HM I Tutorium 1. Lucas Kunz. 27. Oktober 2016

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "HM I Tutorium 1. Lucas Kunz. 27. Oktober 2016"

Transkript

1 HM I Tutorium 1 Lucas Kunz 27. Oktober 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie Logische Verknüpfungen Quantoren Mengen und ihre Eigenschaften Funktionen und ihre Begrifflichkeiten Verkettung und Umkehrfunktion Theorie über das Tutorium hinaus De Morgan sche Regeln Potenzmengen und kartesisches Produkt Aufgaben Aufgabe 2 b)

2 1 Theorie 1.1 Logische Verknüpfungen Die Grundlage aller mathematischen Logik besteht in Aussagen. Eine solche Aussage kann entweder wahr (w) oder falsch (f) sein. Auf Basis dessen lassen sich logische Verknüpfungen definieren, welche Aussagen in Relation zueinander stellen. Seien hierzu A und B Aussagen, dann definiert man: Das logische UND: Diese Verknüpfung ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen A und B wahr sind. A B w f f f Tabelle 1: Logisches UND Das logische ODER: Diese Verknüpfung ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A und B wahr ist. A B w w w f Tabelle 2: Logisches ODER Als weitere Möglichkeit der ODER-Verknüpfung existiert das sogenannte exklusive ODER, welches nur dann wahr ist, wenn genau eine der Aussagen A und B zutrifft. Der Unterschied besteht also darin, dass die Relation falsch ist, wenn beide Aussagen wahr sind. Negation: Die Negation kehrt den Wert einer Aussage in ihr Gegenteil um. A w f A f w Tabelle 3: Negation Implikation: Die Logiktafel der Implikation ist relativ kurz in Worte zu fassen. Grundsätzlich kann eine wahre Aussage keine falsche implizieren, alle anderen Kombinationen hingegen sind möglich. A B w f w w Tabelle 4: Implikation 2

3 Äquivalenz: Diese Aussage ist wahr, wenn beide Aussagen A und B den selben Wahrheitsgehalt haben. A B w f f w Tabelle 5: Äquivalenz Für die Kombination der eben eingeführten Relationen existieren natürlich einige Regeln. Die wichtigste davon ist, dass die Negation immer stärker Bindet (also früher ausgeführt wird) als alle anderen Operatoren. Insbesondere vertauschen außerdem bei Negation die Operatoren UND und ODER. Dadurch kommen die folgenden Eigenschaften zustande: 1. ( A) A 2. (A B) ( A) ( B) 3. (A B) ( A) ( B) 4. (A B) [(A B) (B A)] 5. (A B) ( B A) ( A B) Diese Regeln gelten nicht nur für Aussagen, sondern auch für sogenannte Aussageformen. Dies sind Sätze, die durch konkrete Belegung mit einer Variablen zu einer Aussage werden. Beispiel: x ist eine Primzahl. 1.2 Quantoren Da einige Formulierungen in der Mathematik sehr häufig auftreten, hat man dafür Kurzschreibweisen in Form von Symbolen entwickelt. Diese bezeichnet man als Quantoren, welche es in zwei Varianten gibt: Der Allquantor: x : A(x) bedeutet, dass die Aussageform A für alle x wahr ist. Der Existenzquantor: x : A(x) bedeutet, dass es mindestens ein solches x gibt, mit welchem die Aussageform A wahr ist. Es ist bei der Anwendung von Quantoren auf die Reihenfolge zu achten, insbesondere in Relation mit Aussageformen, die von mehreren Variablen abhängen: y x : A(x, y) bedeutet, dass man zu jedem y ein x finden kann, sodass A wahr ist. Dieses x kann aber zu jedem neuen y immer ein anderes sein. x y : A(x, y) bedeutet hingegen, dass es ein universelles x gibt, für das die Aussage mit allen beliebigen y wahr ist. Dieser feine Unterschied, ob x jeweils verschieden oder immer das selbe ist, macht auch für einige mathematische Definitionen etwas aus. So basiert darauf z. B. der Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz (der in der Vorlesung vermutlich im November eingeführt wird). 3

