Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium

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1 Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium Dr. B. Hallouet SS 2017 Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS / 20

2 Vorlesung 4 (Lecture 4) Folgen Sequences Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS / 20

3 Folge (sequence) Folge (sequence) Eine reelle Folge (u n ) n N ist eine Abbildung : u : N R, n u n. Wir schreiben (u n ) n N für die Folge. u n ist das n-te Folgenglied (n th element of the sequence). (u n ) n N = (u 0, u 1, u 2, u 3,...). Bsp.: die Folge der natürlichen Zahlen (u n ) n N = (1, 2, 3, 4...) (u n ) n N definiert durch u n = 1 n (n N ) ist die Folge: (1, 1 2, 1 3,...) (u n ) n N definiert durch u n = ( 1) n (n N) ist die alternierende Folge (1, 1, 1, 1...) Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS / 20

4 Beispiel (Example) Geben Sie jeweils die ersten fünf Folgenglieder der durch u n definierten Folge an: u n = 1 n, n 2 N ; u 1 = 1, u 2 = 1 4, u 3 = 1 9, u 4 = 1 16, u 5 = 1 25 u n = ( 1)n n + 3, n N; u 0 = 1 3, u 1 = 1 4, u 2 = 1 5, u 3 = 1 6, u 4 = 1 7 u n = a n, n N, a R; u 0 = 1, u 1 = a, u 2 = a 2, u 3 = a 3, u 4 = a 4. Geben Sie das Bildungsgesetz der Folgen (u n ) n N an. ( 2, 2, 2, 2, 2, 2...); u n = 2 ( 1) n (1, 4, 9, 16, 25...); u n = n 2 (2, 32, 43, 54, ) ; u n = n + 1 n Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS / 20

5 Rekursiv definiert Folgen (sequence defined by recursion) Rekursiv definiert Folgen Das erste Folgenglied (z.b. u 0 ) wird vorgegeben. Ein beliebiges Folgenglied u n+1 wird aus dem vorhergehenden (previous) Folgenglied u n berechnet. Bsp.: Für alle n N: u 0 = 0 und u n+1 = 2 u n + 1. u 1 = 2 u = = 1 u 2 = 2 u = = 3 u 3 = 2 u = = 7 u 4 = 2 u = = u 8 = 255 Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS / 20

6 Arithmetische Folge (arithmetic sequence) Arithmetische Folge Sei (u n ) n N eine Folge, die nach dem rekursiven Bildungsgesetz u 0 R, d R, u n+1 = u n + d definiert ist. Dann gilt für das explizite Bildungsgesetz u n = u 0 + n d. d ist die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgendern Gliedern. (u n ) n N heißt arithmetische Folge. Ist u 1 das erste Folgenglied, dann gilt: u n = u 1 + (n 1) d Bsp.: Finden Sie die Bildungsvorschrift für diese Folge: (u n ) n N = (3, 7, 11, 15...). Es gilt u 1 u 0 = 7 3 = 4, u 2 u 1 = 11 7 = 4, u 3 u 2 = = 4. Arithmetische Folge: u 0 = 3 und d = 4, u n = n Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS / 20

7 Geometrische Folge (geometric sequence) Geometrische Folge Sei (u n ) n N eine Folge, die nach dem rekursiven Bildungsgesetz u 0 R, q R, u n+1 = q u n definiert ist. Dann gilt für das explizite Bildungsgesetz: u n = u 0 q n. q ist der Quotient von zwei aufeinanderfolgendern Gliedern. (u n ) n N heißt geometrische Folge. Ist u 1 das erste Folgenglied, dann gilt: u n = u 1 q n 1 Bsp.: Finden Sie die Bildungsvorschrift für diese Folge: (u n ) n N = (4, 1, 1 4, ). Es gilt u 1 u 0 = 1 4, u 2 u 1 = 1 4 = 1 1 4, u 3 u 2 = = Geometrische Folge: u 0 = 4 und q = 1 4, u n = 4 ( 1 4 )n Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS / 20

8 Graphische Darstellung von Folgen auf dem Zahlenstrahl: u 10 u 3 u 2 u in der Ebene (im Koordinatensystem): u n 1 ( ) n n N n Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS / 20

9 Beschränkteit einer Folge (Bounded sequence) Beschränkheit einer Folge Sei (u n ) n N eine Folge, (u n ) n N heißt nach oben beschränkt (bounded above), wenn es gilt: M R n N u n M (u n ) n N heißt nach unten beschränkt (bounded below), wenn es gilt: m R n N u n m (u n ) n N heißt beschränkt, wenn es gilt: M R + n N ( u n M M u n M) Bsp: Die Folge (u n ) n N mit u n = 1 n ist beschränkt: nach unten: n N 0 < 1 n nach oben: n N n 1 1 n 1 Also gilt u n 1. Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS / 20

10 Monotonie einer Folge (Monotonic sequence) Monotonie einer Folge Sei (u n ) n N eine Folge, (u n ) ist (streng) monoton wachsend ((strictly) monotonic increasing), wenn: n N u n+1 u n (u n+1 > u n ) (u n ) ist (streng) monoton fallend ((strictly) monotonic decreasing), wenn: n N u n+1 u n (u n+1 < u n ) (u n ) heißt konstant, wenn alle Folgenglieder den gleichen Wert besitzen. Bsp.: Die Folge (u n ) n N mit u n = 1 ist streng monoton fallend: n n N 1 n n = n n 1 n (n + 1) = 1 n (n + 1) < 0 Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS / 20

