Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium

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1 Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium Dr. B. Hallouet SS 07 Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 / 8

2 Vorlesung 5 (Lecture 5) Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen A real-valued function of a real variable Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 / 8

3 Reelle Funktion (A real-valued function ) Reelle Funktion (A real-valued function) Eine reelle Funktion f ordnet jedem Element eine Definitionsmenge D R (domain) genau ein Element f () einer Zielmenge Z R (co-domain) zu. f : D Z, f () D heißt Definitionsbereich der Funktion. Wir definieren f (D) := {f () D} als Wertebereich der Funktion (range of a function). Bsp: f : R R,, f (R) = R + f : R R,, f (R) = R f : R + R, ln(), f (R + ) = R Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 / 8

4 Beispiel (Eample) Bestimmen Sie den maimalen Definitionsbereich der Funktionen: f () = 9, D ma =], ] [, ]. f () = 4 + 5, D ma = R \ { 5} 4 ( ) f () = ln, D ma =], [ ], [ + ( ) ( + ) Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 4 / 8

5 Operationen mit Funktionen Operationen Seien f, g : D R Funktionen. Wir können die folgenden Funktionen definieren: die Summe von f und g: f + g : D R, (f () + g()) die Multiplikation mit einer Zahl λ R: λ f : D R, λ f () das Produkt von f und g: f g : D R, (f () g()) f f () 4 der Quotient von f und g: : D R, g g(), wobei D, g() 0. Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 5 / 8

6 Wiederholung Komposition zweier Funktionen Seien f : A B und g : B C zwei Funktionen, die Komposition (Verkettung) g f ist die Funktion definiert durch: g f : A C, (g f )() := g(f ()) Sprechweise: g verknüpft mit f, g nach f ( g of f ) Umkehrfunktion Sei f : D W eine bijektive Funktion. Eine Funktion f : W D mit f f = id D und f f = id W heiß t Umkehrfunktion zu f. Um die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion zu finden, lösen wir = f () nach auf: = f (). Dann vertauschen wir und. Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 6 / 8

7 Eigenschaften einer Funktion (Properties of functions) gerade / ungerade (even/odd) Sei f : D R eine reelle Funktion. Die Funktion ist gerade, wenn für alle D gilt: f ( ) = f () Die Funktion ist ungerade, wenn für alle D gilt: f ( ) = f () Periodische Funktion (periodic function) Sei f : D R eine reelle Funktion. f heißt periodisch mit der Periode T, wenn für alle D gilt: f ( + T) = f () Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 7 / 8

8 Graph einer Funktion (Graph of a function) Graph einer Funktion (Graph of a function) Sei f : D Z eine reelle Funktion. Die Menge { (, f ()) D, f () Z} heißt Graph von f. Der Graph kann in einem kartesischen Koordinatensstem eingezeichnet werden. 5 4 f () = + Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 8 / 8

9 Graph einer Funktion (Graph of a function) 5 4 A = (, ) f () = + Die horizontale -Achse (-ais) heißt Abszissenachse. Die vertikale -Achse (-ais) heißt Ordinatenachse. Der Punkt O = (0, 0) ist der Ursprung (origin) des Koordinatensstems. A = (, ): ist die -Koordinate von A und die -Koordinate von A. Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 9 / 8

10 Grundlegende Funktionen (elementar functions) die konstante Funktion: f : R R, c, mit c R die lineare Funktion: f : R R, a + b, mit a, b R 4 f () = + a = ist die Steigung (slope) b = ist der -Achsenabschnitt (-interception) Für a > 0 ist die Funktion streng monoton wachsend. Für a < 0 ist die Funktion streng monoton fallend. Für a = 0 ist die Funktion konstant. Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 0 / 8

11 Grundlegende Funktionen (elementar functions) die quadratische Funktion: f : R R, a + b + c, mit a, b, c R 4 f () = + S = (, ) g() = + + Der Graph ist eine Parabel Für a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet. Für a < 0 ist die Parabel nach unten geöffnet. Der Punkt S = ( S, S ) = (, ) ist der Scheitelpunkt der Parabel g. Scheitelpunktform: S = a( S ) Also für die Parabel g: = ( ) Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 / 8

12 Grundlegende Funktionen (elementar functions) 4 Monom: f : R R, n, mit n N 4 f () = g() = 4 f (R) = R + f ist eine gerade Funktion. Der Graph ist achsensmmetrisch zur -Achse. Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 / 8

13 Grundlegende Funktionen (elementar functions) 4 Monom: f : R R, n+, mit n N f () = g() = 5 f (R) = R f ist eine ungerade Funktion. Der Graph ist punktsmmetrisch zum Ursprung. Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 / 8

14 Grundlegende Funktionen (elementar functions) 4 Polnomfunktionen: f : R R, n a i i mit i N, a i R i=0 f () = g() = 4 Falls a n 0 ist n der Grad der Polnomfunktion. Asmptotisches Verhalten wird durch a n und n gegeben. Graph beliebig kompliziert (Kurvendiskussion) Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 4 / 8

15 Grundlegende Funktionen (elementar functions) 5 Rationale Funktionen: f : D R, P() wobei Q() Polnomfunktionen sind. Es gilt: Q() 0 D P(), Q() g() = f () = Bsp. : f () =, g() = D = R \ {0} Q(0) = 0, = 0 ist ein Pol der Funktionen f und g. f ( ) = = f (), f ist punktsmmetrisch zum Ursprung. g( ) = = g(), g ist ( ) achsensmmetrisch zur -Achse. Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 5 / 8

