Die Mengenlehre ist ein Grundelement der Sprache der Mathematik und geht als

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1 Kapitel 1 Naive Mengenlehre 1.1 Mengen (Mengenalgebra; kartesisches Produkt) Die Mengenlehre ist ein Grundelement der Sprache der Mathematik und geht als naive Mengenlehre (im Gegensatz zur strengen Axiomatik) auf Georg Cantor zurück. Intuitive Beispiele für Mengen. i) Zahlen 1 : N (natürliche), Z (ganze), Q (rationale), R (reelle), C (komplexe). ii) Endliche Mengen als Aufzählung wie die Menge {1, 2, 3}. Hier spielt die Reihenfolge keine Rolle: {1, 2, 3} = {3, 1, 2}. iii) Angedeutete Aufzählungen von Mengen sind beispielsweise {1, 2, 3,..., 50} oder {1, 2, 3,... } = N, wobei sich die Bedeutung von... unmissverständlich erschließt. iv) Mengen, die über eine gemeinsame Eigenschaft charakterisiert sind, etwa {n N : n ist Primzahl}. v) Die leere Menge, die kein Element enthält. Präzisiert wird die Intuition anhand von 1 Die Zahlenmengen N, Z, Q, R werden an dieser Stelle noch als anschaulich bekannt vorausgesetzt. Eine systematische Einführung folgt in Kürze. 15

2 16 Kapitel 1. Naive Mengenlehre Definition 1.1. Menge Eine Zusammenfassung von wohl bestimmten und wohl unterschiedenen Objekten zu einem Ganzen heißt Menge. Die Objekte dieser Zusammenfassung heißen Elemente der Menge. Notation: x A, falls x Element der Menge A ist, x / A, falls x nicht Element der Menge A ist. Inwieweit kann man Mengen vergleichen bzw. mit Mengen operieren? Abbildung 1.1: Venn-Diagramme. Zur Veranschaulichung dieser Frage dienen sogenannte Venn-Diagramme (Abbildung 1.1). Wie in den ersten drei Skizzen von Abbildung 1.1 angedeutet ist, stehen zwei Vergleichskriterien für gegebene Mengen A, B zur Verfügung:

3 Kapitel 1. Naive Mengenlehre 17 i) A ist gleich B, d.h. A = B A und B haben dieselben Elemente. ii) A ist Teilmenge von B, d.h. A B Jedes Element von A gehört zu B. Die Gleichheit von Mengen ist häufig nicht offensichtlich und kann mithilfe der Äquivalenz A = B (A B B A) überprüft werden. Beispiel. Es seien A = {n N : n 3, n ist ungerade}, B = {n N : n 3, n ist Primzahl}. Ist n B, ist also n Primzahl und n 3, so muss n ungerade sein, da n sonst durch 2 teilbar und keine Primzahl wäre. Folglich gilt n A für alle n B und somit B A. Sei nun n A. Dann folgt nicht n B, wie das Gegenbeispiel n = 15 A belegt. Dies zeigt, dass A nicht Teilmenge von B ist, A B. Insbesondere gilt A B. In den letzten drei Skizzen von Abbildung 1.1 werden die Operationen i) der Vereinigung A B := {x : x A x B}, ii) des Durchschnittes A B := {x : x A x B} iii) und der Differenz (des Komplementes von B in A) A B := A\B := {x : x A x / B}

4 18 Kapitel 1. Naive Mengenlehre der sogenannten Mengenalgebra vorgestellt. Weitere Beispiele sind in den Übungsaufgaben zu finden. Sprechweise. Zwei Mengen A und B mit A B = heißen disjunkt. Notation. Sind A 1, A 2,..., A n Mengen, so setzt man n A k := A 1 A 2 A n, k=1 n A k := A 1 A 2 A n. k=1 Wie kann der Raum unserer Anschauung geeignet als Menge geschrieben werden? Abbildung 1.2: Veranschaulichung des Euklidischen Raums. Ein Punkt des dreidimensionalen Raums, des Euklidischen Raums R 3, wird mithilfe eines geordneten Tupels (x 1, x 2, x 3 ) = (x, y, z) =... charakterisiert, wobei die Eintragungen die Koordinaten in die jeweilige Raumrichtung angeben.

