hier: n (Wurzel).

22 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Konvergenz von geometrischen/arithmetischen Folgen Satz: Eine geometrische Folge a n = aq n 1 mit q < 1 hat den Grenzwert 0 (d. h. a n ist eine Nullfolge). Für q = 1 ist a n = a, also {a n } konvergent gegen a. Für alle anderen Werte von q konvergiert die geometrische Folge nicht: Für q > 1 divergiert die Folge gegen oder. Satz: Eine arithmetische Folge mit d 0 ist divergent (d. h. nicht konvergent; Grenzwert: oder ).

23 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe Wdh. geometrische Reihe: 1 q n s n = a 1 + a 1 q + a 1 q a 1 q n 1 = a 1 1 q s n ist eine Folge (abhängig von n). Gegen welchen Wert strebt die Folge {s n } für n? Erinnerung: q n 0 für n, wenn q < 1. Also für q < 1: lim lim (1 s n qn ) lim 1 lim n = a 1 n lim (1 q) = a n n qn 1 lim 1 lim q = a q n n n bzw. lim n k=0 n 1 a 1 q k = k=0 a 1 q k = a q ( q < 1)

24 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Konvergenz für beschränke und monotone Folgen Es lässt sich zeigen, dass eine Folge konvergiert, wenn sie bestimmte Eigenschaften besitzt. Eine Folge {a n } heiÿt monoton wachsend, falls a n a n+1 für alle n = 1,2,... monoton fallend, falls a n a n+1 für alle n = 1,2,... Gilt < bzw. > statt oder, so nennt man die Folge streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend. Beispiel: Die Folge a n = 1 ist streng monoton fallend, denn es gilt n für alle n. 1 n > 1 n+1

25 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Konvergenz für beschränke und monotone Folgen Eine Folge {a n } heiÿt beschränkt, falls es zwei Zahlen (Schranken) u und v gibt, so dass u a n v für alle n {a n } heiÿt unbeschränkt, falls es in mindestens einer Richtung keine Schranke für {a n } gibt. Beispiel: Die Folge a n = 1 ist beschränkt durch 1 nach oben und durch n 0 nach unten. Die Folge a n = n 2 ist durch 0 nach unten beschränkt. Nach oben ist {a n } unbeschränkt (n 2 wird beliebig groÿ).

26 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Konvergenz für beschränke und monotone Folgen Satz: Jede beschränkte, monotone Folge ist konvergent. Oft wird der Vergleich mit einer konvergenten geometrischen Reihe dazu benutzt, um die Konvergenz einer unbekannten Reihe zu beweisen.

27 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Konvergenz für beschränke und monotone Folgen n 1 Beispiel: Welchen Grenzwert hat die Reihe k!? k=1 Glieder: a n = 1 n! : 1 1 ; ; ; ;... 1 a n = 1 2 } 3 4 {{... n} (n 1) Faktoren 2 Der Bruch wird gröÿer, wenn wir den Nenner kleiner machen, also schätzen wir die (n 1) Faktoren jeweils durch 2 nach unten ab: a n = n 1 ( 1 2 = n 1 2 ) n 1

28 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Konvergenz für beschränke und monotone Folgen Beispiel (Forts.): Für jedes einzelne Glied gilt die Abschätzung a n ( 1 2) n 1. Für die Reihe gilt dann die folgende Abschätzung: s n = n 1 n ( ) 1 k 1 k! 2 k=1 k=1 k=1 ( 1 2) k geom. Reihe = = 2 Die Reihe s n ist monoton wachsend (es kommt jedes Mal ein positiver Summand dazu) und durch 2 nach oben beschränkt. = s n konvergiert.

29 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Stetige Verzinsung: Die Zahl e ( ) Wdh. unterjährige Verzinsung: K n = K p nm m Schon gesehen: der eektive Zinssatz ist umso höher, je kleiner die Zeitintervalle sind. Kann der Zinssatz beliebig groÿ werden? Wir betrachten ( 1 + m) 1 m. Man erhält folgende Wertetabelle: ( m m ( ) m) m m m , , , , , , , Man kann zeigen, dass die Folge (1 + 1 m )m streng monoton wächst und durch 3 nach oben beschränkt ( ist = Folge konvergiert. Der Grenzwert e = lim m m m) 2, heiÿt Eulersche Zahl.

