Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

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1 Injektiv, Surjektiv, Bijektiv Aufgabe 1. Geben Sie einen ausführlichen Beweis für folgende Aussage: Wenn f A B surjektiv ist und R A A A eine reflexive Relation auf A ist, dann ist R B = {( f(x), f(y) ) } (x, y) R A eine reflexive Relation auf B. Lösung von Aufgabe 1. Sei f A B beliebig aber fest und R A A A beliebig aber fest. Sei weiterhin R B = {( f(x), f(y) ) (x, y) R A }. Zu zeigen: Wenn f surjektiv und R A reflexiv auf A ist, dann ist R B reflexiv auf B. Annahme f ist surjektiv und R A reflexiv auf A. Zu zeigen R B ist reflexiv auf B. Definition von reflexiv: Zu zeigen ist, dass für jedes b B gilt (b, b) R B. Sei b B beliebig aber fest. Da f surjektiv ist, gibt es ein a A so dass f(a) = b. Da R A reflexiv auf A ist, gilt (a, a) R A. Laut Definition von R B ist somit ( f(a), f(a) ) R B. Da f(a) = b ist somit (b, b) R B. Aufgabe 2. Seien A und B Mengen und π 1 = (A B, A, {( (a, b), a ) a A, b B }) π 2 ( = A B, B, {( (a, b), b ) a A, b B }). Begründen Sie unter Verwendung der Eigenschaften von Paaren, dass π 1 und π 2 Funktionen sind und beschreiben Sie anschaulich, was π 1 bzw. π 2 tun. Sei nun A = N und B = Z. Berechnen Sie π 1 (1, 1), π 2 (1, 1), π 1 (3, 3), π 2 (3, 3). Sind π 1 und π 2 injektiv bzw. surjektiv? Finden Sie ein Gegenbeispiel oder geben Sie einen Beweis. Hinweis: Es handelt sich bei π 1 und π 2 um die Projektionsfunktionen auf die erste bzw. zweite Komponente. Lösung von Aufgabe 2. Da sich π 1 und π 2 analog verhalten, wird nur eine Lösung für π 1 gegeben. Sei R 1 = {( (a, b), a ) a A, b B }. 1

2 Offensichtlich gilt R 1 (A B) A. Es wurde gezeigt, dass es zu jedem Paar p A B genau ein a A und genau ein b B gibt, so dass p = (a, b). Folglich gibt es zu jedem p A B genau ein a A so dass pr 1 a. Damit ist bewiesen, dass π 1 eine Funktion ist. Die Funktion π 1 A B A ordnet jedem Paar p A B seine erste Komponente zu. Analog ordnet π 2 A B B jedem Paar p A B seine zweite Komponente zu. Für A = N und B = Z erhält man π 1 (1, 1) = 1, π 2 (1, 1) = 1, π 1 (3, 3) = 3, π 2 (3, 3) = 3. π 1 ist nicht injektiv, da z.b. π 1 (1, 1) = π 1 (1, 2). Zu zeigen: π 1 ist surjektiv. Zu zeigen: Für alle a N gibt es ein p N Z so dass π 1 (p) = a. Sei a N beliebig aber fest. Zu zeigen: Es gibt ein p N Z so dass π 1 (p) = a. Beispielsweise für p = (a, 42) gilt π 1 (p) = a. Aufgabe 3. Die Funktion f (Z N) Q ist definiert durch f(x, y) = x/y. Ist f injektiv bzw. surjektiv? Geben Sie jeweils einen Satz Begründung. Lösung von Aufgabe 3. Die Funktion ist nicht injektiv, da z.b. f(1, 1) = f(2, 2) aber (1, 1) (2, 2). Die Funktion ist surjektiv, da man zu jeder rationalen Zahl q Q einen Zähler x Z und einen Nenner y N finden kann so dass Aufgabe 4. Sei q = x/y. f = (N, N N, R) eine Funktion mit dem Graphen { R = (a, b) a N, b = ( N, N, {(x, y) x, y N, y = x + a} )}. Überlegen Sie sich anschaulich was die Funktion f macht und berechnen Sie dann f(3). Ist f injektiv bzw. surjektiv? Jeweils ein Satz Begründung. Lösung von Aufgabe 4. 2

3 Die Funktion f nimmt als Input eine natürliche Zahl a und liefert als Output die Funktion g N N mit g(x) = x + a. Folglich ist f(3) die Funktion f(3) = (N, N, {(x, y) x, y N, y = x + 3}), f ist injektiv. Ist a 1 a 2 dann sind auch die Funktionen f(a 1 )(x) = x + a 1 und f(a 2 )(x) = x + a 2 unterschiedlich. f ist nicht surjektiv. Es gibt z.b. kein a N so dass z.b. f(a)(x) = 2x. Aufgabe 5. Finden Sie eine Relation R so dass das Tripel f = ({1, 2, 3}, {4, 5}, R) eine Funktion ist, die aber nicht surjektiv ist. Lösung von Aufgabe 5. Zum Beispiel R = {(1, 4), (2, 4), (3, 4)}. Aufgabe 6. Sei N die kleiner gleich Relation auf N und Berechnen Sie f(3). f N P (N) mit f(x) = {y y N x}. Ist f injektiv? Ist f surjektiv? Geben Sie jeweils einen ausführlichen Beweis oder nennen Sie ein Gegenbeispiel. Lösung von Aufgabe 6. f(3) = {1, 2, 3}. f ist nicht surjektiv da z.b. {2} P (N) aber es gibt kein x N so dass f(x) = {2}. f ist injektiv. Zu zeigen: x 1, x 2 N x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Sei x 1, x 2 N beliebig aber fest. Zu zeigen: x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Annahme: Zu zeigen: x 1 x 2. f(x 1 ) f(x 2 ). 3

