1.1 Mengen und Abbildungen

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1 Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau Mengen und Abbildungen In diesem Abschnitt stellen wir die grundlegende mathematische Sprache und Notation zusammen, die für jede Art von heutiger Mathematik unverzichtbar ist. Wir knüpfen an übliches (schul-)mathematisches Vorwissen über Zahlen und Funktionen an, auch setzen wir ein Grundverständnis von analytischer Geometrie voraus (Beschreibung von Punkten durch Koordinaten). Der Rahmen unserer Ausführungen ist allerdings viel weiter gesteckt und dementsprechend die Darstellung abstrakt im Sinne der axiomatischen Vorgehensweise der modernen Mathematik. (Im folgenden Abschnitt 1.3 wird dieser Aspekt noch deutlicher werden.) Im ersten Teil dieses Abschnittes geht es um Mengen: Darstellung von Mengen, Standard-Bezeichnungen für gewisse Mengen, Teilmengen, Vereinigung, Durchschnitt, Differenzmenge, kartesisches Produkt, Mächtigkeit. Im zweiten Teil geht es um das Konzept einer Abbildung (Funktion); hierzu gehören die Begriffe Definitionsbereich, Zielbereich, Bild und Urbild (von Elementen und von Teilmengen). Besonders wichtig sind die Begriffe injektiv, surjektiv, bijektiv und Umkehrabbildung (inverse Abbildung). Nicht jede Abbildung besitzt eine Umkehrabbildung, vielmehr trifft dieses genau für die bijektiven Abbildungen zu. Zum Schluss des Abschnittes stellen wir den Zusammenhang zwischen Abbildungen und Mächtigkeit von Mengen her und führen den Begriff einer abzählbaren Menge ein. Erklärung (G. Cantor 1 ) Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens welche die Elemente der Menge genannt werden zu einem Ganzen. Schreibweise: x M x M x ist ein Element von M x ist nicht ein Element von M Definition (Standard-Bezeichnungen für Mengen) N = {1, 2, 3, 4,...} die natürlichen Zahlen N 0 = {0, 1, 2, 3, 4,...} die natürliche Zahlen mit Null Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} die ganzen Zahlen Q = { m n m Z, n N} die Bruchzahlen, rationalen Zahlen R die reellen Zahlen die leere Menge Neben den natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen (Bruchzahlen) setzen wir auch die reellen Zahlen (dargestellt zum Beispiel durch endliche oder unendliche Dezimalbrüche) grundsätzlich als bekannt voraus. Beispiele: 3 N, 3 R, 1, 5 Z, 1 Z, 1 N, 1, 2121 R Definition Eine Menge M heißt endlich, wenn sie aus nur endlich vielen Elementen besteht. In diesem Fall heißt die Anzahl der Elemente die Mächtigkeit oder auch Kardinalität von M, in Zeichen: M oder #M. Wir kommen unten auf diesen Begriff zurück und gehen dann auch auf unendliche Mengen ein. 1 Georg Cantor, , deutscher Mathematiker, Professor in Halle (Saale)

2 4 Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau Erklärung (Beschreibung von Mengen) 1. Durch Aufzählung der Elemente, z.b. M = {1, 3, 5, 6}, A = {a, b, c, d, e, f} ; dieses ist prinzipiell bei endlichen Mengen möglich, u.u. auch bei unendlichen Mengen, wenn keine Missverständnisse zu befürchten sind: N 0 = {0, 1, 2, 3, 4...} G = {2, 4, 6, 8,...} die Menge der geraden Zahlen. 2. In beschreibender Form, d.h. durch Angabe der Eigenschaften der Elemente, z.b. Die allgemeine Form ist: G = {x x N und x ist gerade}. M = {x A(x)}, dabei steht A für eine Eigenschaft, die potentielle Elemente haben können; A(x) heißt: die Eigenschaft A trifft für das Objekt x zu. Man kann auch schreiben: G = {x N x ist gerade}, d.h. die größere Menge, in der sich die Elemente der zu definierenden Menge befinden, hier die Menge N, wird nicht unter den Eigenschaften, sondern bereits vor dem Trennstrich in der Mengenklammer genannt. 3. In abgekürzter beschreibender Form, z.b. G = {2 m m N}. Man verzichtet hier auf einen speziellen Namen für die Elemente und gibt sofort ein Bildungsgesetz, z.b. einen Term oder algebraischen Ausdruck, an. Ein anderes Beispiel hierzu: K = {1 + 3z z Z} = {..., 5, 2, 1, 4, 7, 10,... }. Beispiel: die Menge der Quadratzahlen in allen drei Beschreibungsformen: Q = {1, 4, 9, 16, 25,...} = {y y N und es existiert ein x N so dass x 2 = y} = {x 2 x N} Definition (Teilmenge) a) Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge M, falls jedes Element von A auch Element von M ist. Die entsprechende Beziehung zwischen A und M heißt auch Inklusion (von A in M). Bezeichnung: A M.

