1. Begründen Sie, ob durch folgende Vorschriften reelle Funktionen y = f(x) definiert werden.

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1 Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen Elementare Funktionen. Begründen Sie, ob durch folgende Vorschriften reelle Funktionen y = f( definiert werden. { { 2 für, wenn durch 3 teilbar a y = 2 für, R b y = 0, wenn durch 2 teilbar, N, c y α = + α, α R, konstant d y = + α, α R, konstant. a Funktion; auch für = wegen 2 = 2 = 0 eindeutig bestimmte Werte y( = y( = 0. b keine Funktion; nicht eindeutig z.b. für durch 6 teilbaren Zahlen. c keine Funktion; y = und y = + 2α erfüllen die Gleichung, sind jedoch für α verschieden. d Funktion. 2. Weisen Sie die folgenden Eigenschaften der gegebenen Funktionen nach a für f( = 2 gilt f( + = f( ; b für f( = ( + gilt f = f( und f c für f( = ( ab gilt f = f(b f(a. a b ( = f( ; a f( = 2, f( + = ( + 2 ( + = ( + (( + = 2 + = ( 2 ( = f( ; b f( = +, ( f = + = ( + = f(, f = + = + = + = f( ; c f( =, f ( ab a b = a b ab = a ab b ab = b = f(b f(a. a 3. Ermitteln Sie Definitions- und Wertebereich der folgenden Funktionen y = f(. Untersuchen Sie die Funktionen auf die angegebene Eigenschaft!

2 a y = 2 2 (Monotonie b y = ln(4 2 (Beschränktheit c y = ( (Monotonie d y = (2 + e y = 2 (Symmetrie f y = g y = h y = a y = 2 2 = 2 = wachsend. { 0, 0, 2 2, < 0. 2 ln D(f = R, W (f = ( ; 0], monoton b Aus 4 2 folgt D(f = [2 3; 2 + 3], W (f = [0; ln 4], beschränkt. c Aus folgt D(f = ( ; 2] [2;. Für ( ; 2] gilt y ( ; 4] und ist monoton wachsend. Man sieht das z.b. an der Darstellung y = ( 2 + ( 2 4, denn beide Summanden werden dafür am größten bei = 2 und fallen unbeschränkt für abnehmendes. Für [2; gilt y ( 2; 0] und ist monoton fallend. Man sieht das z.b. an der Darstellung y = ( 2 4( = , denn der Nenner wird am kleinsten bei 2 4 = 2 und wächst unbeschränkt für zunehmendes. d D(f = ( ; 0 (0; ]. Für ( ; 0 gilt 2 + > 3, damit < y < 3 < 0 ; für (0; ] gilt 2 2+ < 3, damit 2 2 y < 3 <. Damit ist W (f = ( ; 0 [2;. e D(f = [ ; ], W (f = [0; ] (oberer Halbkreis; gerade Funktion. f D(f = ( ;, W (f = [; (reziprok zu f aus e. g y = { = (, 0, = D(f = [ ; ], W (f = [0; ]. +, < 0. h Aus 0 und ln folgt D(f = R\{ e; 0; e}. Wegen ln R gilt W (f = R\{0}. 4. Ermitteln Sie (maimalen Definitions- und Wertebereich der folgenden Funktionen y = f(. Untersuchen Sie die Funktionen auf Periodizität und Beschränktheit. a y = cos b y = (cos c y = ln(2 sin 2 + a y = cos : D(f = R ; 0 cos 3 cos W (f = [; 2]. Periode π 3, denn cos2 α = cos α 2 ist periodisch mit π und folglich erhält man f ( + π 3 = cos 2 3 ( + π 3 + = cos 2 (3 + π + = cos = f(. b y = (cos : D(f = R ; 0 cos (cos W (f = [0; 4]. Periode 2 3 π, denn (cos = cos cos 3 +, analog zu a ist zwar cos 2 3 periodisch mit π 3, jedoch cos 3 = cos (3 + 2π = cos 3 ( π erst periodisch mit 2 3 π. c y = ln(2 sin 2 + : D(f = R ; 0 sin 2 2 sin ln ln(2 sin 2 + ln 3 W (f = [0; ln 3]. Die Periode π wird bestimmt durch sin 2.