4 1.3 Mengen und ihre Eigenschaften Laut Cantor ist eine Menge definiert als eine Zusammenfassung wohl unterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Über eine einfache Menge hinaus existieren einige Verknüpfungen zwischen mehreren Mengen, welche im Folgenden als M und N bezeichnet werden: M ist Teilmenge von N: M N x M : x N. M und N sind identisch: M = N (M N N M). M ist ein echter Teil von N: M N M N M N. Manchmal schreibt man auch nur M N und betont die Ungleichheit nicht speziell. Schnitt zweier Mengen: M N := {x : x M x N}. Vereinigung zweier Mengen: M N := {x : x M x N}. Differenz zweier Mengen: M \ N := {x : x M x / N}. Alternativ kann man auch schrieben M ( N), wobei N := {x : x / N}. Die leere Menge oder auch {} enthält keine Elemente. Sei n N, n 2 und M 1, M 2,..., M n seien Mengen, dann heißt M 1 M 2... M n := {(x 1, x 2,..., x n ) : x j M j j {1, 2,..., n}} (1.1) das kartesische Produkt der Mengen M 1 bis M n. Die entstehenden Elemente sind sogenannte n-tupel, mit welchen z. B. ein Koordinatensystem konstruiert werden kann. 1.4 Funktionen und ihre Begrifflichkeiten Es seien im Folgenden stets X, Y, Z und W nichtleere Mengen. Dann nennt man f eine Funktion (oder Abbildung), wenn f : X Y jedem x X genau ein y Y zuordnet. Man schreibt dann auch y = f(x). Die Menge X heißt Definitionsbereich der Funktion f, die Menge Y heißt Wertebereich. Die Menge {(x, f(x)) : x X} bezeichnet man als Graph von f. Für eine Teilmenge A X nennt man f(a) := {f(x) : x A} das Bild von A unter der Funktion f. Das Bild der Gesamten Definitionsmenge f(x) bezeichnet man als Bildmenge von f. Ist B Y, dann heißt f 1 (B) := {x X : f(x) B} das Urbild von B unter der Funktion f. Es ist hierbei darauf zu achten, dass zwar die Schreibweise identisch zur im Folgenden definierten Umkehrfunktion ist, ein Urbild allerdings auch unabhängig von dieser existiert. Nur im Spezialfall, dass f umkehrbar ist, entspricht das Urbild von B unter f dem Bild von B unter der Umkehrfunktion f 1. Zusätzlich zu den eben genannten Begriffen zur Beschreibung der an einer Funktionsdefinition beteiligten Mengen existieren drei wichtige Bezeichnungen, welche sich an den speziellen Eigenschaften einer Funktion orientieren. Eine Funktion f ist surjektiv, falls f(x) = Y ist, also wenn sie auf den ganzen Wertebereich abbildet.... injektiv, wenn aus f(x 1 ) = f(x 2 ) mit x 1, x 2 X immer folgt, dass x 1 = x 2, also wenn sie nie den gleichen Wert zweimal annimmt.... bijektiv, falls die surjektiv und injektiv ist. 4

5 1.5 Verkettung und Umkehrfunktion Seien f und g Funktionen, f : x Y, g : Y Z, dann ist die Komposition der beiden Funktionen auch eine Funktion: g f : X Z mit (g f)(x) := (g(f(x)). Existiert weiterhin h : Z W, dann ist h (g f) : X W eine Funktion. Man kann also beliebig viele Funktionen miteinander verketten. Weiterhin ist die Verkettung assoziativ, also gilt h (g f) = (h g) f. (1.2) Ist f bijektiv, dann existiert eine sogenannte Umkehrfunktion mit der Eigenschaft (f f 1 )(x) = (f 1 f)(x) = x. (1.3) Dadurch gilt also mit f(x) = y, dass f 1 (y) = x. Weiterhin ist auch (f 1 ) 1 (x) = x. Die Umkehrfunktion macht also sozusagen die Wirkung von f rückgängig und doppelte Inversion liefert die ursprüngliche Funktion zurück. Weiterhin haben Umkehrfunktionen eine spezielle Eigenschaft bezüglich Verkettungen: (g f) 1 = f 1 g 1. (1.4) Dies nennt man die Hemd-Jacke-Regel. Der Begriff kommt daher, dass man beim aus dem Haus gehen (üblicherweise) zuerst ein Hemd und dann eine Jacke anzieht, beim zurückkommen aber zuerst die Jacke und dann das Hemd ablegt. Eine ähnliche Inversion der Reihenfolge tritt auch beim Umkehren von Verkettungen auf. 2 Theorie über das Tutorium hinaus 2.1 De Morgan sche Regeln Seien Q, M und N Mengen, dann gelten zwei Gleichungen, welche als die De Morgan schen Regeln bezeichnet werden: Q \ (M N) = (Q \ M) (Q \ N) (2.1) Q \ (M N) = (Q \ M) (Q \ N) (2.2) Diese folgen grundsätzlich aus der Tatsache, dass sich logischen UND und ODER bei Negation vertauschen. In der Sprache der Mengenrelationen steckt die Negation in der Differenz \, das UND entspricht dem und das ODER dem. Letztere beiden Zeichen sind auch in der graphischen Darstellung jeweils nur die abgerundete Version ihrer logischen Verwandten, wodurch das Analogon offensichtlich wird. 2.2 Potenzmengen und kartesisches Produkt Sei M eine Menge, dann ist Pot(M) := {N : N M} die sogenannte Potenzmenge von M. Diese entspricht der Menge aller Teilmengen von M. Hierbei sind sowohl die leere Menge als auch M selbst immer Teil von Pot(M). Beispiel: Sei M := {1, 2}, dann ist Pot(M) = {, {1}, {2}, {1, 2}}. Man muss also in Potenzmengen immer die Mengenklammern beachten, denn die Elemente von Pot(M) sind selbst Mengen und keine Zahlen. 5