4 Definition von f. Zu zeigen: {y y N x 1 } {y y N x 2 }. Definition der Mengengleichheit. Zu zeigen: {y y N x 1 } {y y N x 2 } {y y N x 2 } {y y N x 1 }. Aussagenlogische Umformung. Zu zeigen: {y y N x 1 } {y y N x 2 } {y y N x 2 } {y y N x 1 }. Annahme: {y y N x 1 } {y y N x 2 }. Zu zeigen: {y y N x 2 } {y y N x 1 }. Definition der Teilmengenbeziehung. Annahme: z z {y y N x 1 } z {y y N x 2 }. Zu zeigen: w w {y y N x 2 } w {y y N x 1 }. Definition der Mengen. Zu zeigen: z z N x 1 z N x 2. Zu zeigen: w w N x 2 w N x 1. Spezialfall. Wähle x 1 für z. Annahme: x 1 N x 1 x 1 N x 2. Da x 1 N x 1 folgt mit Modus Ponens dass x 1 N x 2. Da weiterhin x 1 x 2 folgt x 1 < x 2 bzw. Es gilt somit für die Wahl w = x 2. x 2 N x 1. w N x 2 w N x 1 4

5 Aufgabe 7. Schreiben Sie auf wann ein Tripel (A, B, R) eine partielle Funktion, eine totale Funktion, eine injektive, surjektive bzw. bijektive Funktion ist. Füllen Sie dabei jeweils die Lücken auf in dem Satz Zu jedem existiert mindestens/höchstens/genau ein so dass arb. Lösung von Aufgabe 7. Partielle Funktion: Zu jedem a A existiert höchstens ein b B so dass arb. Totale Funktion: Zu jedem a A existiert genau ein b B so dass arb. Injektiv: Zu jedem b B existiert höchstens ein a A so dass arb. Surjektiv: Zu jedem b B existiert mindestens ein a A so dass arb. Bijektiv: Zu jedem b B existiert genau ein a A so dass arb. Aufgabe 8. Finden Sie jeweils 3 Beispiele von Funktionen, die sind. weder injektiv noch surjektiv, injektiv aber nicht surjektiv, surjektiv aber nicht injektiv, injektiv und surjektiv Lösung von Aufgabe 8. weder injektiv noch surjektiv: f R R, f(x) = x 2 f R R, f(x) = sin(x) f R R, f(x) = x injektiv aber nicht surjektiv: f R + R, f(x) = x 2 f [0, π/2] R, f(x) = sin(x) f R + R, f(x) = x surjektiv aber nicht injektiv: f Z 2 Z, f(x, y) = x + y f R 2 R, f(x, y) = xy f R [ 1, 1], f(x) = sin(x) injektiv und surjektiv: 5

6 f R + R +, f(x) = x 2 f R R, f(x) = x 3 f [0, π/2] [0, 1], f(x) = sin(x) Aufgabe 9. Finden Sie ein Beispiel zweier Mengen A und B und einer Relation R A B aus der wirklichen Welt für die (A, B, R) keine partielle Funktion eine partielle aber nicht totale Funktion eine weder injektive noch surjektive Funktion eine injektive aber nicht surjektive Funktion eine surjektive aber nicht injektive Funktion eine bijektive Funktion ist. Wenn z.b. A die Menge der Häuser und B die Menge der Türen und R = {(a, b) b ist Eingangstür von a} ist, dann ist (A, B, R) keine Funktion, da manche Häuser zwei Eingänge haben. Andererseit ist mit R 1 = {(b, a) b ist Eingangstür von a} das Tripel (B, A, R 1 ) eine partielle Funktion, da jede Tür höchstens zu einem Haus gehören kann. Sie ist deshalb nicht total, weil es auch Türen gibt, die nicht nach draußen führen. Lösung von Aufgabe 9. keine partielle Funktion ist: A Menge der Menschen, B Menge der Autos, arb wenn a besitzt b. Es gibt Menschen, die zwei Autos haben. eine partielle aber nicht totale Funktion ist: A Menge der Prozessoren, B Menge der Rechner, arb wenn a in b eingebaut ist. Jeder Prozessor ist in höchstens einen Rechner eingebaut, es gibt aber auch Prozessoren, die so herumliegen. eine weder injektive noch surjektive Funktion ist: A Menge der Balkone, B Menge der Häuser. arb wenn Balkon a zu Haus b gehört. Jeder Balkon gehört zu genau einem Haus, daher Funktion. Nicht injektiv weil es Häuser mit zwei Balkonen gibt. Nicht surjektiv weil es Häuser ohne Balkon gibt. eine injektive aber nicht surjektive Funktion ist: A Menge der Blumen, B Menge der Namen. arb wenn a Name von b ist. Nicht surjektiv, da Hans ein Name ist, aber keine Blume Hans heißt. Injektiv, da keine Blume zwei unterschiedliche Namen hat. 6