3 Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 5 b) Eine Menge A heißt echte Teilmenge einer Menge M, falls A Teilmenge von M und A M ist. Die entsprechende Beziehung zwischen A und M heißt auch echte Inklusion (von A in M). Bezeichnung: A M oder A M. Wir weisen ausdrücklich darauf hin, dass bei der Inklusion die Gleichheit der beiden Mengen erlaubt ist: es gilt M M. Für die Inklusion wird oft auch die Schreibweise A M benutzt; die von uns gewählte Konvention hat den Vorteil, dass sie zu den üblichen Zeichen bzw. < für den Größenvergleich von Zahlen passt. Definition (Operationen mit Mengen) A B = {x x A und x B} Durchschnitt A B = {x x A oder x B} Vereinigung A B = {x x A und x B} Differenz(menge) Beachte, dass bei der Bildung der Differenzmenge B nicht in A enthalten sein muss. Man kann sich allerdings immer auf diesen Fall zurückziehen, denn es gilt offensichtlich A B = A (A B). Mengen und Mengenoperationen können durch sog. Venn-Diagramme veranschaulicht werden; hier ist die Veranschaulichung der Differenzmenge: A B A A \ B B A \ B Abb. 1.1: Differenzmenge Falls alle betrachteten Mengen Teilmengen einer festen Menge M sind (in einer solchen Situation wird M auch als Grundmenge bezeichnet), wird die Differenzmenge M A auch als das Komplement von A in M bezeichnet. Oft schreibt man für diese Menge A oder A; wir werden diese Bezeichnungen nicht verwenden, weil sie den Bezug auf die Grundmenge M nicht mehr ausdrücken. Definition und Bemerkung Zwei Teilmengen A und B einer Menge M heißen disjunkt, falls A B = ist. Eine Menge M heißt disjunkte Vereinigung von zwei Teilmengen A und B, falls A B = und A B = M ist. Man schreibt dann M = A B. In diesem Fall gilt für die Mächtigkeiten A B = A + B. Definition (Kartesisches Produkt, Produktmenge) a) Das kartesische Produkt zweier Mengen A und B ist definiert als A B := {(a, b) a A und b B}. Ein Element (a, b) A B heißt geordnetes Paar. Nach Definition gilt für beliebige a, a A, b, b B: (a, b) = (a, b ) genau dann, wenn a = a und b = b