5 Kapitel 1. Naive Mengenlehre 19 Graphisch veranschaulicht ist dies in Abbildung 1.2, in der die Achsen der üblichen Konvention folgend nach der Rechte Hand Regel angeordnet sind: Sie zeigen wie Daumen, Zeige- und Mittelfinger der rechten Hand in x 1 -, x 2 - und x 3 -Richtung. Ein Tupel ist per definitionem ein Element des kartesischen Produkts von Mengen: Abbildung 1.3: Veranschaulichung des kartesischen Produktes. Es seien A und B zwei Mengen. Dann ist (vgl. Abbildung 1.3) A B := { (a, b) : a A b B } die Menge aller geordneten Paare. Vereinbarung. Man setzt für beliebiges A A = A =. Notation. Sind A 1, A 2,..., A n Mengen, so ist n A k := A 1 A 2 A n. k=1

6 20 Kapitel 1. Naive Mengenlehre Somit ist R 3 = R R R und für beliebiges n N n R n := R } R {{ R } = R. n-mal k=1 1.2 Funktionen (injektiv; surjektiv; bijektiv; Umkehrabbildung; Verkettung) Zur Beschreibung realer Vorgänge und Zustände in mathematischer Sprache, d.h. zur mathematischen Modellbildung, benötigt man im nächsten Schritt den Begriff Funktion, der hier gleichbedeutend mit dem Begriff Abbildung verwendet wird. Beispiel. Betrachtet sei die Temperaturverteilung in einem Raum. Jedem Punkt des Raumes wird also ein bestimmter Temperaturwert zugeordnet. Beobachtung. Einem Raumpunkt können nicht zwei unterschiedliche Temperaturwerte zugeordnet werden, wohingegen an verschiedenen Raumpunkten durchaus derselbe Temperaturwert möglich ist. Definition 1.2. Funktion, Abbildung Eine Funktion oder Abbildung f von einer Menge A in eine Menge B ordnet jedem Element x aus A genau ein Element y aus B zu. Notation: f : A B, y = f(x), oder äquivalent f : A x f(x) B. A heißt der Definitionsbereich, B die Zielmenge von f und y = f(x) der Bildpunkt des Urbildpunktes x unter f. Das Bild von f ist f(a) := bild (f) := {f(x) : x A} B.

7 Kapitel 1. Naive Mengenlehre 21 Abbildung 1.4: Eine Abbildung zwischen zwei Mengen. Bemerkung. In der Abbildungsvorschrift heißt x A das Argument oder die (unabhängige) Variable. Statt x kann jedes andere Symbol zur Beschreibung derselben Variablen gewählt werden. Einfache Beispiele. Die einfachsten Beispiele sind (vgl. Abbildung 1.5) i) die konstante Abbildung f: A B, f(x) = b x A mit fixiertem b B, Abbildung 1.5: Konstante Abbildung und Identität. ii) und die Identität f: A A, f(x) = x x A.

8 22 Kapitel 1. Naive Mengenlehre Graphische Darstellung einer Funktion. Die Darstellungsform in Abbildung 1.4 orientiert sich an der Definition einer Funktion als Zuordnung. Die Darstellungsform in Abbildung 1.5 ist statischer Natur und in der Tat wird dort nicht die Funktion sondern deren Graph visualisiert: Abbildung 1.6: Der Graph einer Funktion. Die Menge der geordneten Paare heißt der Graph von f. graph (f) := {(x, f(x)) : x A} A B Der Graph einer Funktion f: R 2 A R ist in Abbildung 1.6 skizziert. In den Abbildungen 1.7 und 1.8 können keinen Graphen einer Funktion f: A B dargestellt sein, da es Punkte gibt, über denen mehrere Punkte liegen oder da es Punkte x A gibt, über denen gar kein Punkt liegt.

9 Kapitel 1. Naive Mengenlehre 23 Abbildung 1.7: Kein Graph. Abbildung 1.8: Auch kein Graph. Erste charakteristische Eigenschaften einer Abbildung. Beispiele. i) Die Temperaturverteilung in einem Raum werde mithilfe einer Funktion x T (x) beschrieben, wobei einem Raumpunkt x die Temperatur T (x) zugeordnet wird.

