Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 1 c 2016 A. Kersch

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1 Vorkurs Mathematik-Phsik, Teil c 6 A. Kersch Funktionen. Grundbegriffe Bei fast allen phsikalischen Vorgängen wird eine phsikalische Größe von anderen abhängen. Besipielsweise hängt die Körpergröße vom Alter ab, die Temperatur von der Jahreszeit und der Flächeninhalt eines Kreises vom Radius. In vielen Fällen läßt sich dieser Zusammenhang genau angeben, so z.b. A = πr, mit r Radius und A Flächeninhalt In anderen Fällen gibt es keinen allgemeinen, formelhaften Zusammenhang, sondern einen eperimentell messbaren Zusammenhang wie die individuelle Körpergröße, die zu verschiedenen Zeitpunkten eindeutig gemessen und in einer Tabelle notiert werden kann. Dieser Zusammenhang, eine Größe eindeutig in Abhängigkeit einer anderen zu kennen, ist der Begriff der Funktion. Funktion Eine Funktion f ist eine Regel, die jedem Element aus einer Menge X eakt ein Element, genannt f () aus einer Menge Y.zuordnet. X ist der Definitionsbereich und Y der Wertebereich der Funktion, Y = {f () X} f : = f() f : X Y Das Smbol, welches die Werte repräsentiert, werden unabhängige Variable genannt, das Smbol, welches die Werte f() repräsentiert, abhängige Variable..Ein Beispiel ist f () = (Definition der Regel), das Smbol ist die unabhängige Variable, wenn der Zusammenhang in der Form = (Funktionsgleichung) geschrieben wird, ist die abhängige Variable. Hinter unserem ersten Beispiel A = πr steckt die Funktion mit der Regel f() = π. Funktions-Familien Um ähnliche Funktionen zu beschreiben, werden Funktions-Familien definiert: hier unterscheiden sich die Funktionsgleichungen nur durch einen oder einige Konstanten, die Funktions-Parameter genannt werden. Ein Beispiel ist die Familie der Potenzfunktionen, also die Funktionen der Form f () = n, wobei n eine positive, ganze Zahl ist. Ein anderes Beispiel ist die Funktions-Familie der quadratischen Funktionen f () = a + b + c, wobei a, b, c eine beliebige Zahlen sind. Stückweise definierte Funktionen Funktionen können mit verschiedenen Gleichungen über verschiedenen Teilen des Definitionsgebietes definiert sein. Ein Beispiel ist der Betrag der linearen Funktion f () = Hier hängt der Wert davon ab, ob positiv oder negativ ist { falls f () = falls < Eine derartige Funktion heißt stückweise definiert. Graph einer Funktion Funktion durch die Menge gegeben. Anders ausgedrücht durch Wenn f eine Funktion mit Definitionsmenge X ist, dann ist der Graph der {(, ) = f () und X} {(, f ()) X}

2 Modellieren mit Funktionen Wenn ein Phsiker über ein Modell eines realen Vorganges spricht, hat er häufig eine Funktion vor Augen, die zumindestens näherungsweise die Abhängigkeit einer Größe (abhängigen Variablen) von einer anderen Größe (unabhängigen Variablen) beschreibt. Beispielsweise eine Funktion, welche die Körpergröße als Funktion der Zeit beschreibt Direkte und indirekte Proportionalität Zwei mathematische Modelle treten so häufig in Wissenschaften auf, dass sie besondere Namen erhalten haben Die direkt proportionale Abhängigkeit = k und die indirekt proportionale Abhängigkeit Hier ist k die Proportionalitätskonstante. = k Andere häufig vorkommende Abhängigkeiten Manchmal hängt eine abhängige Größe von mehr als einer Größe ab. Z.B. wenn die Größen,, und z durch die Funktionsgleichung z = k verbunden sind, wobei k eine Konstante ist,sagen wir, daßz gemeinsam direkt proportional von and abhängt. Genauso, wenn z = k sagen wir, daßz gemeinsam indirekt proportional von und abhängt. Ebenso z = k hängt z direkt proportional von und indirekt proportional von ab.. Transformationen von Funktionen Hier wird untersucht, wie Transformationen den Graphen einer Funktion verändern. Dies wird Ihnen helfen, Funktionsgraphen zu analsieren. Diese Transformationen sind Verschiebung, Refleion und Steckung. Vertikale Verschiebung Betrachten Sie folgenden Graphen einer Funktion = f () Wie sieht der Graph von = f () + aus? Und der Graph von = f ()?

