(a) Wie gross ist der Ameisenstaat ungefähr nach 1, 2, 3 oder allgemein n Wochen?

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1 Mathematik I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt Übung 3 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel Besprechung der Lösungen: 8. Oktober 08 in den Übungsstunden Aufgabe In einem Ameisenstaat mit einer Ausgangspopulation von Ameisen sterben pro Woche ungefähr 5 Prozent, jedoch kommen im gleichen Zeitraum ungefähr 000 Ameisen dazu. (a) Wie gross ist der Ameisenstaat ungefähr nach,, 3 oder allgemein n Wochen? (b) Wie sieht (zumindest rein mathematisch gesehen) die langfristige Entwicklung der Ameisenpopulation aus? Wächst sie? Stirbt sie aus? Bleibt die Anzahl der Ameisen konstant? Aufgabe Berechnen Sie 0 ( ) 3 k (i) (ii) 4 k=0 k= (iii) Aufgabe 3 (a) Für welche(s) x R gilt e 3x = 3e x? (b) Eine exponentiell wachsende Population verdoppelt sich in 3 Jahren. In welcher Zeit verhundertfacht sie sich? Aufgabe 4 Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte, falls sie existieren. (a) lim x 3 x 9 x+ (b) lim x x 3 (c) lim x x 4 x 3 x 9 x x 4 x x 4 (d) lim x 0 e x x 0 e x Aufgabe 5 (a) Sei f : R R definiert durch f(x) = Ist f stetig in x 0 =? Ist f stetig in x 0? { x+ für x x für x > (b) Ist die Betragsfunktion f : R R, f(x) = x stetig in x 0 = 0?

2 Zusatzaufgaben Aufgabe 6 (a) NutzenSieeinegeometrischeReihe, umdenperiodischendezimalbruch0,8 = 0,88... als Bruch p q mit p,q in N darzustellen. (b) Seien a 0 = 0 und a n = a n +9 0 n. Berechnen Sie die ersten Glieder a, a, a 3 sowie den Grenzwert lim n a n. Aufgabe 7 Für welche natürlichen Zahlen r konvergiert die Reihe Antwort mit Begründung. k r? Aufgabe 8 Bestimmen Sie das Grenzverhalten der Funktion f(x) = x 4 aus Aufgabe 4(c) zusätzlich für x, x und x und skizzieren Sie den Graphen von f. Aufgabe 9 Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert (falls er existiert): lim +x Aufgabe 0 (a) Zeigen Sie, dass der Grenzwert lim sin( x ) nicht existiert. (b) Zeigen Sie, dass lim xsin( x ) = 0. Aufgabe Für welchen Wert von c ist die Funktion stetig? f(x) = x { 3ln(x) falls x x +c falls x <

3 Lösungshinweise Aufgabe Analog zum. Beispiel auf Seite 3 (und Fortsetzung S. 5) des Skripts. Aufgabe Geometrische Reihen, vgl. Seiten 5 6 des Skripts. (iii) Zunächst q finden mit = +q +q +q 3 + Aufgabe 3 (a) Auf beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus ln anwenden oder zuerst die Gleichung durch e x dividieren und dann logarithmieren. (b) Sei a 0 die jetzige Anzahl Individuen der Population und a n die Anzahl Individuen nach n Jahren. Dann gilt a 3 = a 0, a 6 = 4a 0 = a 0, a 9 = 8a 0 = 3 a 0, usw. a n =? Dann ist n so zu bestimmen, dass a n = 00a 0. Oder man macht den Ansatz a n = a 0 e cn und bestimmt zunächst c mit Hilfe der Voraussetzung a 3 = a 0. Dann n bestimmen wie oben. Aufgabe 4 Analog zu den Beispielen auf den Seiten 30 3 des Skripts. Aufgabe 5 (a) Für x 0 = : Gilt lim x x f(x) (s. Bsp. &3, S. 33)? Für x 0 : Mit Satz.6. (b) Gilt lim x 0 x = lim x 0 x? Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe) (a) Analog zum Beispiel auf Seite 6 des Skripts: 0,8 = 0,888 = Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) r =,: s. Vorlesung, r 3: Satz.3 für die Folge (s n ) n N der Partialsummen benutzen Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe) Wie in Aufgabe 4 vorgehen. Aufgabe 9 (Zusatzaufgabe) Den Bruch mit +x + erweitern. Aufgabe 0 (Zusatzaufgabe) (a) Finde zwei Folgen ( ), (y n ) mit lim n = lim n y n = 0 n sin( ) lim n sin( y n ). (b) lim xsin( x ) = 0 bedeutet, dass lim sin( n ) = 0 für jede Folge ( ) mit lim = 0, n 0. Letzteres kann mit Hilfe der Definition (Seite 9) gezeigt werden. Aufgabe (Zusatzaufgabe) Man muss c so bestimmen, dass gilt lim x x f(x).