10 24 Kapitel 1. Naive Mengenlehre Herrscht an zwei unterschiedlichen Raumpunkten x 1 x 2 die gleiche Temperatur, so gilt T (x 1 ) = T (x 2 ). ii) Gegeben sei ein Skatblatt mit 32 Karten. 3 Karten werden nacheinander gezogen und jeweils herausgelegt. Diese Ziehung kann als Funktion f beschrieben werden, indem der Menge A = {1, 2, 3} (erstes, zweites, drittes Ziehen) die jeweils gezogene Karte zugeordnet wird. Da keine Karte zweimal gezogen werden kann, wird jeder Zahl aus der Menge {1, 2, 3} ein anderes Bild zugeordnet, d.h.: Sind x 1, x 2 A und gilt x 1 x 2, so folgt f(x 1 ) f(x 2 ). Weiter beobachtet man, dass klarerweise nicht alle Karten gezogen werden (nur 3 von 32), d.h. nicht jeder mögliche Bildpunkt wird von der Funktion f realisiert. iii) Betrachtet sei die Funktion f: N {0, 1} mit { 0, falls n ungerade, f(n) = 1, falls n gerade. Hier wird z.b. der 1 und der 3 das gleiche Bild (die 0) zugeordnet und alle möglichen Bildwerte (0 und 1) werden angenommen. iv) Bei einer Veranstaltung mit Platzkarten wird jeder Karte ein Platz zugeordnet und umgekehrt. Definition 1.3. Abbildungseigenschaften Es seien A, B zwei Mengen und f eine Abbildung von A nach B. Dann heißt f i) injektiv, falls aus x 1, x 2 A und x 1 x 2 folgt: f(x 1 ) f(x 2 ); ii) surjektiv, falls bild f = B, falls also jeder Punkt aus B ein Bildpunkt ist; iii) bijektiv, falls f sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

11 Kapitel 1. Naive Mengenlehre 25 In diesem Fall existiert eine Umkehrabbildung f 1 : B A, die über die Vorschrift f 1 (y) := x für y = f(x) definiert ist, d.h. es gilt f 1 (f(x)) = x x A und f(f 1 (y)) = y y B. Abbildung 1.9: Zur Umkehrabbildung. Bemerkung. Wie das Übungsbeispiel x f(x) = x 2 dieses Kapitels zeigt, hängen obige Eigenschaften vom Definitionsbereich A und von der Zielmenge B einer Funktion ab. Umkehrfunktion einer reellen Funktion. Im Spezialfall reeller Funktionen 2 von einer Menge A R in eine Menge B R kann man die Umkehrfunktion zumindest prinzipiell berechnen: 2 Reelle Funktionen werden in Kapitel?? ausführlich vorgestellt.

12 26 Kapitel 1. Naive Mengenlehre Gegeben sei eine bijektive Funktion f: R A B R mit Umkehrfunktion f 1 : B A. Die Gleichung y = f(x) versucht man zunächst nach x aufzulösen, d.h. auf die Form zu bringen. x = = f 1 (y) Die formale Vertauschung von x und y liefert dann die gesuchte Abbildungsvorschrift in der üblichen Notation. Einfaches Beispiel. Es sei y = 2x + 4, folglich x = y 2 2 und die Abbildungsvorschrift der Umkehrfunktion lautet in der üblichen Notation y = f 1 (x) = x 2 2. Probe: In der Tat ist im Beispiel und analog f(f 1 (x)) = x. f 1 (f(x)) = f 1 (2x + 4) = 2x = x Wie in dem Beispiel (man skizziere y = 2x + 4 und y = (x/2) 2 in einem Schaubild) gilt allgemein: Der Graph von y = f 1 (x) entsteht durch Spiegelung von y = f(x) an der Winkelhalbierenden (des Graphen der Funktion y = x) (vgl. Abbildung 1.10).

13 Kapitel 1. Naive Mengenlehre 27 Abbildung 1.10: Zur geometrischen Interpretation der Umkehrfunktion. Komposition von Abbildungen. Beispiele. i) Ein Glasfenster im R 3 werde durch die Menge F R 3 aller Glaspunkte beschrieben und χ F sei die charakteristische Funktion der Menge F, d.h. { 1, falls x F, χ F := 0, falls x F. Weiterhin beschreibe h: R I R 3 die Flugbahn eines Balles in Abhängigkeit von der Zeit. Was beschreibt die Funktion χ h? ii) Eine Kurve ist eine Abbildung eines Zeitintervalls in den R n. Durchläuft man den zurückgelegten Weg mit einer anderen Geschwindigkeit, so entspricht das einer Umparametrisierung der Kurve. iii) Kann eine Rechenmaschine die Operationen x x 2 und y y + 1 ausführen, so kann sie durch die Hintereinanderausführung auch x 2 +1 berechnen. Auf diese Weise entsteht aus elementaren Operationen ein komplexer Algorithmus.