6 3 Aufgaben Die Musterlösungen der Tutoriumsaufgaben 2, 4 und 6 finden sich nach Ablauf der zugehörigen Semesterwoche auf der Internetseite der Vorlesung unter kit.edu/iana1/lehre/hm1phys2016w/. Da aber häufig mehrere Wege zum Ziel führen soll nun ein alternativer Weg zur Lösung der Aufgabe 2 b) vorgestellt werden. 3.1 Aufgabe 2 b) Sicherlich lässt sich die Richtigkeit der gegebenen Aussage auch mit Hilfe der am Ende von Kapitel 1.1 erwähnten Regeln lösen, wie es in der online verfügbaren Musterlösung getan wird. Deutlich intuitiver und aufgrund einer wesentlich geringeren Zahl an logischen Symbolen (wie oder ) auch einfacher ist dies aber mit einer Logiktabelle machbar: A w w w w f f f f w f w f C w w f f w w f f A w w w w B C w w f w w w f w A C w w f f w w w w (A B) (B C) w f f f w w f w ((A B) (B C)) (A C) w w w w w w w w Tabelle 6: Logiktabelle zu Aufgabe 2 b) Das vorgehen in dieser Tabelle ist einfach: Man betrachtet sämtliche Fälle, die A, B und C annehmen können, dies sind 2 3 = 8 Stück. Indem man für jeden der Fälle die gewünschte Verknüpfung ((A B) (B C)) (A C) bildet sieht man in der letzten Zeile sehr gut, dass die daraus resultierende Aussage wie gefordert immer wahr ist. 6

Vorlesung 3: Logik und Mengenlehre

Vorlesung 3: Logik und Mengenlehre 28102013 Erinnerung: Zeilen-Stufen-Form (ZSF) eines LGS 0 0 1 c 1 0 0 0 1 0 0 1 c r 0 0 0 c r+1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c m Erinnerung: Information der Zeilen-Stufen-Form Aus der ZSF liest man ab: Folgerung

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 15. Oktober 2015 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage veröffentlicht

Mehr

Mathematik für Ökonomen 1

Mathematik für Ökonomen 1 Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Herbstemester 2008 Mengen, Funktionen und Logik Inhalt: 1. Mengen 2. Funktionen 3. Logik Teil 1 Mengen

Mehr

Technische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. 21. März 2011.

Technische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. 21. März 2011. Technische Universität München Ferienkurs Lineare Algebra 1 Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen 21. März 2011 Tanja Geib Inhaltsverzeichnis 1 Aussagen 1 2 Mengenlehre 3 2.1 Grundlegende Definitionen

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 19. Oktober 2017 1/27 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage

Mehr

Mengen, Funktionen und Logik

Mengen, Funktionen und Logik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Mengen, Funktionen und Logik Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen Mengen

Kapitel 1. Grundlagen Mengen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Brückenkurs Mathematik 2015

Brückenkurs Mathematik 2015 Technische Universität Dresden Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch Brückenkurs Mathematik 2015 1. Vorlesung Logik, Mengen und Funktionen Ich behaupte aber, dass

Mehr

0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper

0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper 0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper In diesem Paragrafen behandeln wir einige für die Lineare Algebra und für die Analysis wichtige Grundbegriffe. Wir beginnen mit dem Begriff der Menge. Auf Cantor

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) (also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1.

definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) (also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1. 22 Kapitel 1 Aussagen und Mengen 1.1 Aussagen Wir definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr w) oder falsch f) also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1. 2 ist eine

Mehr

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund Lineare Algebra 1 Detlev W. Hoffmann WS 2013/14, TU Dortmund 1 Mengen und Zahlen 1.1 Mengen und Abbildungen Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung/unseres Denkens/unserer

Mehr

2 Mengen und Abbildungen

2 Mengen und Abbildungen 2.1 Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heiÿen Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreiben wir x M. Wir sagen auch:

Mehr

Vorkurs Mathematik B

Vorkurs Mathematik B Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 8. September 2011 Für die Mathematik zentral sind Abbildungen und Funktionen. Häufig wird zwischen beiden Begriffen nicht unterschieden.

Mehr

Tutorium: Diskrete Mathematik

Tutorium: Diskrete Mathematik Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Bonusklausur am 01.12.2017 (Teil 1) 22. November 2017 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Analyis I - Grundlagen

Analyis I - Grundlagen Elementare Aussagenlogik October 23, 2008 Elementare Aussagenlogik Definition Eine Aussage im Sinne der Aussagenlogik ist eine sprachliche Aussage, bei der klar entschieden werden kann, ob sie wahr oder

Mehr

Lösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { }

Lösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { } Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird

Mehr

1. Grundlagen. Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen

1. Grundlagen. Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen 1. Grundlagen Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen Peter Buchholz 2016 MafI 2 Grundlagen 7 1.1 Was ist Analysis? Analysis ist

Mehr

1. Grundlagen. 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen

1. Grundlagen. 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen . Grundlagen Gliederung. Was ist Analysis?.2 Aussagen und Mengen.3 Natürliche Zahlen.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen. Was ist Analysis? Analysis ist neben der linearen Algebra ein Grundpfeiler der Mathematik!

