Mathematik für Studierende technischer Fächer und Studierende der Chemie. Prof. Dr. Kathrin Klamroth Britta Schulze, M.Sc.

Transkript

1 Mathematik für Studierende technischer Fächer und Studierende der Chemie Lösungen zum Vorkurs WS 6/7 Prof. Dr. Kathrin Klamroth Britta Schulze, M.Sc. Bergische Universität Wuppertal Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften Wuppertal, 4. Oktober 06

2 Aufgabe a) wahr b) wahr c) wahr d) wahr e) wahr Aufgabe a) wahr b) wahr c) wahr d) wahr Aufgabe 3 a) Es existiert ein im März 03 in Wuppertal zugelassenes Auto der Marke Fiasko, das höchstens 0 Liter Benzin pro 00 km Autobahnfahrt verbraucht. b) Für alle zukünftigen Maschinenbaustudenten im Vorkurs Mathematik für Ingenieure an der Uni Wuppertal gilt, dass sie weder aus Köln noch aus Dortmund stammen. Aufgabe 4 a) A B = {} b) A B = {, 3, 4, 5, 6} c) A \ B = {3, 4} d) B \ A = {5, 6} e) (A B) \ (A B) = {3, 4, 5, 6} f) A D = { } g) A B C D = {, 3, 4, 5, 6} Aufgabe 5 a) Ω \ M: Schülerinnen und Schüler, die nicht Mathe als Lieblingsfach haben b) M C: Schülerinnen und Schüler, die Mathe als Lieblingsfach haben und im Schulchor singen c) F T : Schülerinnen, die Tennis spielen d) M \ (B T ): Schülerinnen und Schüler mit Lieblingsfach Mathe, die nicht sowohl Bio nicht mögen als auch Tennis spielen Aufgabe 6 a) A B b) B

3 c) Ω Aufgabe 7 a) (Ā C) ( B C) = ((A B)) C Die Aussage ist falsch. b) Ā (B C) = (Ā B) (Ā C) Die Aussage ist wahr. Aufgabe 8 a) {9, 6, 5, 36, 49, 64} b) {, 3, 5, 7, 9} c) {} Aufgabe 9 a) {n N : 3 n 0} b) { } n : n N 3 n 8 c) { n } n + : n N n 5 Aufgabe 0 a) { }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} Anzahl Teilmengen: 3 = 8 b) { }, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d} Anzahl Teilmengen: 4 = 6 Aufgabe a) A = [3, 4) b) B = [3, 9) c) C = [, 44] d) D = (, 33] e) E = (5, )

4 Aufgabe A B = { (a, ), (a, ), (a, 3), (b, ), (b, ), (b, 3), (c, ), (c, ), (c, 3), (d, ), (d, ), (d, 3) } Aufgabe 3 a) 0. b) 0.0 c) 0.6 d).75 e)0.3 f) 0.09 Aufgabe 4 a) 3 4 b) 7 0 c) 3 5 Aufgabe 5 a) 6x 3 6y 3 + 9x y b) 0 c) c 3 d cd 3 d) tu + 3t 3 s 4u 3 Aufgabe 6 a) (x + 7y) b) (a + 3b)(a 3b) c) (a 5b ) d) (x 3y)(x + 3y) Aufgabe 7 a) a = 0 nicht erlaubt, ab 8 b) t = 0 nicht erlaubt, t p+q r s c) alle Werte erlaubt, d) k = 0 nicht erlaubt, k 4 e) x = nicht erlaubt, x + Aufgabe 8 a) {a, b, c R : a 0 b 0 c 0}, c + b b) {x, y R : x y x y}, c) {s, t R : s 0 t 0 s t}, bc 4s + 4t Aufgabe 9 a) K 5 = b) K 0 = Aufgabe 0 a) G: Gewinn in 000, Gewinn in 00: G b) circa 0.48% c) circa 6.67% Aufgabe a) a [ 4, ) b) y (, ] c) x R \ (, ) d) ex. für kein x R e) a [, ] Aufgabe a) 5 b) + x c) (b + 5) d) 3a e) 4 x f) a 5 3