3 = f () + = f () Horizontale Verschiebung von Graphen die ähnliche Frage bei = f ( ) Nun ist die Frage, wie der Graph von = f ( + ) aussieht, = f ( + ) = f ( ) Wenn c, wird der Graph der Funktion = f ( c) erhalten durch Verschieben von = f () nach rechts um c. Wenn c, wird der Graph der Funktion = f ( + c) erhalten durch Verschieben von = f () nach links um c. Spiegelung von Graphen Die nächste Frage ist, wie = f () aussieht. Hier handelt es sich um den Graphen, der in -Richtung, also an der -Achse gespiegelt wird: = f () Der Graph = f ( ) entspricht der Spiegelung in -Richtung an der -Achse:

4 = f ( ) Der Graph der Funktion = f () wird aus dem Graphen von = f () durch Spiegelung an der -Achse erhalten. Der Graph der Funktion = f ( ) wird aus dem Graphen von = f () durch Spiegelung an der -Achse erhalten. Vertikales Strecken und Stauchen von Graphen Wie sieht der Graph von = af () aus, wenn a ist eine positive Konstante? Hierbei handelt es sich um eine Streckung oder Stauchung in -Richtung, ausgehend von der -Achse: = f () = f () Der Graph der Funktion = af (), mit a >, wird aus dem Graphen von = f () durch vertikale Streckung in -Richtung um den Faktor a erhalten Der Graph der Funktion = af (), mit a < aber a >, wird aus dem Graphen von = f () durch vertikale Stauchung in -Richtung um den Faktor a erhalten. Horizontales Strecken und Stauchen von Graphen Schliesslich, wie sieht der Graph von = f (a) aus? Hier ist die Streckung oder Stauchung in der -Richtung, ausgehend von der -Achse:

5 = f () = f ( ) Gerade und ungerade Funktionen Eine Funktion f () ist gerade, wenn f ( ) = f () für alle aus dem Definitionsbereich Der Graph einer geraden Funktion ist smmetrisch zur -Achse. Eine Funktion f () ist ungerade, wenn f ( ) = f () für alle aus dem Definitionsbereich Der Graph einer geraden Funktion ist smmetrisch zum Ursprung. f ( ) = f() f ( ) = f() Ein-eindeutige Funktion Definition Eine Funktion f mit Definitionsbereich X ist ein-eindeutig, wenn keine zwei Argumente aus X denselben Wert haben, d.h. f( ) f( ) wenn Eine Funktion ist ein-eindeutig genau dann, wenn keine horizontale Linie den Graphen mehr als einmal schneidet

6 8 6 ein-eindeutige und nicht ein-eindeutige Funktion Inverse Funktion Definition Sei f eine ein-eindeutige Funktion mit Definitionsbereich X und Werteberich Y. Dann heisst die inverse Funktion f und hat einen Definitionsbereich Y, einen Wertebereich X und ist definiert durch f () = f() = für jedes aus Y. Wenn also f eine inverse Funktion hat, gilt, f (f ()) = und f ( f () ) = für alle aus dem Definitionsbereich von f und alle aus dem Wertebereich von f. Es gilt ausserdem: eine Funktion f ist genau dann umkehrbar, wenn sie streng monoton (steigend oder fallend) ist. Ist die Funktion streng monoton, so ist auch die Umkehrfunktion streng monoton. Die Umkehrung einer Funktion lässt sich rechnerisch durchführen = + = ( ) umbenennen = ( ) = nicht ein-eindeutig = ± keine Funktion umbenennen = ± (/)^ (/)+ 6 ein-eindeutige und nicht ein-eindeutige Funktion Invertierung der Funktionen, nur stueckweise moeglich Winkelhalbierenden ( Ver- Der Graph der inversen Funktion ergibt sich durch Spiegelung an der. tauschen von und Achse ). Aufgabe: Welche der Funktionen ist umkehrbar? a) = b) = c) = d) = sin e) = tan f) = cos ()