7 eine surjektive aber nicht injektive Funktion ist: A Menge der Kinder, B Menge der Mütter, arb wenn a Kind von b ist. Jede Mutter hat ein Kind, d.h. surjektiv. Zwei Kinder können die selbe Mutter haben, d.h. nicht injektiv. eine bijektive Funktion ist: A Menge der Tage, B Menge der Nächte, arb wenn a der Tag vor der Nacht b ist. Bijektiv, zu jedem a gehört genau ein b und umgekehrt. Aufgabe 10. Gegeben ist die Funktion f Z Z N 0 Z durch f(x, y) = (x 2, x + y). Ist f injektiv bzw. surjektiv? Falls nicht, finden Sie jeweils ein Gegenbeispiel. Lösung von Aufgabe 10. Nicht surjektiv, da z.b. (2, 3) bild(f) weil 2 keine Quadratzahl ist. Nicht injektiv, da z.b. f(2, 2) = f( 2, 6). Aufgabe 11. Ist die Funktion f Z N Q, f(x, y) = x/y injektiv bzw. surjektiv? Lösung von Aufgabe 11. f Z N Q, f(x, y) = x/y ist surjektiv aber nicht injektiv, da z.b. 2/3 = 4/6. Aufgabe 12. Überlegen Sie sich eine bijektive Funktion f N Z 2, beschreiben Sie, wie die Funktionswerte zu berechnen sind (mit einem Bild oder Formeln) und geben Sie die f(1), f(2), f(3), f(4) und f(5) an. Hinweis: Überlegen Sie sich eine graphische Darstellung und denken Sie an quadratische Schneckenhäuser. Lösung von Aufgabe 12. Bijektive Funktion f N Z 2 : f(1) = (0, 0), f(2) = (0, 1), f(3) = ( 1, 1), f(4) = ( 1, 0), f(5) = ( 1, 1) usw., siehe Bild 1. Aufgabe 13. Überlegen Sie sich zwei injektive Funktionen f, g N N. Berechnen Sie f g und g f und untersuchen Sie, ob diese beiden Funktionen auch injektiv sind. Beweisen Sie dann allgemein, dass wenn f A B und g B C injektiv sind, auch g f injektiv ist. 7

8 Abbildung 1: Bijektive Funktion f N Z 2. Lösung von Aufgabe 13. Beispiel: f, g N N, f(x) = x + 1 g(x) = 2x (g f)(x) = 2(x + 1) (f g)(x) = 2x + 1. Sowohl g f als auch f g sind injektiv. Zu zeigen: A, B f A B g B C ( (injektiv(f) injektiv(g)) injektiv(g f) ) Seien A, B beliebig aber fest. Seien f A B und g B C beliebig aber fest. Zu zeigen: (injektiv(f) injektiv(g)) injektiv(g f). Annahme: f und g sind injektiv. Zu zeigen: g f ist injektiv. Einsetzen der Definition von injektiv: Zu zeigen: a 1, a 2 A ( a 1 a 2 (g f)(a 1 ) (g f)(a 2 ) ). Sei a 1, a 2 A beliebig aber fest. Zu zeigen: a 1 a 2 (g f)(a 1 ) (g f)(a 2 ). Einsetzen der Definition von. Zu zeigen a 1 a 2 g(f(a 1 )) g(f(a 2 )). 8

9 Annahme Zu zeigen: a 1 a 2. g(f(a 1 )) g(f(a 2 )). Die Annahme, dass f injektiv ist, besagt x 1, x 2 A ( x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) ). Mit dem Spezialfall x 1 = a 1 und x 2 = a 2 folgt hieraus Mit modus ponens folgt a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 ). f(a 1 ) f(a 2 ). Die Annahme, dass g injektiv ist, besagt x 1, x 2 B ( x 1 x 2 g(x 1 ) g(x 2 ) ). Mit dem Spezialfall x 1 = f(a 1 ) und x 2 = f(a 2 ) folgt hieraus Mit modus ponens folgt f(a 1 ) f(a 2 ) g(f(a 1 )) g(f(a 2 )). g(f(a 1 )) g(f(a 2 )). Aufgabe 14. Angenommen die Funktion g ist Erweiterung der Funktion f. Zeigen Sie, dass wenn g injektiv ist, auch f injektiv ist. Lösung von Aufgabe 14. Zu zeigen: f, g ( (erweiterung(g, f) injektiv(g)) injektiv(f) ). Seien f, g beliebig aber fest. Zu zeigen: (erweiterung(g, f) injektiv(g)) injektiv(f). Annahme: Zu zeigen: erweiterung(g, f) injektiv(g). injektiv(f). 9

