Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

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1 Dr. B. Ackermann, M. Borgart, Dr. I Rybak, M. Kutter, J. Veenman 14. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik 1 Wintersemester 010/11 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Hinweis: Die Abgaben zu diesen Aufgaben werden in der ersten Übung des kommenden Semesters eingesammelt und zählen zum HM-Schein. Aufgabe H 40. Monotonie und Beschränkheit Untersuchen Sie die Folge a n n N jeweils auf Monotonie und Beschränkheit. Finden Sie gegebenenfalls eine obere und untere Schranke. a a n = b a n = n sin c a n = 1 + π 3 n 4 π d a n = cos cos 4 n 1 πn a Wir berechnen die ersten Folgenglieder a 1 = 3, a = 3 5, a 3 = 4 7, a 4 = 5 9, a 5 = 6 11,... Auf Grund dieser Ergebnisse versuchen wir zu zeigen, dass die Folge monoton fallend ist. a n+1! a n n + n + 3 n + n + 3 n + 5n + n + 5n Damit ist die untersuchte Folge monoton fallend und deshalb auch nach oben beschränkt durch a 1 =. Um eine untere Schranke zu finden schätzen wir die Folge ab 3 und erhalten a n = = + 1 = 1 + = n + 1. Damit haben wir auch eine untere Schranke gefunden, nämlich 1. Also ist die betrachtete Folge beschränkt.

2 b Bevor wir die Folge auf Monotonie und Beschränktheit untersuchen, vereinfachen wir sie zu a n = 1 n 1 n. Wir berechnen wieder die ersten Folgenglieder und erhalten a 1 = 1, a =, a 3 = 3,... Schon nach den ersten 3 Folgengliedern ist klar, dass die Folge weder monoton fallend noch monoton steigend ist. Bleibt noch zu klären, ob die Folge beschränkt ist. Dazu betrachtet man die Teilfolge a k = k und sieht, dass die Folge nicht beschränkt sein kann. c Wir berechnen die ersten Folgenglieder und erhalten a 1 = 1 4, a = 5 9, a 3 = 37 64,... Aus dieser Betrachtung sehen wir, dass die Folge nicht monoton ist. Man sieht auch, dass die Folge beschränkt ist durch von oben und durch 0 von unten. Es gilt nämlich a n = n = und a n = n 1 1 = 0. d An der Struktur der Folge sieht man sofort, dass sie beschränkt ist. Obere bzw. untere Schranke ist 1 bzw. 1, weil π a n = cos cos 4 πn cos π = 4 cos πn 1 1 = 1 Um die Folge auf Monotonie zu untersuchen berechnen wir die ersten Folgenglieder und erhalten a 1 = 0, a =, a 3 = 0, a 4 =,... An den ersten vier Folgengliedern erkennt man, dass die Folge nicht monoton ist. Aufgabe H 41. Konvergenz Untersuchen Sie die Folge a n n N jeweils auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert a a n = n 1 Wir berechnen a n = n 1 = = 1 +.

3 Da 0 für n, konvergiert die Folge a n gegen 1. lim a n = 1. b a n = 1 n n 1 Wie in a erhalten wir Es gilt lim a n = 1, n 1 lim = 1. lim a n = 1. Die Folge a n häuft sich bei 1 und 1, und ist divergent. πn sin c a n = n + 1 Es gilt Da πn sin a n = n + 1 n + 1. n für n, ist die Folge a n gegen Null konvergent. π d a n = sin cosπn 4 lim a n = 0. Die Folge a n ist eine alternierende Folge Wegen ist die Folge a n divergent.,,,,... lim a n =, lim a n =,

4 Aufgabe H 4. Babylonisches Wurzelziehen Wir untersuchen einen Algorithmus zum Berechnen der Quadratwurzel einer Zahl x 1, der schon in den Gesetzestafeln des Hammurabi im Jahre 1950 v.chr stand. Wir definieren rekursiv eine Folge reeller Zahlen w i mit w 0 = x +1 = 1 + xwn. a Zeigen Sie, dass für alle n N die Zahlen positiv sind und w n w n+1 x gilt, also jedes +1 die Wurzel mindestens so gut annähert wie. Aus der Iterationsvorschrift sehen wir, dass +1 0, wenn x 0 und 0. Nun ist w 0 = x 0 und somit gilt mit vollständiger Induktion 0 n N. Allgemein gilt: 0 a + b = a + ab + b ab a + b. Durch quadratische Ergänzung erhält man ab + ab a + b + ab = a + b ab 1 4 a + b. Setzt man a := und b := x, so ergibt sich 1 x x = w n+1. Wegen w 0 = x gilt somit 1 und x w n n N und folglich ist 1 +1 = 1 + x 1 + =. b Berechnen Sie 3 auf 4 Stellen hinter dem Komma durch Verwendung des obigen Algorithmus, d.h. es ist ein mit 3 < zu berechnen. Zur Abschätzung der Genauigkeit kann man folgende Ungleichung verwenden: da 1 3. Es ist 3 = w, w 0 = 3, 1 w 1 = =, 3 1 w = = 4, w 3 = = 7 56, w 4 = =

5 Überprüfung der Genauigkeit: w 3 3 = w 3 3 w w 3 3 w > w 4 3 = w 4 3 w w 4 3 w <