Mehr

Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7

Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7 Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz März 2011 Inhalt 1 Mengen 1 1.1 Mengenoperationen.............................. 2 1.2 Rechenregeln.................................. 3 2 Übungsbeispiele zum

Mehr

Abbildungen. Kapitel Definition: (Abbildung) 5.2 Beispiel: 5.3 Wichtige Begriffe

Abbildungen. Kapitel Definition: (Abbildung) 5.2 Beispiel: 5.3 Wichtige Begriffe Kapitel 5 Abbildungen 5.1 Definition: (Abbildung) Eine Abbildung zwischen zwei Mengen M und N ist eine Vorschrift f : M N, die jedem Element x M ein Element f(x) N zuordnet. Schreibweise: x f(x) 5. Beispiel:

Mehr

2 Mengen, Relationen, Funktionen

2 Mengen, Relationen, Funktionen Grundlagen der Mathematik für Informatiker Grundlagen der Mathematik für Informatiker Mengen, Relationen, Funktionen. Mengen Definition. [Georg Cantor 895] Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter,

Mehr

Bemerkungen zur Notation

Bemerkungen zur Notation Bemerkungen zur Notation Wir haben gerade die Symbole für alle und es gibt gebraucht. Dies sind so genannte logische Quantoren, und zwar der All- und der Existenzquantor. Die Formel {a A; ( b B)[(a, b)

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 3 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P4) Wir betrachten die Menge M := P({1, 2, 3, 4}). Dann gilt 1 / M,

Mehr

4. Mathematische und notationelle Grundlagen. Beispiel Mengen. Bezeichnungen:

4. Mathematische und notationelle Grundlagen. Beispiel Mengen. Bezeichnungen: 4. Mathematische und notationelle Grundlagen 4.1 Mengen Beispiel 3 A 1 = {2, 4, 6, 8}; A 2 = {0, 2, 4, 6,...} = {n N 0 ; n gerade} Bezeichnungen: x A A x x A B A B A { } x Element A x nicht Element A B

Mehr

Vorkurs Mathematik. Prof. Udo Hebisch WS 2017/18

Vorkurs Mathematik. Prof. Udo Hebisch WS 2017/18 Vorkurs Mathematik Prof. Udo Hebisch WS 2017/18 1 1 Logik 2 1 Logik Unter einer Aussage versteht man in der Mathematik einen in einer natürlichen oder formalen Sprache formulierten Satz, für den eindeutig

Mehr

3. Für beliebiges A bezeichnet man die Menge A A manchmal auch mit A 2 (in Worten:

3. Für beliebiges A bezeichnet man die Menge A A manchmal auch mit A 2 (in Worten: 35 4 Paarungen 4. Produktmengen Die Mengen {x, y} und {y, x} sind gleich, weil sie die gleichen Elemente enthalten. Manchmal legt man aber zusätzlich Wert auf die Reihenfolge der Elemente. Die Objekte

Mehr

1.1 Mengen und Abbildungen

1.1 Mengen und Abbildungen Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 3 1.1 Mengen und Abbildungen In diesem Abschnitt stellen wir die grundlegende mathematische Sprache und Notation zusammen, die für jede Art von heutiger Mathematik

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Jens Struckmeier Fachbereich Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2010/11 Jens Struckmeier (Mathematik,

Mehr

Kapitel 1 Grundbegriffe der Mengenlehre und der Logik

Kapitel 1 Grundbegriffe der Mengenlehre und der Logik Wolter/Dahn: Analysis Individuell 3 Kapitel 1 Grundbegriffe der Mengenlehre und der Logik In diesem Abschnitt werden einige Grundbegriffe der Mengenlehre und grundlegende 1/0/0 Prinzipien der mathematischen

Mehr

Vorkurs Mathematik Einführung in das mathematische Denken. Übungsaufgaben

Vorkurs Mathematik Einführung in das mathematische Denken. Übungsaufgaben Justus-Liebig-Universität Gießen Fachbereich 07 Mathematisches Institut Vorkurs Mathematik Einführung in das mathematische Denken Übungsaufgaben PD Dr. Elena Berdysheva Aufgabe 1. Schreiben Sie folgende

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 3: Alphabete, Abbildungen, Aussagenlogik Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2010/2011 1/32 Überblick Alphabete

Mehr

2 Mengen, Abbildungen und Relationen

2 Mengen, Abbildungen und Relationen Vorlesung WS 08 09 Analysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff 2 Mengen, Abbildungen und Relationen Definition 2.1 (Mengen von Cantor, 1845 1918) Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohl

Mehr

Aussagenlogik. 1 Einführung. Inhaltsverzeichnis. Zusammenfassung

Aussagenlogik. 1 Einführung. Inhaltsverzeichnis. Zusammenfassung Tobias Krähling email: Homepage: 13.10.2012 Version 1.2 Zusammenfassung Die Aussagenlogik ist sicherlich ein grundlegendes mathematisches Gerüst für weitere

Mehr

Logik, Mengen und Abbildungen

Logik, Mengen und Abbildungen Kapitel 1 Logik, Mengen und bbildungen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 1 Logik, Mengen und bbildungen 1 / 26 ussage Um Mathematik betreiben zu können, sind ein paar Grundkenntnisse der mathematischen

Mehr

Einführung in die Informatik 2

Einführung in die Informatik 2 Einführung in die Informatik 2 Mathematische Grundbegriffe Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr,

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion Mengen und Abbildungen

Mehr

Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen.

Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Kapitel 1 - Mathematische Grundlagen Seite 1 1 - Mengen Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Definition 1.1 (G. Cantor.

Mehr

MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/ OKTOBER 2016

MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/ OKTOBER 2016 MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/17 MARK HAMILTON LMU MÜNCHEN 1.1. Grundbegriffe zu Mengen. 1. 17. OKTOBER 2016 Definition 1.1 (Mengen und Elemente). Eine Menge ist die Zusammenfassung

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen 1 Mengen und bbildungen sind Hilfsmittel ( Sprache ) zur Formulierung von Sachverhalten; naive Vorstellung gemäß Georg Cantor (1845-1918) (Begründer der Mengenlehre). Definition 1.1 Eine Menge M ist eine

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik Lösungsvorschläge zum 1. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik Lösungsvorschläge zum 1. Übungsblatt Karlsruhe Institut für Technologie (KIT) Institut für Analysis Prof. Dr. W. Reichel Dr. S.Wugalter WS 2017/18 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik Lösungsvorschläge

Mehr

1.1 Mengen und Abbildungen

1.1 Mengen und Abbildungen Lineare Algebra 2005-2013 c Rudolf Scharlau 3 1.1 Mengen und Abbildungen In diesem Abschnitt stellen wir die grundlegende mathematische Sprache und Notation zusammen, die für jede Art von heutiger Mathematik

Mehr

Blatt 0: Mathematik I für Ingenieure (B) Abbildungen und Kompositionen. apl. Prof. Dr. Matthias Kunik/ Dr. Uwe Risch

Blatt 0: Mathematik I für Ingenieure (B) Abbildungen und Kompositionen. apl. Prof. Dr. Matthias Kunik/ Dr. Uwe Risch Blatt 0: Mathematik I für Ingenieure (B) apl. Prof. Dr. Matthias Kunik/ Dr. Uwe Risch 10.10.016 Abbildungen und Kompositionen Allgemeine Erklärungen: Siehe Seite 1 zu Anmerkungen zu Mengen und Abbildungen!

Mehr

17 Lineare Abbildungen

17 Lineare Abbildungen Chr.Nelius: Lineare Algebra II (SS2005) 1 17 Lineare Abbildungen Wir beginnen mit der Klärung des Abbildungsbegriffes. (17.1) DEF: M und N seien nichtleere Mengen. Eine Abbildung f von M nach N (in Zeichen:

Mehr

Lineare Algebra. Jung Kyu Canci. Mit der Hilfe von: Stefano Iula, Olivia Ebneter, Katharina Laubscher, Viviane Wehrle

Lineare Algebra. Jung Kyu Canci. Mit der Hilfe von: Stefano Iula, Olivia Ebneter, Katharina Laubscher, Viviane Wehrle Lineare Algebra Jung Kyu Canci Mit der Hilfe von: Stefano Iula, Olivia Ebneter, Katharina Laubscher, Viviane Wehrle Herbstsemester 2015 2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in die Lineare Algebra 5 1.1 Elementare

Mehr

Vorlesung 2. Tilman Bauer. 6. September 2007

Vorlesung 2. Tilman Bauer. 6. September 2007 Vorlesung 2 Universität Münster 6. September 2007 Organisatorisches Meine Koordinaten: Sprechstunden: Di 13:30-14:30 Do 9:00-10:00 tbauer@uni-muenster.de Zimmer 504, Einsteinstr. 62 (Hochhaus) für alle

Mehr

Mengenlehre. Jörg Witte

Mengenlehre. Jörg Witte Mengenlehre Jörg Witte 25.10.2007 1 Grbegriffe Die Menegenlehre ist heute für die Mathematik grlegend. Sie spielt aber auch in der Informatik eine entscheidende Rolle. Insbesondere fußt die Theorie der

Mehr

Rückblick. Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen. 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen

Rückblick. Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen. 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen Rückblick Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits 66 Rückblick Gleitkommazahlen (IEEE Floating Point Standard 754) lassen das Komma bei der Darstellung

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 1. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 1. Übungsblatt UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl WS 2008/09 Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge

Mehr

Mengen. (Nicht-) Elemente einer Menge { 3, 4 } { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 3 { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } }

Mengen. (Nicht-) Elemente einer Menge { 3, 4 } { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 3 { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } Mengen Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung aller Elemente: { 1,

Mehr

B Grundbegriffe zu Mengen und Abbildungen

B Grundbegriffe zu Mengen und Abbildungen B Grundbegriffe zu Mengen und Abbildungen Die Sprache der Mengen und Abbildungen hat sich als Basissprache in der modernen Mathematik durchgesetzt. Da sie sehr praktisch ist, wird sie auch in diesem Buch

Mehr

Formale Sprachen und Automaten

Formale Sprachen und Automaten Mengen Eine Menge ist eine Gruppe von Elementen, die eine Einheit bilden (siehe z.b. Halmos 1976). Formale Sprachen und Automaten Mathematisches Rüstzeug Mengen können verschiedene Typen von Elementen