10 Da f und g Funktionen sind, existieren A, B, R, A, B, R so dass f = (A, B, R) g = (A, B, R ). Da g Erweiterung von f ist, gilt A A, B B, R R. Definition von injektiv. Zu zeigen: a 1, a 2 A ( a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 ) ). Seien a 1, a 2 A beliebig aber fest. Zu zeigen: a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 ). Annahme: Zu zeigen: a 1 a 2. f(a 1 ) f(a 2 ). Die Annahme, dass g injektiv ist, besagt x 1, x 2 A ( x 1 x 2 g(x 1 ) g(x 2 ) ). Da A A ist a 1, a 2 A. Mit dem Spezialfall x 1 = a 1 und x 2 = a 2 folgt hieraus a 1 a 2 g(a 1 ) g(a 2 ). Mit modus ponens folgt Da g Erweiterung von f ist, gilt g(a 1 ) g(a 2 ). f(a 1 ) = g(a 1 ) f(a 2 ) = g(a 2 ). Folglich ist f(a 1 ) f(a 2 ). Aufgabe 15. Sei wieder g Erweiterung von f. Wenn f surjektiv ist, ist dann auch g surjektiv? Wenn g surjektiv ist, ist dann auch f surjektiv? Finden Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel. 10

11 Lösung von Aufgabe 15. Die Erweiterung einer surjektiven Funktion ist nicht notwendig surjektiv: So ist z.b. f N 0 N, f(x) = x + 1 surjektiv. Weiter ist g N 0 Z, g(x) = x + 1 Erweiterung von f. Die Funktion g ist aber nicht surjektiv. Auch die Einschränkung einer surjektiven Funktion ist nicht notwendig surjektiv. So ist z.b. g Z Z, g(x) = x + 1 surjektiv. Weiter ist f N N, f(x) = x + 1 Einschränkgung von g. Die Funktion f ist aber nicht surjektiv, da 1 bild(f). Aufgabe 16. Sei A = {1, 2, 3}. Finden Sie eine Relation R so dass (A, A, R) eine Funktion ist, die weder surjektiv noch injektiv ist. Lösung von Aufgabe 16. R = {(1, 1), (2, 1), (3, 1)} Aufgabe 17. Gegeben ist die Funktion f Z 2 Z 2 durch Ist f injektiv bzw. surjektiv? Lösung von Aufgabe 17. f(x, y) = (x + y, x y). Injektiv: Aus (x 1 + y 1 ) = (x 2 + y 2 ) und (x 1 y 1 ) = (x 2 y 2 ) folgt durch Addition der beiden Gleichungen 2x 1 = 2x 2, somit x 1 = x 2. Durch Subtraktion folgt 2y 1 = 2y 2, somit y 1 = y 2. Also ist f injektiv. Da (3, 2) bild(f), ist f nicht surjektiv. Wenn f(x, y) = (3, 2) wäre, müßte (x, y) = (5/2, 1/2) sein, was aber nicht in Z 2 ist. Aufgabe 18. Gegeben ist die Relation Ist (R, R, R) eine Funktion? R = {(x, y) x, y R, y 2 = x}. Finden Sie zwei Mengen A, B R so dass eine bijektive Funktion ist. Lösung von Aufgabe 18. f = ( A, B, R (A B) ) 11

12 (R, R, R) ist noch nicht einmal eine partielle Funktion, da es z.b. für x = 1 zwei y s gibt (y = 1, y = 1) so dass xry. f ist eine bijektive Funktion z.b. für A = R + 0 B = R + 0 Aufgabe 19. Sei Z 2 = {0, 1} und 2 Z 2 Z 2 Z 2 definiert durch x 2 y = (x + y) mod 2 Ist 2 injektiv, surjektiv oder bijektiv? (Ohne Beweis, nur ja oder nein.) Sei weiterhin f = ( ) Z 2, Z 2, {(x, y) x, y Z 2, x 2 y = 1} Ist f eine Funktion, eine partielle Funktion oder keins von beidem? (Ohne Beweis.) Sei nun Z 3 = {0, 1, 2} und ( ) g = Z 2, Z 3, {(x, y) x Z 2, y Z 3, (x + y) mod 2 = 1} Ist g eine Funktion, eine partielle Funktion oder keins von beidem? Geben Sie eine Begründung. Lösung von Aufgabe ist nicht injektiv, surjektiv und nicht bijektiv. f ist eine Funktion. g ist keine partielle Funktion. Sei ( ) R = Z 2, Z 3, {(x, y) x Z 2, y Z 3, (x + y) mod 2 = 1} Dann ist z.b. sowohl (1, 0) R als auch (1, 2) R. Um eine partielle Funktion zu sein, darf aber zu jedem x Z 2 höchstens ein y Z 3 existieren mit (x, y) R. Aufgabe 20. Entscheiden Sie von jeder der folgenden Funktionen ob sie injektiv bzw. surjektiv ist. (Ohne Beweis.) { x 1 falls x gerade f N N, f(x) = x + 1 falls x ungerade f Z Z, f R R, f(x) = 2x f(x) = sin(x) 12

