Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2011, 2/2 SWS. Prof. Dr. M. Voigt

Transkript

1 Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2011, 2/2 SWS Prof. Dr. M. Voigt 28. April 2011

2 II

3 Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen einer Variablen 1 24 Februar 2011 III

4 Kapitel 1 Funktionen einer Variablen 1.1 Eigenschaften und Darstellung (Version vom 28. April 2011) Funktionen: Grundbegriffe AB 1 Eine Funktion f ist eindeutig bestimmt durch die Angabe der folgenden drei Größen A = D(f): Menge, Definitionsbereich von f B: Menge f(a) = b: Bildungsvorschrift, die jedem Element a A eindeutig ein Element b B zuordnet Bezeichnungen/ Schreibweisen: a A Argument von f b = f(a) Bild von a, Funktionswert von f an der Stelle a. W (f) = {f(a) a A} Wertebereich von f G f := {(, ) D(f) W (f) = f()} Graph der Funktion f. f() wird nach f() abgebildet f : A B f bildet ab von A nach B f : D(f) C B f ist eine Abbildung aus C nach B Beispiele: 1

5 2 24 Februar f : R R, f() = 2 D(f) = R, W (f) = R + Bemerkung: B = R, also B W (f) 2. f : D(f) R R +, f() = D(f) = R +, W (f) = R +, also f : R + R +, f() = Achtung! per Definition ist A = D(f) also nicht richtig: f : R R, f() = 3. f : D(f) R R : f() = ± 1 2 Achtung! Das ist keine Funktion. ============================================= AB 1 Weitere Definitionen Bijektion Beispiele: zu jedem b B gibt es genau ein a A mit f(a) = b Bezeichnung Bedeutung: smbolisch Erklärung Injektion zu jedem b B gibt es höchstens ein a A mit f(a) = b, d.h. a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 ) f ist eine eineindeutige Abbildung, d.h. zu verschiedenen Argumenten gehören verschiedene Bilder f ist eine eineindeutige Abbildung auf B 1. f : R R, f() = 2 D(f) = R, W (f) = R + f() ist nicht injektiv: z.b. b = 1 B hat zwei zugehörige Argumente: f( 1) = f(1) = 1; 2. f : D(f) R R +, f() = f() ist bijektiv. 3. f : R R : f() = e (Skizze) ist nicht bijektiv, weil es b B gibt, für die kein Urbild a A eistiert, z.b. b = 1 aber f : R (0, ) : f() = e ist bijektiv Bemerkung: Falls f : A B bijektiv ist, so eistiert die inverse Abbildung g = f 1 : B A mit g(b) = a f(a) = b a A (f 1 (f(a)) = a

6 24 Februar Ermittlung der inversen Abbildung: Umstellen der Zuordnung nach, eventuell Variablentausch Beispiele: (mit Skizzen) 1. f : D(f) R R +, = f() = = 2 mit R + und R + = D(f), also g : R + R +, = g() = 2 nach Variablentausch: g : R + R +, = g() = 2 2. f : R (0, ) : = f() = e = ln mit (0, ) und R, also g : (0, ) R : = g() = ln nach Variablentausch: g : (0, ) R : g() = ln Bemerkung: Der Definitionsbereich D(f) ist gleich dem Wertebereich W (g) der inversen Funktion und der Wertebereich W (f) ist gleich dem Definitionsbereich D(g) der inversen Funktion. 3 2 = f( ) = e 3 2 = f( ) = e 1-1 = f ( ) = ln = f ( ) = ln -3-3 Abbildung 1.1: Die Eponentialfunktion = f() = e und ihre Umkehrfunktion = f 1 () = ln() und rechts deren Bild = ln() nach Vertauschen der Variablen AB 1 Tpen von Bildungsvorschriften:

7 4 24 Februar 2011 implizit gegebene Funktion F (, ) = 0 die Bildungsvorschrift ist in Form einer Gleichung gegeben, die nicht nach der abhängigen Variablen aufgelöst ist eplizit gegebene Funktion = f() die Bildungsvorschrift ist in Form einer Gleichung gegeben, die nach der abhängigen Variablen aufgelöst ist zusammengesetzte Funktion Funktion ist abschnittsweise defi < < z.b. f() = < 550 niert Beispiel: (mit Skizze) f : D(f) R + R + : = f() mit = 0 implizite Darstellung, ergibt eplizite Darstellung: f : D(f) R + R + : = f() = 1 2 AB 2: Funktionen: Eigenschaften und Operationen AB2 Monotonie von Funktionen: I D(f) f monoton wachsend auf I, f streng monoton wachsend auf I, f monoton fallend auf I, f streng monoton fallend auf I, 1, 2 I gilt: aus 1 < 2 folgt f( 1 ) f( 2 ) f( 1 ) < f( 2 ) f( 1 ) f( 2 ) f( 1 ) > f( 2 ) Krümmung von Funktionen: 1 < 2, I = [ 1, 2 ] D(f) f konve, f streng konve, f konkav, f streng konkav, s [0, 1] und = s 1 +(1 s) 2, gilt: Progressiv und degressiv steigende bzw. fallende Funktionen: f progressiv steigend f monoton steigend und konve f degressiv steigend f monoton steigend und konkav f progressiv fallend f monoton fallend und konkav f degressiv fallend f monoton fallend und konve AB2: Operationen: f() s f( 1 ) + (1 s) f( 2 ) f() < s f( 1 ) + (1 s) f( 2 ) f() s f( 1 ) + (1 s) f( 2 ) f() > s f( 1 ) + (1 s) f( 2 )

