Mengen, Funktionen und Logik

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1 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Mengen, Funktionen und Logik Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band 1, 17. Auflage, Sankt Gallen, Verlag Wilhelm Surbir, Seiten

2 2 1 Mengen Zunächst wollen wir einige grundlegende Begriffe einführen und erläutern. Nach G. Cantor ( ) versteht man unter einer Menge M die Zusammenfassung verschiedener Objekte zu einer Gesamtheit. Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge dieser Objekte an. Ist m ein Element einer Menge M so schreiben wir m M, sonst m M. 1.1 Definition von Mengen 1. Aufzählen der Elemente Beispiele 2. Zusammenfassungsprinzip: Ist E eine Eigenschaft und m ein Element der Menge M, dann bedeutet die Bezeichnung E(m), dass auf m die Eigenschaft E zutrifft. Die Menge der Elemente m M, die die Eigenschaft E(m) haben, wird dann mit {m M E(m)} bezeichnet. Die Menge M wird auch als Universalmenge bezeichnet. Beispiele Eine spezielle Menge ist die Menge, die kein Element enthält. Diese Menge die leere Menge genannt und mit bezeichnet.

3 3 Kartesisches Produkt und Potenzmenge 1. Kartesisches Produkt Sind M 1 und M 2 Mengen, so ist das kartesische Produkt dieser beiden Mengen die Menge aller geordneter Paare, die sich aus Elementen dieser Mengen bilden lassen oder kurz: M 1 M 2 = { (m 1, m 2 ) m 1 M 1 und m 2 M 2 } Der Begriff lässt sich unmittelbar auf endlich viele Mengen M 1, M 2,...,M n folgendermassen übertragen: M 1 M 2... M n = { (m 1, m 2,...,m n ) : m j M j für j = 1, 2,..., n }. Im Falle M 1 = M 2 =... = M n = M schreibt man auch M n für M M... M. Beispiele (a) R 2 (b) R 3 (c) R N 2. Potenzmenge Sei M eine beliebige Menge. Dann ist die Potenzmenge P(M) von M als die Menge aller Teilmengen von M definiert, also P(M) = { A A M }. Dabei ist zu beachten, dass die leere Menge ebenfalls als Teilmenge von M aufgefasst wird: M. Beispiele (a) M = { 1, 2 } und somit P(M) = (b) M = { 1, 2, 3 } und somit P(M) =

4 4 1.2 Mengenalgebra Ist M eine Menge, so heisst eine Menge A Teilmenge von M, wenn aus a A stets a M folgt. Wir bezeichnen das durch A M. Nun wollen wir die folgenden Mengenoperationen behandeln. 1. Komplement Ist A eine Teilmenge der Menge M, so bezeichnet das Komplement von A in M. A = { m M m A } A M 2. Durchschnitt Sind A und B Teilmengen einer Menge M, so bezeichnet den Durchschnitt von A und B. A B = { m M m A und m B } A B M

5 5 3. Vereinigung Sind A und B Teilmengen einer Menge M, so bezeichnet die Vereinigung von A und B. A B = { m M m A oder m B } A B M 4. Differenz Sind A und B Teilmengen einer Menge M, so bezeichnet die Differenz. B A = B/A = { m M m B und m A } A B M Satz 1 Für das Rechnen mit Mengen A, B, C M gelten die folgenden Regeln: A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A B = A B A B = A B.

6 6 1.3 Relationen Sei M eine beliebige Menge. Eine Relation R auf M ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes M M, d.h. R M M. Schreibweise: arb oder a R b falls (a, b) R gilt. Aufgabe 1.1 Sei M die Menge der Geldbeträge 1000., 500. und 100., also M = {1000, 500, 100}. Geben Sie eine Relation an, die Ihrer Präferenz bezüglich dieser Menge entspricht. Aufgabe 1.2 Sei M die Menge der folgenden Notenpaare (6, 6), (3.6, 4.4) und (3.4, 6) wobei die erste Zahl die Klausurnote im Fach Mathematik 1 und die zweite Zahl die Klausurnote im Fach Mathematik 2 ist. Geben Sie eine Relation an, die Ihrer Präferenz bezüglich dieser Menge entspricht.

7 7 Relationen können eine Vielzahl von Eigenschaften haben. Wir wollen hier nur drei besonders wichtige genauer betrachten. Eine Relation R auf der Menge M heisst 1. reflexiv, falls für alle a M auch a R a gilt. 2. transitiv, falls für a, b, c M mit a R b und b R c auch a R c gilt. 3. zusammenhängend, falls für a, b M mit a b stets a R b oder b R a gilt. Aufgabe 1.3 Überprüfen Sie, ob die beiden obigen Relationen die drei Eigenschaften haben.