30 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Stetige Verzinsung Stetige Verzinsung/stetiges Wachstum: Zeitintervalle werden beliebig klein, streben gegen 0. Kapital am Ende des Jahres: ( = K ) p m p m/p ) m p p ( K 1 = K p ) m = K0 (1 + p/p m m/p (( z= m p = K 0 lim K 1 = lim K 1 = lim K 0 m z z ( ( z ) z } {{ } e z ) p = K 0 e p ) z ) p

31 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Stetige Verzinsung Kapital nach t Jahren: ( K t = K(t) = lim K p ) mt = K0 e pt m m Wachstum bei stetiger Verzinsung / Kontostand nach t Jahren bei einer Verzinsung von p: K t = K 0 e pt

32 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Prinzip der vollständigen Induktion (I) Induktion wird dazu benutzt, um zu beweisen, dass Aussagen, die von n abhängen, für alle n wahr sind. Sei (A n ) eine Aussage, die von n abhängt. Beispiel: (A n ) : n k=1 1 k(k + 1) = 1 1 n + 1 Es soll gezeigt werden, dass (A n ) für alle n = 1, 2,... gilt. 1. Induktionsanfang: Man zeigt, dass (A n ) für n = 1 gilt. Hier: 1 1 linke Seite: k(k + 1) = = 1 2 k=1 rechte Seite: = = 1 2 Damit gilt li. Seite = re. Seite.

33 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Prinzip der vollständigen Induktion (II) 2. Induktionsannahme: Die Aussage (A n ) sei richtig für n = 1, 2,..., n Induktionsschritt: Schluss von n 0 auf n Zu zeigen: (A n ) ist richtig für n unter der Annahme, dass (A n ) richtig ist. li. Seite = n 0 +1 k=1 n0 1 k(k + 1) = k=1 (A n) = 1 1 n = 1 1 k(k + 1) + 1 (n 0 + 1)(n 0 + 2) (n 0 + 1)(n 0 + 2) n (n 0 + 1)(n 0 + 2) = 1 n (n 0 + 1)(n 0 + 2) = 1 1 n = 1 1 = re. Seite (n 0 + 1) + 1

34 Konvergenz: Denition und Rechenregeln Konvergenz von geom./arithm. Folgen und Reihen Beschränkte und monotone Folgen Stetige Verzinsung Vollständige Induktion Prinzip der vollständigen Induktion (allgemein) Um zu zeigen, dass eine von n abhängige Aussage (A n ) für alle n gilt, geht man in folgenden Schritten vor: 1. Induktionsanfang: Zeige, dass (A n ) für n = 1 gilt. 2. Induktionsannahme: (A k ) sei richtig für k = 1, 2,..., n. 3. Induktionsschritt: Zeige, dass (A n+1 ) richtig ist. Dafür: Beginne mit der li. Seite von (A n+1) Forme die li. Seite von (A n+1) so lange um, bis als Term die li. Seite von (A n ) erscheint. Ersetze die li. Seite von (A n ) durch die re. Seite von (A n ) (dies ist richtig nach der Induktionsannahme). Forme so lange um, bis die re. Seite von (A n+1) dasteht. Damit wurde gezeigt, dass (A n+1) richtig ist: li. Seite von (A n+1) = re. Seite von (A n+1) 4. Insgesamt: (A 1 ) gilt nach (A 2 ) gilt 3. (A 3 ) gilt 3. etc.

35 Denition Konvergenz rekursiver Folgen Rekursive Folge: Das (n + 1)-te Glied ist eine Funktion des vorangegangenen, n-ten Gliedes (Rekursionstiefe: 1). Zusätzlich anzugeben: Startwert a 1. a 1 = a; a n+1 = F (a n ) Wenn die Folge einen Grenzwert hat, so gilt für diesen Grenzwert a = F (a ) (falls F (a ) existiert). Frage: wann konvergiert die Folge (wann gibt es einen Grenzwert)?