3 5. Skizzieren Sie den Kurvenverlauf von a y = sin( π 2 b y = sin( π 2 c y = sin π 2 d y = sin 2 e y = 2 sin 2 f y = sin 2 2 a y = sin( π 2 ist im Vergleich zu y = sin um π 2 in Richtung der positiven -Achse verschoben und entspricht damit y = cos. b Bei y = sin( π 2 werden zusätzlich zu der Verschiebung bei a die Bögen mit negativen Funktionswerten an der y-achse gespiegelt. c y = sin π 2 entsteht aus Verschiebung von sin um π 2 in Richtung der positiven -Achse. Für y = sin selbst gilt dabei sin = sin für 0 und sin = sin( für < 0, der Ast für < 0 ist die Spiegelung des Astes für > 0 an der y-achse. d y = sin 2 ergibt für den halben Argumentwert den gleichen Funktionswert wie y = sin, bedeutet also eine Stauchung von sin um den Faktor 2 bezüglich der -Achse. y = sin 2 ist deshalb periodisch mit π. e y = 2 sin 2 ist verlichen mit y = sin 2 längs der y-achse um den Faktor 2 gestreckt, weil alle Funktionswerte verdoppelt werden. f y = sin 2 2 ist verglichen mit sin um den Faktor 2 gestreckt und zusätzlich um 2 in Richtung der negativen y-achse verschoben. 6. Lösen Sie die Gleichungen a tan(2 + 2 = b (4 cos 2 sin = c e e = 0 a tan(2 + 2 = = π 4 + k π k = + π 8 + k π 2, k ganzzahlig. b (4 cos 2 sin = Ersetzt man cos 2 = sin 2 und substituiert anschließend z = sin, so erhält man die Gleichung 4z 3 + 3z = 0. Eine Nullstelle ist offensichtlich z =. Nach Abspalten des Linearfaktors (z+ durch Polynomendivision erhält man ( 4z 3 +3z : (z+ = 4z 2 +4z = (2z 2 = 0 und damit die weiteren Nullstellen z 2,3 = 2. Rücksubstutition ergibt die Gleichung sin = mit den Lösungen,k = 3 2 π + k 2π, k ganzzahlig, und die Gleichung sin = 2 mit den Lösungen 2,k = π 6 + k 2π und 3,k = 5 6π + k 2π. Die Lösungen lassen sich zu einer Darstellung zusammenfassen, k = π 6 + k 2 3π, k ganzzahlig. c e e = 0 e = e, =, = ( 2 = 0, = 0,,2 = ±. 7. Bezüglich welcher Intervalle sind die Funktionen f und ϕ identisch? a f( = sin, ϕ( = cos 2 b f( = cos, ϕ( = cos( c f( = 2 sin( cos(, ϕ( = sin 2 a ϕ( 0 2kπ (2k + π; k Z ; b R ; c R ;

4 8. Zeigen Sie für [ ; ] die Gültigkeit der Beziehungen a arcsin + arccos = π 2 b arccos( + arccos = π a arcsin + arccos = π 2 arcsin = π 2 arccos = sin ( π 2 arccos = cos(arccos = b arccos( + arccos = π arccos = π arccos( = (cos π arccos( = cos(arccos( = ( = 9. Für den Einschaltvorgang in einem Stromkreis mit Gleichstromquelle, Widerstand R und Induktivität L gilt für das Zeitgesetz des Einschaltstromes i L (t = I 0 ( e t τ und für das Zeitgesetz der Selbstinduktionsspannung u L (t = U 0 e t τ mit der Ausgangsspannung U 0, dem Endwert I 0 = U 0 R und der Zeitkonstanten τ = L R. Verifizieren Sie, daß die Stromstärke bei t = τ ca. 63% des Endwertes erreicht hat. Wann erreicht die Stromstärke 95% des Endwertes und auf wieviel % der Ausgangsspannung ist die Selbstinduktionsspannung dann gesunken. Skizzieren Sie die Kurvenverläufe. i L (t = I 0 ( e t τ i L (τ = I 0 ( e 0, 632 I 0, also ca. 63% des Endwertes I 0. Die Stromstärke erreicht 95% des Endwertes, wenn I 0 ( e t τ = 0, 95 I 0 e t τ = 0, 95 = 20 t = τ ln 20 3τ. Die Selbstinduktionsspannung fällt sinkt demnach auf u(τ ln 20 = 0, 05 U 0.

5 0. Berechnen Sie die Umkehrfunktionen y = f ( für a y = f( = 2 b y = f( = + + a y = f( = 2 = = { 2, 0, 2, < 0. Wegen der bekannten Eigenschaften der Normalparabel ist f( für alle reellen definiert, streng monoton wachsend und nimmt alle rellen y als Werte an. Die Umkehrfunktion läßt sich in zwei Teilschritten bestimmen:. Für 0 gilt y = 2 0 und daraus folgt = y als Umkehrung; 2. Für < 0 gilt y = 2 < 0 und damit bekommt man y = 2, y = 2 = =, also die Umkehrung = y. Nach Vertauschung der Variablen erhält man (zusammengefaßt für die Umkehrfunktion {, 0, y = f ( =, < 0. b Wegen der auftretenden Wurzeln ist y = f( = + + definiert für, der (maimale Definitionsbereich ist also D f = [;. Als Summe streng monotoner wachsender (Wurzel-Funktionen ist f( selbst streng monoton wachsend und auf ganz D f deshalb auch umkehrbar. Aus der Monotonie folgt für den Wertebereich der Funktion W f = [ f(; lim f( = [ 2;. Die Umkehrfunktion f mit D f = W f = [ 2; und W f = D f = [; erhält man durch Auflösen von y = + + nach (Wurzelgleichung in, zweimal Wurzel separieren und quadrieren, das ergibt = f (y = y4 +4 4y 2 = y2 4 + y 2. Nach Vertauschung der Variablen erhält man schließlich für die Umkehrfunktion y = f ( = Bemerkung: D f = W f = [ 2; ist nicht der maimale Definitionsbereich von y = g( = aber 2 nur dort ist das die gesuchte Umkehrfunktion.