Grundwissen Mathematik JS 11

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1 GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ math-naturw u neusprachl Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE PEGNITZ FERNRUF 94/48 FAX 94/564 Grundwissen Mathematik JS Was versteht man allgemein unter einer Funktion? Gib zu der Funktion, die jeder reellen Zahl ihr um eins vermindertes Quadrat zuordnet, die Definitionsmenge, die Wertemenge, die Zuordnungsvorschrift, den Funktionsterm und die Funktionsgleichung an Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jeder Zahl x aus einer gewissen Menge D eine einzige Zahl y zuordnet Zuordnungsvorschrift: x x F-Gleichung: zb y = x F-Term: f(x) = x D = R, W = [, [ Bestimme die Definitionsmenge von f(x) = x x x + x, g(x) = x, h(x) = x x und gib f( x) und f(a) an f(x) = x x x + x x(x ) = D = R \ {, } g(x) = x ; x! = D = [; [ h(x) = f( x) = x x > f(a) = = = D = R ( x) ( x) ( x) + ( x) = x x x x = x 4a 8a 8a + a x + x + x Beschreibe allgemein, wie man die Achsenpunkte und Nullstellen einer Funktion berechnet Beispiele Setzt man in der Funktionsgleichung x bzw y gleich Null und löst diese Gleichung nach der verbleibenden Variable auf, so erhält man den x-achsenabschnitt( = Nullstelle) bzw y-achsenabschnitt Daraus ergeben sich dann die Koordinaten der Achsenpunkte Beispiel: y = x x + x-achsenpunkte: = x + x Nullstellen: x = ; x = N ( ), N ( ) y-achsenpunkt: f() = T( ) 4 Gib jeweils eine Funktion an, die den Funktionsterm f(x) = x besitzt, und die keine Achsenpunkte aufweist deren Graph mit dem Graphen von f(x), (D = R) auf dem Intervall [, ] nicht übereinstimmt, aber dennoch definiert ist f(x); D = [; ] { f(x) für x R \ [, ] x x + 7 für x [, ]

2 5 Was ist eine lineare Funktion? Welche Aussagen kann man über den Verlauf des Graphen einer linearen Funktion machen, wenn man nur den Funktionsterm kennt? Eine Funktion mit der Gleichung y = mx + t heißt lineare Funktion Aussagen über den Graphen Steigung: Je größer m (Steigungsfaktor), desto steiler verläuft die Gerade m > : Die Gerade steigt nach rechts an, m < : Die Gerade fällt nach rechts ab, m = : Die Gerade verläuft parallel zur x-achse y-achsenabschnitt: Die Gerade schneidet die y-achse im Punkt T ( t) 6 Beschreibe allgemein, wie man den Funktionstermen zweier linearer Gleichungen ansehen kann, ob sich die Geraden (senkrecht) schneiden oder parallel sind Beispiel Falls m = m und t t sind sie echt parallel, Falls m m schneiden sie sich, Falls m = m schneiden sie sich senkrecht Beispiel: y = x und y = x + 4 haben parallele Graphen, der Graph der Funktion mit der Gleichung y =, 5x schneidet die beiden anderen Graphen senkrecht 7 Wie lauten die Gleichungen der Winkelhabierenden der Koodinatenachsen? Wie lauten die Gleichungen aller Geraden, deren Graph mit der x-achse einen Schnittwinkel von 45 bildet? Wie kann man aus dem Graphen einer linearen Funktion möglichst schnell auf die dazugehörige Funktionsgleichung schließen? Beispiel y = x und y = x y = ±x + t y-achsenabschnitt ablesen t, Steigungsdreieck suchen, waagrecht x, senkrecht y ablesen m = y x y y = x t x = y = x 8 Beschreibe allgemein, wie man den Funktionsterm einer linearen Funktion bestimmt, wenn man zwei Punkte kennt, die auf ihrem Graphen liegen Wie berechnet man den Neigungswinkel der Funktion? Wie den Schnittwinkel zweier Geraden? Beispiele Ansatz: y = mx + t, die Parameter m und t durch m = qy py und t = y q q m x q bestimmen x p x Ansatz: tan ϕ = m, den Winkel ϕ mittels TR bestimmen Ansatz: tan ϕ = m m, +m den Winkel ϕ mittels TR bestimmen m Beachte: Der Schittwinkel zweier Funktionen ist stets der kleinere der beiden Winkel, der durch das Kreuzen der beiden Funktionen entsteht Er ist im Allgemeinen kleiner als 9 Der Neigungswinkel zwischen einer Funktion und der x-achse ist der positiv orientierte Winkel, den die Funktion mit der x-achse einschließt Er kann durchaus größer als 9 sein (bei y = x + zb ist er 5 )