4 6 Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau b) Allgemeiner ist das kartesische Produkt von n Mengen A 1, A 2,..., A n definiert als A 1 A 2 A n = {(a 1, a 2,..., a n ) a i A i für i = 1,..., n}. Ein Element (a 1, a 2,..., a n ) A 1 A 2 A n heißt n-tupel. Nach Definition gilt für beliebige a i, b i A i, i = 1,..., n: (a 1, a 2,..., a n ) = (b 1, b 2,..., b n ) genau dann, wenn a i = b i für i = 1,..., n. Das kartesische Produkt wird auch einfach als Produktmenge bezeichnet. Zwei n-tupel sind also nur dann gleich, wenn an entsprechenden Stellen dasselbe Element der jeweiligen Menge A i steht. Insbesondere kommt es in geordneten Paaren auf die Reihenfolge der beiden Elemente an: Es gilt (a, b) (b, a), falls a b. (Es müssen a und b beide in A und B liegen, damit die fraglichen Paare in A B liegen. Wir denken bei dieser Bemerkung insbesondere an den wichtigen Fall A = B.) Bezüglich Reihenfolge verhält sich also (a, b) anders als die Menge {a, b}, für die offenbar {a, b} = {b, a} gilt. Übrigens sollte man die Notation {a, b} nur benutzen, wenn a b ist (sonst notiert man die einelementige Menge natürlich als {a}), während ein geordnetes Paar (a, a) durchaus Sinn macht. Bei n-tupeln (wir nehmen hier der Einfachheit halber den Fall A 1 = A 2 = = A n =: A an) kommt es erst recht auf die Reihenfolge an: wenn etwa a, b, c drei verschiedene Elemente aus A sind, dann können wir hieraus 6 verschiedene Tripel in A A A bilden, nämlich (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a). Als Spezialfall eines kartesischen Produktes ist vor allem die Menge R R =: R 2 bekannt. Hier handelt es sich um reelle Zahlenpaare, die nach Einführung eines Koordinatensystems mit den Punkten der Ebene identifiziert werden. Wenn M R und N R Intervalle sind, kann man sich entsprechend M N als Rechteck vorstellen. Von dieser geometrischen Interpretation kommt auch die Wortwahl kartesisch beim kartesischen Produkt her: Descartes 2 führte als erster ein solches kartesisches Koordinatensystem ein. Die Bezeichnung eines kartesischen Produktes als Produkt wird auch durch den folgenden Satz unterstützt. Satz Es seien M und N zwei endliche Mengen. Dann ist auch ihr kartesiches Produkt endlich und seine Mächtigkeit gleich dem Produkt der Mächtigkeiten von M und N: M N = M N. Beweis: Sei M = m, N = n, M = {x 1, x 2,..., x m }. Dann ist M N die disjunkte Vereinigung der m Mengen {x i } N, i = 1,..., m. Jede dieser Mengen hat n Elemente (sie ist gleichmächtig zur Menge N, siehe unten a)). Die Mächtigkeit von M N ergibt sich also als die m-fache Summe der Zahl n, also als m n, wie behauptet. Wir behandeln noch eine andere Abzählfrage im Zusammenhang mit endlichen Mengen. 2 René Descartes, , französischer Philosoph und Mathematiker

5 Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 7 Definition und Satz Die Menge aller Teilmengen einer Menge M heißt Potenzmenge von M und wird mit P(M) bezeichnet: P(M) := {X X M}. Wenn M endlich mit n Elementen ist, dann besteht P(M) aus 2 n Elementen: P(M) = 2 M. Beweis durch vollständige Induktion nach n: 3 Induktionsanfang: Für n = 0, also M = ist die Behauptung richtig, denn P( ) = { }. Induktionsschritt: Die Behauptung sei für Mengen der Mächtigkeit n bewiesen. Sei M eine Menge mit M = n+1. Wähle ein Element a M, setze M := M {a}. Es gilt also M = n. Wir teilen die Teilmengen X M in zwei Klassen ein: Mengen mit a / X, das sind genau die Teilmengen von M, und Mengen mit a X. Auf diese Art haben wir eine Darstellung P(M) = P(M ) P als disjunkte Vereinigung, wobei P = {X M a X}. Die Mengen in P sind alle von der Form X = X {a}, wobei X eine (durch X eindeutig bestimmte) Teilmenge von M ist. Von diesen Mengen gibt es also genau so viele wie Teilmengen von M, m.a.w. P = P(M ). Nach Induktionsannahme gilt P(M ) = 2 n. Insgesamt folgt also P(M) = P(M ) + P = P(M ) + P(M ) = 2 P(M ) = 2 2 n = 2 n+1, wie gewünscht. Es sei n = 3, M = {a, b, c}. Dann ist P(M) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} = {, {c}, {b}, {b, c}, {a}, {a, c}, {a, b}, {a, b, c}}. (Die zweite Zeile zeigt die Anordnung der Teilmengen, die sich aus dem Beweis ergibt.) Wir führen zwischendurch einige größtenteils aus der Aussagenlogik stammende Symbole ein, die für das strukturierte und etwas abgekürzte Aufschreiben von Sätzen und Definitionen sehr praktisch sind. Bezeichnungen (einige Symbole der Logik) heißt heißt = heißt heißt : heißt heißt heißt es gibt ein für alle impliziert, aus... folgt genau dann, wenn genau dann, wenn (Definition der linken Seite) und oder Wir kommen zum zweiten Teil dieses Paragraphen, nämlich dem mathematischen Begriff einer Abbildung. Definition Es seien X und Y zwei Mengen. Eine Abbildung von X in Y ist gegeben durch eine Vorschrift f, die jedem Element x X genau ein Element y Y zuordnet. Man schreibt y = f(x) (lies: f von x ). Für die gesamte Abbildung schreibt man 3 Für das Prinzip der vollständigen Induktion siehe den Punkt im folgenden Unterkapitel 1.2.