11 Grenzwert einer Folge, konvergente Folge (Limit of a sequence) Grenzwert einer Folge Sei (u n ) n N eine Folge. Eine reelle Zahl l R heißt Grenzwert (Limit) der Folge (u n ) n N, wenn es zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl N N gibt, so dass: u n l ε für alle n N gilt. Wir schreiben dann: ε > 0 N N ( n N u n l ε ) lim u n := l n Gesprochen: Limes u n für n gegen unendlich ist gleich l. In diesem Fall heißt die Folge (u n ) n N konvergent (convergent). Eine Folge deren Grenzwert null ist, heißt Nullfolge. Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS / 20

12 Veranschaulichung 2.5 u n ε = 0.4 N = l + ε l = 1 ( ) 1 n + 1 n N 0.5 l ε n Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS / 20

13 Divergente Folgen (divergent sequence) Divergente Folgen Eine Folge (u n ) n N, die keinen Grenzwert besitzt, heißt divergent. Eine Folge (u n ) n N ist bestimmt divergent gegen (bzw. ), wenn A > 0 N N n N ( n N u n A ) bzw. A > 0 N N n N ( n N u n A ) Wir schreiben: lim u n := bzw. lim u n := n n Bsp.: Die Folge (u n ) n N mit u n = n ist bestimmt divergent. Die Folge (u n ) n N mit u n = ( 1) n ist divergent. Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS / 20

14 Eigenschaften konvergenter Folgen (Properties of convergent sequences) Eindeutigkeit des Grenzwerts Jede Folge hat höchstens einen Grenzwert. Grenzwert für konvergente Folgen Seien (u n ) n N und (v n ) n N konvergente Folgen mit lim n u n := a und lim n v n := b (a, b R). Sei λ R, (λ u n ) ist konvergent, es gilt lim n λ u n := λ a (u n ± v n ) ist konvergent, es gilt lim n u n ± v n := a ± b (u n v n ) ist konvergent, es gilt lim n u n v n := a b Ist b 0, so gibt es ein N, so dass für alle n > N b n 0 gilt. u n konvergent, es gilt lim n v n := a b ( a n b n ist )n>n Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS / 20

15 Bestimmt divergente Folgen Grenzwert für bestimmt divergente Folgen Seien (u n ) n N und (v n ) n N Folgen mit lim n v n :=. 1 es gilt lim := 0 n v n Wenn lim u n = 0 und u n > 0 für alle n > N. Dann gilt lim := + n u n Wenn lim u n = + und lim v n := +, dann gilt: lim u n + v n := + n n n Unbestimmte Ausdrücke ( indeterminate form) + + 0, 0 0 n 1 Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS / 20

16 Beispiel lim n 3n2 + n 7 = + lim n 2n2 3n + 5 = + 5n lim = + n n lim ( n + 7) 1 = 0 n lim n 5n 2 3 n 2 + n + 1 = 5 Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS / 20

17 Sandwichlemma Sandwichlemma Seien (u n ) n N, (v n ) n N und (w n ) n N Folgen mit lim u n = lim v n und n n u n w n v n für alle n > N 0 (N 0 N ), dann lim w n = l. n Bsp.: Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (u n ) n N mit u n = sin(n) 2n + 2 Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS / 20

18 Monotoniekriterium Monotoniekriterium Eine monoton wachsende Folge reeller Zahlen konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert, wenn sie nach oben beschränkt ist. Eine monoton fallende Folge reeller Zahlen konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert, wenn sie nach unten beschränkt ist. Eine monoton fallende positive Folge reeller Zahlen konvergiert. Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS / 20

19 Beispiel (Example:) Bsp.: Zeigen Sie, dass die Folge (u n ) n N mit u n = Monotonie: n N u n+1 u n = Die Folge (u n ) n N ist streng monoton fallend. Die Folge (u n ) n N ist stets positiv. Daraus folgt, dass die Folge (u n ) n N konvergiert. = n 3n 1 konvergiert. n + 1 3(n + 1) 1 n 3n 1 (n + 1) (3n 1) n (3n 2) (3n + 2) (3n 1) = 3n2 n + 3n 1 3n 2 2n (3n + 2) (3n 1) 1 = (3n + 2) (3n 1) < 0 Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS / 20

20 Beweis durch vollständige Induktion Beweis durch vollständige Induktion Sei A(n) eine Aussage über die natürliche Zahl n. Es gelte: 1 A(1) ist wahr (Induktionsanfang) 2 für alle n N : ist A(n) wahr, dann ist A(n + 1) wahr. (Induktionsschritt) Dann ist A(n) wahr für alle n N. Bsp.: Zeigen Sie, dass 3 n 1 ein Vielfaches (multiple) von 2 ist (n N ). 1 Induktionsanfang (n=1): = 2 2 Induktionsvorraussetung: Wir nehmen an, dass 3 n 1 ein Vielfach von 2 ist. 3 n+1 1 = 3 3 n 1 = 2 }{{ 3 n } Vielfaches von } n {{ 1 } Vielfaches von 2 n N 3 n 1 ist ein Vielfaches (multiple) von 2. Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS / 20