8 8 1.4 Wichtige Teilmengen von R Intervalle (a, b) = { x R a < x < b } (a, b] = { x R a < x b } [a, b) = { x R a x < b } [a, b] = { x R a x b } ǫ-umgebungen von Punkten Sei a eine reelle Zahl und ǫ > 0. Dann ist die ǫ-umgebung von a die Menge U ǫ (a) = { x R Abstand von x zu a ist kleiner als ǫ } = { x R x a < ǫ } Beispiele 1. a = 0 und ǫ = 1 2. a = 1 und ǫ = 3 3. a = 2 und ǫ = Wichtige Teilmengen von R 2 Produkte von Intervallen (a, b) (c, d) = { (x, y) R 2 a < x < b und c < y < d } Beispiele 1. (1, 2) (3, 4) 2. [ 1, 2) (0, 3]

9 9 ǫ-umgebungen von Punkten Sei P ein Punkt und ǫ > 0. Dann ist die ǫ-umgebung von P die Menge U ǫ (P) = { Q R 2 Abstand von P zu Q ist kleiner als ǫ } = { Q R 2 P Q < ǫ } Beispiele 1. P = (0, 0) und ǫ = 1 2. P = (1, 2) und ǫ = 3

10 10 Verbindungsstrecken Seien P 1 = (x 1, y 1 ) und P 2 = (x 2, y 2 ) zwei Punkte in R 2. Dann ist die Verbindungsstrecke P 1 P 2 dieser beiden Punkte die Menge P 1 P 2 = { P = t P 1 + (1 t) P 2 t [0, 1] } Beispiele 1. P 1 = (1, 2) und P 2 = (3, 4) P 1 P 2 = 2. P 1 = ( 3, 2) und P 2 = (4, 0) P 1 P 2 =

11 11 Kurven im R 2 Kurven lassen sich im R 2 meist als Nullstellengebilde einer Funktion φ(x, y) in den zwei Veränderlichen x und y schreiben. Wir suchen also alle Punkte (x, y) die von der Funktion φ auf Null abgebildet werden. Die Kurve K schreibt sich dann als K = { (x, y) R 2 φ(x, y) = 0 } Beispiele 1. K = { (x, y) R 2 φ(x, y) = x y = 0 } 2. K = { (x, y) R 2 φ(x, y) = x 2 + y 2 1 = 0 } 3. K = { (x, y) R 2 φ(x, y) = x 2 y 1 = 0 } 4. K = { (x, y) R 2 φ(x, y) = x 2 y + 1 = 0 }

12 12 Konvexe Mengen Eine Teilmenge M R 2 heisst konvex, falls für alle Punkte P 1 = (x 1, y 1 ) M und P 2 = (x 2, y 2 ) M auch die gesamte Verbindungsstrecke P 1 P 2 in M liegt. konvex nicht konvex Beispiele 1. Die Menge { (x, y) R 2 x 2 + y 2 1 } ist konvex. 2. Die Menge (( 1, 1) ( 1, 1)) ((3, 4) (3, 4)) ist nicht konvex. 3. Die Menge { (x, y) R 2 x 2 + y 2 > 1 } ist nicht konvex.

13 Randpunkte und innere Punkte Wir betrachten eine beliebige Teilmenge M von R oder R 2. Ein Punkt x heisst Randpunkt von M, falls jede ǫ-umgebung von x sowohl Punkte aus M als auch aus dem Komplement M von M enthält. Ein Punkt von M der kein Randpunkt ist, heisst innerer Punkt von M. Aufgabe 1.4 Sei M = [1, 3) R. Sind die Punkte x = 3 bzw. x = 2 Randpunkte von M? Aufgabe 1.5 Sei M = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 1 } R. Sind die Punkte (0, 1) bzw. (0, 0) Randpunkte von M?

14 14 2 Funktionen 2.1 Definitionen und Beispiele Wird jedem Element x einer Menge X (Definitionsbereich) genau ein Element y einer Menge Y (meist ist Y = R die Menge der reellen Zahlen) zugeordnet, so heisst die Zuordnung Funktion. X Y x 1 f( ) = f( x 2 ) x 1 x 2 f( ) x 3 x 3 f( x 4 ) x 4 Die Menge heisst Wertebereich oder Bildbereich. W = {y Y f(x) = y für ein x X} Schreibweise: f : X Y x f(x) oder f : x f(x) Wichtig! Wir wollen uns angewöhnen, zwischen der Funktion f und f(x) stets zu unterscheiden: f die Funktion, d.h. eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge genau ein Element einer anderen Menge zuordnet. f(x) Wert der Funktion f an der Stelle x, d.h. f(x) ist ein Element der Menge Y.

