Bestimmung der Dimension
|
|
- Karoline Friedrich
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Bestimmung der Dimension Satz. Sei (v 1, v 2,..., v n ) ein minimales Erzeugendensystem von V, d.h. dieses System ist ein Erzeugendensystem von V, aber keines der nach Weglassen eines v i (1 i n) entstehenden Systeme (v 1,..., v i,..., v n ) erzeugt V. Dann ist (v 1, v 2,..., v n ) eine Basis von V und somit dim V = n. Beweis. Wir müssen zeigen, dass (v 1, v 2,..., v n ) linear unabhängig ist. Wir nehmen das Gegenteil an und erhalten dann eine lineare Relation a 1.v 1 + a 2.v a n.v n = 0, wobei nicht alle Koeffizienten Null sind, etwa a i 0 ist. Diese Gleichung können wir dann nach v i auflösen und erhalten (warum für alle k?) v k v 1,..., v i,..., v n für alle k = 1,..., n und dann V = v 1,..., v i,..., v n. Widerspruch! 1
2 Jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis Eine wichtige Folgerung des eben bewiesenen Satzes ist: Folgerung Jedes Erzeugendensystem (v 1, v 2,..., v t ) eines Vektorraums V enthält eine Basis. Beweis. Wir brauchen nur solange Vektoren aus v 1, v 2,..., v t wegzulassen bis ein minimales Erzeugendensystem von V entstanden ist. Dieses ist dann eine Basis von V. Um eine Basis von V zu bestimmen, verschaffen wir uns daher zuerst ein (möglichst klein gewähltes) Erzeugendensystem und vermindern dessen Mitgliederzahl so lange, bis ein minimales Erzeugendensystem erreicht ist. 2
3 Basen und minimale Erzeugendensysteme Der studierte Satz lässt sich umkehren: Satz. Jede Basis b 1, b 2,..., b n eines Vektorraums V ist ein minimales Erzeugendensystem und umgekehrt. Die Begriffe Basis von V und minimales Erzeugendensystem von V stimmen daher überein. Beweis. Sei b 1, b 2,..., b n eine Basis, also auch ein Erzeugendensystem von V. Wir nehmen an, dass für irgendein i = 1,..., n auch (b 1,..., bi,..., b n ) ein Erzeugendensystem von V ist. Dann hat b i die Form b i = a 1.b a i 1.b i b i + a i+1.b i a n.b n, woraus sich die lineare Abhängigkeit a 1.b a i 1.b i 1 + ( 1).b i + a i+1.b i a n.b n = 0 der Basiselemente ergibt. Widerspruch! 3
4 Bewertung Momentan sind unsere Möglichkeiten noch recht eingeschränkt, für ein vorgegebenen System von Vektoren (v 1, v 2,..., v t ) des R n zu entscheiden, ob es linear abhängig oder unabhängig, eine Basis oder ein Erzeugendensystem ist. Dies wird noch eine Weile so bleiben. Erst später werden wir effiziente Algorithmen und Verfahren studieren, die diese Überprüfung zur Routine machen. Gleichwohl: Für Vektorräume kleiner Dimension reichen die derzeit verfügbaren Verfahren zur Entscheidung aus. 4
5 Vorschau: Isomorphismen Ordnung in die Welt der Vektorräume bringt der Begriff der Isomorphie. Anschaulich gesprochen haben isomorphe Vektorräume dieselben mathematischen Eigenschaften, insbesondere die gleiche Dimension. Es handelt sich bei der Isomorphie um den Vergleich von (typischerweise) verschiedenen Vektorräumen. Dieser Vergleich geschieht durch geeignete lineare Abbildungen. isomorph = gleichgestaltig 5
6 Definition der Isomorphie Definition. Eine lineare Abbildung f : V W heißt Isomorphismus, wenn sie bijektiv ist. Wir sagen in diesem Fall, dass die Vektorräume V und W isomorph sind. Schreibweise: V = W. Durch die Bijektivität von f erhalten wir eine eins-zu-eins Zuordnung zwischen den Elementen von V und denjenigen von W. Die Linearität sichert darüber hinaus, dass diese Beziehung die Vektorraumstruktur bewahrt. Gibt es zwischen V und W einen Isomorphismus, können wir daher (weitgehend) sicher sein, dass V und W dieselben mathematischen Eigenschaften haben. 6