5 Aufgabe 3 a) 3 7 a(a + b) b(a + b) b) 6t c) 3 a b d) 0 Aufgabe 4 a) y 0, 4 x y b) x, 4 (x + ) 9 c) s 0 s 9 5, Aufgabe 5 a) b) 3 c) 0 d) 4 5 e) Aufgabe 6 a) + log 3 x b) + log 5 a log 5 y c) lg a + lg b 4 lg c d) 0 lg ( 3 a + 4 b) lg c e) lg 5 + lg x + lg y lg a 4 lg b Aufgabe 7 a) log 5 (u v 3 ) b) lg ( (a + b) 3 ) a 3 b c) log 3 4x d) log 4 x + = log 4 (x + ) e) 0 f) log 6 g) lg a + a Aufgabe 8 lg 30 lg 0 a) lg 4 lg 3 b) lg 34 lg 3 + lg 93 lg 9 lg Aufgabe 9 a) 3 4 lg (a) + 4 lg (b) lg (c) 4 lg (d) b) 7 ln (x) 8 Aufgabe 30 Gleichseitiges Dreieck, d.h. a = b und Höhe h = c. Mit Pythagoras gilt also: ( c ) ( c ) ( c ) a = h + = + a = c c sin (45) = a c = b und cos (45) = c =. 4

6 Aufgabe 3 a) 0 i= i b) 5 i= i 3 c) 9 i= i ( )i d) 9 ( ) i+ i i= Aufgabe 3 a) 38 b) c) 6 d) 4 + 6x + 4x + x 3 Aufgabe 33 a) 6 b) 4 c) 0 d) e) f).50 g) Aufgabe 34 a) a + 80a + 40a 3 + 0a 4 + a 5 b) 8 6x + 6x 96x 3 + 6x 4 Aufgabe 35 a) 0 b) 0 c) n d) 3 0 e) 3 n Aufgabe 36 a) L = { 5 6 5, 5 + c) L = { } d) L = 6 } { 5 0, 8 7 } { 3 5 b) L =, 3 5 } + { e) L = {} f) L = } 3 Aufgabe 37 a) i) genau eine Lösung: a = 9 4, zwei Lösungen: a < 9 4, keine Lösung: a > 9 4 ii) genau eine Lösung: a = ±4, zwei Lösungen: a > 4 a < 4, keinelösung: a ( 4, 4) b) x x = 0 Aufgabe 38 a) D = R \ (, ), L = {} b) D = [, ], L = { d) D = x R : x 0 3 f) D = {x R : x }, L = {4} { 0, } }, L = {5} e) D = [, ), L = {30} c) D = R, L = {0} Aufgabe 39 { } a) D = R \ { }, L = 0, 5 b) D = R \ {, }, L = {} c) D = R \ {}, L = {5} Aufgabe 40 a) x = 000 b) x = 3 0 c) x = 8 d) x = 3 0 e) x = h) x = f) x = 3 g) x = 5 5

7 Aufgabe 4 a) x = 3 b) x = log 5 (0) c) x = log 3 (7) + d) keine Lösung e) x = 4 Aufgabe 4 a) L = {,, 3, 3} b) L = {,,, } c) L = {} d) L = { 3, } 5 e) L = {0} f) L = { e 3, e7 } Aufgabe 43 { } a) L = {5, 9} b) L = { } c) L = 5, 9 d) L = [, 4] Aufgabe 44 a) Beide Determinanten haben den Wert. b) x = x = Aufgabe 45 {( 8 a) L = 3, 3)} b) L = { } c) L = {(x, y) R R : x y = 7} Aufgabe {( 46 a) L =, )},, 0 Aufgabe 47 a) L = {(,, )} b) L = {} c) L = { (x, x, x 3 ) R 3 : (x, x, x 3 ) = ( λ, λ, λ), λ R } Aufgabe 48 a) L = [ 8, ) b) L = (, 9) c) L = R d) L = ( L = 7 ), (, 5 ] e) L = (, 9 7 ] f) Aufgabe 49 [ ] a) L = 3, 3 { 5 b) L = { } c) L = R \ } Aufgabe 50 a) D = R \ { 5}, L = (, 5) [ 4, ) b) D = R \ { 5}, L = ( 5, 4] c) D = R \ { 3}, L = (, 4] ( 3, 5] 6

