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1 Allgemeines ist Teiler von Mengen Mächtigkeit Anzahl Elemente in der Menge Potenzmenge Menge aller Teilmengen von { } { { } { } { }} Beziehungen bzw. ist in enthalten ist Teilmenge von ist Obermenge von ist nicht Teilmenge von Operationen { } { } { } disjunkt Komplement Kartesisches Produkt { } { } { } { } { } Beweistechnik: Mengengleichheit Echte Teilmenge Gilt für alle Mengen Durchschnitt (intersect) Vereinigung (union) Differenzmenge (subtract/difference) = { } Absolutes Komplement Universe Relatives Komplement von Menge geordneter Paare mit und Geordnet: Geordnet: ist nicht dasselbe wie, bei Mengen hingegen ist { } dasselbe wie { } in Rechenregeln Kommutativ Assoziativ Distributiv Misc Relationen Abbildungen Sei eine Abbildung: Definitionsmenge von Argument von Zielmenge von f { } { } Bildmenge von f die Anzahl möglicher Abbildungen von die Anzahl bijektiver Abbildungen von Injektiv Wenn für alle mit gilt: Jedes Element aus der Zielmenge ist höchstens einem Element aus der Definitionsmenge zugewiesen (umkehrbar). D.h. jedes Element aus der Zielmenge wird höchstens 1 Mal getroffen. Surjektiv Wenn es für alle ein gibt mit Jedes Element aus der Zielmenge ist mindestens einem Element aus der Definitionsmenge zugewiesen. D.h. jedes Element aus der Zielmenge wird mindestens 1 Mal getroffen. Bijektiv Wenn surjektiv und injektiv ist Es gibt eine bijektive Abbildung zwischen den Mengen (gleichmächtig) Jedes Element der Zielmenge ist genau einem Element der Definitionsmenge zugewiesen

2 Aussagelogik Junktoren Konjunktion Konjunktion (und) Disjunktion Disjunktion (oder) Negation Negation (nicht) Implikation Implikation (wenn dann) hinreichend für notwendig für Aus etwas falschem folgt beliebiges Äquivalenz Äquivalenz (genau dann, wenn) NAND NAND (negierte Konjunktion) Alle anderen Junktoren lassen sich durch das NAND ausdrücken. Rechenregeln Kommutativ Assoziativ Distributiv De-Morgan Tautologien hat die stärkste Bindung bindet stärker als bindet stärker als bindet stärker als Bindungsstärke Normalformen Negationen nur direkt vor der Aussagevariabel erlaubt NNF Negationsnormalform DNF Disjunktive Normalform KNF Konjunktive Normalform 1. Implikationen und Äquivalenzen auflösen 2. Mittels De-Morgan umformen 1. Alles was wahr sein kann, ODER-Verknpüft 1. Alles was falsch sein muss, UND-Verknüpft 2. In NNF bringen (de-morgan)

3 Quantoren All-Quantor Existenz-Quantor Vollständige Induktion All-Quantor: für alle gilt Existenz-Quantor: es gibt ein x mit 1. Induktionsanfang: 2. Induktionsschritt: a. Annahme: Es gelte b. Behauptung: Es gibt mindestens ein solches, es kann aber auch mehrere geben Bei Aufgaben mit ist Teiler von ist darauf zu achten, dass man im Induktionsbeweis die Annahme wiederfindet. z.b. ist aufgrund der ohne hin durch teilbar ist die Induktionsannahme q.e.d. / w.z.b.w. 3. Induktionsbeweis q.e.d. / w.z.b.w. Vektoren Rechenregeln ( ) ( ) Betrag Skalarprodukt Kollinear: Punkte liegen auf einer Gerade Linearkombination ( ) Menge aller Linearkombinationen Lineare Unabhängigkeit mit Gauss prüfen: Nullzeile(n) Linear Abhängig Bei : Keine Nullzeile Linear Unabhängig Linear unabhängig Anzahl linear abhängiger Vektoren = Anzahl Unbekannte Geraden { } Aufhänger Skalar Richtungsvektor Normalenvektor Punkte auf der Geraden Ebenen { } Aufhänger Skalare Richtungsvektoren Normalenvektor Normalenformen { } Matrizen { } Komponenten vertauschen und eine davon mit Multiplizieren Kreuzprodukt/Vektorprodukt Alle bis auf Komponenten auf setzen, diese vertauschen und eine davon mit Multiplizieren aus der Parameterform der Geraden- /Ebenengleichung Achtung die NF und HNF sehen genau gleich aus und unterscheiden sich nur in dessen Normalenvektor. Ist der Betrag des Normalenvektors gerade 1 so liegt die HNF vor. Hessesche Normalenform