13 Lösung von Aufgabe 20. { x 1 falls x gerade f N N, f(x) = x + 1 falls x ungerade ist injektiv, surjektiv und bijektiv. f Z Z, f(x) = 2x ist injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv. f R R, f(x) = sin(x) ist nicht injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv. Aufgabe 21. Finden Sie zwei Beispiele von bijektiven Funktion aus N 3 N 3. Lösung von Aufgabe 21. f(x, y, z) = (x, y, z) f(x, y, z) = (z, x, y) Aufgabe 22. Geben Sie einen ausführlichen Beweis, dass wenn die Funktionen f A 1 B 1 g A 2 B 2 surjektiv sind, auch die Funktion h A 1 A 2 B 1 B 2 mit surjektiv ist. h(x, y) = (f(x), g(y)) Lösung von Aufgabe 22. Seien f A 1 B 1 g A 2 B 2 surjektiv und mit h A 1 A 2 B 1 B 2 h(x, y) = (f(x), g(y)). Zu zeigen: h ist surjektiv. Einsetzen der Definition von surjektiv: Zu zeigen: Für alle (b 1, b 2 ) B 1 B 2 existiert ein (a 1, a 2 ) A 1 A 2 so dass h(a 1, a 2 ) = (b 1, b 2 ). 13

14 Sei (b 1, b 2 ) B 1 B 2 beliebig aber fest. Zu zeigen: Es existiert ein Paar (a 1, a 2 ) A 1 A 2 mit h(a 1, a 2 ) = (b 1, b 2 ). Konstruktion eines Paars (a 1, a 2 ) A 1 A 2 mit h(a 1, a 2 ) = (b 1, b 2 ). Da f surjektiv ist, existiert ein a 1 A 1 mit f(a 1 ) = b 1. Da g surjektiv ist, existiert ein a 2 A 2 mit g(a 2 ) = b 2. Folglich existiert ein (a 1, a 2 ) A 1 A 2 mit h(a 1, a 2 ) = (f(a 1 ), g(a 2 )) = (b 1, b 2 ). Aufgabe 23. Geben Sie einen ausführlichen Beweis, dass wenn zwei injektive Funktionen sind, auch f, g A B h A A B B mit injektiv ist. h(x, y) = (f(x), g(y)) Lösung von Aufgabe 23. Zu zeigen: Für alle Funktionen f, g A B gilt: Wenn f, g injektiv sind, dann auch h A A B B mit h(x, y) = (f(x), g(y)). Sei f, g A B beliebig aber fest. Zu zeigen: Wenn f, g injektiv sind, dann ist h auch injektiv. Annahme: Sei f, g injektiv. Zu zeigen h ist injektiv. Einsetzen der Definition von injektiv. Annahme: Zu zeigen: x 1, x 2 A x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) y 1, y 2 A y 1 y 2 g(y 1 ) g(y 2 ) (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) A A (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) h(x 1, y 1 ) h(x 2, y 2 ). Sei (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) beliebig aber fest. zu zeigen: (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) h(x 1, y 1 ) h(x 2, y 2 ). Annahme (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ). Zu zeigen: h(x 1, y 1 ) h(x 2, y 2 ). 14

15 Da (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) ist entweder x 1 x 2 oder y 1 y 2. Aus der Injektivität von f und g folgt somit f(x 1 ) f(x 2 ) oder g(y 1 ) g(y 2 ). Somit ist (f(x 1 ), g(y 1 )) (f(x 2 ), g(y 2 )) und daher h(x 1, y 1 ) h(x 2, y 2 ). Aufgabe 24. Gegeben ist die Funktion f N N durch f(x) = { 2x falls x ungerade x/2 falls x gerade. Ist f injektiv bzw. surjektiv? (Jeweils ein Satz Begründung.) Lösung von Aufgabe 24. f ist surjektiv, denn zu jedem y N ist x = 2y gerade und somit f(x) = y. f ist nicht injektiv, denn z.b. f(1) = 2 und f(4) = 2. Aufgabe 25. Definieren Sie eine injektive Funktion aus der Menge R (R {0, 1}). Lösung von Aufgabe 25. Die Funktion f R (R {0, 1}) mit f(x) = (x, 0) ist injektiv: Wenn x y dann ist f(x) f(y). Aufgabe 26. Für a N 0 und b N bezeichnet a mod b den Rest bei der ganzzahligen Division von a durch b. So ist z.b. 7 mod 2 = 1 da 7 geteilt durch 2 gleich 3 Rest 1 ist. Ist die Funktion f N N 0 f(x) = x mod 42 injektiv bzw. surjektiv? Geben Sie eine kurze Begründung. Lösung von Aufgabe 26. Nicht injektiv. Als Funktionswerte können nur die Zahlen 0, 1,..., 41 auftreten. Somit müssen zwei unterschiedliche natürliche Zahlen den selben Funktionswert bekommen. Nicht surjektiv. Es gilt 42 N 0 aber 42 bild(f). 15