7 . Lineare Funktionen Funktionen, deren Funktionsgleichung in die Form = m + b umgewandelt werden können, heißen lineare Funktionen. Ihr Graph ist eine Gerade. Sie schneidet die -Achse im Punkt P ( b) und besitzt die Steigung m. Der Wert b heißt auch -Achsenabschnitt. Der Schnittpunkt (eines Graphen) einer linearen Funktion mit der -Achse heisst Nullstelle. Die Nullstelle wird wie folgt berechnet: = f() = = Nullstelle. Aufgabe: Skizziere die Geraden und berechne die Nullstelle a) = + b) = c) = + () Eine weitere Aufgabe besteht darin, mit zwei gegebenen Punkten P (, ) und P (, ) die Geradengleichung aufzustellen. Dies geschieht durch Bestimmung der Steigung m = = das kann nach aufgelöst werden = ( ) + Aufgabe: Bestimme die Geradengleichungen a) b) c) Die Nullstelle einer Geraden entsprechen dem Schnittpunkt der Geraden mit der Horizontalen = +. Es stellt sich die allgemeinere Frage nach dem Schnittpunkt zweier Geraden. Es gilt: zwei Geraden haben genau einen Schnittpunkt, wenn ihre Steigungen unterschiedlich sind. Die Rechnung zur Bestimmung des Schnittpunktes sieht wie folgt aus Gerade : = m + Gerade : = m + Schnittpunkt: m + = m + = m m Aufgabe: Bestimme die Schnittpunkte durch eine Berechnung und durch eine Skizze a) f() = + g() = ()

8 . Quadratische Funktionen Eine quadratische Funktion, ein Polnom zweiten Grades, besitzt eine Funktionsgleichung der Form = f() = a + b + c Normalform = f() = a ( d) + e Scheitelpunktform = 6 = ( ) + Aufgabe: Grafen Bringe die quadratischen Funktionen auf die Scheitelpunktform. Skizziere den Funktions- a) f() = + + b) g() = + c) h() = + () Die quadratische Funktion hat nicht immer eine reelle Nullstelle (komplee Nullstellen werden später besprochen). Die eisstenz von Nullstellen läßt sich einfach am Graphen der Funktion ablesen. Die Nullstellen lassen sich am eiinfachsten in der Scheitelpunktsform finden. Sei die quadratische Funktion gegeben = a ( d) + e = ( d) = e a Die (reelle) Wurzel kann nunn berechnet werden, wenn e/a positiv ist e a d = ±, = d ± Falls die quadratische Funktion in der Normalform gegeben ist, sind die Nullstellen e a = a + b + c = e a b ac, = b ± b ac a 6 5 Quadratische Funktionen mit zwei, einer und keiner Nullstelle

9 Falls die quadratische Funktion ein oder zwei Nullstellen, hat, lässt sie sich in der Faktordarstellung schreiben = f() = a ( ) ( ) Faktordarstellung Aufgabe: Berechne die Nullstellen, der Funktionen und stelle die Funktion in der Faktordarstellung dar f() = a( )( ).5 Polnome a) f() = b) g() = c) h() = (5) Im Allgemeinen nennen wir eine Funktion der Form f() = a n n + a n n +...a + eine Polnomfunktion oder kurz Polnom, die Zahlen a i nennt man die Koeffi zienten. n ist der Grad des Polnoms. Bei den Polnomen interessieren uns häufig die Nullstellen. Als einfaches Beispiel zunächst die Parabeln höheren Grades = = = = = = = Parabel. Grades Parabel. Grades Parabel. Grades Parabeln Für den algemeinen Fall betrachten wir als Beispiel folgendes Polnom 5. Grades: f() = a (a) a = (b) a =. (c) a = (d) a =.5 Bei geringfügiger Änderung des Polnoms durch den Wert von a (führt zur vertikalen Verschiebung) ändert sich die Anzahl der Nullstellen von auf 5,,. Dazu lassen sich allgemein folgende Aussagen formulieren:

10 Jedes Polnom vom Grad n > hat höchstens n Nullstellen Jedes Polnom vom Grad n mit n ungerade hat mindestens Nullstelle Wenn ein Polnom f() vom Grad n > eine Nullstelle in a hat, d.h. f(a) =, dann läßt sich durch Polnomdivision ein g() = f()/( a) finden, so daßf() = ( a)g() Ein Beispiel ist das Polnom in (c), welches sich vollständig in sogenannte Linearfaktoren zerlegen läßt f() = = ( )( ) ( + ) Später,wenn wir die kompleen Zahlen kennenlernen, werden wir sehen, das ein Polnom vom Grad n genau n Nullstellen hat, die allerdings komple sein können (Fundamentalsatz der Algebra)..6 Hperbeln Unter einer Hperbel vom Grad n versteht man Funktionen vom Tp f() = a n Diese sind ein Spezialfall von rationalen Funktionen (siehe unten). Die Hperbel. Grades ist bereits bei der indirekten Proportionalität aufgetaucht. Hperbeln haben einen Pol bei = und eine Asmptote bei =. Bei ungeradem Grad gibt es beim Pol einen Vorzeichenwechsel. =/ =/ =/ =/ =/ =/ Hperbel. Grades Hperbel. Grades Hperbel. Grades Hperbeln.7 Rationale Funktionen Nun konstruieren wir Funktionen als Quotienten von zwei Polnomen. Ein Beispiel ist durch ein Polnom vom Grad im Nenner und vom Grad im Nenner gegeben ( + ) ( ) f() = ( ) ( + )

11 Der Zähler hat reelle Nullstelle bei.5 und der Nenner hat reelle Nullstellen, zweimal bei + und einmal bei. Daraus ergibt sich eine Nullstelle des Quotienten und Singularitäten (Pole) bei + und. Im Allgemeinen nennt man eine Funktion f() = a() b() = a n n + a n n a + a b m m + b m m b + b eine rationale Funktion. Wir können hier annehmen, dass a() und b() keine gemeinsamen Nullstellen haben, da diese ja nach dem Faktorsatz faktorisiert und dividiert werden können. Unter diesen Voraussetzungen sind die Nullstellen von f() durch die Nullstellen von a() gegeben. Die Nullstellen von b() hingegen definieren die Pole von f(). Wenn n m gibt es eine waagerechte Asmptote. Wenn n = m hat diese den Wert = a n /b n, ansonsten =. Aufgabe: Ordnen Sie folgende rationale Funktionen den Graphen zu, begründen Sie (a) (d) (b) (c) 5 + (e) 5 + (f) (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi).8 Potenz Funktionen und Wurzelfunktionen Die Bausteine der Polnome und rationalen Funktionen sind die Potenzfunktionen vom Grad n f() = n Die Potenzfunktionen mit gerader Potenz n sind nur stückweise (nämlich im positiven Halbraum) monoton und damit invertierbar. Wir betrachten daher nur den positiven Halbraum (d.h. ) und suchen nach der inversen Funktion.

12 Im einfachsten Fall ist dies die inverse Funktion zu f() =. Diese kennen wir bereits, die Wurzelfunktion =. Es gilt daher = ( ) = Für eine höhere Parabel vom Grad n gibt es dementsprechend die höhere Wurzelfunktion n oder n-te Wurzel. Es gilt n n = ( n ) n = Es bietet sich an, folgende Schreibweise zu verwenden: n = n weil n n = ( n ) n = n n = und ( n ) n = ( n ) n = Wichtig ist, dass hier im allgemeinen das Argument der Potenzfunktion oder Wurzelfunktion positiv sein muss (ausser bei ungeradem, ganzzahligen Eponenten). Parabeln = = = = 5 = = / Wurzelfunktion 5 = = = = / = / = / hoehere Wurzeln Die Potenzfunktion f() = n hat auf den ersten Blick eine Ähnlichkeit mit den folgenden Eponentialfunktionen f() = a. Man beachte die andere Position der unabhängigen Variablen. Ansonsten sind beide Formelausdrücke den Rechenregeln für Potenzen unterworfen..9 Eponential Funktionen Zwei der wichtigsten Funktionen in der Mathematik und in den phsikalischen Anwendungen sind die Eponential Funktion f() = a oder etwas allgemeiner f() = c a b und ihre inverse Funktion, die logarithmische Funktion g() = log a oder etwas allgemeiner g() = b log a Diese Funktionen werden insbesondere benötigt, um Zerfalls-und Wachstumsprozesse zu beschreben, die in Phsik, Chemie, Biologie und Wirtschaft auftreten. Eine Eponentialfunktion ist eine Funktion von der Form f() = a wobei a eine positive Konstante ist. Sie kann wie folgt definiert werden:. Wenn = n, eine positive, ganze Zahl ist. Wenn =, dann ist a =. a n = a a a }{{} n Faktoren. Wenn = n eine negative, damit n eine positive ganze Zahl ist a n = a n c