4 Ergebnisse Aufgabe a n = Anzahl Ameisen nach n Wochen, a 0 = (a) a = 9500, a = 905, a 3 = 8573, a n = 0,95 n (+0,95+ +0,95 n ) = 0,95 n (b) Da lim n 0,95n = 0 folgt lim a n = n Die Ameisenpopulation nimmt kontinuierlich ab, stabilisiert sich aber langfristig auf der Anzahl von ungefähr Ameisen. Aufgabe (i) 0 k=0 ( ) 3 k = (3 4 ) ,83 (iii) = k=0 ( 3 (ii) k= ) k = + 3 = 8 = 3 5 ( ) 8 8 = 56 Aufgabe 3 (a) x = ln(3) (b) nach 6 log() Jahren, d.h. nach ungefähr 0 Jahren Hier bezeichnet log(x) wie üblich log 0 (x), die Logarithmusfunktion zur Basis 0. Aufgabe 4 (a) lim x 3 x 9 = x+ (b) lim x x 3 = (c) lim x x = 0 4 x (d) lim x 0 e x = 0 x 0 e x = x 3 x 9 existiert nicht x = 4 x x 4 = Aufgabe 5 (a) f ist nicht stetig in x 0 =, aber f ist stetig in x 0 (gemäss Satz.6). (Denn lim x f(x) = 3 4 = lim x f(x); die Funktion macht einen Sprung in x 0 =.) (b) Ja, denn lim x = limx = 0 x = lim( x) = 0. x 0 x 0 x 0 x 0 Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe) (a) Mit Hilfe des Hinweises folgt 0,8 = 8 (b) a = 0,9, a = 0,99, a 3 = 0,999, a n = 9 = 0,9 = lim a n = 9 n 0 =. 0 n = = 8 99

5 Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) Gemäss Vorlesung (S. 4 5) ist die harmonische Reihe Für r 3 ist s n = n n k r < k π 6. k divergent und k = π 6. Die Folge der Partialsummen (s n ) n N ist also beschränkt. Da sie monoton wachsend ist, ist sie nach Satz.3 konvergent. Die angegebene Reihe ist also für alle natürlichen Zahlen r konvergent. Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe) lim f(x) = 0, lim f(x) = f(x) = x x x Begründung: lim x x x 4 x = lim x ( x ) lim x ( 4 x ) = 0 0 = 0 Weiter ist eine Polstelle (da eine Nullstelle des Nenners von f ist), deshalb ist der Grenzwert für x (bzw. x ) entweder + oder. Für x < ist < 0 und x 4 > 0, also gilt f(x) für x. Für x >, ahe bei, ist < 0 und x 4 < 0, also gilt f(x) + für x. Aufgabe 9 (Zusatzaufgabe) Es folgt +x x = ( +x )( +x +) x ( = +x +) lim +x x +x x ( +x +) = +x + = lim +x + =. Aufgabe 0 (Zusatzaufgabe) (a) Sei ( ) die Folge definiert durch = nπ und Sei (y n ) definiert durch y n = (4n+)π ( ) lim sin = lim n y sin n n für n. Damit gilt lim = n π lim n ( ) lim sin = lim sin(nπ) = lim n x 0 = 0. n n n n = 0 für n. Damit gilt lim y n = n π lim n 4n+ = 0 und ( ) (4n+)π = lim (πn+ sin π ) ( π ) = lim n sin =. n

6 Es gibt also keine reelle Zahl a, so dass lim sin( n ) = a für alle Folgen ( ) mit lim = 0. Es folgt, dass der Grenzwert von sin( n x ) für x 0 nicht existiert. (b) Sei ( ) eine beliebige Folge mit lim n = 0, 0. Dies bedeutet, dass es zu jedem ε > 0 ein N N gibt, so dass = 0 < ε für alle n N. Es folgt, dass es zu jedem ε > 0 ein N N gibt, so dass ( ) ( ) ( ) x nsin 0 = sin = sin < ε für alle n N. Hier wurde benutzt, dass sinx für alle x. Per Definition des Grenzwerts gilt also xsin( x ) 0 für x 0. Aufgabe (Zusatzaufgabe) Für c =. Denn es gilt lim x x (x +c) = +c x x 3ln(x) = 3ln() = 0.