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume

Mehr

Grundlegendes der Mathematik

Grundlegendes der Mathematik Kapitel 2 Grundlegendes der Mathematik (Prof. Udo Hebisch) 2.1 Logik Unter einer Aussage versteht man in der Mathematik einen in einer natürlichen oder formalen Sprache formulierten Satz, für den eindeutig

Mehr

Unter einer Abbildung f von einer Menge A in eine Menge B versteht man eine Vorschrift, die jedem a A eindeutig ein bestimmtes b = f (a) B zuordnet:

Unter einer Abbildung f von einer Menge A in eine Menge B versteht man eine Vorschrift, die jedem a A eindeutig ein bestimmtes b = f (a) B zuordnet: Abbildung Unter einer Abbildung f von einer Menge A in eine Menge B versteht man eine Vorschrift, die jedem a A eindeutig ein bestimmtes b = f (a) B zuordnet: f : A B. Für die Elementzuordnung verwendet

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Grundlagen der Mathematik Lösungsskizzen 2 Präsenzaufgaben (P2) Wir betrachten drei Teilmengen der natürlichen Zahlen: - A = {n

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 2.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 2.1 .1 Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen & Gleichungssysteme Quadratische und Gleichungen

Mehr

Für unseren Gebrauch ist eine Menge bestimmt durch die in ihr enthaltenen Elemente. Ist M eine Menge, so ist ein beliebiges Objekt m wieder so ein

Für unseren Gebrauch ist eine Menge bestimmt durch die in ihr enthaltenen Elemente. Ist M eine Menge, so ist ein beliebiges Objekt m wieder so ein Mengen 1.2 9 1.2 Mengen 7 Der Begriff der Menge wurde am Ende des 19. Jahrhunderts von Georg Cantor wie folgt eingeführt. Definition (Cantor 1895) Eine Menge ist eine Zusammenfassung M von bestimmten,

Mehr

Grundbegriffe und Beweismethoden der Mathematik (Vorkurs)

Grundbegriffe und Beweismethoden der Mathematik (Vorkurs) Grundbegriffe und Beweismethoden der Mathematik (Vorkurs) Dr. Florian Möller 16.09.2014 Inhaltsverzeichnis 0 Grundlagen 2 0.1 Natürliche und ganze Zahlen............................ 2 0.2 Ungleichungen

Mehr

Kleine lateinische Buchstaben wie z. B. p, q, r, s t, usw.

Kleine lateinische Buchstaben wie z. B. p, q, r, s t, usw. 1.1 Aussagenlogik Grundlagen der Mathematik 1 1.1 Aussagenlogik Definition: Aussage Eine Aussage im Sinne der Logik ist ein formulierter Tatbestand, der sich bei objektiver Prüfung immer eindeutig als

Mehr

2 Mengenlehre. 2.1 Grundlagen Definition

2 Mengenlehre. 2.1 Grundlagen Definition 2 Mengenlehre 2.1 Grundlagen Einer der wichtigsten Grundbegriffe in der Mathematik ist der Mengenbegriff. Die zugehörige Theorie - die Mengenlehre - bildet die Grundlage für die gesamte Mathematik. Nur

Mehr

Mengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit

Mengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit Mengen! Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor)! Notation 1. Aufzählung aller Elemente: {

Mehr

Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen

Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen 09.10.2014 Herzlich Willkommen zum 2. Teil des Vorschaukurses für Mathematik! Organisatorisches Der Vorkurs besteht aus sechs Blöcken

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 3: Alphabete (und Relationen, Funktionen, Aussagenlogik) Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Oktober 2008 1/18 Überblick Alphabete ASCII Unicode

Mehr

Mengenlehre gibt es seit den achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts. Sie wurde von

Mengenlehre gibt es seit den achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts. Sie wurde von Grundbegriffe der Mengenlehre 2 Mengenlehre gibt es seit den achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts. Sie wurde von Georg Cantor begründet. Der Begriffsapparat der Mengenlehre hat sich als so nützlich für

Mehr

Vorkurs Mathematik Abbildungen

Vorkurs Mathematik Abbildungen Vorkurs Mathematik Abbildungen Philip Bell 19. September 2016 Diese Arbeit beruht im Wesentlichen auf dem Vortrag Relationen, Partitionen und Abbildungen von Fabian Grünig aus den vorangehenden Jahren.