16 Aufgabe 27. Formulieren Sie die Aussage Zu jeder Menge A gibt es eine Menge B mit der Eigenschaft, dass es eine injektive Funktion von A nach B gibt in der Sprache der Prädikatenlogik. Hinweis: Definieren Sie zunächst durch einen prädikatenlogischen Ausdruck wann eine Funktion von A nach B injektiv ist. Lösung von Aufgabe 27. f A B ist injektiv wenn a 1, a 2 A a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 ). Die Aussage, dass es zu jeder Menge A eine Menge B gibt so dass es eine injektive Funktion von A nach B gibt, ist dann A B f A B a 1, a 2 A a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 ). Aufgabe 28. Sei A eine Menge mit drei Elementen. Wieviele bijektive Funktionen gibt es in der Menge A A? Wieviele Elemente hat die Menge A A 2? Lösung von Aufgabe 28. Sei A = {a 1, a 2, a 3 }. Aufgabe 29. Wenn man den Elementen a 1, a 2, a 3 nacheinander Funktionswerte zuordnet, dann hat man zunächst für a 1 drei Möglichkeiten. Für a 2 bleiben danach nur noch zwei Möglichkeiten übrig und a 3 hat nur noch eine einzige. Also gibt es = 6 bijektive Funktionen in der Menge A A. Für jeden der 3 Inputs aus A hat man 3 3 = 9 Outputs in A 2. Somit ist A A 2 = 9 3 = 81. Sei [1, 2] = {x x R, 1 x 2}. Definieren Sie eine injektive Funktion f N [1, 2]. Lösung von Aufgabe 29. Die Funktion f N [1, 2] mit ist injektiv. f(n) = 1 + 1/n 16

17 Aufgabe 30. Sei f R 2 R 3 definiert durch f(x, y) = (1, x, y). Ist f injektiv bzw. surjektiv? Geben Sie jeweils einen Satz Begründung oder ein Gegenbeispiel. Lösung von Aufgabe 30. f ist injektiv. Ist (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) dann auch (1, x 1, y 1 ) (1, x 2, y 2 ). f ist nicht surjektiv. Für (2, 1, 1) R 3 gibt es kein (x, y) R 2 so dass f(x, y) = (2, 1, 1). Aufgabe 31. Der Datentyp double wird in der Praxis als Ersatz für reelle Zahlen verwendet. Konkret bedeutet das, dass jeder Gleitkommazahl x double eine reelle Zahl x R zugeordnet wird. Handelt es sich bei dieser Zuordnung um eine Funktion oder um eine partielle Funktion? Sei double die Menge der Gleitkommazahlen doppelter Genauigkeit ohne die Spezialzahlen wie ±infinity und not a number. Ist dann die Zuordnung von Gleitkommazahlen aus double zu reellen Zahlen eine Funktion? Falls ja, ist diese surjektiv bzw. injektiv? Lösung von Aufgabe 31. Es handelt sich um eine partielle Funktion. Zu jeder normalen Gleitkommazahl x double gibt es genau eine entsprechende reelle Zahl. Für die Gleitkommazahlen ±infinity und not a number gibt es keine zugehörige reelle Zahl. Die Zuordnung von double nach R ist eine Funktion. Zu jeder normalen Gleitkommazahl gibt es genau eine reelle Zahl. Die Funktion ist nicht injektiv, da es zwei unterschiedliche Gleitkommazahlen für die reelle Zahl 0 gibt (jeweils mit unterschiedlichem Vorzeichenbit). Die Funktion ist auch nicht surjektiv, da es unendlich viele reelle Zahlen gibt aber double endlich ist. Es gibt z.b. keine Gleitkommazahl, die der reellen Zahl π oder 2 entspricht. Aufgabe 32. Beweisen Sie ausführlich: Für jede Funktion f A B und für jede Funktion g B C gilt: Wenn f nicht injektiv ist, dann ist auch die Komposition g f nicht injektiv. Stellen Sie die Aussage zunächst anschaulich durch ein Mengendiagramm dar. Lösung von Aufgabe

18 Zu zeigen: f A B g B C injektiv(f) injektiv(g f). Seien f A B und g B C beliebig aber fest. Zu zeigen injektiv(f) injektiv(g f). Umformung der wenn dann Aussage. Zu zeigen: Annahme: g f ist injektiv. Zu zeigen: f ist injektiv. Definition injektiv. Annahme injektiv(g f) injektiv(f). x, y A x y g(f(x)) g(f(y)). Zu zeigen: a, b A a b f(a) f(b). Seien a, b A beliebig aber fest. Zu zeigen a b f(a) f(b). Annahme a b, zu zeigen f(a) f(b). Aus der Annahme folgt durch Spezialisierung mit a für x und b für y a b g(f(a)) g(f(b)). Modus Ponens g(f(a)) g(f(b)). Da g Funktion ist, gilt x, y g(x) g(y) x y. Spezialisierung mit f(a) für x und f(b) für y: g(f(a) g(f(b)) f(a) f(b). Modus Ponens f(a) f(b). Aufgabe 33. Sei f P (N) P (N), f(m) = M {1}. Berechnen Sie f({3, 5, 7}). 18