7 Grundlegende Eigenschaften der Isomorphie Satz. (1) Für jeden Vektorraum V ist die identische Abbildung 1 V : V V ein Isomorphismus. Somit V = V. (2) Ist f : V W ein Isomorphismus, so auch die Umkehrabbildung f 1 : W V. Aus V = W folgt daher W = V. (3) Sind f : U V und g : V W Isomorphismen, so auch ihre Verknüpfung g f : U W. Aus U = V und V = W folgt daher U = W. Die Isomorphiebeziehung ist daher wie die Gleichheit reflexiv, symmetrisch und transitiv. 7
8 Linearität der Umkehrabbildung Ist f : V W ein Isomorphismus, dann auch f 1 : W V. Beweis. Da f bijektiv ist, gibt es die Umkehrabbildung f 1 : W V. Wir müssen zeigen, dass f 1 : W V linear ist. Seien dazu w 1 und w 2 Elemente aus W. Sie haben die Form Nun gilt: w 1 = f(v 1 ) und w 2 = f(v 2 ) mit v 1, v 2 V. f(a 1.v 1 + a 2.v 2 ) f ist linear = a 1.f(v 1 ) + a 2.f(v 2 ) Wahl von v 1,v 2 = a1.w 1 + a 2.w 2. Es ist daher a 1.v 1 + a 2.v 2 = f 1 (a 1.w 1 + a 2.w 2 ) für alle Skalare a 1, a 2 und Vektoren w 1, w 2 aus W ; dies zeigt die Linearität von f 1. 8
9 Linearität der Komposition linearer Abbildungen Satz. Seien f : U V und g : V W lineare Abbildungen. Dann ist auch die Verknüpfung h := g f : U W linear. Es ist h(a 1.u 1 + a 2.u 2 ) h=g f = g(f(a 1.u 1 + a 2.u 2 )) f ist linear = g(a 1.f(u 1 ) + a 2.f(u 2 )) g ist linear = a 1.g(f(u 1 )) + a 2.g(f(u 2 )) h=g f = a 1.h(u 1 ) + a 2.h(u 2 ) Dies zeigt die Linearität von h = g f. Zusatz. Sind f : U V und g : V W Isomorphismen, so gilt dies auch für g f. 9
10 Wichtige Eigenschaften von Isomorphismen Eigenschaften: Sei f : V W ein Isomorphismus von Vektorräumen, dann gilt: (1) Ist (v 1, v 2,..., v t ) ein Erzeugendensystem von V, so ist (f(v 1 ),..., f(v t )) ein Erzeugendensystem von W. (2) Ist (v 1, v 2,..., v t ) linear unabhängig in V, so ist (f(v 1 ),..., f(v t )) linear unabhängig in W. (3) Ist (v 1, v 2,..., v t ) eine Basis von V, so ist (f(v 1 ),..., f(v t )) eine Basis von W. Folgerung. Isomorphe Vektorräume haben dieselbe Dimension. 10
11 Begründung Zu (1) Als Isomorphismus ist f : V W insbesondere surjektiv ; es gilt daher f(v ) = W. Aus V = v 1, v 2,..., v t folgt dann W = f(v ) = f(v 1 ),..., f(v t ). Zu (2) Wir nehmen an, dass a 1.f(v 1 ) + + a t.f(v t ) = 0 gilt. Da f linear ist folgt f(a 1.v 1 + a 2.v a t.v t ) = 0 = f(0). Die Injektivität von f liefert dann a 1.v 1 + a 2.v a t.v t = 0, woraus wegen der vorausgesetzten linearen Unabhängigkeit von (v 1, v 2,..., v t ) das Verschwinden der a i folgt. Zu (3) Dies ergibt sich als Kombination von (1) und (2). 11
12 Vorschau: Rolle der Dimension Wir werden anschließend zeigen, dass jeder Vektorraum V seine Dimension n schon bis auf Isomorphie bestimmt ist. durch Genauer zeigen wir, dass jeder n-dimensionale Vektorraum V zum Standardvektorraum R n isomorph ist. Damit erzielen wir vollständige Übersicht im Reich der endlich dimensionalen Vektorräume. Bis auf Isomorphie gibt es hier nur die Vektorräume R 0, R 1, R 2, R 3,
13 Isomorphie zum Standardvektorraum R n Satz. Sei V ein Vektorraum und (v 1, v 2,..., v n ) eine Basis von V. Dann ist die Abbildung h : R n V, ein Isomorphismus. a 1 a 2. a n a 1.v 1 + a 2.v a n.v n Beweis. Bijektivität und Linearität von h haben wir schon früher separat nachgewiesen. Folgerung: Jeder n-dimensionale Vektorraum ist isomorph zum R n. 13