13 . Wenn eine rationale Zahl ist, d.h., = p, mit p und q positiven ganzen Zahlen und q >, dann q a = a p q = q a p 5. Wenn eine irrationale Zahl ist, ist, a als folgender Grenzwert definiert a = lim r a r r rational Dies macht f() = a zu einer stetigen Funktion. Eine besondere Rolle spielt die Eponentialfunktion mit der irrationalen Eulerschen Zahl e = als Basis. Diese Basis e kommt in phsikalischen Gesetzen vor, da diese meistens Lösungen von Differentialgleichungen sind. Darauf wird später ausführlich eingegangen. In numerischen Rechnungen wird meistens die Basis verwendet ( Eponentialschreibweise von Zahlen im er Sstem ), um große Zahlen kompakt auszudrücken. Zur ausgezeichneten Rolle der Basis e sei auf folgende Eigenschaft hingewiesen (ohne Beweis): Unter den Potenzfunktionen a liegt nur e oberhalb der linearen Funktion +. So liegen z.b. und teilweise darunter. + (fett), e (linie),, (gestrichelt) Bemerkung: Am Taschenrechner und in Computersprachen taucht die Schreibweise E+ (beispielsweise) auf. ist hier der Vorfaktor, E bedeutet Eponent (und NICHT Euler sche Zahl). Es wird grundsätzlich als Basis verwendet. Die Zahl bedeutet daher.9. Allgemeine Eigenschaften E+ = = Theorem Wenn a > und a, dann ist f() = a eine stetige Funktion mit dem Definitionsbereich R = (, ) und Wertebereich (, ). Insbesondere ist, a > für alle. Wenn < a <, dann ist f() = a eine fallende Funktion; wenn a >, dann ist f eine steigende Funktion. Wenn a, b > und, R, gilt a + = a a a = a a (a ) = a (ab) = a b Die Eponentialfunktion schneidet die -Achse im Punkt P (, ). Es folgt der Graph der Eponentialfunktionen a mit den Basen e (rot), (blau), und (grün).die Eponentialfunktion a wächst für a > und fällt für < a <.. Logarithmusfunktionen Logarithmieren ist die Umkehrung des Potenzieren. Die Eponentialfunktion ist invertierbar, da sie streng monoton (steigend oder fallend) ist. Die Logarithmusfunktion lässt sich daher einfach durch Spiegelung an der. Winkelhalbierenden erzeugen.

14 Definition Sei a eine positive Zahl mit a. Die logarithmische Funktion mit Basis a, bezeichnet mit log a, ist definiert durch log a = a = In Worten: log a ist der Eponent zur Basis a, um zu erhalten. Eigenschaften des Logarithmus Eigenschaft Erläuterung log a = Die Basis a muss um die Potenz erhoben werden, um zu erhalten log a a = Die Basis a muss um die Potenz erhoben werden, um a zu erhalten log a a = Die Basis a muss um die Potenz erhoben werden, um a zu erhalten a log a = log a ist die Potenz um die a erhoben werden muss, um.zu erhalten Einige Basen werden besonders oft verwendet Der Logarithmus zur Basis heisst dekadischer Logarithmus und wird machmal mit lg und machmal mit log (z.b. hier) bezeichnet. Er wird zur Darstellung großer und kleiner Zahlen verwendet. Der Logarithmus zur Basis e heisst natürlicher Logarithmus und wird meistens mit ln aber in manchen Computersprachen leider mit log (z.b. hier) bezeichnet. Er wird zur Darstellung phsikalischer Gesetze verwendet. Der Logarithmus zur Basis heisst dadischer Logarithmus und wird meistens mit ld bezeichnet. Er tritt in der Informatik auf. =e =e = =e = = =e = =e =ln() = =e = =log () =ln() =log() Eponentialfunktion Eponentialfunktion nat. Logarithmus Logarithmen

