Folgen und Reihen. Zahlenfolgen , ,

Transkript

1 97 Wegener Math/5_Reihen Mittwoch :38:52 Folgen und Reihen Zahlenfolgen Eine Zahlenfolge a besteht aus Zahlen a,a 2,a 3,a 4,a 5,... Die einzelnen Zahlen einer Folge heißen Glieder oder Terme. Beispiele für Zahlenfolgen sind die natürlichen Zahlen: , die geraden Zahlen: , die Quadratzahlen: , die Zweierpotenzen: , die Primzahlen: und eine alternierende Folge:

2 Zahlenfolgen Formal gesehen ist eine Zahlenfolge f eine Zuordnung der Menge IN der natürlichen Zahlen zu einer anderen Zahlenmenge A: f: n a n mit n IN und a n A IR Zahlenfolgen aus rationalen Zahlen sind z.b Zahlenfolgen aus irrationalen Zahlen sind z.b.... und 2 π π 2 π 3 π 4 π 5 π 6 π 7 π 8 π ,... und... 2

3 Zahlenfolgen Häufig gelingt es, eine Formel für jedes Glied a n einer Zahlenfolge a anzugeben. Diese lautet für die natürlichen Zahlen: a n = n, für die geraden Zahlen: a n = 2 n, für die Quadratzahlen: a n = n 2, für die Zweierpotenzen: a n = 2 n und für die alternierende Folge : a n = - n+. Für die Primzahlen hat bisher niemand eine Formel gefunden und es ist ziemlich sicher, dass es keine gibt. 3

4 Zahlenfolgen Auch für die angegebenen Folgen aus rationalen und irrationalen Zahlen lassen sich Formeln notieren: a n = -n- 2 n - 0 a n = n 0 a n = n- n = - a n n = 0 π n- a n = n! 0 (n! = n, sprich: n-fakultät, es wird festgelegt, dass 0! = gilt.) Alle diese Folgen streben für wachsendes n einem Grenzwert zu. 4

5 Monoton steigende und fallende Folgen Ist jedes Glied a n einer Folge (größer) größer oder gleich bzw. (kleiner) kleiner oder gleich seinem Vorgänger a n-, so heißt diese Folge (streng) monoton steigend bzw. fallend. Ist die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder einer Zahlenfolge konstant, so spricht man von einer arithmetischen Folge. Die Folge der geraden Zahlen ist z.b. eine streng monoton steigende arithmetische Folge. 5

6 Arithmetische Folgen Die Quadratzahlen haben keine konstante Differenz, aber die Differenz der Differenzen ist konstant. So eine Folge heißt dann arithmetische Folge zweiter Ordnung. Dritter, vierter, fünfter, etc. Ordnung bedeutet dann, dass die dritte, vierte, fünfte, etc. Differenzenfolge konstant ist. 6

7 Geometrische Folgen Ein Zahlenfolge heißt geometrische Folge, wenn der Quotient q=a n+ /a n zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist. Die Zweierpotenzen stellen eine geometrische Folge dar aber auch die angegebene alternierende Folge

8 Grenzwerte von Folgen Eine Zahl a IR heißt Grenzwert einer Folge a,a 2,a 3,..., wenn es zu jeder reellen Zahl ε>0 ein n IN gibt, so dass gilt a - a n < ε Der Begriff Grenzwert kann auch noch anders definiert werden: Zu jeder reellen Zahl ε>0 gibt es ein N IN, so dass für alle m,n IN mit m,n N gilt a m - a n < ε Der Vorteil dieser vom Mathematiker Augustin-Louis Cauchy ( ) eingeführten Definition ist, dass man den Grenzwert nicht angeben muss. Es muss nur sicher sein, dass alle weiter "hinten" stehenden Terme beliebig dicht beieinander stehen. Arithmetische Folgen mit einer Differenz verschieden von Null haben keinen Grenzwert. Geometrische Folgen, für deren Quotient q gilt 0 < q <, haben den Grenzwert 0. Eine solche Folge wird Nullfolge genannt. 8

9 Summen von Folgen Eine Summe von n Gliedern einer arithmetischen Folge (erster Ordnung) lässt sich folgendermaßen berechnen (d=a i+ -a i ): n a i = a + a 2 + a a n i= = a + (d+a ) + (2 d+a ) (n d+a ) = n a + d + 2 d n d = n a + d i n i= = n a + d n (n+) 2 = n (a + d n+ ) 2 9

10 Summen von Folgen Eine Summe von n Gliedern einer geometrischen Folge lässt sich folgendermaßen berechnen (q=a i+ /a i ): n a i = a + a 2 + a a n i= = a + (q a ) + (q 2 a ) (q n- a ) = a (+q+q q n- ) = a -qn -q Es gilt: (+q+q q n- ) (-q)=-q n 0

11 Reihen Zu jeder Folge lässt sich ihre Summenfolge bilden. Eine unendliche Summe der Glieder einer Zahlenfolge heißt Reihe. Wenn eine Reihe eine reelle Zahl als Grenzwert hat, bezeichnet man diese als konvergent, andernfalls, wenn die Reihe also über alle Genzen wächst, nennt man sie divergent. Beispiele für Reihen: -n- i= 2 n- = = π 4 Diese Reihe ist unter dem Namen Leibnizsche Reihe bekannt geworden (Gottfried Wilhelm Leibniz (646-76)). Er geschrieb dazu: "Deus numeri impari gaudet!" ("Gott erfreut sich der ungeraden Zahlen!").

12 Weitere Beispiele: Folgen und Reihen Reihen i = = i= Diese Reihe wird Harmonische Reihe genannt. Sie ist divergent. Konvergent dagegen ist: i 2 = i=

13 Grenzwerte Geometrische Reihen von Folgen mit einem Quotienten q < sind konvergent. Ihr Grenzwert lässt sich mit Hilfe der Summenformel berechnen: lim n Δx 0 i= a i = lim Δx 0 a -qn -q = a -q Der Grenzwert von q n für q < ist 0. Die Reihe aus der Folge der reziproken Zweierpotenzen lässt sich z.b. mit Hilfe dieser Formel berechnen: lim Δx 0 i=0 = = 2 2 i -/2 3