Mehr

Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen

Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen 3. Mathematische Grundlagen 3.1 3.2 Induktion und Rekursion 3.3 Boolsche Algebra Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 14/15 48 / 155 Überblick

Mehr

Technische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. Aufgaben mit Musterlösung

Technische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. Aufgaben mit Musterlösung Technische Universität München Ferienkurs Lineare Algebra 1 Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen Aufgaben mit Musterlösung 21. März 2011 Tanja Geib 1 Aufgabe 1 Geben Sie zu B = {0, 2, 4} und

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Ingenuin Gasser Department Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2008/2009 1 Kapitel 1: Aussagen, Mengen

Mehr

Skript und Übungen Teil II

Skript und Übungen Teil II Vorkurs Mathematik Herbst 2009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil II Das erste Semester wiederholt die Schulmathematik in einer neuen axiomatischen Sprache; es ähnelt damit dem nachträglichen Erlernen

Mehr

= { } Absolutes Komplement Universe Relatives Komplement von

= { } Absolutes Komplement Universe Relatives Komplement von Allgemeines ist Teiler von Mengen Mächtigkeit Anzahl Elemente in der Menge Potenzmenge Menge aller Teilmengen von { } { { } { } { }} Beziehungen bzw. ist in enthalten ist Teilmenge von ist Obermenge von

Mehr

Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 )

Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 ) Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 ) Wintersemester 2011 Dr. J. Jordan und Dr. F. Möller Institut für Mathematik Universität Würzburg Germany 1 Modulbezeichnung 10-M-VKM 1 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik

Mehr

Aufgabenblatt 1: Abgabe am vor der Vorlesung

Aufgabenblatt 1: Abgabe am vor der Vorlesung Aufgabenblatt 1: Abgabe am 17.09.09 vor der Vorlesung Aufgabe 1. a.) (1P) Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung an: 6x + y = 10. Zeichnen Sie die Lösungsmenge in ein Koordinatensystem. b.)

Mehr

ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 2: Elementare Logik und Beweise

ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 2: Elementare Logik und Beweise ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 2: Elementare Logik und Beweise MAA.01011UB MAA.01011PH Vorlesung mit Übung im WS 2016/17 Christoph GRUBER Günter LETTL Institut für Mathematik und wissenschaftliches

Mehr

2 ZAHLEN UND VARIABLE

2 ZAHLEN UND VARIABLE Zahlen und Variable 2 ZAHLEN UND VARIABLE 2.1 Grundlagen der Mengenlehre Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte bezeichnet man als

Mehr

1 Loesungen zu Analysis 1/ 1.Uebung

1 Loesungen zu Analysis 1/ 1.Uebung Loesungen ausgewaehlter Beispiele zu Analysis I, G. Bergauer, Seite 1 1 Loesungen zu Analysis 1/ 1.Uebung 1.1 Einleitung Gegeben Mengen X, A mit A X. Sei die Menge durch A = {a X : a erfuellt B} gegeben,

Mehr

Lösungen zu Kapitel 2

Lösungen zu Kapitel 2 Lösungen zu Kapitel 2 Lösung zu Aufgabe 1: Wir zeigen die Behauptung durch vollständige Induktion über n. Die einzige Menge mit n = 0 Elementen ist die leere Menge. Sie besitzt nur sich selbst als Teilmenge,

Mehr

FU Berlin: WiSe (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5. Aufgabe 18. Aufgabe 20. (siehe Musterlösung Zettel 4)

FU Berlin: WiSe (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5. Aufgabe 18. Aufgabe 20. (siehe Musterlösung Zettel 4) FU Berlin: WiSe 13-14 (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5 Aufgabe 18 (siehe Musterlösung Zettel 4) Aufgabe 20 In der Menge R der reellen Zahlen sei die Relation 2 R 2 definiert durch: x 2 y :

Mehr

1 Mengen. 1.1 Elementare Definitionen. Einige mathematische Konzepte

1 Mengen. 1.1 Elementare Definitionen. Einige mathematische Konzepte Einige mathematische Konzepte 1 Mengen 1.1 Elementare Definitionen Mengendefinition Die elementarsten mathematischen Objekte sind Mengen. Für unsere Zwecke ausreichend ist die ursprüngliche Mengendefinition

Mehr

KAPITEL 0. Zur Vorbereitung

KAPITEL 0. Zur Vorbereitung KAPITEL 0 Zur Vorbereitung 1. Grundbegriffe aus der Mengenlehre Es soll hier kurz auf die aus der Schule teilweise bekannte elementare Mengenlehre eingegangen werden, da wir deren Schreib und Sprechweise

Mehr

Aufgabensammlung zu Einführung in das mathematische Arbeiten Lineare Algebra und Geometrie WS 2009

Aufgabensammlung zu Einführung in das mathematische Arbeiten Lineare Algebra und Geometrie WS 2009 Aufgabensammlung zu Einführung in das mathematische Arbeiten Lineare Algebra und Geometrie WS 2009 Schulstoffbeispiele 1. Lineare Gleichungssysteme. Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme.

Mehr

Einführung in die mathematische Logik

Einführung in die mathematische Logik Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Einführung in die mathematische Logik Vorlesung 7 Sprachen erster Sufe Die in der letzten Vorlesung erwähnten Konstruktionsmöglichkeiten für Aussagen sind im Wesentlichen

Mehr

Grundbegriffe und Beweismethoden der Mathematik (Vorkurs) Wintersemester 2016/2017

Grundbegriffe und Beweismethoden der Mathematik (Vorkurs) Wintersemester 2016/2017 Grundbegriffe und Beweismethoden der Mathematik (Vorkurs) Wintersemester 2016/2017 Dr. Florian Möller 5. September 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 1.1 Natürliche und ganze Zahlen.................................