36 Denition Konvergenz rekursiver Folgen : Beispiel Beispiel: a 1 = 1; a n+1 = a n a n Unter der Annahme, dass die Zahlenfolge konvergiert, lässt sich der Grenzwert a häug berechnen, indem man statt a n bzw. a n+1 jeweils a einsetzt: a = a a a 2 2 = 1 a = 2

37 Denition Konvergenz rekursiver Folgen Konvergenz rekursiver Folgen Frage: wann konvergiert eine rekursive Folge (wann gibt es einen Grenzwert)? Allgemein: eine Folge {a n } konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn {a n a } eine Nullfolge ist, also wenn das n 1-te Glied kleiner als das n-te ist bzw. a n+1 a < a } {{ } n a =F (a n) F (a ) bzw. F (a n ) F (a ) < a n a In Worten: Der Abstand der Funktionswerte muss kleiner als der Abstand der Argumente sein. F (x 1 ) F (x 2 ) < x 1 x 2 gilt aber, wenn F (x) < 1.

38 Denition Konvergenz rekursiver Folgen Fixpunktsatz Satz (Fixpunktsatz): Eine rekursiv denierte Folge a n+1 = F (a n ) ; a 1 = a konvergiert, wenn für die Ableitung der Iterationsvorschrift im betrachteten Bereich gilt: F (x) < 1

39 Denition Konvergenz rekursiver Folgen : Beispiel (Forts.) Beispiel: a 1 = 1; a n+1 = a n a n Wenn die Folge konvergiert, gilt lim n a n = 2. Nachweis mit Fixpunktsatz: Für x > 1 gilt: F (x) = x x = F (x) = x < F (x) < 1 2, bzw. F (x) < 1 Damit ist gezeigt, dass die Folge konvergiert.

40 Denition Konvergenz rekursiver Folgen Beispiel: Konvergenz einer rekursiven Folge (I) Frage: konvergiert die rekursive Folge a 1 = 1; a n+1 = 2a n + 6 1, n = 1, 2, 3,...? Glieder: a 1 = 1; a 2 1, 83; a 3 2, 11; a 4 2, 20;... Wir zeigen auf zwei Arten, dass die Folge konvergiert: durch Nachweis von Monotonie und Beschränktheit durch Anwendung des Fixpunktsatzes Anschlieÿend berechnen wir den Grenzwert.

41 Denition Konvergenz rekursiver Folgen Beispiel: Konvergenz einer rekursiven Folge (II) Zeige Konvergenz durch Monotonie und Beschränktheit (I) Vermutung: {a n } monoton wachsend: a n+1 a n. Beweis durch vollständige Induktion. 1. Induktionsanfang (n = 1): a 2 = = 8 1 > 1 = a 1, also gilt a 2 > a Ind.Ann.: Aussage sei richtig für k: a k+1 > a k. 3. Induktionsschluss: Schluss von k auf k + 1: Zu zeigen: Aussage ist richtig für k + 1: a k+2 > a k+1. a k+2 = 2a k a k+1>a k > 2a k = a k+1 also ist a k+2 > a k+1 richtig Aus 1. folgt: a 2 > a 1 = a 3 > a 2 = a 4 > a 3 etc. Also gilt a n+1 > a n für alle n.

42 Denition Konvergenz rekursiver Folgen Beispiel: Konvergenz einer rekursiven Folge (III) Zeige Konvergenz durch Monotonie und Beschränktheit (II) Vermutung: {a n } ist nach oben beschräkt, etwa durch 3. Beweis durch vollständige Induktion. 1. Induktionsanfang (n = 1): a 1 = 1 < 3 ist richtig. 2. Ind.Ann.: Aussage sei richtig für k: a k < Induktionsschluss: Schluss von k auf k + 1: Zu zeigen: Aussage ist richtig für k + 1: a k+1 = 2a k a k<3 < = , 46 < 3 Somit: Folge ist { monoton wachsend nach oben beschränkt = konvergent.