15 Rechenregeln und Umrechnen der Basis Sei a eine positive Zahl mit a. Sei >, >, und sei ausserdem r eine reelle Zahl. Der Logarithmus von einem Produkt von Zahlen ist die Summe der Logarithmen der Zahlen. log a () = log a + log a Der Logarithmus von einem Quotient von Zahlen ist die Differenz der Logarithmen der Zahlen ( ) log a = log a log a Der Logarithmus der Potenz einer Zahl ist der Eponent multipliziert mit dem Logarithmus der Zahl. Basiswechsel von a nach b:. log a ( r ) = r log a log b = log a log a b weil für = log b gilt: b = log a b = log a log a b = log a = log b = log a log a b Um von der Basis a zur Basis b zu wechseln, reicht es daher log a b.zu kennen. Ein Beispiel wäre hier die Umrechnung von einem dekadischen Logarithmus auf den natürlichen Logarithmus. Sei die Zahl = als dekadischer Logarithmus gegeben, also log =. Mit log e =.9... ergibt sich log b = log log e =.9... = Da auf dem Taschenrechner log und ln zur Verfügung stehen, muss in Logarithmen-Gleichungen mit irgendwelchen Basen demzufolge auf die Basis oder e gewechselt werden, um ein numerisches Ergebnis zu erzielen.. Umrechnen der Basis der Potenzfunktion Damit ist es nun auch möglich, die Basis der Potenzfunktion zu wechseln, zunächst von a auf e. Hier muss ln a berechenbar sein a = e ln a weil für = a gilt: = e ln a = e ln a = e ln a oder allgemeiner von a auf b, hier muss log b a berechenbar sein. = b log b a = b log b a = b log b a Ein Beispiel sei die Umrechnung einer Potenz von a = in eine Potenz von b = e = e log e = e.6... = e Ein anderes Beispiel sei die Umwandlung eines "natürlichen Eponentenen" in eine "Zehnerpotenz" e = log e =.9... = Der Mathematiker Laplace sagte zu der großen Arbeiteerleichterung, welche durch das Ersetzen von Multiplikationen von Zahlen durch Additionen der Logarithmen von Zahlen (aus Logarithmentabellen) entsteht: Durch die Arbeitserleichterung infolge der Verwendung von Logarithmen wird das Leben der Astronomen verdoppelt.

16 . In der Phsik wichtige weitere Funktionen Arrhenius-Aktivierung: Funktion Aus der Hperbel und der Eponentialfunktion zusammengesetzt ist die Arrhenius- f() = e / bzw. f() = ae b/ Sie beschreibt die Zunahme der Reaktionsgeschwindigkeit chemischer Reaktionen mit der Temperatur. Dabei entspricht der Temperatur und b der Aktivierungsenergie. Die Reaktionsgeschwindigkeit steigt mit der Temperatur an und sättigt bei einem asmptotischen Wert von a. Bei kleinem b, also kleiner Aktivierungsenergie, wird die Sättigung früher erreicht =e../ =e./ =e / =e / 5 Arrhenius-Aktivierung Gauss-Funktion Gauss-Funktion Aus der quadratischen Funktion und der Eponentialfunktion zusammengesetzt ist die f() = e bzw. f() = ae /(σ ) Sie beschreibt die Häufigkeit von zufälligen Messergebnissen um einen Mittelwert, hier Null. Dabei entspricht dem gemessenen Wert und σ der Streubreite..8 =e =(π) / e /.8 =(πσ) / e /(σ ) σ= σ= σ=.5 σ=.5.8 =e =e = e Gauss-Funktion Gauss-Funktion Momente der Gauss-Fkt.

17 . Winkelfunktionen Die trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen) beschreiben Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck in Abhängigkeit eines Winkels α des Dreiecks. Dabei heißt die Seite gegenüber dem Winkel Gegenkathete, die am Winkel liegende Seite Ankathete. Die Seite gegeüber dem rechten Winkel heißt Hpotenuse. Seiten im Dreieck Definition: Ein Grad ist definiert als einer vollständigen Umdrehung gegen den Uhrzeigersinn (math. 6 Drehrichtung). Ein Radiant ist definiert als der Anteil einer vollständigen Umrehung. Achten Sie bei π ihrem Taschenrechner auf die Einstellung (deg oder rad) = π 8 rad ( ) 8 rad = π Die Winkelfunktionen sind wie folgt definiert sin θ = Gegenkathete Hpothenuse cos θ = Ankathete Hpothenuse tan θ = Gegenkathete Ankathete cot θ = Ankathete Gegenkathete ausserdem gilt: Pthagoras sin θ + cos θ = gerade Funktion cos( θ) = cos θ ungerade Funktionen sin( θ) = sin θ tan( θ) = tan θ Phasenverschiebungen sin ( ) ( ) θ + π = cos θ cos θ + π = sin θ sin (π θ) = sin θ cos (π θ) = cos θ