6 8 Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau f : X Y (lies: f von X nach Y oder... in Y ). Für ein Element x X benutzt man die Notation x f(x) (lies: x wird abgebildet auf f(x) ). f(x) heißt das Bild von x unter f. X heißt Definitionsbereich. Y heißt Zielbereich oder die Zielmenge. Die Elemente von X heißen auch die Argumente der Abbildung Wichtig: Zwei Abbildungen sind nur dann gleich, wenn die Vorschriften und auch die Definitions- und Zielbereiche übereinstimmen. Die Abbildungen unter (1) des folgenden Beispiels sind alle verschieden, auch wenn die Vorschrift immer die gleiche, nämlich das Quadrieren einer Zahl ist. Beispiele (Abbildungen) (1a) X = N, Y = N, f(x) = x 2 (1b) X = Z, Y = N 0, f(x) = x 2 (1c) X = Z, Y = Z, f(x) = x 2 (2) X = Y = R, f(x) = e x, cos x, sin x reelle Funktionen, wie man sie in der Analysis studiert, sind ebenfalls Abbildungen. (3) X = P({1, 2,..., n}), Y = N 0, f(x) = x die Mächtigkeit von x. (4) X wie eben, Y = X, f(x) = x := {1, 2,..., n} x das Komplement von x. (5) X sei endlich. Dann kann die Vorschrift als eine (endliche) Tabelle aufgefasst werden. Zum Beispiel: X = {1, 2, 3, 4, 5}, Y = {u, v, w, x, y, z}, x f(x) y v w x w Abbildungen zwischen endlichen Mengen (mit wenigen Elementen) kann man auch durch ein Pfeildiagramm veranschaulichen: die Mengen X und Y werden in geeigneter Weise skizziert, und jedes Element des Definitionsbereiches wird mit seinem Bild durch einen Pfeil verbunden: 1 u z Abb. 1.2 Pfeildiagramm einer Abbildung Das Pfeildiagramm einer Abbildung kann nicht beliebig aussehen, vielmehr hat es folgende charakteristische Eigenschaft: Bei jedem Element des Definitionsbereichs X beginnt genau ein Pfeil. Ist eine Abbildung f mit Definitionsbereich X gegeben, kann man den Begriff des Bildes unter f von den Elementen von X auf Teilmengen von X ausdehnen; wir ergänzen ihn nun um den Begriff des Urbildes: v w x y