43 Denition Konvergenz rekursiver Folgen Beispiel: Konvergenz einer rekursiven Folge (III) Zeige Konvergenz durch den Fixpunktsatz: Rekursionsvorschrift: a n+1 = F (a n ) mit F (x) = 2x = F (x) = = a n ist konvergent x + 6 = 1 < 1 für x > 0 2x + 6

44 Denition Konvergenz rekursiver Folgen Beispiel: Konvergenz einer rekursiven Folge (IV) Berechnung des Grenzwertes: a n+1 = 2x + 6 1: Grenzwert a existiert nach den vorangegangenen Überlegungen. lim n a n+1 = lim 2an n a = 2a a + 1 = 2a + 6 (a + 1) 2 = 2a + 6 a 2 + 2a + 1 = 2a + 6 a 2 = 5 a = ± 5 a = + 5 (da a n > a n 1 > > a 1 > 0, muss a > 0 sein)

45 Denition Konvergenz rekursiver Folgen Gegenbeispiel Warum muss man Konvergenz beweisen? Falls die Folge konvergiert, kann man den Grenzwert häug durch Einsetzen in die Rekursionsformel erhalten. Man kann jedoch damit nicht beweisen, dass eine Folge konvergiert. Gegenbeispiel: a n+1 = 1 a n Falls {a n } konvergiert: a = 1 a 2a = 1 a = 1 2 Aber: a 1 = 1, a 2 = 0, a 3 = 1, a 4 = 0, etc. = kein Grenzwert!

46 Anwendungen: Wachstumsmodell von Harrod Anwendung: Cobweb-Modell Zusammenfassung Anwendung: dynamische Wirtschaftstheorie Im Folgenden werden zwei Beispiele für rekursiv denierte Folgen betrachtet. Die Rekursion besteht darin, dass aktuelle Wirtschaftsdaten direkt von den Daten des Vorjahres abhängen. Die Beispiele zeigen Entwicklung des Volkseinkommens (Modell von Harrod) Entwicklung des Preises (Cobweb-Modell)

47 Anwendungen: Wachstumsmodell von Harrod Anwendung: Cobweb-Modell Zusammenfassung Wachstumsmodell von Harrod Das Modell soll das Wachstum des Volkseinkommens beschreiben. Dabei hängt das Volkseinkommen davon ab, wie viel investiert wird. Die Investitionen wiederum werden dadurch bestimmt, wie viel gespart wird. Nach jeder Zeitperiode werden folgende Variablen betrachtet: Y t : Volkseinkommen in der Periode t S t : gesparte Summe in der Periode t I t : (beabsichtigte) Investition in der Periode t

48 Anwendungen: Wachstumsmodell von Harrod Anwendung: Cobweb-Modell Zusammenfassung Wachstumsmodell von Harrod (I) Es werden folgende Modellannahmen getroen (Erfahrungswerte): 1. S t = αy t (α > 0) 2. I t = β(y t Y t 1) (β > 0) 3. I t = S t 4. Y 0 sei bekannt Interpretation der Gleichungen: 1. Ein konstanter Prozentsatz α des Volkseinkommens wird gepart. 2. Investitionen haben einen konstanten prozentualen Einuss auf den Zuwachs des Volkseinkommens (Dierenz zwischen Volkseinkommen der laufenden (Y t ) und der letzten Periode (Y t 1)). 3. Die Höhe der Investition bestimmt sich aus den Ersparnissen alle Ersparnisse werden investiert.

49 Anwendungen: Wachstumsmodell von Harrod Anwendung: Cobweb-Modell Zusammenfassung Wachstumsmodell von Harrod (II) Damit entsteht folgender Zusammenhang: αy t = β(y t Y t 1 ) (β α)y t = βy t 1 Y t = β β α Y t 1 Y t ist durch diesen Zusammenhang rekursiv deniert. Dies nennt man eine Dierenzengleichung. Eine Dierenzengleichung ist nichts anderes als eine rekursive Denition einer Folge.

50 Anwendungen: Wachstumsmodell von Harrod Anwendung: Cobweb-Modell Zusammenfassung Wachstumsmodell von Harrod (III) Berechnung der Lösung von Y t = Y 1 = β β α Y 0 β Y 2 = β α Y 1 = ( β Y t = β α ( 2 β β α) Y0 β β α Y t 1: ) t Y 0 Einkommensentwicklung im Harrod-Modell Die Lösung ist eine geometrische Folge. Die Zeit wird dabei als diskreter Paramter betrachtet, d.h. das Volkseinkommen wird nach diskreten Zeitabständen gemessen: Y 1 ist das Einkommen im 1. Jahr, Y 2 das Einkommen im 2. Jahr, etc.