16 Grundlegende Funktionen (elementar functions) 6 Wurzelfunktionen: f : D R, n, wobei n N, n f () = n = n für > 0 D = R + für n gerade. D = R für n ungerade. g() = Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 6 / 8

17 Grundlegende Funktionen (elementar functions) 7 Eponentielle Funktionen: f : R R, a, wobei a R +, a i() = e 5 4 h() = g() = f () = e f (R) = R + a wird Basis genannt. e = ist die eulersche Zahl f () = e = ep() ist die (natürliche) Eponentialfunktion. Eigenschaften: a 0 =, insbesondere e 0 = a u+v = a u a v, insb. e u+v = e u e v a u v = au a, insb. v eu v = eu e v (a u ) v = a u v, insb. (e u ) v = e u v Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 7 / 8

18 Grundlegende Funktionen (elementar functions) 8 Logarithmusfunktion: f : R + R, log a, wobei a R +, a Sie ist die Umkehrfunktion der Eponentialfunktion a. g() = log () f () = ln() h() = log 0 () f (R + ) = R f () = log a () ist die Logarithmusfunktion mit Basis a. f () = log e () = ln() ist die natürliche Logarithmusfunktion mit Basis e (Euler-Zahl). Eigenschaften: (u, v R + ) ln() = 0; log e (e) = ln(e) = ln(u v) = ln(u) + ln(v) ( u ) ln = ln(u) ln(v) v ln(u n ) = n ln(u), n R Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 8 / 8

19 Logarithmus und Eponentialfunktion (Logarithmic and eponential function) g() = ep() a = n log a n = (a R + \ {}, n R) 4 f () = ln() h() = Spiegelung an der Geraden = R, ln(e ) = R +, e ln() = Basisumrechnung: (a, b R + \ {}) a = e ln(a) = e ln(a) log b () = log a () log a (b) Insbesondere log a () = ln () ln (a) Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 9 / 8

20 Grundlegende Funktionen (elementar functions) 9 Die Kosinus- bzw. die Sinus-Funktion: f : R R, cos(), g : R R, sin() Die Tangens-Funktion: h : D R, tan() = sin() cos() π π π π g() = sin() π π f () = cos() π π f (R) = g(r) = [ : ] Die Kosinus- und die Sinus-Funktion sind periodische Funktionen mit Periode π. sin( + π) = sin(), cos( + π) = cos(). Die Kosinusfunktion ist gerade. Die Sinusfunktion ist ungerade. sin( + π/) = cos(). Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 0 / 8

21 Trigonometrische Funktionen (trigonometric functions) Einheitskreis (Radius=) α [0, π] (Bogenmaß in rad) - α cos α P sin α Der Punkt P liegt auf dem Kreis und hat die Koordinaten (cos α, sin α). π π π π α cos(α) 0 - sin(α) 0 Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 / 8

22 cos( ± ) = cos() cos() sin() sin() ; cos () = ( + cos()) Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 / 8 Trigonometrische Funktionen (trigonometric functions) - sin(π + α) cos(π + α) α cos α P sin α Einheitskreis (Radius=) 60 = π cos (α) + sin (α) = cos(π + α) = cos(α) sin(π + α) = sin(α) cos( α) = cos(α) sin(π α) = sin(α) Additionstheoreme: - sin( ± ) = sin() cos() ± cos() sin() ; sin () = ( cos())

23 Grundlegende Funktionen (elementar functions) 0 Betragsfunktion: f : R R, f (R) = R + f () = 0, = < 0, = Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 / 8

24 Transformation von Funktionen (Transformation of functions) Sei f : R R eine reelle Funktion, sei a R g () = + f () = g () = g : R R, mit g() := f () + a ist eine Verschiebung (shift) in -Richtung: um a aufwärts (nach oben/ up) (a > 0) um a abwärts (nach unten/ down) (a < 0) Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 4 / 8

25 Transformation von Funktionen (Transformation of functions) Sei f : R R eine reelle Funktion, sei a R g () = + f () = g () = g : R R, mit g() := f ( + a) ist eine Verschiebung (shift) in -Richtung um a nach links (to the left) (a > 0) um a nach rechts (to the right) (a < 0) Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 5 / 8

26 Transformation von Funktionen (Transformation of functions) Sei f : R R eine reelle Funktion, sei a R g () = f () = g () = g : R R, mit g() := a f () ist eine Skalierung mit dem Faktor a in vertikaler Richtung gedehnt/gestreckt (a > ). (stretching) mit dem Faktor a in vertikaler Richtung gestaucht (a < ). (compressing) Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 6 / 8

27 Transformation von Funktionen (Transformation of functions) Sei f : R R eine reelle Funktion, sei a R g () = () f () = g () = (0.5) g : R R, mit g() := f (a ) ist eine Skalierung mit dem Faktor a in horizontaler Richtung gestaucht (a > ). mit dem Faktor a in horizontaler Richtung gedehnt (a < ). Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 7 / 8

28 Transformation von Funktionen Sei f : R R eine reelle Funktion, 4 f () = e g () = e g : R R, mit g() := f () ist eine Spiegelung an der -Achse. g () = e g : R R, mit g() := f ( ) ist eine Spiegelung an der -Achse. Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 8 / 8