8 Aufgabe 5 a) D = R, L = [ln, ln 3] b) D = R, L = R \ (, ) c) D = (, ), L = [e, e 4 ] Aufgabe 5 [ a) L = 3, 5 ] b) L = (, ] c) L = R d) L = (, 6) (, ) e) L = R \ [ 3, ] Aufgabe 53 a) Ja, denn x + > x > 0 ( ) b) Nein, denn z.b. = 4 < c) Nein, denn x + x > x x > 0 d) Ja, denn x + y xy (x + y) 0 Aufgabe 54 a) x y < 0 x < y, ohne Rand b) mit Rand c) mit Rand d) mit Rand e) mit Rand Aufgabe 55 7

9 a) b) Die Gerade schneidet die x-achse bei x = 7, die y-achse bei y = 4. c) y 4 + x 7 =. Allgemein: Eine Gerade mit der Gleichung y a + x b = (Achsenabschnittsform) schneidet die x-achse bei x = a, die y-achse bei y = b. Aufgabe 56 a) y = 3 x b) y = x + 5 c) y = 5 6 x Aufgabe 57 a) Schnittpunkt S(3, ) b) kein Schnittpunkt c) unendlich viele Schnittpunkte Aufgabe 58 a) x f(x) b) c) Nullstellen bei x = 3 und x =. d) Scheitelpunkt in S(, ). 8

10 Aufgabe 59 a) f (x) = (x + ) 4 = x(x + 4) b) f (x) = (x + 3) + 9 c) f 3 (x) = 3(x 5) + 45 = 3(x (5 + 5))(x (5 5)) ( d) f 4 (x) = 9 x ( ( 45 = 9 x 3) 3 + )) ( ( 5 x 3 )) 5 e) f 5 (x) = (x + 00) = (x + 300)(x 00) f) f 6 (x) = (x + 50) 500 = (x + 00)(x 00) Aufgabe 60 a) b) Schnittpunkte bei P ( 4, 3 ) und Q(5, ). Aufgabe 6 P (x) = (x )(x + )(x ) P (x) > 0 für x (, ) (, ); P (x) < 0 für x (, ) (, ) Aufgabe 6 P (x) = (x ) 3 (x + ) P (x) 0 für x [, ); P (x) 0 für x (, ] Aufgabe 63 Nullstellen bei x = 3, x = 4, x = und bei x = Aufgabe 64 a) f(x) = (x ) (x + )(x 3) (x )(x 3)(x + ) g(x) = (x )(x + )(x 3) x + 9

11 b) Nullstellen bei x =, x = / und bei x = 3 Polstelle bei x = c) g(x) = x + 9 x + 4 x + Aufgabe 65 a) N(x) = x b) N(x) = x x + 5 Aufgabe 66 g (x) = 3 x + : Verschiebung um in positiver y-richtung g (x) = ( ) 3 x : Ordinatenhalbierung mit anschließender Spiegelung an der x-achse g 3 (x) = ( x: 3) Spiegelung an der y-achse g 4 (x) = ( ( ) x: 3) Ordinatenhalbierung mit anschließender Spiegelung an der y-achse g 5 (x) = 3 x : Ordinatendrittelung bzw. Verschiebung um in pos. x-richtung Eigenschaften von Exponentialfunktionen (zusätzliche Infos): Die Graphen von Funktionen mit f(x) = a x verlaufen immer oberhalb der x-achse. Da a > 0 gehen alle Graphen durch den Punkt P (, 0). Für a > ist mit x > x auch a x > a x ; der Graph von f wächst. Für a < folgt aus x > x stets a x < a x ; der Graph von f fällt. Für a > gilt: a x 0 für x ; die x-achse ist waagerechte Asymptote. Für 0 < a < und x + ist die x-achse ebenfalls Asymptote. Aufgabe 67 k = ln (a) Aufgabe 68 Symmetrisch zueinander sind a,c und e,f. 0