8 24 Februar f konve f konkav Abbildung 1.2: Konvee und konkave Funktionen f progressiv wachsend f degressiv wachsend f progressiv fallend f degressiv fallend Abbildung 1.3: Wachstumseigenschaften von Funktionen Gleichheit f = g D(f) = D(g) f() = g() D(f)) f ist Einschränkung von g auf D(f), g ist Erweiterung von f auf D(g) D(f) D(g) f() = g() D(f)) verkettete, mittelbare h = g f h() = g(f()), Funktion wobei W (f) D(g) D(h) = D(f) f heißt innere Funktion, g heißt äußere Funktion; Nullstellen von f i Lösungen der Gleichung f() = 0, ( i D(f)) Translation, Verschiebung = f( a) + b Verschiebung des Graphen von = f() um den Vektor (a, b) T Streckung = b f( ) Streckung des Graphen von = f() um a den Faktor a parallel zur -Achse und den Faktor b parallel zur -Achse Stauchung Streckung mit a < 1 und/oder b < 1 Spiegelung Streckung mit a < 0 und/oder b < 0

9 6 24 Februar g : R R, g() = 2 f : R + R, f() = 2 also: f ist Einschränkung von g auf R + 2. f() = e, g() = f g = f(g()) = e 2 +1, g f = g(f()) = (e ) spezielle Funktionen Potenz- und Wurzelfunktionen Potenzfunktionen f() = n, n {2, 3,...} Wurzelfunktionen f() = n, n {2, 3,...} { R D f = R, W f = + n gerade R n ungerade D f = R +, W f = R + sind die Umkehrfunktionen zu den Potenzfunktionen, wenn bei diesen der Definitionsbereich auf R + eingeschränkt wird! (Bemerkung: Es ist nicht zwingend notwendig, die Wurzelfunktionen f() = n mit ungeradem n nur für nichtnegative zu definieren, man kann diese Funktionen auch für beliebige R definieren. Die Einschränkung auf nichtnegative Argumente bringt aber eine Reihe von wünschenswerten Eigenschaften. ) Es gilt damit: Definition: = f 1 () = 1 3, = f2 () = 2 6 = 6 2, = f 3 () = 2 6 = ( 6 ) 2 f : D(f) R R heißt gerade Funktion, sofern f() = f( ) für alle D(f) gilt. f : D(f) R R heißt ungerade Funktion, sofern f() = f( ) für alle D(f) gilt. Beispiele: Eponential- und Logarithmusfunktionen Eponentialfunktion f() = a (a > 0) D f = R, W f = (0, ) Logarithmusfunktion f() = log a () D f = (0, ), W f = R Umkehrfunktion zur Eponentialfkt.

10 24 Februar = e = e 3 2 = ln 5 3 = e 1 = 1_ 3 ln = - 1_ 2 ln -2 Abbildung 1.4: Eponential- und Logarithmusfunktion e Funktion f() = e, e = natürlicher Logarithmus f() = ln() Umkehrfunktion zur e Funktion. Es gilt = e = ln(). Wegen log a () = ln() genügt es, sich mit der e Funktion und ihrer Umkehrfunktion ln(a) zu beschäftigen. Es gelten: Potenz-Gesetze: e + = e e e = e e e = (e ) Logarithmen-Gesetze: ln( ) ( ) = ln() + ln() ln = ln() ln ln( ) = ln() 1.3 Polnome Polnome über R Eine Funktion p : R R heißt Polnom vom Grade n, wenn es Zahlen a 0,..., a n R, a n 0 derart gibt, daß

