14. Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion

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1 . Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion In diesem Kapitel werden folgende Funktionen vorgestellt: Potenzfunktion Wurzelfunktion (Umkehrfunktion* der Potenzfunktion) Eponentialfunktion a = Kapitel. = a Kapitel. = a Kapitel. /. Logarithmusfunktion (Umkehrfunktion* der Eponentialfunktion) = log Kapitel. a * Bei allen Umkehrfunktionen wird die Funktionsgleichung einer Ursprungsfunktion nach aufgelöst. Da es in der Mathematik üblich ist, dass das Argument einer Funktion (= die unabhängige Variable) mit bezeichnet wird, werden die Variablen und nach dem Umformen noch getauscht.. Die Potenzfunktion Die Verallgemeinerung der quadratischen Funktion ist die Potenzfunktion. Sie lautet: = a Die grafische Darstellung der Potenzfunktion heisst Parabel n-ter Ordnung. Zur besseren Strukturierung können wir die Potenzfunktionen in zwei grosse Gruppen aufteilen: Potenzfunktionen mit positiven Eponenten Kapitel.. Potenzfunktionen mit negativen Eponenten Kapitel.... Potenzfunktionen mit positiven Eponenten I) Der Eponent ist gerade a) = Nullstellen = = ± = N ( ) Scheitelpunkt Da es nur eine Nullstelle gibt, ist sie zugleich auch Scheitelpunkt. S ( ) Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion

2 b) = - 8 Nullstellen Scheitelpunkt - 8 = = 8 = ± 8 = -, = N ( ), N ( ) X-Koordinate ( s ) berechnen + s = + s = s = Y-Koordinate ( s ) berechnen: s einsetzen s = - 8 s = -8 S ( 8) Die Y-Achse ist um den Faktor gestaucht. c) = Nullstellen Scheitelpunkt = + s = + s = s = = 6, = ± 6 s = s = 6 = -, = Nullstellen: N ( - ), N ( ) Scheitelpunkt: S ( 6 ) Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion

3 II) Der Eponent ist ungerade d) = Nullstellen = = = N ( ) Schnittpunkt mit der Y-Achse Die Nullstelle ist hier zugleich Schnittpunkt mit der Y-Achse. S ( ) e) = + 8 Nullstellen + 8 = = -8 = 8 = - Schnittpunkt mit der Y-Achse S ( q ) Nullstelle: N ( - ) Schnittpunkt Y-Achse: S ( 8 ) Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion

4 .. Potenzfunktionen mit negativen Eponenten I) Der Eponent ist gerade a) = A A Die Y-Achse ist um den Faktor gestaucht. Der Graph einer Potenzfunktion mit negativem Eponent heisst Hperbel. Eine Hperbel besteht jeweils aus zwei Kurven, die smmetrisch sind. Hier sind sie an der Y-Achse gespiegelt. Beide Kurven kommen einem bestimmten Wert für bzw. für beliebig nahe, ohne ihn jedoch zu erreichen. Diese Grenzgeraden werden Asmptoten genannt. In diesem Beispiel sind das die X- und die Y-Achse. Die Asmptoten ergeben sich aus den Werten der Definitionsmenge, bei denen die Funktion nicht definiert ist (d.h. wenn eine Division durch vorliegt). Zur Bestimmung der Asmptoten lösen wir die Funktionsgleichung nach beiden Variablen auf: Vertikale Asmptote = = negativen Eponent auflösen D = \ { } Horizontale Asmptote = negativen Eponent auflösen = = : = = ± D = + \ { } [d.h. D = { > }] A : = ist eine vertikale Asmptote. d.h. für = ist die Funktion = nicht definiert. A : = ist eine horizontale Asmptote. d.h. für = (bzw. < ) ist die Gleichung = ± nicht definiert. Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion

5 b) = - Berechnung der vertikalen Asmptote = - = D = \ { } negativen Eponent auflösen A = ist eine vertikale Asmptote. d.h. für = ist die Funktion = nicht definiert Berechnung der horizontalen Asmptote = - = = = negativen Eponent auflösen : = ± D = + \ { } [d.h. D = { > }] A = ist eine horizontale Asmptote. d.h. für = (bzw. < ) ist die Gleichung = ± nicht definiert A A Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion

6 II) Der Eponent ist ungerade c) = - Vertikale Asmptote = negativen Eponent auflösen = D = \ { } Horizontale Asmptote = negativen Eponent auflösen = = : = D = \ { } A : = ist eine vertikale Asmptote. d.h. für = ist die Funktion = nicht definiert. A : = ist eine horizontale Asmptote. d.h. für = ist die Gleichung = nicht definiert A A Dieser Graph mit den zentralsmmetrisch verteilten Teilästen ist das Bild der klassischen Hperbel. Die zwei Kurven sind nicht an der Y-Achse, sondern am Ursprung [Punkt ( ) ] gespiegelt. Fazit: Der Eponent ist positiv und Der Eponent ist negativ und gerade ungerade gerade ungerade smmetrisch zur Y-Achse smmetrisch zum Ursprung smmetrisch zur Y-Achse smmetrisch zum Ursprung 6 Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion

7 d) = ( + ) Der Graph dieser Funktion ergibt eine Hperbel, die aber aus dem Ursprung des Koordinatensstems herausgeschoben ist. Es ergeben sich neben den Asmptoten noch Schnittpunkte mit den Achsen. Diese Achsenschnittpunkte lassen sich ebenfalls bestimmen. Umformung der Funktionsvorschrift = ( + ) negativen Eponent auflösen = = ( + ) + ( + ) ( + ) = Aus dieser Form lassen sich die Asmptoten und Achsenschnittpunkte leicht berechnen. ) Asmptoten Damit das Ergebnis der Multiplikation ergibt, darf keiner der beiden Faktoren sein. D = \ { - } A : = - ist eine vertikale Asmptote. D = \ { - } A : = - ist eine horizontale Asmptote. ) Schnittpunkte mit den Achsen Schnittpunkt mit der X-Achse für den Wert einsetzen ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) = + 8 = = -7 = -. S (. ) Schnittpunkt mit der Y-Achse für den Wert einsetzen ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) = + 8 = = -7 = -.7 (.7 ) S A A Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion 7

8 e) = ( - ) - + Umformen der Funktionsvorschrift = ( - ) - + negativen Eponent auflösen = = ( - ) ( - ) ( - ) = Berechnen der Asmptoten D = \ { } D = \ { } A : = ist eine vertikale Asmptote. A : = ist eine horizontale Asmptote. Berechnen der Achsenschnittpunkte Schnittpunkt mit der X-Achse für den Wert einsetzen ( - ) ( - ) = ( - ) ( - ) = ( - ) (-) = - + = - = - = Schnittpunkt mit der Y-Achse für den Wert einsetzen ( - ) ( - ) = ( - ) ( - ) = (-) ( - ) = - + = - = - = S S ( ) A 8 6 A Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion

9 . Die Wurzelfunktion Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion (vgl. Kapitel.6) der Potenzfunktion. a) = = Definitionen Definitionsbereich: D = { } oder + D = Wertebereich: W = { } oder + W = Eigenschaften der Wurzelfunktion Wurzeleponent ist gerade + Definitionsbereich D = + Wertebereich W = Wurzeleponent ist ungerade D = W = = = = = Je grösser der Wurzeleponent ist, desto flacher verläuft der Graph. Der Graph der Wurzelfunktion flacht immer mehr ab. Er nähert sich aber keinem grössten Wert. (Er hat keine Asmptote, sondern wächst stetig, wenn auch immer langsamer.) Jede Wurzelfunktion verläuft durch den Ursprung und den Punkt ( ), diejenigen mit einem ungeraden Wurzeleponenten verlaufen zusätzlich durch den Punkt ( ). Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion 9

10 b) = = () Definitionen Definitionsbereich: D = { } oder D = Wertebereich: W = { } oder W = c) = = ( ) Definitionen Definitionsbereich: D = { } Wertebereich: + W = { } oder W = Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion

11 . Grundlagen eponentieller Abläufe Die Steigung einer Funktion ist ein Mass für das Fortschreiten eines Prozesses. Bei linearen Funktionen (vgl. Kapitel ) ist die Steigung konstant. Anders ist es bei quadratischen und allen nicht-linearen Funktionen. Die Steigung nicht-linearer Funktionen ist definiert als die Steigung der Tangente im entsprechenden Punkt. Lineare Funktionen (vgl. Kapitel ) Quadratische Funktionen (vgl. Kapitel ) = m + q =. + = a + b + c = m = m = m = - m = m = - m = X-Wert Y-Wert Steigung X-Wert Y-Wert Steigung der Tangente Y-Wert: nimmt gleichmässig zu Steigung: ist auf der ganzen Geraden gleich gross Y-Wert: nimmt rasant ab bzw. zu (nicht gleichmässig) Steigung: ist in jedem Punkt der Funktion anders Die Entwicklung erfolgt gleichmässig (proportional). Eine Tangente ist eine Gerade, welche die gekrümmte Linie in nur einem Punkt berührt. Genau berechnet werden kann die Steigung mit der Ableitung der Funktion im gewünschten Punkt, der sog. Differentialrechnung, die aber nicht Thema dieses Buches ist. Wir beschränken uns auf einige erläuternde Bemerkungen im Zusammenhang mit dieser Thematik. Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion

12 Neben Potenzfunktionen gibt es in der Mathematik noch eine weitere Art von Funktionen, die einen Prozess der Zunahme beschreiben, die Eponentialfunktionen. Potenzfunktion Eponentialfunktion Variable: steht in der Basis steht im Eponent Beispiele: =, =, = usw. =, =, = usw. = = X-Wert Y-Wert Steigung X-Wert Y-Wert Steigung ' ' ' ' Fazit: Die Zunahme bei der Steigung ist proportional. Die Zunahme bei der Steigung ist überproportional. Bei der Eponentialfunktion ist die Zunahme selber nicht linear, sondern die Zunahme nimmt selber auch ständig zu. Dieses Phänomen dass die Zunahme selber auch zunimmt trifft man in Prozessen der Natur, der Technik oder der Ökonomie häufig an. Beispiele: Wachstum der Weltbevölkerung Zunahme der Zellen beim Entstehen des Lebens Kernspaltung Kapitalentwicklung bei Zinseszins Schneeballeffekt (Kettenbriefe, Computerviren...) Ausbreitung einer ansteckenden Krankheit (Grippe, Ebola...) Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion

13 . Die Eponentialfunktion.. Normalform der Eponentialfunktion Die Normalform der Eponentialfunktion lautet: = a wobei a + Je nach dem Wert der Basis a entsteht eine eponentiell steigende oder fallende Funktion. Basis a > : eponentiell steigend a) = D = b) = D = Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion

14 Basis < a < : eponentiell fallend c) = D = d) = D = Eigenschaften der Eponentialfunktion Definitionsbereich: alle reellen Zahlen ( ) Wertebereich: nur positive reelle Zahlen ( + ) X-Achse: ist eine horizontale Asmptote (eine vertikale Asmptote gibt es nicht) Punkt ( ): Jede Eponentialfunktion verläuft durch den Punkt ( ), da a =. Basis a > : Die Funktion ist monoton steigend. Basis < a < : Die Funktion ist monoton fallend. Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion

15 .. Änderungen an der Eponentialfunktion I) Vertikale Verschiebung = a + c a) = + = = Fazit: Bei gleichem X-Wert erhöht sich der zugeordnete Y-Wert um. = + = Der Graph ist um Einheiten nach oben verschoben. Achtung vor optischer Täuschung Unser Auge vermittelt den Eindruck, dass die vertikale Verschiebung bei positiven X-Werten geringer als sei. b) = Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion

16 II) Horizontale Verschiebung = a ( + c ) c) = + = = Fazit: Um zum gleichen Y-Wert zu gelangen, muss der X-Wert um reduziert werden. = = Der Graph ist um Einheiten nach links verschoben. Wiederum besteht die Gefahr einer optischen Täuschung (dieses Mal jedoch bei den negativen X-Werten). d) = Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion

17 . Die Logarithmusfunktion Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion (vgl. Kapitel.6) der Eponentialfunktion. Die Normalform der Logarithmusfunktion lautet: = log a wobei a + + Wir unterscheiden auch bei der Logarithmusfunktion steigende und fallende Funktionen. Basis a > : logarithmisch steigend a) = log D = b) = log D = Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion 7

18 Basis < a < : logarithmisch fallend c) = log. D = d) = log. D = Eigenschaften der Logarithmusfunktion Die Logarithmusfunktion = log a ist die Umkehrfunktion der Eponentialfunktion ' = a. Definitionsbereich: nur alle positiven reellen Zahlen ( + ) Wertebereich: alle reellen Zahlen ( ) Y-Achse: ist eine vertikale Asmptote (eine horizontale Asmptote gibt es nicht) Punkt ( ): Jede Logarithmusfunktion verläuft durch den Punkt ( ), da log a =. Basis a > : Die Funktion ist monoton steigend. Basis < a < : Die Funktion ist monoton fallend. 8 Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion

19 .6 Umkehrfunktionen bestimmen Bei allen Umkehrfunktionen wird die Funktionsgleichung einer Ursprungsfunktion nach aufgelöst. Da es in der Mathematik üblich ist, dass das Argument einer Funktion (= die unabhängige Variable) mit bezeichnet wird, werden die Variablen und nach dem Umformen noch getauscht. Wurzelfunktion a Die Ursprungsfunktion lautet: =. Die Auflösung nach ergibt: = a und nach dem Tausch der Variablen erhalten wir die Umkehrfunktion a =. Logarithmusfunktion Die Ursprungsfunktion lautet = a. Die Auflösung nach ergibt: = loga und nach dem Tausch der Variablen erhalten wir die Umkehrfunktion = loga. a) = Umkehrfunktion: = Definitionen Definitionsbereich: D = Wertebereich: W =. Potenzfunktion. Wurzelfunktion Die Graphen von Umkehrfunktionen sind immer Spiegelbilder der Ursprungsgraphen. Die Spiegelung erfolgt an der Geraden = (= Winkelhalbierende). -. b) = Umkehrfunktion / Definitionen Umkehrfunktion: = + Definitionsbereich: D = { } oder D = + Wertebereich: W = { } oder W = c) = Umkehrfunktion: = log Definitionen: D = + d) = Umkehrfunktion / Definitionen Umkehrfunktion: = log () Definitionen: D = + Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion 9

20 .7 Anwendungen: Eponentiell zunehmende Prozesse a) Legende von der Erfindung des Schachspiels Im alten Indien so erzählt eine Legende aus arabischen Quellen hat ein weiser Brahmane seinem sich langweilenden König ein Spiel erfunden, das Schachspiel. Dem König gefiel das Spiel so gut, dass er dem Erfinder anbot, er dürfe sich seine Belohnung selber auswählen. Der Brahmane wünschte sich nur etwas sehr "Bescheidenes": Auf dem ersten Feld des Schachspiels ein Weizenkorn, auf dem zweiten zwei, auf dem dritten, auf dem vierten 8 und so weiter, bis zum letzten (6.) Feld auf dem Schachbrett. Also auf jedem Feld die doppelte Anzahl Weizenkörner wie auf dem vorherigen Feld. Dem König schien dieser Wunsch allzu bescheiden, bis sich seine Beamten an die Erfüllung des Wunsches machten... Wie lautet die Funktionsvorschrift zur Berechnung der Anzahl Weizenkörner pro Feld? Definitionen D = = Nummer des Schachbrettfeldes = Anzahl Weizenkörner auf dem Schachbrettfeld Funktionsvorschrift = Damit auf dem ersten Feld Weizenkorn liegt und nicht, muss der Eponent von Null sein, d.h. der Eponent muss lauten. Würde die Funktionsvorschrift = lauten, würde auf jedem Feld die Anzahl Weizenkörner liegen, die zum nachfolgenden Feld gehört. Grafische Darstellung der Funktion (Körner) 7' 6' Weizenkörner ' ' ' ' Dass die Zunahme bei eponentiellen Funktionen überproportional ist, ist an diesem Beispiel sehr gut erkennbar. Bis = verläuft die Kurve relativ harmlos. Danach eplodiert sie förmlich und sprengt alle praktischen Grenzen. ' Schachbrettfelder (Feld-Nummer) Übrigens: Die Gesamtweizenmenge, um die es am Schluss geht, würde die heutige Weltproduktion bei weitem übersteigen. Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion

21 b) Wachstumsprozesse Das Zellwachstum sei es bei Viren oder auch bei menschlichen Embronen geschieht eponentiell. Als Beispiel sei die Vermehrung der Hefezellen bei einem Gärungsprozess erläutert und veranschaulicht. Die Hefezellen vermehren sich in Stunde auf das Dreifache. Aus einer Hefezelle entstehen nach der ersten Stunde, nach der zweiten Stunde 9 Zellen. Definitionen D = + = Anzahl Stunden = Anzahl Hefezellen Funktionsvorschrift = Grafische Darstellung der Funktion Graph für die ersten Stunden: (Anzahl) 7' 6' ' Hefezellen ' ' ' ' 6 8 Zeit (Std.) Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion

22 c) Kapitalentwicklung mit Zinseszins Die Zunahme des Kapitals, das zu einem bestimmten Zinssatz über Jahre hinweg angelegt wird, nimmt ebenfalls eponentiell zu. (Die genauen Formeln erfahren Sie in Kapitel 9..) Definitionen D = + = Anzahl Jahre = Endkapital Funktionsvorschrift Bei einem Zinssatz von % lautet die Funktionsvorschrift wie folgt: = Anfangskapital. Grafische Darstellung der Funktion Graph für ein Anfangskapital von CHF '.-- für die ersten Jahre: (CHF) Kapital ' ' 9' 8' 7' 6' ' ' ' ' ' Zeit (Jahre) Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion

23 .8 Anwendungen: Eponentiell abnehmende Prozesse Viele Zerfallsprozesse in der Natur und der Technik sowie Abnahmeprozesse in der Ökonomie verlaufen eponentiell abnehmend. Dies bedeutet, dass der Prozess am Anfang schnell und mit der Zeit immer langsamer abläuft, aber nie zum Stoppen kommt. a) Die C -Methode Mit der C (oder C)-Methode hat der Chemiker Libb 97 ein Verfahren entdeckt, mit dem man das Alter von ehemals belebten Gegenständen bestimmen kann. Es basiert darauf, dass das im Lebewesen vorhandene Kohlenstoffisotop C mit einer Halbwertszeit von '7 Jahren zum stabilen Stickstoffisotop N zerfällt. Aus der Menge des noch vorhandenen C -Isotops lässt sich der Fortschritt des Zerfallsprozesses feststellen und daraus das Alter eines Gegenstandes annähernd berechnen. Definitionen D = + = Anzahl Halbwertszeiten à '7 Jahre = Anteil des noch vorhandenen C -Isotops in % Funktionsvorschrift = %. Grafische Darstellung der Funktion Graph für das C -Isotop: (Anteil C ) Anteil C % 9 % 8 % 7 % 6 % % % % % % % Zeit (Anzahl Halbwertszeiten à '7 Jahre) Halbwertszeit: Sie gibt an, nach welcher Zeit nur noch die Hälfte der ursprünglichen Menge des C -Isotops vorhanden ist. Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion

24 b) Die C -Methode: Die Gletscherleiche "Ötzi" Bei der 99 in den Ötztaler Alpen gefundenen Gletscherleiche "Ötzi" konnte man feststellen, dass der Anteil des Radioisotops C (Halbwertszeit '7 Jahre) auf % zurückgegangen war. ) Wie lange lag "Ötzi" im Gletschereis? ) Welchen prozentualen Anteil an C würde man bei einem Lebewesen feststellen, das vor 9' Jahren gestorben ist? Ermitteln Sie den ungefähren Wert aus der Grafik auf der vorangehenden Seite. Berechnen Sie den Wert (auf Dezimalstellen genau). Definitionen D = + = Anzahl Halbwertszeiten à '7 Jahre = Anteil des noch vorhandenen C -Isotops in % Funktionsvorschrift = %. Frage ) = %. für den Wert von % einsetzen % = %. : %. =. logarithmieren lg. = lg. : lg. = lg. lg. = (= Anzahl Halbwertszeiten) Umrechnung in Jahre: Halbwertszeit = '7 Jahre '7 = ' Jahre "Ötzi" lag rund '8 Jahre im Gletschereis. Frage ) Wert aus der Grafik auf der vorangehenden Seite ermitteln X-Wert berechnen: 9' : '7 = (= Anzahl Halbwertszeiten) Y-Wert ablesen: den zu = zugehörigen Y-Wert aus der Grafik ablesen Wert berechnen = %. = % =... Man würde in dem Lebewesen. % Anteil an C feststellen. Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion

25 c) Degressive Abschreibung Eine Maschine degressiv abschreiben bedeutet, dass jedes Jahr derselbe Prozentsatz des Restwerts (Buchwerts) abgeschrieben wird. Da sich der Buchwert der Maschine wegen der Abschreibung laufend verkleinert, vermindert sich auch der Betrag der Abschreibung. (Genaueres erfahren Sie in Kapitel 9.6.) Definitionen D = + = Anzahl Jahre = Buchwert der Maschine Funktionsvorschrift Bei einer degressiven Abschreibung mit einem Satz von % lautet die Funktionsvorschrift: = Anschaffungswert.6 Grafische Darstellung der Funktion Graph für die Entwicklung des Buchwerts einer Maschine, die für CHF '.-- angeschafft worden ist: (CHF) Buchwert ' 8' 6' ' ' ' 8' 6' ' ' Zeit (Jahre) Die Potenz- / Wurzel- / Eponential- und Logarithmusfunktion