Mehr

Mathematische Grundlagen I Logik und Algebra

Mathematische Grundlagen I Logik und Algebra Logik und Algebra Dr. Tim Haga 21. Oktober 2016 1 Aussagenlogik Erste Begriffe Logische Operatoren Disjunktive und Konjunktive Normalformen Logisches Schließen Dr. Tim Haga 1 / 21 Präliminarien Letzte

Mehr

3. Relationen Erläuterungen und Schreibweisen

3. Relationen Erläuterungen und Schreibweisen 3. Relationen Eine Relation ist allgemein eine Beziehung, die zwischen Dingen bestehen kann. Relationen im Sinne der Mathematik sind ausschließlich diejenigen Beziehungen, bei denen stets klar ist, ob

Mehr

Elementare Mengenlehre

Elementare Mengenlehre Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok WWU Münster Fachbereich Mathematik und Informatik 5.9.2013 Ÿ2 Elementare Mengenlehre Der grundlegendste Begri, mit dem Objekte und Strukturen der Mathematik (Zahlen,

Mehr

(1.18) Def.: Eine Abbildung f : M N heißt

(1.18) Def.: Eine Abbildung f : M N heißt Zurück zur Mengenlehre: Abbildungen zwischen Mengen (1.17) Def.: Es seien M, N Mengen. Eine Abbildung f : M N von M nach N ist eine Vorschrift, die jedem x M genau ein Element f(x) N zuordnet. a) M = N

Mehr

1 Aussagenlogik und Mengenlehre

1 Aussagenlogik und Mengenlehre 1 Aussagenlogik und engenlehre 1.1 engenlehre Definition (Georg Cantor): nter einer enge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten (m) unserer Anschauung oder unseres

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen Susanna Pohl Vorkurs Mathematik TU Dortmund 10.03.2015 Mengen und Relationen Mengen Motivation Beschreibung von Mengen Mengenoperationen

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 3: Einführung III, Summen, Logik, Mengen, Beweise

Elemente der Analysis I Kapitel 3: Einführung III, Summen, Logik, Mengen, Beweise Elemente der Analysis I Kapitel 3: Einführung III, Summen, Logik, Mengen, Beweise Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 15. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Prof. Dr. Armin Iske Department Mathematik, Universität Hamburg Technische Universität Hamburg-Harburg Wintersemester 2006/2007 Analysis I TUHH, Winter

Mehr

Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 1. 1 Grundlagen 2. 2 Der Graph einer Funktion 4. 3 Umkehrbarkeit 5

Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 1. 1 Grundlagen 2. 2 Der Graph einer Funktion 4. 3 Umkehrbarkeit 5 Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 2 Der Graph einer Funktion

Mehr

Lineare Algebra I. Anhang. A Relationen. Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA. Wintersemester 2009/10

Lineare Algebra I. Anhang. A Relationen. Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA. Wintersemester 2009/10 Fakultät für Mathematik Fachgebiet Mathematische Informatik Anhang Lineare Algebra I Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA Wintersemester 2009/10 A Relationen Definition A.1. Seien X, Y beliebige

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16

Mehr

Allgemeingültige Aussagen

Allgemeingültige Aussagen Allgemeingültige Aussagen Definition 19 Eine (aussagenlogische) Formel p heißt allgemeingültig (oder auch eine Tautologie), falls p unter jeder Belegung wahr ist. Eine (aussagenlogische) Formel p heißt

Mehr

Ein geordnetes Paar (oder: ein 2-Tupel) enthält immer zwei Elemente, deren Reihenfolge festgelegt ist. Mehrfachnennungen sind nicht erlaubt!

Ein geordnetes Paar (oder: ein 2-Tupel) enthält immer zwei Elemente, deren Reihenfolge festgelegt ist. Mehrfachnennungen sind nicht erlaubt! Relationen, Funktionen und Partitionen 1. Geordnetes Paar Ein geordnetes Paar (oder: ein 2-Tupel) enthält immer zwei Elemente, deren Reihenfolge festgelegt ist. Mehrfachnennungen

Mehr

Diskrete Strukturen Vorlesungen 5 und 6

Diskrete Strukturen Vorlesungen 5 und 6 Sebastian Thomas RWTH Aachen, WS 2016/17 07.11.2016 09.11.2016 Diskrete Strukturen Vorlesungen 5 und 6 3 Abbildungen In diesem Abschnitt führen wir Abbildungen zwischen Mengen ein. Während Mengen von der

Mehr

Funktionen. Definition. Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet.

Funktionen. Definition. Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet. 1 Der Funktionsbegriff Funktionen Definition. Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet. Dabei nennt man die Menge A Definitionsmenge

Mehr

Algebraische Grundlagen 1

Algebraische Grundlagen 1 Algebraische Grundlagen 1 B.Grabowski 25. Oktober 2011 1 (C) Prof.Dr.B.Grabowski, HTW des Saarlandes, 10/2011, Skript zur Vorlesung Höhere Mathematik 1 Inhaltsverzeichnis 1 Algebra-Grundlagen 2 1.1 Zweiwertige

Mehr