Folgende Eigenschaft beschreibt eine gewisse Symmetrie des Funktionsgraphen:

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1 für alle x [0,2000]. Das Intervall [0,2000] könnte aus ökonomischer Sicht relevant sein, wenn etwa die Maximalauslastung bei 2000 produzierten Waschmaschinen liegt. Folgende Eigenschaft beschreibt eine gewisse Symmetrie des Funktionsgraphen: Sei f : R R eine Funktion mit D(f) = R, die Funktion ist also auf ganz R definiert. Gilt f( x) = f(x) für alle x R, dann heißt f gerade. Wenn f( x) = f(x) für alle x R gilt, dann heißt f ungerade. Der Graph einer geraden Funktion ist achsensymmetrisch zur y-achse, der einer ungeraden Funktion ist punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs des Koordinatensystems. Beispiel 2.16 Die Funktion f(x) = x 4 ist gerade, 96

2 y x die Funktion f(x) = x 5 ist ungerade: 97

3 15 y x Nullstellen Häufig interessiert man sich für die Werte der unabhängigen Variable einer Funktion, für die der Funktionswert 0 ist: 98

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11 Sei f : R R eine Funktion. Ist x 0 D(f) eine reelle Zahl mit f(x 0 ) = 0, dann heißt x 0 eine Nullstelle von f. Der folgende Graph skizziert eine Funktion mit drei Nullstellen (3, 1 und 3): x

12 2.3 Elementare Funktionen Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) Vorbemerkung. Wir definieren die Winkelfunktionen bezogen auf die Bogenlänge x auf dem Einheitskreis, d.h. für x [0,2π]. Alternativ werden die Argumente der Winkelfunktionen in Winkelgraden angegeben. Hier entspricht der Winkelgrad α = 360 o der Bogenlänge x = 2π, und Anteile am Vollkreiswinkel 360 o werden entsprechend in Anteile des Kreisumfangs umgerechnet: α = 360o entspricht x = 2π t t d.h. die Bogenlänge zum Winkel α ist x = π 180 α. (i) Sinus Als Winkelfunktion ist die Sinus-Funktion in folgender Weise definiert. Für einen Winkel α [0, π Gegenkathete 2 ] ist sinα = Hypothenuse, wobei hier die (Längen der) Gegenkathete und Hypothenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit Scheitelwinkel α gemeint ist. Für α [ π 2,π] ist sinα = sin(π α). Für α [π,2π] ist sinα = sin(α π). 100

13 Ist x R, dann schreiben wir x = 2mπ +α mit m Z, α [0,2π), und setzen sinx = sinα. Dadurch ist die Sinus-Funktion auf ganz R erklärt. Sie ist periodisch mit Periode 2π, d.h. sin(x + 2π) = sin(x). Ihr Wertebereich ist W(sin) = {y R : 1 y 1} = [ 1,1]. π/2 α Gegenkathete Hypothenuse α Ankathete Diese Skizze zeigt noch einmal die Größen, die bei der Definition der trigonometrischen Funktionen eine Rolle spielen. (ii) Cosinus: Als Winkelfunktion ist die Cosinus-Funktion in folgender Weise definiert. Für einen Winkel α [0, π Ankathete 2 ] ist cosα = Hypothenuse, wobei hier die (Länge der) Ankathete bzw. Hypothenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit Scheitelwinkel α gemeint ist. Für α [ π 2,π] ist cosα = cos(π α). 101

14 x Abbildung 1: Graphen von sinx (rot) und cosx (blau) Für α [π,2π] ist cosα = cos(α π). Ist x R, dann schreiben wir x = 2mπ +α mit m Z, α [0,2π), und setzen cosx = cosα. Auch die Cosinus-Funktion ist periodisch mit Periode 2π. Ihr Wertebereich ist ebenfalls W(cos) = [ 1,1]. Es gilt sin(x+ π 2 ) = cosx und sin(x) = cos(x π 2 ) 102

15 Das bedeutet, dass der Graph der Sinus-Funktion aus dem Graph der Cosinus-Funktion durch Verschiebung um π/2 nach rechts entsteht. (iii) Tangens: Als Winkelfunktion ist die Tangens-Funktion für einen Winkel α [0, π 2 ) definiert als tanα = Gegenkathete Ankathete wobei hier die (Längen der) Gegenkathete und Ankathete in einem rechtwinkligen Dreieck mit Scheitelwinkel α gemeint ist. Es ist also tanα = sinα cosα Wie vorher wird tan fortgesetzt, diesmal allerdings nur auf den Definitionsbereich D = {x R : x π 2 +m π, m Z}, und es ist tan : D R, tanx = sinx cosx. Als Wertebereich ergibt sich W(tan) = R. Der Tangens ist auf den Intervallen ( π 2 +zπ, π 2 +zπ), z Z, streng monoton wachsend. (iv) Cotangens: Diese Funktion ist auf D = {x R x m π, m Z} definiert durch cotx = cosx sinx. 103

