4.4. Potenzfunktionen

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1 .. Potenzfunktionen Definition: Eine Funktion der Form f() = c z mit z \{; } heißt Potenzfunktion.... Potenzfunktionen mit positiven Eponenten (Parabeln) Schaubilder und Wertetabelle: = = Satz: Eine Potenzfunktion mit geraden (ungeraden) Eponenten ist eine gerade (ungerade) Funktion. Beweis: Sei f() = c n mit n gerade, dann ist n durch teilbar, d.h., n = m und f( ) = c ( ) m = c m = c n = f(). Sei andererseits n ungerade, dann ist n durch teilbar, d.h., n = m + und f( ) = c ( ) m + = c ( m + ) = c m + = c n = f(). Eigenschaften der Potenzfunktionen Smmetrie: Eine Funktion f heißt gerade bzw. achsensmmetrisch zur -Achse, falls f( ) = f() und ungerade bzw. punktsmmetrisch zum Ursprung, falls f( ) = f() für alle D. Beispiele f() = ist gerade, da f( ) = ( ) f() = ist ungerade, da f( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = = f(). = ( ) ( ) ( ) ( ) = = f() = =

2 ... Potenzfunktionen mit negativen Eponenten (Hperbeln) Wertetabelle Asmptoten Eine Asmptote ist eine Näherungsgerade im Schaubild einer Funktion f: Das Schaubild kommt ihr für betragsgroße oder beliebig nahe. Senkrechte Asmptoten nennt man auch Polstellen. Schaubilder = = = = Grenzwert einer Funktion für ± Eine Funktion f strebt für ± gegen den Grenzwert (lat. limes) a, wenn die Funktionswerte f() für genügend kleine bzw. große beliebig nahe an die Zahl a herankommen: lim f () = a. Das Schaubild von f besitzt dann für ± eine waagrechte Asmptote = a. Definitions- und Wertebereiche: ± = z z gerade z ungerade z > D = D = W = [; [ W = z < D = \{} D = \{} W = ]; [ W = \{} Übungen: Aufgaben zu Potenzfunktionen Nr. -

3 ... Verschiebung von Potenzfunktionen Beispiel : Verschiebung der kubischen Parabel = + ( ) ( ) = + = ( ) = ( ) - = Beispiel : Verschiebung der Hperbel = + ( ) ( ) = + = ( ) = = ( )

4 Verschiebung von Schaubildern Man verschiebt das Schaubild von = f() um in -Richtung und in -Richtung, indem man in der Funktionsgleichung durch und durch ersetzt. Das verschobene Schaubild hat dann die Gleichung = f( ) bzw. = f( ) +. = f() = f( ) Übungen: Verschiebung von Potenzfunktionen Nr. - Die allgemeine binomische Formel (Pascalsches Dreieck) (a + b) = (a + b) = a + b (a + b) = a + ab + b (a + b) = a + a b + ab + b (a + b) = a + a b + a b + ab + b Beispiel für die Verschiebung einer Parabel Gib die Gleichung der Funktion an, die man erhält, wenn man das Schaubild von f() = um = nach rechts und = nach oben verschiebt. Untersuche ihr Schaubild auf Smmetrie, Hoch- und Tiefpunkte, Asmptoten und Grenzwerte. =f() = = f( ) durch und durch ersetzen: = ( ) mit binomischer Formel ausmultiplizieren = [ + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ] = [ + + ) ausmultiplizieren ausmultiplizieren = = + + Die hat die Gleichung = f( ) bzw. = + +. Ihr Schaubild ist eine verschobene Parabel. Grades, die smmetrisch zur Senkrechten bei = ist. Der Tiefpunkt ist T( ). Für ± strebt auch f() gegen +, d.h., es gibt weder Asmptoten noch Grenzwerte. Beispiel für die Verschiebung einer Hperbel Gib die Gleichung der Funktion an, die man erhält, wenn man das Schaubild von f() = um = nach links und = nach oben verschiebt. Untersuche ihr Schaubild auf Smmetrie, Hoch- und Tiefpunkte, Asmptoten und Grenzwerte. =f() = durch und durch + ersetzen: = f( + ) = mit binomischer Formel ausmultiplizieren (+ )