14 28 Kapitel 1. Naive Mengenlehre iv) Aufgrund von Symmetrien oder anderen spezifischen Eigenschaften eines Problems erleichtert der Übergang zu neuen Koordinaten häufig die Rechnungen entscheidend. Für die mathematische Beschreibung der genannten Beispiele und für viele weitere Anwendungen benötigt man Definition 1.4. Verkettung von Abbildungen Sind drei Mengen A, B, C sowie zwei Abbildungen f: A B und g: B C gegeben, so heißt die Abbildung g f : A C, (g f)(x) := g(f(x)), die Hintereinanderausführung oder Verkettung von f und g. Abbildung 1.11: Zur Verkettung von Abbildungen. 1.3 Übungsaufgaben zu Kapitel 1 Aufgabe 1. i) Zeigen Sie für jede Menge A: A A und A.

15 Kapitel 1. Naive Mengenlehre 29 ii) * Es sei A := {Dreiecke D : D ist rechtwinklig und beide Katheten haben die Länge 1}, B := {Dreiecke D : D hat zwei 45 Grad Winkel und die längste Seite hat die Länge 2}. Zeigen Sie A = B. Aufgabe 2. Es sei A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, C = {3, 4, 5}. Bestimmen Sie A B, A B, A B, (B A) C, C (B A) und A C. Aufgabe 3. Es sei A eine Menge. Dann ist die Potenzmenge von A definiert als P(A) := { B : B A }. Die Potenzmenge ist eine Menge von Mengen. Bestimmen Sie P({1, 2, 3, 4}). Aufgabe 4. Es seien A, B, C Mengen. i) Zeigen Sie: (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C). ii) Überprüfen Sie die Regeln von de Morgan: A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C).

16 30 Kapitel 1. Naive Mengenlehre Aufgabe 5.* Es seien A, B, C beliebige Mengen. Füllen Sie die folgende Tabelle aus. Machen Sie sich Ihre Antwort dabei zunächst mithilfe von Venn-Diagrammen klar und geben Sie dann einen formalen Beweis. ( A (B C) ) = ( (A B) (A C) ) richtig falsch ( ) ( ) A (B C) = A (B C) ( ) ( ) A (B C) (A B) (A C) ( ) ( ) A (B C) (A B) (A C) x ( A (B C) ) \ (B A) x A C x ( A (B C) ) \ (B A) x B C Aufgabe 6. (Literaturaufgabe) Recherchieren Sie in der Literatur bzw. im Internet den Begriff Cantor-Menge. Aufgabe 7. i) Geben Sie jeweils eine Punktmenge M [0, 1] [0, 1] an, sodass (a) M Graph einer Funktion ist; (b) M nicht Graph einer Funktion ist. ii) Machen Sie sich mit den graphischen Möglichkeiten eines Computeralgebrasystems vertraut und skizzieren Sie den Graph der Funktion f: [0, 1] [0, 1] R, f(x, y) = x + y 2.

17 Kapitel 1. Naive Mengenlehre 31 Aufgabe 8. i) Untersuchen Sie die Funktionen aus den Beispielen vor Definition 1.3 auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. ii) Es sei f: A bild (f) injektiv. Zeigen Sie, dass f bijektiv ist. iii) Es sei f: R A B R, x x 2. Finden Sie jeweils A, B, sodass (a) f surjektiv aber nicht injektiv ist; (b) f injektiv aber nicht surjektiv ist; (c) f bijektiv ist; (d) f weder injektiv noch surjektiv ist. Aufgabe 9. i) Finden Sie Teilmengen A, B der natürlichen Zahlen, sodass es keine injektive Abbildung f: A B gibt. ii) Finden Sie Teilmengen A, B der natürlichen Zahlen, sodass es keine surjektive Abbildung f: A B gibt. iii) Es sei A = {2n : n N}. Gibt es eine bijektive Abbildung A N? Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben. Aufgabe 1. ii) Ist D A, so folgt (da beide Katheten gleiche Länge haben), dass D zwei 45 Grad Winkel haben muss. Aus dem Satz des Pythagoras (Kathetenlänge 1 ist angenommen) folgt weiter, dass die längste Seite die Länge 2 hat, also gilt A B. Ist umgekehrt D B, so folgt (Winkelsumme im Dreieck ist 180 Grad), dass D rechtwinklig ist.

18 32 Kapitel 1. Naive Mengenlehre Die längste Seite ist die Hypotenuse (nach Annahme von der Länge 2), die Katheten haben gleiche Länge (zwei 45 Grad Winkel), nach dem Satz des Pythagoras sind sie von der Länge 1. Also B A und somit auch A = B. Aufgabe 5. ( ) ( ) A (B C) = (A B) (A C) ( ) ( ) A (B C) = A (B C) ( ) ( ) A (B C) (A B) (A C) ( ) ( ) A (B C) (A B) (A C) x ( A (B C) ) \ (B A) x A C x ( A (B C) ) \ (B A) x B C richtig falsch