14 Ein Satz und eine Frage zur Dimension Satz. Zwei Vektorräume V und W derselben Dimension n sind isomorph. Beweis. Der letzte Satz zeigt uns, dass es Isomorphismen f : R n V und g : R n W gibt. Es ist dann g f 1 : V W ein Isomorphismus. Frage. Können zwei Vektorräume verschiedener Dimension zueinander isomorph sein? Antwort nein: Falls f : V W ein Isomorphismus ist und v 1, v 2,..., v n eine Basis von V ist, so ist (f(v 1 ),..., f(v n )) eine Basis von W. Sowohl V als auch W haben damit dieselbe Dimension n. 14
15 Dimension, nochmals hingeschaut Aufmerksames Betrachten des letzten Arguments zeigt, dass wir eine bisher nicht bewiesene und zugleich fundamentale Eigenschaft verwendet haben: Je zwei Basen eines Vektorraums haben dieselbe Anzahl von Mitgliedern. Wir werden dieses Thema später erneut aufgreifen und die jetzt noch offene Argumentationslücke schließen. 15
16 Kommentar: Isomorphie und Gleichheit von Vektorräumen Wir müssen aufpassen, die Begriffe Gleichheit und Isomorphie von Vektorräumen trotz ihrer Ähnlichkeit nicht durcheinander zu bringen. Zwei Vektorräume V und W sind gleich, wenn V und W aus denselben Elementen bestehen und zusätzlich Addition und Multiplikation mit Skalaren für V und W übereinstimmen. Andererseits sind beispielsweise die Vektorräume R 2 und x 1 x 2 x 3 x 1 + x 2 + x 3 = 0 zueinander isomorph, da sie beide die Dimension zwei haben. Aber natürlich sind diese Vektorräume nicht gleich. 16
17 Erneut: Lineare Abbildungen R n V Wir werfen nun nochmals einen Blick auf die lineare Abbildung h : R n V, die einem n-tupel (v 1, v 2,..., v n ) beliebiger Vektoren aus V zugeordnet ist. Bisher haben wir uns nur gefragt, wann diese Abbildung ein Isomorphismus ist. Nunmehr richten wir unseren Blick allgemeiner auf die Frage, was wir über eine beliebige lineare Abbildung aussagen können. Beispielsweise können wir uns für ihre Injektivität oder Surjektivität interessieren. Ferner können wir nach einfachen Kriterien fragen, eine solche Eigenschaft festzustellen. Mit Hilfe des Dimensionsbegriffs werden wir ferner die Dimension ihres Bildes, den sogenannten Rang, als wichtigste mit einer linearen Abbildung verbundene Größe einführen. 17
18 Vergleich mit dem Standardvektorraum R n Sei V ein Vektorraum, (v 1, v 2,..., v n ) ein n-tupel von Vektoren aus V und h : R n V, a 1 a 2. a n a 1.v 1 + a 2.v a n.v n die zugehörige lineare Abbildung. Dann gilt (1) h : R n V ist surjektiv genau dann, wenn (v 1, v 2,..., v n ) ein Erzeugendensystem von V ist. (2) h : R n V ist injektiv genau dann, wenn (v 1, v 2,..., v n ) in V linear unabhängig ist. (3) h : R n V ist ein Isomorphismus genau dann, wenn (v 1, v 2,..., v n ) eine Basis von V ist. 18
19 Nachweis Auf der Standardbasis des R n gilt h(e i ) = v i. Beweis des Satzes. Zu (1) h(r n ) = h( e 1, e 2,..., e n ) = h(e 1 ),..., h(e n ) = v 1, v 2,..., v n. Somit ist h genau dann surjektiv, wenn (v 1, v 2,..., v n ) ein Erzeugendensystem von V ist. Zu (2) (a) Wir nehmen an, dass h injektiv ist. Aus folgt dann 0 = a 1.v 1 + a 2.v a n.v n = h(a 1.e 1 + a 2.e a n.e n ) a 1.e 1 + a 2.e a n.e n = 0. Die lineare Unabhängigkeit der Standardbasis zeigt uns, dass alle a i verschwinden. (b) Sei nun (v 1, v 2,..., v n ) linear unabhängig und h(a 1, a 2,..., a n ) = h(b 1, b 2,..., b n ). Dann ist somit a 1.v 1 + a 2.v a n.v n = b 1.v 1 + b 2.v b n.v n, (a 1 b 1 ).v 1 + (a 2 b 2 ).v 2 + (a n b n ).v n = 0, woraus die Gleichheit der a i und b i folgt. Zu (3) Dies ist eine Kombination von (1) und (2). 19