15 15 Beispiele: 1. X = {1, 2, 3, 4} und Y = {1, 2, 3} f : X Y 1 1 = f(1) 2 1 = f(2) 3 2 = f(3) 4 2 = f(4) Bildmenge von f: f(x) = {1, 2} X Y 2. X = N und Y = R f : N i R 2 i Bildmenge von f: f(x) = 2 N (Menge aller geraden Zahlen) X Y

16 16 3. X = R R Y = R f : R R R (x 1, x 2 ) x 1 x Y 1 X Sei X die Menge aller Teilnehmer der Vorlesung Mathematik 1 für Ökonomen, d.h. X = {T. Zehrt,...} und Y die Menge aller Haarfarben, also Y = { blond, braun, schwarz, rot, grau }. Die Funktion f bilde jeden Teilnehmer der Vorlesung auf seine Haarfarbe ab, d.h. f : X x Y Haarfarbe von x Ist die Funktion f injektiv, surjektiv und/oder bijektiv?

17 17 Stückweise Definition von (reellen) Funktionen Funktionen können auch stückweise definiert werden. Beispiele: Skizzieren Sie die auf ganz R definierten Funktionen. 5 für x < 0 f(x) = x für x [0, 2] 0.5x + 8 für x > 2 g(x) = { x 2 für x 0 42 für x = 0

18 Eigenschaften von Funktionen Injektive Funktionen Eine Funktion heisst eineindeutig oder injektiv, wenn verschiedene x 1, x 2 X stets auf verschiedene Werte im Bildbereich abgebildet werden oder kurz ausgedrückt: Für alle x 1, x 2 X mit x 1 x 2 muss f(x 1 ) f(x 2 ) gelten; oder für alle x 1, x 2 X mit f(x 1 ) = f(x 2 ) muss x 1 = x 2 gelten. X Y X Y Injektiv: auf jedes Element in Y zeigt höchstens ein Pfeil!! Beispiele: f : R R x x 2 ist nicht injektiv, denn z.b. gilt 2 2 aber f( 2) = 4 = f(2). f : R R x 2x + 3 ist injektiv, denn für alle x 1, x 2 R gilt f(x 1 ) = f(x 2 ) 2x = 2x x 1 = x 2

19 19 Surjektive Funktionen Eine Funktion heisst surjektiv, falls für jedes Element y Y (mindestens) ein Element x X existiert, so dass f(x) = y gilt. X Y X Y Surjektiv: auf jedes Element in Y zeigt mindestens ein Pfeil!! Bijektive Funktionen Eine Funktion heisst bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist. X Y Bijektiv: auf jedes Element in Y zeigt genau ein Pfeil!!

20 Der Graph einer Funktion Betrachten wir eine Funktionen f : X Y, so wird die Menge { (x, f(x)) x X } X Y als der Graph von f bezeichnet y x Beispiele: Skizzieren Sie die Graphen der folgenden beiden Funktionen. 1. X = {1, 2, 3, 4} und Y = {1, 2, 3} f : X Y 1 1 = f(1) 2 1 = f(2) 3 2 = f(3) 4 2 = f(4) 2. X = N und Y = R f : N i R 2 i

21 Die Umkehrfunktion Wir betrachten eine injektive Funktion f, d.h. insbesondere, dass zu jedem y des Wertebereichs von f genau ein x des Definitionsbereiches von f mit der Eigenschaft y = f(x) existiert. Somit können wir die Umkehrfunktion f 1 von f definieren, die jedem Element y des Wertebereichs von f dieses eindeutig bestimmte Element x zuordnet. Bezeichnung: x = f 1 (y) bzw. nach Vertauschung der Variablen y = f 1 (x). Beispiel: f : R { 2} R x 3x + 4 x + 2 oder kurz: y = f(x) = 3x + 4 x + 2 Konstruktion von f 1 (Auflösen nach x) Also: y = 3x + 4 x + 2 xy + 2y = 3x + 4 xy 3x = 4 2y x = 4 2y y 3 f 1 : R {3} R y 4 2y y 3 Wendet man auf ein x zunächst eine umkehrbare Funktion f an und danach die Umkehrfunktion f 1 (auf f(x)), so erhält man wieder x zurück. f 1 (f(x)) = x f(f 1 (y)) = y