16 10 8 y x Abbildung 2: Graphen von tanx (rot) und cotx (blau) Als Wertebereich ergibt sich W(cot) = R. Der Cotangens ist streng monoton fallend auf den Intervallen (zπ,π +zπ), z Z. Im folgenden Bild sind die Graphen für den Tangens rot und den Cotangens blau eingezeichnet. 104

17 Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen 1. Einige spezielle Werte sind 0 π/6 π/4 π/3 π/2 sin cos tan cot

18 2. Periodizität: sin(x+2π) = sinx, cos(x+2π) = cosx 3. Symmetrie: sin( x) = sinx, cos( x) = cosx (sin ist eine ungerade und cos eine gerade Funktion.) 4. Satz des Pythagoras: sin 2 x+cos 2 x =

19 5. Additionstheoreme: sin(x+y) = sinx cosy +cosx siny cos(x+y) = cosx cosy sinx siny 6. Die trigonometrische Funktion tan ist streng monoton steigend auf ( π/2, π/2) und und die Funktion cot ist streng monoton fallend auf (0/π) (und den entsprechend verschobenen Intervallen). 107

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21 7. Verschiebungen um π/2 und π: sin(x+ π 2 ) = cos(x) cos(x π 2 ) = sin(x) sin(x+π) = sin(x) cos(x+π) = cos(x) tan(x+π) = tan(x) tan(x+ π 2 = cot(x) cot(x+ π 2 = tan(x) cot(x+π) = cot(x) tan(x) = 1 cot(x). Treppenfunktionen Das sind Funktionen, die intervallweise konstant sind; bis auf die konstante Funktion haben solche Funktionen Sprungstellen. 108

22 3 2 ο 1 ο ο ο x ο 1 ο 2 3 Beispiel 2.17 Ganzzahliger Anteil: Sei f : R R, f(x) = trunc(x) wobei für x R durch trunc(x) der ganzzahlige Anteil von x (Vorkommastelle) bezeichnet sei. Als Wertebereich ergibt sich W(f) = Z. Vorzeichenfunktion: 109

23 Es sei sgn : R R, x 1 falls x > 0 0 falls x = 0 1 falls x < 0 1ο x 0.5 ο 1 110

24 2.4 Polynome Eine Funktion P : R R gegeben durch P(x) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 n = a k x k, k=0 wobei n N 0, a k R und a n 0, heißt Polynom(funktion) vom Grad grad(p(x)) = n. Die Funktion P(x) = 0 heißt das Nullpolynom. Wir setzen grad(0) =. Die Zahlen a 0,a 1,...,a n heißen die Koeffizienten des Polynoms. Ist a n = 1, dann heißt P normiert. 111

25 x 20 Abbildung 3: Graph von 2x 4 10x 2 +3x 10 Division mit Rest Seien S(x), T(x) zwei Polynome, T(x) 0. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome Q(x) und R(x) mit der Eigenschaft S(x) = T(x)Q(x)+R(x) und grad(r(x)) < grad(t(x)) Die Polynome Q(x), R(x) werden genauso wie beim schriftlichen Dividieren berechnet. R(x) heißt Rest von S(x) bei Division durch T(x). Gilt dabei R(x) = 0, so heißt T(x) ein Teiler von S(x). 112

26 Beispiel 2.18 Sei S(x) = 6x 3 +17x 2 4x+5, T(x) = 3x+1. Dann ist 6x 3 +17x 2 4x+5 = (2x 2 +5x 3) (3x+1)+8, also Q(x) = 2x 2 +5x 3 und R(x) = 8. Sei S(x) = x 2 +x 12, T(x) = x+4. Wir erhalten also Q(x) = x 3 und R(x) = 0. x 2 +x 12 = (x 3)(x+4)+0, Der Buchstabe Q soll andeuten, dass es sich bei Q(x) um den Quotienten und bei R(x) um den Rest handelt. Allgemein gilt für x 0 R und T(x) = x x 0 : Die Division mit Rest liefert die Darstellung S(x) = (x x 0 )Q(x)+P(x 0 ) Es ist also S(x 0 ) = 0 genau dann, wenn S(x) von der Form S(x) = (x x 0 )Q(x) ist, d.h. wenn x x 0 das Polynom S(x) teilt. 113

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