12 Aufgabe 69 Seien f a (x) = x ae x und f b (x) = x be x mit a, b R \ {0}. Durch Berechnung der Nullstellen von x ae x = x be x ergibt sich a = b. Somit gibt es für a b keinen Schnittpunkt. Aufgabe 70 f (x) : D = R + f (x) : D = R x f 3 (x) : > 0 wenn {x > 0 x+ > 0} oder {x < 0 x+ < 0} D = {x R : x < x > 0} x + f 4 (x) : x > 0 wenn { x > 0 + x > 0} oder { x < 0 + x < 0} D = {x R : < + x x < } f 5 (x) : D = R + Aufgabe 7 g (x) = ln (x) + : Verschiebung um in positiver y-richtung g (x) = ln (x ): Verschiebung um in positiver x-richtung g 3 (x) = ln ( x): Spiegelung an der y-achse g 4 (x) = ln ( x): Spiegelung an der y-achse und Spiegelung an der x-achse Aufgabe 7 a) D = (, 0], x = e e b) D = R +, x = x = e 3 c) D = R +, x = 0 / D x = d) D = R +, x = 0 / D x = e e) D = R +, keine Nullstelle f) D = R, x = 3 ln ()

13 Aufgabe 73 sin (x) ist der rote Graph. g (x) = 3 sin (x): blau; Streckung entlang y-achse; Ordinatenverdreifachung g (x) = sin (3x): grün; Stauchung entlang x-achse g 3 (x) = 3 + sin (x): gelb; Verschiebung in positive y-richtung um 3 g 4 (x) = sin (x + 3): türkies; Verschiebung in negative x-richtung um 3. Aufgabe 74 cos (x) ist der rote Graph. f (x) = cos (x): blau; Stauchung entlang y-achse f (x) = cos ( x): grün; Streckung entlang x-achse f 3 (x) = + cos (x): gelb; Verschiebung in positive y-richtung um f 4 (x) = cos (x + ): türkies; Verschiebung in negative x-richtung um.

14 Aufgabe 75 a) x = ± kπ, k N 0 b) x = ( ) k π, k Z c) x = + kπ, k Z d) x = + 4k, k Z Aufgabe 76 g (x) = x : Verschiebung um in positive x-richtung g (x) = x + : Verschiebung um in negative x-richtung g 3 (x) = x : Verschiebung um in positive x-richtung und Ordinatenverdopperlung g 4 (x) = x + 3: Verschiebung um in negative x-richtung und Verschiebung um 3 in negative y-richtung g 5 (x) = x : Ordinatenhalbierung Aufgabe 77 Platzhalter Die Betragsfunktionen entstehen jeweils, indem alle Teile von f unterhalb der x-achse an der x- Achse nach oben gespiegelt werden. 3

15 Aufgabe 78 a) a n = ( ) n+ b) a n = + n = n + n c) a n = n d) a n = n n Aufgabe 79 a) Die Folge ist monoton wachsend, durch nach unten und durch 0 nach oben beschränkt und somit konvergent. b) Die Folge ist streng monoton wachsend, durch 0 nach unten und nach oben nicht beschränkt mit lim n a n =. c) Die Folge ist alternierend, nicht beschränkt und somit auch nicht konvergent. d) Die Folge ist monoton wachsend, nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt mit lim n a n =. Aufgabe 80 n + 5 a) lim n n 7n 0n + 3 = b) lim n 4n n + = n c) lim n n 3 + = 0 Aufgabe 8 x 4 a) lim x x 4 6 = 8 x 4 8 b) lim x 3 x 3 3x + x 6 = 08 x 5 + 3x c) lim x 5x 5 x + 0 = 5 Aufgabe 8 a = 3 und b = 0 Aufgabe 83 f ist an der Stelle x = 0 nicht stetig. 4