3 9 Was ist eine quadratische Funktion? Wie bestimmt man ihre Achsenpunkte, ihren Scheitelpunkt, ihre Normal-, ihre Scheitelpunktsform, ihre vollständige Faktorisierung? Beispiele y = ax + bx + c, a heißt (Normalform einer) quadratische(n) Funktion y-achsenabschnitt: c, y-achsenpunkt: T( c ) x-achseabschnitte (= Nullstellen) mit Mitternachtsformel (in einfachen Fällen durch ausklammern oder mittels binomischer Formel) bestimmen = N ( x ), N ( x ) Faktorisierung: y = a(x x )(x x ) (falls Nullstellen vorhanden) Scheitelpunkt: x s = b in F-Gleichung einsetzen = ys = S( xs ys ) a Scheitelpunktsform: y = a(x x s) + y s Die Normalform erhält man i Allg durch ausmultiplizieren Beispiel: y = x + 4x 6 Normalform Der y-achsenabschnitt ist 6, der y-achsenpunkt hat die Koordinaten ( 6 ) Mit der Mitternachtsformel erhält man die Nullstellen und und daraus die x-achsenpunkte N ( ), N ( ) Somit lautet die Faktorisierung y = (x + )(x ) (Probe durch ausmultiplizieren) x s = 4 4 =, ys = = 8 = S( 8 ) Die Scheitelpunktsform ist somit y = (x ) + 8 Beschreibe allgemein, wie man aus dem Graphen einer quadratischen Funktion möglichst schnell den dazugehörigen F-Term bestimmen kann und umgekehrt Beispiele Graph Gleichung: Scheitelpunkt ablesen, vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts wandern, die vorzeichenbehaftete Strecke in y-richtung bis zum nächsten Punkt auf dem Graphen ist gleich a = y = a(x x s) + y s (ggf ausmultiplizieren) Gleichung Graph: Scheitelpunkt bestimmen, vom Scheitelpunkt ausgehend markante Punkte ( ± a ), ( ± 4a ), ( ± 9a ) eintragen Ggf auch Achsenpunkte und andere bekannte Punkte eintragen Was ist eine Potenzfunktion? Welche 4 Typen von Potenzfunktionen gibt es? Graph, Eigenschaften angeben Die Funktion f : x x n ; D = R + ; (n Z \ {}) heißt n-te Potenzfunktion n positiv D = R n negativ D = R \ {} n gerade G f achsensymmetrisch n ungerade G f punktsymmetrisch W = R + steigend auf R +, fallend auf R lim = ± W = R steigend auf R lim Parabeln n-ter Ordnung W = R + fallend auf R +, steigend auf R lim =, lim = x W = R \ {} fallend auf R und auf R + lim =, lim = ± x Hyperbeln n-ter Ordnung