20 Der Rang einer linearen Abbildung Definition. Sei f : V W eine lineare Abbildung. Die Dimension des Bildes f(v ) von f nennen wir den Rang von f. Bezeichnung: rg(f). Ist insbesondere f : R n V eine lineare Abbildung und v i := f(e i ) (1 i n), so ist der rg(f) die Dimension der linearen Hülle v 1, v 2,..., v n. Folgerung. Der Rang von f : R n V ist höchstens n. Der Rang einer linearen Abbildung ist die wichtigste mit ihr verbundene Größe! 20
21 Lineare Abbildungen f : R n R m Wir wissen schon: Eine lineare Abbildung f : R n R m ist eindeutig durch ein n-tupel von Vektoren v 1, v 2,..., v n des R m bestimmt. Die Vektoren v k sind ihrerseits m-tupel reeller Zahlen, haben somit die Form v k = a 1k a 2k. a mk, k = 1,..., n. Die lineare Abbildung f ist daher umkehrbar eindeutig durch das Schema A = a 11 a 12 a 1 n 1 a 1n a 21 a 22 a 2 n 1 a 2n..... a m1 a m2 a m n 1 a mn aus m n Skalaren bestimmt, dessen Spalten (vertikal) gerade die Vektoren v 1, v 2,..., v n sind. Wir nennen A eine m n-matrix. 21
22 Lineare Abbildungen und Matrizen Wegen der großen Wichtigkeit formulieren wir dieses Faktum erneut: Satz. Eine lineare Abbildung f : R n R m entspricht eins-zu-eins einem n-tupel von Spaltenvektoren des R m, daher umkehrbar eindeutig einer m n-matrix A mit skalaren Einträgen. (a) Ist die lineare Abbildung f gegeben, so ist A diejenige Matrix, deren Spalten der Reihe nach die Bilder f(e 1 ), f(e 2 ),..., f(e n ) der Vektoren der Standardbasis des R n sind. (b) Ist umgekehrt die m n-matrix A gegeben und sind v 1,..., v n R m ihre Spalten, x 1 so ist die zugehörige lineare Abbildung durch die Vorschrift f x 2. = n i=1 x i.v i x n bestimmt. 22
23 Eine m n-matrix A = Matrixterminologie a 11 a 12 a 1 n 1 a 1n a 21 a 22 a 2 n 1 a 2n..... a m1 a m2 a m n 1 a mn besteht aus m Zeilen (horizontal) und n Spalten (vertikal). Abkürzende Schreibweise: A = (a ik ). Der Koeffizient a ik steht im Schnitt von i-ter Zeile und k-ter Spalte. Die n Spalten s 1, s 2,..., s n sind Mitglieder des R m. Die m Zeilen z 1, z 2,..., z m sind Mitglieder des R n. Hinweis. Je nach Sachlage ist es vorteilhafter, den Spalten- oder den Zeilenaufbau einer Matrix zu verwenden. Hier ist die 2-te Zeile rot markiert. 23
24 Matrixformulierung früherer Ergebnisse Satz. Gegeben sei eine m n-matrix A mit den Spalten v 1, v 2,..., v n. Für die durch A gegebene lineare Abbildung f : R n R m, x 1 x 2. x n x 1.v 1 + x 2.v x n.v n gilt (1) f ist genau dann injektiv, wenn die Spalten von A im R m linear unabhängig sind. (2) f ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten von A ein Erzeugendensystem des R m bilden. (3) f ist genau dann ein Isomorphismus, wenn m = n und die Spalten von A eine Basis von R n bilden. 24
25 Rang einer Matrix Satz. Sei A eine m n-matrix mit den Spalten v 1, v 2,..., v n. Der Rang der durch A gegebenen linearen Abbildung f : R n R m, x 1 x 2. x n x 1.v 1 + x 2.v x n.v n stimmt mit der Dimension von v 1, v 2,..., v n überein. Diese Dimension nennen wir den Rang der Matrix A. Bezeichnung: rg(a). Beweis. Nach Definition ist rg(f) die Dimension von Bild(f) = v 1, v 2,..., v n. Dessen Dimension ist nach (obiger) Definition der Rang der Matrix A. 25
26 Kern einer linearen Abbildung Die Injektivität einer linearen Abbildung f : V W ist einfach an ihrem Kern abzulesen, der ein Unterraum von V ist. Definition. Unter dem Kern K einer linearen Abbildung f : V W verstehen wir die Menge f 1 ({0}) = {v V f(v) = 0}. Bezeichnung: Kern(f). Satz. Eine lineare Abbildung f : V W ist genau dann injektiv, wenn Kern(f) = {0} ist. Beweis. (a) Wir nehmen an, dass f injektiv ist. In diesem Fall folgt für jedes v Kern(f), dass f(v) = 0 = f(0), wegen der Injektivität also v = 0 gilt. (b) Wir nehmen an, dass Kern(f) = {0} ist und nehmen an, dass f(v 1 ) = f(v 2 ) und damit f(v 1 v 2 ) f linear = 0, somit v 1 v 2 Kern(f) = {0} gilt. Es folgt v 1 = v 2 und damit die Injektivität von f. 26