19 Ist f injektiv? (Kurze Begründung oder Gegenbeispiel) Ist f surjektiv? (Kurze Begründung oder Gegenbeispiel) Finden Sie Mengen X, Y, Z so dass f = (X, Y, Z). Lösung von Aufgabe 33. f({3, 5, 7}) = {1, 3, 5, 7}. f ist nicht injektiv. f ist nicht surjektiv, da z.b. X = P (N), Y = P (N), f({1}) = f( ) obwohl {1}. {3, 4} bild(f). Z = {(A, B) A, B N B = A {1}}. Aufgabe 34. Beweisen Sie dass wenn f A B und g B C surjektiv sind, auch g f surjektiv ist. Lösung von Aufgabe 34. Zu zeigen: A, B f A B g B C ( (surjektiv(f) surjektiv(g)) surjektiv(g f) ) Seien A, B beliebig aber fest. Seien f A B und g B C beliebig aber fest. Zu zeigen: (surjektiv(f) surjektiv(g)) surjektiv(g f). Annahme: f und g sind surjektiv. Zu zeigen: g f ist surjektiv. Einsetzen der Definition von surjektiv: Zu zeigen: c C a A (g f)(a) = c. Sei c C beliebig aber fest. Zu zeigen: a A (g f)(a) = c. Einsetzen der Definition von. Zu zeigen a A g(f(a)) = c. 19

20 Die Annahme, dass g surjektiv ist, besagt y C b B g(b) = y. Mit dem Spezialfall y = c folgt hieraus b B g(b) = c. Sei b B so dass g(b) = c. Die Annahme, dass f surjektiv ist, besagt x B a A f(a) = x. Mit dem Spezialfall x = b folgt hieraus a A f(a) = b. Sei a A so dass Folglich ist f(a) = b. g(f(a)) = g(b) = c. Aufgabe 35. Seien f, g A B und h A B 2 mit h(x) = ( f(x), g(x) ). Entscheiden Sie ob folgende Aussagen wahr sind: Wenn f und g injektiv sind dann ist auch h injektiv. Wenn f und g surjektiv sind, dann ist auch h surjektiv. Begründen Sie Ihre Antwort durch einen ausführlichen Beweis oder ein Gegenbeispiel. Lösung von Aufgabe 35. Wenn f und g injektiv sind, dann ist auch h injektiv. Seien A, B beliebige Mengen und f, g A B beliebig aber fest. Sei h A B 2 mit Zu zeigen: h(x) = ( f(x), g(x) ). (injektiv(f) injektiv(g)) injektiv(h). 20

21 Annahme: Zu zeigen: Zu zeigen: injektiv(f) und injektiv(g). injektiv(h). x, y A x y h(x) h(y). Seien x, y A beliebig aber fest. Zu zeigen: x y h(x) h(y). Annahme: x y. Zu zeigen: h(x) h(y). Da f injektiv ist, gilt a, b A a b f(a) f(b). Mit dem Spezialfall a = x und b = y gilt Mit modus ponens folgt x y f(x) f(y). f(x) f(y). Aus der Definition der Gleichheit von Paaren folgt Folglich ist (f(x), g(x)) (f(y), g(y)). h(x) h(y). Die Injektivität von g hat man im Beweis gar nicht gebraucht. Wenn f und g surjektiv sind, dann ist h nicht notwendigerweise surjektiv. Ein Gegenbeispiel ist f, g N N mit Dann ist h N N 2, keine surjektive Funktion, da z.b. f(x) = x g(x) = x. h(x) = (x, x) (1, 2) N 2 aber (1, 2) bild(h). 21

22 Aufgabe 36. Beweisen Sie ausführlich, dass für jede injektive Funktion und für jede Funktion die Funktion injektiv ist. Lösung von Aufgabe 36. f A 2 B g A A h A B mit h(x) = f(x, g(x)) Seien f A 2 B und g A A beliebig aber fest. Sei h A B definiert durch h(x) = f(x, g(x)). Zu zeigen: injektiv(f) injektiv(h). Zu zeigen: x, y A (x y h(x) h(y)). Seien x, y A beliebig aber fest. Zu zeigen: x y h(x) h(y). Annahme x y. Zu zeigen h(x) h(y). Aus der Injektivität von f folgt u, v A 2 (u v f(u) f(v)). Mit dem Spezialfall u = (x, g(x)) und v = (y, g(y)) folgt (x, g(x)) (y, g(y)) f(x, g(x)) f(y, g(y)). Da x y folgt (x, g(x)) (y, g(y)). Mit modus ponens folgt Folglich gilt h(x) h(y). f(x, g(x)) f(y, g(y)). Aufgabe 37. Sei f N 2 N 2 definiert durch f(x, y) = (xy, 2x). Beweisen Sie ausführlich, dass f injektiv ist. 22