4 Unter welcher Voraussetzung besitzt eine Funktion eine Umkehrfunktion, wann nicht? Beispiele Beschreibe allgemein wie man zu einer Funktion die dazugehörigen Umkehrfunktion finden kann wenn (a) der Graph der Funktion (b) die Funktionsgleichung gegeben ist Beispiele Eine Funktion besitzt genau dann eine Umkehrfunktion, wenn die Funktion injektiv ist, dh wenn zu jedem y-wert ein eindeutiger x-wert gefunden werden kann Das ist sicher der Fall, wenn f streng monoton steigt oder fällt Wenn der Graph der Funktion gegeben ist, muss man diesen Graphen an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten spiegeln Wenn die Funktionsgleichung gegeben ist, muss man x und y darin vertauschen und nach y auflösen Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist der Wertebereich der Ausgangsfunktion Nicht umkehrbar ist zb y = x, D = R Was ist eine ganzrationale Funktion? Beschreibe an einem Beispiel, wie man das Grenzwertverhalten einer Polynomfunktion für x ± bestimmt und erläutere an dem Beispiel, warum das Verfahren funktioniert Eine Funktion f : x f(x), D = R mit f(x) = c nx n + c n x n + c n x n + + c x + c x + c n N, c n heißt ganzrationale Funktion vom Grad n lim 5x + x 6x + = lim 5x = Begründung: lim 5x + x 6x + = lim x( 5 + x 6 x + x } {{ } ) = lim 5x = 4 Beschreibe allgemein, wie sich der Term einer Funktionen verändert, wenn man den dazugehörigen Graph im Koordinatensystem verschiebt oder verzerrt Beispiele Verschiebung in y-richtung um a: f(x) f(x) + a Verschiebung in x-richtung um b: f(x) f(x b) Streckung in y-richtung um den Faktor c: f(x) c f(x) Falls c negativ ist wird der Graph zusätzlich an der x-achse gespiegelt Streckung in x-richtung um den Faktor d: f(x) f ( x d ) Falls d negativ ist wird der Graph zusätzlich an der y-achse gespiegelt 5 Beschreibe allgemein, wie man Funktionen auf Symmetrie untersucht Beispiele f( x) = f(x) = G f ist achsensymmetrisch zur y-achse f( x) = f(x) = G f ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung Achsensymmetrie von G f zu x = a: Bilde den Funktionsterm der Funktion, deren Graph gegenüber G f um a nach links verschoben ist und untersuche diese Funktion auf Achsensymmetrie zur y-achse Beispiel: f(x) = x + 8x 6 ist achsensymmetrisch zu x = denn f(x + ) = = x + 4 Der letzte Funktionsterm hat nur gerade Exponenten, und deshalb ist der dazugehörige Graph achsensymmetrisch zur y-achse, und damit der Graph von f achsensymmetrisch zu x = a Punktsymmetrie von G f zu ( a b ): Bilde den Funktionsterm der Funktion, deren Graph gegenüber G f um a nach links und b nach unten verschoben ist und untersuche diese Funktion auf Punktsymmetrie zum Ursprung Beispiel: f(x) = x ist punktsymmetrisch zum Punkt ( ) denn x f(x + ) = (x + ) (x + ) = x + = x + x = x x x Der letzte Funktionsterm ist der Term einer Potenzfunktion mit dem Exponenten Deshalb ist der dazugehörige Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, und damit der Graph von f punktsymmetrisch zum Punkt ( )

5 6 Beschreibe wie man beim Faktorisieren und bei der Nullstellenberechnung von Polynomen vorgeht Beispiele ) ausklammern ) auf binomische Formel untersuchen ) Falls quadratische Funktion: Mitternachtsformel 4) Liegt eine biquadratische Gleichung vor: Substitution 5) Polynomdivision 6) aufgeben Beispiele: f(x) = x 5 4x + 4x = x(x 4 4x + 4) = x(x ) = x(x ) (x + ) x 4 x + 6 = (x 4 x + ) Subst u = x u u + = u = { 4 x = (einfach), x, = ± (doppelt) Somit ist x 4 x + = (u + )(u 4) = (x + )(x 4) = (x + )(x )(x + ) x, = ± f(x) = x 4 x x x Alle Koeffizienten sind ganzzahlig Somit müssen ganzzahlige Nullstellen in der Mengen {±, ±} liegen Versuche x = : f() = x = PN-Div (x 4 x x x ) : (x ) = x + x + x + f(x) = (x + x + x + )(x ) g(x) g(x) zerlegen: Versuche x = : g( ) = x = PN-Div (x + x + x + ) : (x + ) = x + g(x) = (x + )(x + ) Somit ist f(x) = (x + )(x + )(x ) x =, x = Bemerkung: Wenn man am Anfang durch probieren herausfindet, das und Nullstellen von f sind, dann kann man gleich eine PN-Division (x 4 x x x ) : (x x ) durchführen Damit spart man sich viel Arbeit (x )(x+) 7 Beschreibe allgemein, wie man sich möglichst schnell einen Überblick über den wesentlichen Verlauf des Funktionsgraphen einer Polynomfunktion verschaffen kann Beispiele Polynom vollständig faktorisieren und die Vielfachheit der Nullstellen bestimmen Weitere markante Punkte berechnen Verlauf der Graphen (in der Umgebung der Nullstellen) skizzieren 8 Beschreibe wie man bei der Schnittpunktsberechnung von Polynomen vorgeht Beispiele Man berechnet die Nullstellen der Differenzfunkion (ggf auch ihre Vielfachheit) und setzt diese Werte in eine der Ausgangsfunktionen ein