5 = + + = = auf gleichen Nenner bringen + + Die hat die Gleichung = f( + ) bzw. =. Ihr Schaubild ist eine + + verschobene Hperbel. Grades, die smmetrisch zur senkrechten Asmptote bei = ist. Es besitzt außerdem eine waagrechte Asmptote bei = : lim f() =. Hoch- oder Tiefpunkte gibt es nicht ± Übungen: Aufgaben zu Potenzfunktionen Nr. Beispiel für die Untersuchung einer verschobenen Parabel Untersuche das Schaubild von f() = + auf Smmetrie, Hoch- und Tiefpunkte, Asmptoten und Grenzwerte. Gib die Gleichung der ursprünglichen Potenzfunktion an, und durch welche Verschiebung es aus dieser Potenzfunktion hervorgegangen ist. = + kubische Ergänzung mit binomischer Formel = + + binomische Formel = ( ) + + = ( ) + = f( ) = f() = Es handelt sich um eine Parabel. Grades mit der Gleichung =, die um = nach rechts und = nach unten verschoben wurde. Sie ist smmetrisch zum Punkt P( ). Sie besitzt weder Hoch- noch Tiefpunkte und auch keine Asmptoten Beispiel für die Untersuchung einer verschobenen Hperbel + Untersuche das Schaubild von f() = auf Smmetrie, Hoch- und Tiefpunkte, Asmptoten und + Grenzwerte. Gib die Gleichung der ursprünglichen Potenzfunktion an, und durch welche Verschiebung es aus dieser Potenzfunktion hervorgegangen ist. = = = = = ( ) + + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) = + ( ) = ( ) = f( ) = f() binomische Formel quadratische Ergänzung im Zähler binomische Formel im Zähler zusammenfassen Bruch auftrennen

6 = Es handelt sich um eine Hperbel. Grades mit der Gleichung =, die um = nach rechts und = nach oben verschoben wurde. Sie ist smmetrisch zur senkrechte Asmptote bei =. Außerdem hat sie eine waagrechte Asmptote bei = : f() für ±. Sie besitzt weder Hoch- noch Tiefpunkte. Übungen: Aufgaben zu Potenzfunktionen Nr.... Smmetrienachweis durch Verschiebung Smmetrienachweis durch Verschiebung Das Schaubild von = f() ist smmetrisch zur Achse =, wenn die um in -Richtung zurück = f( + ) gerade ist smmetrisch zum Punkt P( ), wenn die um in -Richtung und in - Richtung zurück + = f( + ) ungerade ist + = f( + ) = f() Beispiel: Zeige, dass das Schaubild von f() = + smmetrisch zum Punkt P( ) ist. Lösung = f() = + + = f( + ) + = ( + ) ( + ) + ( + ) durch + und durch + ersetzen mit binomischer Formel ausmultiplizieren + = [ ] ausmultiplizieren und nach Potenzen ordnen [ + + ] + [ + ] + = vereinfachen = + = Da die um in -Richtung und in -Richtung zurück + = f( + ) bzw. = ungerade und damit smmetrisch zu O( ) ist, muss die = f() bzw. = + smmetrisch zu P( ) sein. Übungen: Aufgaben zu Potenzfunktionen Nr.

7 ... Monotonieverhalten Definition Das Schaubild der Funktion = f() heißt im Bereich [a; b] D (streng) monoton steigend, f( ) f( ) wenn f( ) (<) f( ) f( ) f( ) (streng) monoton fallend, wenn f( ) (>) f( ) für alle a < b Übungen: Aufgaben zu Potenzfunktionen Nr.... Bestimmung von Umkehrfunktionen Schaubilder der Wurzel- und Potenzfunktionen für n = und (siehe auch...) = = = =,, g() = ( ) ( ) f() = Das Ziehen der n-ten Wurzel ist die Umkehrung des Potenzierens mit der Hochzahl n: ( ) f - () = / g - () = / ( ) /n = = n Beispiel: Bestimme die Funktionsgleichung und Definitionsbereich der Umkehrfunktion f zu f() = ( ) + = ( ) + Vertauschung von und = ( ) + = ( ) : ( ) = ( ) mit und ( ) = + ( ) + = = f () mit D f = und Wf = [; [ n n Übungen: Aufgaben zu Potenzfunktionen Nr.