18 Funktionswerte für elementare Winkel Aufgabe: Erklären Sie die Funktionswerte für die elementaren Winkel für sin und cos Grad π π π π π rad π π 6 sin cos tan cot sec csc Winkelfunktionen ausgedrückt durch Winkel aus dem ersten Quadranten ganze Zahl θ 9 ± θ 8 ± θ 7 ± θ n (6) ± θ sin sin θ + cos θ sin θ cos θ ± sin θ cos + cos θ sin θ cos θ ± sin θ + cos θ tan tan θ cot θ ± tan θ cot θ ± tan θ cot cot θ tan θ ± cot θ tan θ ± cot θ sec + sec θ csc θ sec θ ± csc θ + sec θ csc csc θ + sec θ csc θ sec θ ± csc θ n sei hier eine positive,

19 Aufgabe: Berechnen Sie ohne Taschenrechner folgende Winkelfunktionen ( ) a) sin π b) sin (π) c) sin ( ) ( ) ( ) 7 π d) cos π e) tan (7π) f) tan π a) =.866 b) c) =.866 d) =.77 e) f) = Mit Hilfe des Pthagoras läßt sich jede Winkelfunktion durch eine andere ausdrücken, allerdings nur dann, wenn alle beteiligten Funktionen ein-eindeutig sind. Das ist im Intervall [, π/] der Fall. sin() cos() tan() cot() π/ π π/ π Sinus π/ π π/ π Cosinus π/ π π/ π Tangens π/ π π/ π Cotangens Aufgabe: Drücken Sie a) cos durch sin aus, b) tan durch sin aus, c) cos durch tan aus a) cos = + sin b) tan = sin cos = sin sin c) tan = sin cos = cos tan = cos cos cos tan cos + cos = cos = + tan Additionsgesetze: hier ohne Beweis Die Herleitung der folgenden Formeln geht mit kompleen Zahlen sehr einfach, daher sin (ϕ ± θ) = sin ϕ cos θ ± cos ϕ sin θ cos (ϕ ± θ) = cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ tan (ϕ ± θ) = tan ϕ ± tan θ tan ϕ tan θ Sonderfälle die auch anhand des Funktionsgraphen bewiesen werden können ( sin ϕ + π ) = cos ϕ ( cos ϕ + π ) = sin ϕ ( π ) sin ϕ = cos ϕ ( π ) cos ϕ = sin ϕ

20 Spezialfälle für doppelte und halbe Winkel, die sich aus den Additionsgesetzen ergeben sin ϕ = sin ϕ cos ϕ cos ϕ = cos ϕ sin ϕ = cos ϕ = sin ϕ tan ϕ = tan ϕ tan ϕ sin ϕ = ± cos ϕ cos ϕ = ± + cos ϕ (Vorzeichen je nach Quadrant) (Vorzeichen je nach Quadrant) tan ϕ = cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ + cos ϕ = ± + cos ϕ (Vorzeichen je nach Quadrant) Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen Die Umkehrfunktionen von sin, cos, und tan lassen sich in einem eingeschränkten Definitionsbereich definieren: in [ π, ] π ist der sin ein-eindeutig und invertierbar, in [, π] ist der cos ein-eindeutig und invertierbar und in [ π, ] π ist der tan ein-eindeutig und invertierbar. Die Arkus-Funktionen kommen auch daher relativ häufig in der Phsik vor, weil sie sich als Stammfunktionen von Integralen ergeben (siehe später). sin() cos() tan() cot() π/ π π/ π Sinus π/ π π/ π Cosinus π/ π π/ π Tangens π/ π π/ π Cotangens π/ asin() π acos() π/ atan() π acot() π/ π/ π/.5.5 Arcus-Sinus.5.5 Arcus-Cosinus π/ Arcus-Tangens Arcus-Cotangens Aufgabe: Skizzieren Sie die Graphen der nachfolgenden Funktionen a) arcsin () b) arctan ( ) c) arccos ( + ) d) arctan ( )

21 5 5 5 arcsin() und arcsin() arctan() und arctan() arcsin() und arcsin() arctan() und arctan(