23 Lösung von Aufgabe 37. Zu zeigen: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) N 2 f(x 1, y 1 ) = f(x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ). Seien (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) N 2 beliebig aber fest. Zu zeigen: f(x 1, y 1 ) = f(x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ). Annahme: Zu zeigen: Annahme: Annahme: f(x 1, y 1 ) = f(x 2, y 2 ). (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ). (x 1 y 1, 2x 1 ) = (x 2 y 2, 2x 2 ). x 1 y 1 = x 2 y 2, 2x 1 = 2x 2. Aus 2x 1 = 2x 2 folgt x 1 = x 2. Aus x 1 = x 2 und x 1 y 1 = x 2 y 2 folgt x 1 y 1 = x 1 y 2. Da x 1 N und damit x 1 0 folgt y 1 = y 2. Aus x 1 = x 2 und y 1 = y 2 folgt (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ). Aufgabe 38. Seien f, g N N definiert durch f(x) = x + 1 { x 1 falls x > 1 g(x) = 1 falls x = 1 Entscheiden Sie von jeder der folgenden Aussagen ob sie wahr oder falsch ist. f g ist injektiv. f g ist surjektiv. g f ist injektiv. g f ist surjektiv. 23

24 Lösung von Aufgabe 38. Es gilt Damit folgt: f(g(x)) = g(f(x)) = x. { x falls x > 1 2 falls x = 1 f g ist nicht injektiv da f(g(2)) = f(g(1)). f g ist nicht surjektiv da 1 bild(f g). g f ist injektiv. g f ist surjektiv. Aufgabe 39. Sei A = {1, 2, 3} und B = {4, 5}. Finden Sie eine surjektive Funktion aus A B und eine nicht injektive Funktion aus B A. Beschreiben Sie die Funktionen jeweils als Tripel bestehend aus zwei Mengen und einer Relation. Lösung von Aufgabe 39. Surjektive Funktion aus A B: ({1, 2, 3}, {4, 5}, {(1, 4), (2, 5), (3, 5)}). Nicht injektive Funktion aus B A: ({4, 5}, {1, 2, 3}, {(4, 1), (5, 1)}). Aufgabe 40. Die Funktion f P (N) P (N) ist definiert durch f(x) = x {1}. Untersuchen Sie ob diese Funktion injektiv bzw. surjektiv ist. Geben Sie jeweils eine kurze Begründung (1 Satz) oder ein Gegenbeispiel. Lösung von Aufgabe 40. Nicht injektiv da z.b. f( ) = f({1}). Nicht surjektiv, da es keine Menge a gibt so dass f(a) =. 24

25 Aufgabe 41. Gegeben sind die Mengen und die Funktionen A = {1, 2, 3} B = {1, 2} f = ( A, B, {(1, 2), (2, 1), (3, 1)} ) g = ( B, A, {(1, 3), (2, 1)} ) Entscheiden Sie von beiden Funktionen, ob sie injektiv bzw. surjektiv sind. (Jeweils ein Satz Begründung.) Untersuchen Sie, ob die Kompositionen f g bzw. g f existieren und falls ja stellen Sie sie als Tripel bestehend aus zwei Mengen und einer Relation dar. Lösung von Aufgabe 41. f ist surjektiv, da zu jedem b B ein a A existiert mit f(a) = b. f ist nicht injektiv, da f(2) = f(3). g ist nicht surjektiv, da zu a = 3 kein b A existiert mit g(b) = a. g ist injektiv, da zu jedem a A höchstens ein b B existiert mit g(b) = a. Beide Kompositionen existieren. f g = ( B, B, {(1, 1), (2, 2)} ) g f = ( A, A, {(1, 1), (2, 3), (3, 3)} ) Aufgabe 42. Ist die Komposition f g zweier surjektiver Funktionen f B C und g A B wieder surjektiv? Geben Sie einen ausführlichen Beweis oder finden Sie ein Gegenbeispiel. Lösung von Aufgabe 42. f g ist surjektiv. Zu zeigen: A, B, C f B C g A B (surjektiv(f) surjektiv(g)) surjektiv(f g). Seien A, B, C und f B C und g A B beliebig aber fest. Zu zeigen: (surjektiv(f) surjektiv(g)) surjektiv(f g). Annahme: f und g sind surjektiv. Zu zeigen: f g ist surjektiv. 25

26 Einsetzen der Definition von surjektiv. Zu zeigen: c C a A (f g)(a) = c. Sei c C beliebig aber fest. Zu zeigen: Surjektivität von f bedeutet a A (f g)(a) = c. c C b B f(b) = c. Mit der Spezialisierung c = c folgt Sei b B so dass f(b) = c. Surjektivität von g bedeutet b B f(b) = c. b B a A g(a ) = b. Mit der Spezialisierung b = b folgt Sei a A so dass g(a ) = b. a A g(a ) = b. Da f(b) = c folgt f(g(a )) = c bzw. (f g)(a ) = c. Damit ist bewiesen, dass a A (f g)(a) = c. Aufgabe 43. Sei f N 2 Z 3 und g Z 3 Z definiert durch f(x, y) = (x 1, 1 y, x + y), g(x, y, z) = xy z. Berechnen Sie einen Funktionsterm für g f. Berechnen Sie bild(g f). Zeigen Sie durch Angabe eines Gegenbeispiels dass g f nicht injektiv ist. Lösung von Aufgabe 43. (g f)(x, y) = g(f(x, y)) = g(x 1, 1 y, x + y) = (x 1)(1 y) (x + y) = x xy 1 + y x y = xy 1. bild(g f) = { 2, 3, 4,...}. Nicht injektiv, da z.b. (g f)(1, 2) = (g f)(2, 1). 26