7 Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 9 Definition (Bilder und Urbilder von Teilmengen) Es sei f : X Y eine Abbildung. a) Für A X definiere f(a) := {y Y es gibt ein a A mit f(a) = y} = {f(a) a A} das Bild von A unter f. b) Für B Y definiere f 1 (B) := {x X f(x) B} das Urbild von B unter f. Zur Illustration dieser Begriffe benutzen wir die obigen Beispiele Beispiele (1a) X = N, Y = N, f(x) = x 2 f({1, 2, 3}) = {1, 4, 9} f({5, 7, 12}) = {25, 49, 144} f 1 ({25, 36, 49}) = {5, 6, 7} f 1 ({10, 11, 12,..., 20}) = {4} f 1 ({100, 101,..., 200}) = {10, 11, 12, 13, 14} (1c) X = Z, Y = Z, f(x) = x 2 f 1 ({25}) = {5, 5} f 1 ({25, 36, 49}) = {±5, ±6, ±7} (6 Elemente) f 1 ({ 1, 2, 3,...}) = (leere Menge) (5) (siehe (5)): X = {1, 2, 3, 4, 5}, Y = {u, v, w, x, y, z} f 1 ({u, v}) = {2} f 1 ({z}) = f 1 ({v, w}) = {2, 3, 5} Man mache sich auch klar, wie man Bilder und Urbilder sieht, wenn eine Abbildung durch ein Pfeildiagramm gegeben ist. Definition Eine Abbildung f : X Y heißt injektiv : für alle x, x X gilt: x x = f(x) f(x ), (Verschiedene Elemente in X haben auch verschiedene Bilder unter f.) surjektiv : für alle y Y gibt es ein x X mit f(x) = y, (Jedes Element in Y kommt als Bild unter f vor.) bijektiv : f ist injektiv und surjektiv. Bemerkung a) Die Injektivität kann man auch wie folgt formulieren: x, x X : f(x) = f(x ) = x = x. Wenn zwei Elemente das gleiche Bild haben, so sind sie gleich. b) Die Menge f(x) (also das Bild von ganz X unter f) heißt auch die Bildmenge oder einfach das Bild von f. Eine Abbildung f : X Y ist surjektiv genau dann, wenn f(x) = Y ist, d.h. ihr Bild gleich ganz Y ist.

8 10 Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau Im Pfeildiagramm bedeuten diese Eigenschaften: injektiv : es laufen keine zwei Pfeile zusammen surjektiv : bei jedem y in Y endet ein Pfeil Aus einer beliebigen Abbildung f : X Y kann man leicht eine surjektive Abbildung machen: Man ersetze nämlich Y durch die Bildmenge f(x). Definition Es sei f : X Y eine Abbildung. Der Graph von f ist definiert als Γ f := {(x, f(x) x X} X Y. Definition Es seien f : X Y und g : Y Z, dabei Y Y zwei Abbildungen, wobei der Zielbereich der ersten im Definitionsbereich der zweiten enthalten ist. Die Komposition, Verkettung oder Hintereinanderausführung g f : X Z (lies: g nach f ) ist definiert durch (g f)(x) = g(f(x)) für alle x X. Bemerkung Die Komposition ist assoziativ, d.h. wenn f : X Y, g : Y Z, h : Z W drei Abbildungen sind mit Y Y und Z Z, so ist h (g f) = (h g) f : X W. Definition und Bemerkung Es sei X irgendeine Menge. Die identische Abbildung id X : X X ist definiert durch id X (x) = x für alle x X. Wenn f : X Y eine beliebige Abbildung ist, so gilt f id X = f = id Y f. Satz und Definition (Umkehrabbildung) Es sei f : X Y eine Abbildung. a) Die folgenden beiden Eigenschaften sind äquivalent: i) f ist bijektiv. ii) Es gibt eine Abbildung g : Y X so, dass g(f(x)) = x für alle x X, d.h. g f = id X und f(g(y)) = y für alle y Y, d.h. f g = id Y. b) Falls f bijektiv ist, so gibt es nur eine Abbildung g, die ii) erfüllt. Schreibe g =: f 1. Diese Abbildung heißt die zu f inverse Abbildung, oder Umkehrabbildung von f. c) Wenn f : X Y bijektiv ist, so ist auch f 1 : Y X bijektiv, und es gilt (f 1 ) 1 = f. Beweis: zu a): Es sind zwei Implikationen zu zeigen: i) = ii) : Zu jedem y Y gibt es genau ein x X mit f(x) = y, denn f ist surjektiv und injektiv. Setze nun g(y) := x. Dann gilt nach Konstruktion g(f(x)) = x für alle x X,