22 22 Beispiel: y = f(x) = 3x + 4 x + 2 x = f 1 (y) = 4 2y y 3 Es gilt: f 1 (f(x)) = 4 2f(x) f(x) 3 = 4 2 3x + 4 x + 2 3x + 4 x = x. 2.5 Zusammengesetzte Funktionen Seien g : X x U g(x) f : U u Y f(u) zwei Funktionen, so dass der Wertebereich von g im Definitionsbereich von f enhalten ist. Dann kann man aus beiden Funktionen die so genannte zusammengesetzte Funktion oder Komposition von f und g bilden: F = f g : X x Y f(g(x)) Natürlich ist F auf dem Definitionsbereich von g definiert Es gilt ausserdem: Sind f und g umkehrbar, so ist auch die Komposition f g umkehrbar und es gilt (f g) 1 = g 1 f 1

23 23 X U Y F x g u=g(x) y=f(g(x)) f g f X U Y g 1 f 1 An der Skizze lässt sich leicht erkennen, warum sich die Reihenfolge der Abbildungen beim Umkehren ändert. Beispiel: Die Funktion f(x) = 3 x kann als Komposition der folgenden Funktionen betrachtet werden: u = f 1 (x) = x 2, das Element x wird quadriert. v = f 2 (u) = u + 4, zum Ergebnis wird 4 addiert. w = f 3 (v) = 1/v, der Kehrwert wird gebildet. y = f 4 (w) = 3 w, das Ergebnis wird mit 3 multipliziert. f(x) = f 4 ( f 3 ( f 2 ( f 1 (x) ) ) ). }{{} } u {{ } } v {{ } } w {{ } y

24 24 3 Logik: Häufig gemachte Fehler Auf die Entwicklung des mathematischen Apparates der formalen Logik werden wir hier verzichten und nur auf die häufigsten Fehler eingehen, denen ich (nicht nur in der Mathematik) regelmässig begegne. 3.1 Unzulässiges Verallgemeinern Nachdem man einige wenige (oder sogar sehr viele) Einzelfälle geprüft hat, behauptet man, dass die dort gefundene Eigenschaft stets gilt. Beispiel 1: Monotonie von Zahlenfolgen Erinnerung: Eine Zahlenfolge a n ist streng monoton fallend, falls für alle n > 0 die Relation a n > a n+1 gilt. Um zu beweisen, dass die Zahlenfolge a n = n 3 100n streng monoton fallend ist, werden einige Folgenglieder ausgerechnet: a 1 = = 99 a 2 = = 192 a 3 = = 273 Die Folge ist also streng monoton fallend!????? Ist die Folge streng monoton fallend? Beispiel 2: Monotonie von Zahlenfolgen Erinnerung: Eine Funktion f heisst auf dem Intervall [a, b] streng monoton wachsend, falls für alle Paare x 1, x 2 [a, b] mit x 1 < x 2 auch f(x 1 ) < f(x 2 ) gilt. Um zu beweisen, dass die Funktion f(x) = x 3 x 2 auf dem Intervall [ 2, 2] streng monoton wachsend ist, berechnen wir die beiden Werte f( 2) = 12 f(2) = 4 und da f( 2) = 12 < f(2) = 4 ist, muss die Funktion streng monoton wachsend sein!????? Ist die Funktion streng monoton wachsend?

25 Falsche Negation von All-Aussagen Beispiel: Monotonie von Zahlenfolgen Erinnerung: Eine Funktion f heisst auf dem Intervall [a, b] streng monoton wachsend, falls für alle Paare x 1, x 2 [a, b] mit x 1 < x 2 auch f(x 1 ) < f(x 2 ) gilt. Wann ist eine Funktion nicht streng monoton wachsend? Da das Gegenteil von,,für alle,, doch sicher,,für kein,, ist, sollte doch eine Funktion nicht streng monoton wachsend sein, wenn für kein Paar x 1, x 2 [a, b] mit x 1 < x 2 auch f(x 1 ) < f(x 2 ) gilt!?? Stimmt das? 3.3 Falsche Negation von Mindestens-Aussagen Was ist das Gegenteil der folgenden Aussage? Es gibt mindestens 3 reelle Zahlen, die grösser als 5 sind. Mögliche Antworten: 1. Es gibt höchstens 3 reelle Zahlen, die grösser als 5 sind. 2. Es gibt höchstens 2 reelle Zahlen, die grösser als 5 sind. 3. Es gibt entweder genau keine, eine oder zwei reelle Zahlen, die grösser als 5 sind.

26 Inhaltsverzeichnis 1 Mengen Definition von Mengen Mengenalgebra Relationen Wichtige Teilmengen von R Wichtige Teilmengen von R Randpunkte und innere Punkte Funktionen Definitionen und Beispiele Eigenschaften von Funktionen Der Graph einer Funktion Die Umkehrfunktion Zusammengesetzte Funktionen Logik: Häufig gemachte Fehler Unzulässiges Verallgemeinern Falsche Negation von All-Aussagen Falsche Negation von Mindestens-Aussagen