11 8 24 Februar 2011 p() = a 0 + a 1 + a a n n = n a k k für alle R gilt. k=0 Bezeichnungen: a k für k = 0,..., n: Koeffizienten des Polnoms n: Grad des Polnoms Regeln: a) Addition und Subtraction n n a k k ± b k k = k=0 k=0 n (a k ± b k ) k k=0 b) Koeffizientenvergleich n a k k = k=0 n b k k a k = b k (0 k n) k=0 einfache Polnome: lineare Funktionen, quadratische Funktionen (Beispiele) Hornerform Ziel: vereinfachte Funktionswertberechnung bisher: 2n 1 Multiplikationen, n Additionen Hornerform eines Polnoms f() = n a k k (W.G.Horner, ): k=0 f() = (... (( a }{{} n + a n 1 ) + a n 2 ) + + a 1 ) + a 0 n 1 Beispiel: f() = Hornerschema zur Funktionswertberechnung an der Stelle = b a n a n 1 a n 2... a 1 a 0 + c n b c n 1 b... c 2 b c 1 b b c n = a n c n 1 c n 2 c 1 f(b) Es werden n Multiplikationen und n Additionen benötigt. Beispiel: weitere Anwendung:

12 24 Februar Division von f() durch b f() = ( b)(c n n 1 + c n 1 n c 2 + c 1 ) + f(b) Bemerkung: Ist b Nullstelle von f(), so gilt f() = ( b) g() R wobei g() wieder ein Polnom ist. Definition: Gibt es ein Polnom h(), so daß f() = ( b) k h() R ist, so ist b k-fache Nullstelle von f. 2. Berechnung von Ableitungen der Funktion f() an der Stelle b Sei g() = c n n c 2 + c 1. Dann ist g(b) = f (b), d.h. nach Berechnung des Funktionswertes von g an der Stelle b (mit dem Hornerschema) erhalten wir f (b). Sei g s () das Polnom, das man nach s-maliger Anwendung des Hornerschemas erhält. Es gilt g s (b) = f (s) (b) s!. Beispiel: f() = Gebrochen rationale Funktionen (a) Definition und Eigenschaften: Seien p() und q() Polnome über R. f() = p() heißt gebrochen rationale Funktion. q() Satz: Jede rationale Funktion f() = p() mit Zählergrad Nennergrad läßt sich q() darstellen als p() r() = h()+ mit einem Polnom h() und einem Restpolnom q() q() r() mit Grad r < Grad q (echt gebrochen rationale Funktion). Beispiel: p() = 3 1, q() = 1 mit und ohne Horner Bemerkung: Es gilt lim f() = lim h(), d.h. h() ist eine Asmptote für f() ± ± (b) Nullstellen, Polstellen, hebbare Unstetigkeiten Nullstellen der Funktion = f() sind alle Nullstellen des Zähler-Polnoms p m () im Definitionsbereich D(f) Polstellen und hebbare Unstetigkeits-Stellen (Lücken) der Funktion = f() sind die Nullstellen des Nenner-Polnoms. Wenn j eine k n -fache Nullstelle des Nenner-Polnoms p n () (k n > 0) und eine k z -fache Nullstelle des Zähler-Polnoms p m () ist, dann gilt:

13 10 24 Februar 2011 Abbildung 1.5: Polstellen gerader (links, ohne Vorzeichenwechsel...) und ungerader Ordnung (rechts, mit Vorzeichenwechsel in den Funktionswerten) k z k n = j ist eine hebbare Unstetigkeit, und k n > k z = j ist eine Polstelle (k n k z )-ter Ordnung. 1.5 Funktionen in der Wirtschaftsmathematik s.ab 3 s. auch Funktionen.te (Wikipedia) Angebots-Funktion Bedeutung: Eigenschaften: Beispiel: = (p), p D() = R + (gewinnmaimierende) Angebots-Menge in Abhängigkeit vom erzielbaren Preis (bei vollkommener Konkurrenz); positiv, monoton steigend, i.a. mit Sättigungswert; (p) = 10 (1 e 2 p 3 ), p D() = [2, ); s. Folie Bemerkung: ökonomisch nur sinnvoll für Preis-Absatz-Funktion = (p), p D() = {p R + (p) 0} p = p(), D(p) = { R + p() 0}

14 24 Februar Bedeutung: Eigenschaften: Absatzmenge in Abhängigkeit vom Preis bzw. erzielbarer Preis in Abhängigkeit von der abzusetzenden Menge; beide Funktionen sind monoton fallend und zueinander invers (Umkehrfunktionen); Beispiel: (p) = p p() = ; p D() = [0, 100], D(p) = [0, 250]; Erlös- bzw. Umsatz-Funktion E() = p(), E(p) = p (p), D(E()) = D(p) D(E(p)) = D() Bedeutung: Eigenschaften: Beispiel: Erlös/Umsatz in Abhängigkeit vom Absatz oder vom Preis; im monopolistischen Fall degressiv steigend bis zum Erlös- Maimum, dann progressiv fallend; im polpolistischen Fall (p konstant) linear steigend; E() = , D(E()) = [0, 250], s. Folie E(p) = 250p 2.5p 2, p D(E(p)) = [0, 100], E p 6000 E = E( ) = ( p) p = p( ) p Abbildung 1.6: Graph einer Angebotsfunktion (links) sowie einer Preis-Absatz- Funktion und der zugehörigen Erlösfunktion eines monopol. Unternehmens (rechts) Kostenfunktion K() = K f + K v (), D(K) = R +, K f 0 : Fikosten, K v () : variable Kosten