9 Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 11 wie unter ii) als erstes behauptet. Wir zeigen nun die zweite Behauptung unter ii). Sei y Y beliebig. Weil f surjektiv ist, existiert ein x X mit f(x) = y. Es folgt f(g(y)) = f(g(f(x))) = f(x) = y, wie gewünscht. ii) = i) : 1) f ist injektiv: Es seien x, x X mit f(x) = f(x ). Dann ist x = g(f(x)) = g(f(x )) = x, wie gewünscht. 2) f ist surjektiv: Sei y Y gegeben. Setze x := g(y). Dann ist wie gewünscht. f(x) = f(g(y)) = (f g)(y) = y, zu b): (Eindeutigkeit von g): Angenommen, h : Y X hat die gleichen Eigenschaften wie g. Dann gilt h = h id Y = h (f g) = (h f) g = id X g = g. zu c): Dieses folgt sofort aus der in a) gegebenen Kennzeichnung bijektiver Abbildungen. Wir kehren noch einmal zum Begriff der Mächtigkeit einer Menge zurück, den wir jetzt mit Hilfe des Abbildungsbegriffs vertiefen können. Definition a) Eine Menge M heißt gleichmächtig zu einer Menge N, falls eine bijektive Abbildung f : M N existiert. b) Eine Menge heißt abzählbar, falls sie gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen ist. Bemerkung: Wenn M gleichmächtig zu N ist, so können wir statt der Abbildung f : M N aus der Definition auch die (ebenfalls bijektive) Umkehrabbildung f 1 : N M betrachten. Es folgt, dass N gleichmächtig zu M ist. Etwas lässiger können wir also auch sagen Die Mengen M und N sind gleichmächtig, wobei es dann auf die Reihenfolge, in der M und N genannt werden, nicht ankommt. (Später werden wir sagen: Die Relation gleichmächtig ist symmetrisch.) Wir überlegen uns, dass die Definition der Beziehung gleichmächtig für endliche Mengen zur ursprünglichen Definition der Mächtigkeit passt: Eine Menge M hat n Elemente, wenn ihre Elemente in der Form x 1, x 2,..., x n aufgezählt werden können (wobei natürlich alle x i voneinander verschieden sind). Eine solche Aufzählung (oder Abzählung) ist aber nichts anderes als eine bijektive Abbildung {1, 2,..., n} M, i x i. D.h. jede n-elementige Menge M ist gleichmächtig zur Menge {1, 2,..., n}, die also die Rolle einer Art Standardmenge der Mächtigkeit n hat. Wir halten diese Überlegung in etwas vervollständigter und zitierbarer Form fest: Bemerkung Es sei n N. Eine Menge M hat die Mächtigkeit n genau dann, wenn sie gleichmächtig zur Menge {1, 2,..., n} ist. Wer mag, kann dieses auch als Definition einer Menge der Mächtigkeit n ansehen, womit dann die endlichen und abzählbaren Mengen einheitlich behandelt werden. Um allerdings jeder endlichen Menge eine eindeutige

10 12 Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau Mächtikeit zuordnen zu können, muss man wissen, dass für m n die Mengen {1, 2,..., m} und {1, 2,..., n} nicht gleichmächtig sind, dass also keine bijektive Abbildung zwischen ihnen exstiert. Hier sind wir dann doch wieder auf unser intuitives Verständnis endlicher Mengen angewiesen, das bereits der obigen Definition zugrundegelegt wurde. Zum Schluss dieses Abschnitts kommen wir noch einmal auf die Begriffe injektiv und surjektiv zurück: Satz Es seien f : X Y und g : Y Z zwei injektive (surjektive, bijektive) Abbildungen. Dann ist auch die Verkettung g f injektiv (bzw. surjektiv, bijektiv). Den Beweis überlassen wir als Übungsaufgabe; wir haben oben beim Beweis von Satz vorgeführt, wie solch ein im Prinzip einfacher, jedoch abstrakter Beweis aussieht. Folgender Hinweis ist noch nützlich: Wenn man den Satz für injektive und surjektive Abbildungen bewiesen hat, so ist für bijektive Abbildungen kein Beweis mehr nötig (denn definitionsgemäß sind bijektive Abbildungen diejenigen, die gleichzeitig injektiv und surjektiv sind). Einen von den anderen Fällen unabhängigen direkten Beweis im bijektiven Fall kann man in wenigen Zeilen geben, wenn man die Kennzeichnung bijektiver Abbildungen aus Satz , Teil a) benutzt: Man prüft nämlich nach, dass die Abbildung f 1 g 1 die Eigenschaften der Inversen zu g f erfüllt. Dieser Beweis erspart das Rechnen mit Elementen der beteiligten Mengen, man rechnet mit den Abbildungen selbst und benutzt nur das Assoziativgesetz sowie die Eigenschaft der identischen Abbildung aus Bemerkung

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