4 Transformationen Multiplikation Transformationsmatrix anhand zweier Punkte und berechnen: ( ) ( ) Nach Gauss auflösen, ergibt die Parameter der Transformationsmatrix: Streckung Scherung Scherung Streckung Gauss Elimination Gleichungssysteme Gauss-Jordan Homogen 1. Beginn bei a. i. bei allen unterhalb abziehen, sodass alle unter zu wird ii. Wieder zu 1. mit (eines nach unten, eines nach rechts) b. i. Zeilen vertauschen sodass ii. Wieder zu a) c. bis ist bereits i. Wieder zu 1. mit (eines nach rechts) Elementare Zeilenumformungen: - Zeilen vertauschen - Zeile -Fach zu Zeile addieren wobei - Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar Beim Vertauschen von Spalten muss dies nach der Gauss Elimination rückgängig gemacht werden. 1. Gauss Elimination durchführen 2. auf Gauss-jordan Form bringen a. Alle Leitkoeffizienten auf normieren (Multiplikation mit Skalar) b. Von rechts beginnend alle Komponenten oberhalb der Leitkoeffizienten zu machen 3. Alle Spalten ohne Leitkoeffizienten sind freie Variablen Anzahl Unbekannte Anzahl Unbekannte = Anzahl Spalten von hat mehr Nullzeilen als ( ) ( ) Anzahl Unbekannte und haben genau so viele nicht-nullzeilen wie Spalten von ( ) ( ) Anzahl Unbekannte und haben dieselbe Anzahl nicht-nullzeilen und weniger als Spalten von Inhomogen ( ) ( ) nach Gauss-Jordan Elimination ( ) { } Inverse 1. A in erweiterter auf die Form einer Einheitsmatrix bringen a. Gauss-Algorithmus anwenden b. Leitkoeffizienten auf 1 normieren c. Von rechts beginnend alle Elemente oberhalb der Leitkoeffizienten auf 0 bringen (von zweitletzter Spalte ein Vielfaches der letzten addieren, von der drittletzten ein Vielfaches der zweitletzten etc ) 2. Der rechte Teil der erweiterten ist nun die Inverse der - Existiert nur bei Matrizen - Existiert nur wenn Spalten linear unabhängig sind, d.h. nach Gauss keine Nullzeilen vorhanden ist oder

5 Determinante - Existiert nur bei Matrizen - Vertauschen von Zeilen kehrt das Vorzeichen um - Die Addition von ändern nichts - Bei Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor gilt: Mit Gauss Transponierte Anzahl Zeilenvertauschungen bei Gauss Nach Inversion Laplace Anzahl Zeilenvertauschungen bei Gauss Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor Cramersche Regel eindeutig Lösbares Gleichungssystem Wobei jeweils die Determinante der mit anstelle der Spalte ist. Eigenwerte ist Eigenwert von Höchstens verschiedene Eigenwerte für eine Eigenvektoren Eigenraum { } Appendix A: Aufgaben, Achtung Herr Tietje verwendet gerne die Reihenfolge (unlogisch ) Polynome als Vektoren schreiben:

6 Gauss-Jordan Elimination mit 3 rechten Seiten Die Komponenten der Spaltenvektoren der rechten Seiten entsprechen den Koeffizienten von für die Linearkombination Nun die Linearkombination für berechnen:

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