Dr. Jürgen Senger MATHEMATIK. Grundlagen für Ökonomen

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1 Dr. Jürgen Senger MATHEMATIK Grundlagen für Ökonomen ÜBUNG.. LÖSUNGEN. Es handelt sich um lineare Funktionen (Geraden), die sich in der Steigung und im Ordinatenschnittpunkt unterscheiden. Der Linearfaktor a der Geraden = a + b entspricht der Steigung und das Absolutglied b, das unabhängig von ist, dem Ordinatenschnittpunkt. Zwei Geraden mit gleicher Steigung verlaufen parallel, wenn sie verschiedene Ordinatenschnittpunkte haben und fallen zusammen, wenn sie gleiche Ordinatenschnittpunkte haben. Zwei Geraden mit verschiedener Steigung schneiden sich. Sie schneiden sich im rechten Winkel (orthogonal), wenn die Steigung der einen dem negativen Kehrwert der anderen entspricht. a. = + schneidet a = +, da die Steigung der beiden Geraden verschieden sind. Die Steigung von ist doppelt so groß wie die von a. b. = + verläuft parallel zu b = + ; die Steigungen der beiden Geraden sind gleich und die Ordinatenschnittpunkte verschieden. = + b = a = + 6 c = 0, d = 0,

2 ÜBUNG.. LÖSUNGEN c. = + schneidet c = 0, + orthogonal im Ordinatenschnittpunkt; die Steigung von c ist gleich dem negativen Kehrwert der Steigung von und die Ordinatenschnittpunkte sind gleich. d. = + schneidet d = 0, im rechten Winkel; die Steigungen von c und d sind gleich dem negativen Kehrwert der Steigung von.. = + Abszissenschnittpunkt: = 0 0 = + = = Ordinatenschnittpunkt: = 0 = 0 + =. Die Nachfragefunktion gibt an, welche Mengen eines Gutes bei alternativen Preisen nachgefragt werden. Die Nachfragepreisfunktion gibt an, welchen Preis die Nachfrager bereit sind, für alternative Mengen zu zahlen. Sie wird auch als inverse Nachfragefunktion bezeichnet (siehe auch S. 7 ff). In diesem Beispiel sind die Achsenabschnitte der Geraden gegeben. Der Abszissenschnittpunkt (p = 0) ist c =0 und der Ordinatenschnittpunkt ( = 0) ist b = 00. Zu berechnen ist also nur der Linearfaktor der Geraden a, die Steigung. Die Steigung ist gleich dem negativen Verhältnis von Ordinaten- und Abszissenschnittpunkt. Die Nachfragepreisfunktion lautet also: b 00 p = + b = + 00 = + 00 c 0 Die Gerade kann in diesem Fall auch mit Hilfe der Achsenabschnittsform berechnet werden: + = c b + = 0 00 Auflösung nach ergibt die kartesische Normalform der Geraden: SENGER - Mathematik

3 ÜBUNG.. LÖSUNGEN = = + 00 = p 00 b = p = = c = 0. a. Parabeln mit unterschiedlicher Öffnungsweite: = = = 0, = - = ist eine im Verhältnis : gestreckte Normalparabel, = 0 ist eine im Verhältnis : gestauchte Normalparabel = ist eine an der -Achse gespiegelte Normalparabel SENGER - Mathematik

4 ÜBUNG.. LÖSUNGEN b. Parabeln mit unterschiedlicher vertikaler Lage: = = + = = = + ist eine um nach oben verschobene Normalparabel. = ist eine um nach unten verschobene Normalparabel. = ist eine an der Abszisse gespiegelte und um nach oben verschobene Normalparabel. Die additive Konstante 0 ist die -Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel: = + c. Parabeln mit unterschiedlicher horizontaler Lage: 0 = = ( + ) = ( ) = ( ) - SENGER - Mathematik

5 ÜBUNG.. LÖSUNGEN = ( + ) = ( ) = ( ) ist eine um nach links verschobene Normalparabel. ist eine um nach rechts verschobene Normalparabel. ist eine an der Abszisse gespiegelte und um nach rechts verschobene Normalparabel. Die Konstante 0 ist die -Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel: = ( 0 ). Quadratische Ergänzung: = = = = ( ) ( ) + ( ) + Die Koordinaten des Scheitelpunkts sind, ) (, ) ( 0 0 = 6. a. Grafik der Produkttransformationsfunktion: 0 = Es handelt sich um den Ausschnitt einer nach unten geöffneten Parabel mit dem Scheitelpunkt (0, 0), die gegenüber der Normalparabel im Verhältnis : gestaucht ist. SENGER - Mathematik

6 ÜBUNG.. LÖSUNGEN 6 b. Abszissenabschnitt ( = 0): 0 = 0 = 0 = 0 = 00 = 00 = 0 Ordinatenabschnitt ( = 0): 0 = 0 = 0 Es können maimal entweder 0 Einheiten von oder 0 Einheiten von erzeugt werden. c. Wir setzen = in die Transformationsfunktion ein und lösen nach auf: = 0 = Wenn Einheiten produziert werden, können maimal Einheiten hergestellt werden. 7. Gebrochen rationale Funktionen a. = SENGER - Mathematik

7 ÜBUNG.. LÖSUNGEN 7 Nullstelle: p ( ) = 0 keine Nullstellen Polstelle: q( ) = + = 0 = Asmptote: Die Funktion nähert sich für ± der horizontalen Geraden = 0. = 0 ist die horizontale Asmptote und = die vertikale Asmptote. b. = Nullstelle: = 0 = Polstelle: + = 0 = SENGER - Mathematik

8 ÜBUNG.. LÖSUNGEN 8 Asmptote: ± = = + 0 Die Funktion nähert sich für ± der horizontalen Geraden =. = ist die horizontale Asmptote und = die vertikale Asmptote. c. = Nullstelle: = 0 Polstelle: = 0 = Asmptote: lim ± = lim ± = = 0 = ist die horizontale Asmptote und = die vertikale Asmptote. SENGER - Mathematik