15 12 24 Februar 2011 Bedeutung: Produktionskosten in Abhängigkeit von der Produktionsmenge; Eigenschaften: positiv, monoton steigend; Eine Kostenfunktion heißt ertragsgesetzlich, wenn sie auf [0, S ] degressiv und auf [ S, ) progressiv steigend ist, S heißt dann Schwelle des Ertragsgesetzes; Beispiel: K() = , D(K) = R +, S = 100 3, K f = 800; K v () = ; s. Folie Stückkostenfunktion Bedeutung: k() = K(), D(k) = (0, ) Produktionskosten je Mengeneinheit in Abhängigkeit von der Produktionsmenge; Eigenschaften: positiv, monoton fallend auf (0, o ], monoton steigend auf [ o, ), das Minimum k min = k( o ) = p o der Stückkosten wird beim Output o angenommen und heißt Betriebsoptimum, es stellt (langfristig) die untere Schranke p o für den Abgabepreis des Produktes dar, nur oberhalb dieser Schranke kann langfristig ohne Verlust produziert werden. Beispiel: k() = , D(k) = (0, ) o = , p o = k( o ) = ist langfr. Preisminimum variable Stückkosten k v () = K v(), D(k) = (0, ) Bedeutung: variabler Teil der Produktionskosten, bezogen auf eine Mengeneinheit des Outputs, in Abhängigkeit von der Produktionsmenge; Eigenschaften: Beispiel: positiv, monoton fallend auf (0, m ], monoton steigend auf [ m, ), das Minimum k vmin = k v ( m ) = p m der variablen Stückkosten heißt Betriebsminimum, es stellt (kurzfristig) die untere Schranke p m für den Abgabepreis des Produktes dar, nur oberhalb dieser Schranke können zumindest noch die laufenden Kosten der Produktion gedeckt werden. k v () = , D(k) = (0, ), m = 50, p m = k v ( m ) = 35 ist kurzfristiges Preisminimum, bei dem nur noch die laufenden Kosten gedeckt werden!

16 24 Februar K k K = K( ) K = K( ) k = k( ) E = E( ) G = G( ) Abbildung 1.7: Graph einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion und der zugehörigen Stückkostenfunktion (links) sowie Graph einer Kostenfunktion, einer Erlösfunktion und der zugehörigen Gewinnfunktion (rechts) Gewinnfunktion, Deckungsbeitrag Gewinnfunktion G() = E() K(), D(G) = D(p), Deckungsbeitrag D() = E() K v () = G() + K f, D(D) = D(p) Bedeutung: Gewinn (Deckungsbeitrag) in Abhängigkeit vom Output Eigenschaften: monoton steigend bis zum Output Gma = Dma mit maimalem Gewinn/Deckungsbeitrag, danach progressiv fallend; die Nullstellen 1 und 2 der Gewinnfunktion heißen untere/obere Gewinnschwelle, wenn gilt G() 0 [ 1, 2 ]; Beispiel: G() = , D(G) = [0, 250] Gma = , G ma = , D ma = , 1 = , 2 = , s. Folie Stückgewinnfunktion g() = G() = p() k(), D(g) = D(p) \ {0}

17 14 24 Februar 2011 Bedeutung: Eigenschaften: Gewinn je Mengeneinheit in Abhängigkeit vom Output monoton steigend bis zum Output gma mit mamalem Stückgewinn, danach progressiv fallend Beispiel: g() = , D(g) = (0, 250] gma = , g ma = Produktionsfunktion (r), D((r)) = (0, ) Bedeutung: Output in Abhängigkeit vom Input r Eigenschaften: monoton steigend, meist bis zu einer Sättigungsgrenze ma 1 Beispiel: (r) = ( 1 1 ) 2, r (0, ), 2 +r 2 W f = (0, 4), s. Folie Materialverbrauchsfunktion Bedeutung: Eigenschaften: r(), D(r) = [0, ma ) Verbrauch des Inputfaktors r in Abhängigkeit vom Output Umkehrfunktion der Produktionsfunktion monoton steigend Beispiel: r() = 4 (2 ) 2, D(r) = (0, 4)