51 Anwendungen: Wachstumsmodell von Harrod Anwendung: Cobweb-Modell Zusammenfassung Cobweb-Modell (Spinnweb-Modell) (I) Modell über die Preisentwicklung. Anwendbar, wenn Produktionsmengen eine Periode vor dem Verkauf festgelegt werden müssen (z.b. Landwirtschaft). ft A : Angebot im Zeitabschnitt t; abhängig vom Preis in der letzten Periode ft N : Nachfrage im Zeitabschnitt t; abhängig vom aktuellen Preis p t : Preis im Zeitabschnitt t = f A t : abhängig von p t 1 f N t : abhängig von p t

52 Anwendungen: Wachstumsmodell von Harrod Anwendung: Cobweb-Modell Zusammenfassung Cobweb-Modell (Spinnweb-Modell) (II) (Einfachste) Annahme: linearer Zusammenhang zwischen Angebot bzw. Nachfrage und Preis. Cobweb-Modell: f A f N t = α + βp t 1 α > 0, β > 0 t = a bp t a > 0, b > 0 Interpretation: Je höher der Preis p t 1, desto mehr wird in Periode t produziert. Je höher der Preis p t, desto weniger wird gekauft. Der Preis entwickelt sich in einem funktionierenden Markt so, dass sich Angebot und Nachfrage ausgleichen. Frage: bei welchem Preis ist das Marktgleichgewicht erreicht, d.h. wann gilt Angebot gleich Nachfrage?

53 Anwendungen: Wachstumsmodell von Harrod Anwendung: Cobweb-Modell Zusammenfassung Cobweb-Modell (Spinnweb-Modell) (III) Marktgleichgewicht: Wann gilt f A t = f N t? a bp t = α + βp t 1 bp t = βp t 1 + a α p t = β b p t 1 + a α b Der Preis wird hier rekursiv bestimmt. Die Preisentwicklung ist damit auch eine Dierenzengleichung.

54 Anwendungen: Wachstumsmodell von Harrod Anwendung: Cobweb-Modell Zusammenfassung Cobweb-Modell (Spinnweb-Modell) (IV) Zur Berechnung der Lösung setzen wir A = β b Damit gilt: p t = Ap t 1 + B bzw. p 1 = Ap 0 + B a α und B =. b p 2 = Ap 1 + B = A 2 p 0 + AB + B = A 2 p 0 + B(A + 1) p 3 = Ap 2 + B = A 3 p 0 + A 2 B + AB + B = A 3 p 0 + B(A 2 + A + 1) p t = A t p 0 + A t 1 B + A t 2 B + + B = A t p 0 + B At 1 A 1 wenn A 1. Ersetzte A und B wieder, so erhält man als Lösung die Preisentwicklung im Cobweb-Modell: ( ) ( ) p t = β t p0 + a α β t b 1 b b β 1 b

55 Anwendungen: Wachstumsmodell von Harrod Anwendung: Cobweb-Modell Zusammenfassung Zusammenfassung: Anwedungen von rekursiven Folgen Für die beiden Beispiele, Harrod- und Cobweb-Modell, wurden die Folgen jeweils rekursiv (als Dierenzengleichung) und explizit (Lösung der Dierenzengleichung) angegeben. Zusammenfassung: Modell Dierenzengleichung Lösung (rekursive Darstellung) (explizite Darstellung) Harrod Y t = CY t 1, Y 0 bekannt Y t = C t Y 0 Cobweb p t = Ap t 1 + B, p 0 bekannt p t = A t p 0 + B At 1(A 1) A 1 Für die Parameter A,B,C siehe ausführliche Herleitung. Explizite Darstellung: das n-te Glied kann sofort berechnet werden. Rekursive Darstellung: es kann jeweils nur das Folgeglied direkt berechnet werden; zur Berechnung des n-ten Gliedes müssen alle n 1 Glieder vorher (rekursiv) berechnet werden.