27 Der Kern von f ist ein Unterraum Die Behauptung ist ein Spezialfall (U = {0}) des folgenden Satzes: Satz. Sei f : V W linear und U ein Unterraum von W. Dann ist das Urbild U := f 1 (U) von U ein Unterraum von V. Beweis. Wegen f(0 V ) = 0 W gehört 0 V zu U, somit ist (U1) erfüllt. Seien nun v 1 und v 2 in U gelegen, somit f(v 1 ), f(v 2 ) U. Dann ist (Linearität von f) f(v 1 + v 2 ) = f(v 1 ) + f(v 2 ) in U gelegen. Es ist somit (U2) erfüllt. Schließlich sei v in U gelegen und a ein Skalar. Es folgt f(a.v) = a.f(v) U und somit a.v U. Dies zeigt (U3). 27
28 Analyse einer linearen Abbildung Die Eigenschaften einer linearen Abbildung f : V W werden stark von den beiden mit ihr verbundenen Unterräumen Kern(f) und Bild(f) und ihren Dimensionen bestimmt. Wir richten unser Augenmerk daher auf: den Kern von f, der ein Unterraum von V ist; das Bild von f, das ein Unterraum von W ist. Die Dimensionen von Kern(f) und Bild(f), insbesondere also der Rang von f, geben wichtige Auskunft über f. Wir werden gleich sehen, wie aus der Kenntnis des Rangs von f sich auch die Dimension von Kern(f) ermitteln lässt und umgekehrt. 28
29 Der Rangsatz für lineare Abbildungen Satz [Rangsatz]. Sei f : V W eine lineare Abbildung. Dann gilt dim V = dim Kern(f) + dim Bild(f), also gleichbedeutend dim Kern(f) = dim V rg(f). Da uns in der Regel bei gegebenem f die Dimension von V (und auch die von W ) bekannt ist, bestimmen sich folglich die Dimensionen von Kern(f) und Bild(f) wechselseitig. Als Regelbezeichnung hat sich hier der Rang von f durchgesetzt. Manchmal ist von der Dimension von Kern(f) als dem Defekt von f die Rede. 29
30 Beweis des Rangsatzes Wir nehmen an, dass V und W endlichdimensional sind. Es folgt dann (Beweis später), dass Kern(f) und Bild(f) ebenfalls endliche Dimension haben. Beweis. Seien (e 1, e 2,..., e p ) eine Basis von Kern(f) und (g 1, g 2,..., g q ) eine Basis von Bild(f). Im ersten Schritt wählen wir für jedes g i (1 i q) ein Urbild f i aus V. Wir behaupten, dass B := (e 1, e 2,..., e p, f 1, f 2,..., f q ) eine Basis von V ist, woraus der Rangsatz sofort folgt. 30
31 (1) B ist linear unabhängig: Aus (a 1.e 1 + a 2.e a p.e p ) + (b 1.f 1 + b 2.f b q.f q ) = 0 folgt durch Anwendung von f, dass b 1.g 1 + b 2.g b q.g q = 0 und dann alle b j verschwinden, da die g j s eine Basis bilden. Es ergibt sich nunmehr a 1.e 1 + a 2.e a p.e p = 0, woraus das Verschwinden auch der a i folgt. (2) B ist ein Erzeugendensystem von V : Sei v V, somit f(v) Bild(f) = g 1, g 2,..., g q. Wir erhalten also f(v) = b 1.g b q.g q = f(b 1.f b q.f q ) mit geeigneten Skalaren b j. Es folgt somit ist f(v (b 1.f 1 + b 2.f b q.f q )) = 0, v (b 1.f 1 + b 2.f b q.f q ) in Kern(f) gelegen, daher von der Form a 1.e 1 + a 2.e a p.e p mit geeigneten Skalaren a i. Zusammengefasst: v = (a 1.e 1 + a 2.e a p.e p ) + (b 1.f 1 + b 2.f b q.f q ). 31
Kapitel 11. Dimension und Isomorphie
Kapitel 11. Dimension und Isomorphie Bestimmung der Dimension Satz. Sei (v 1, v 2,..., v n ) ein minimales Erzeugendensystem von V, d.h. dieses System ist ein Erzeugendensystem von V, aber keines der nach
MehrKapitel 12. Lineare Abbildungen und Matrizen
Kapitel 12 Lineare Abbildungen und Matrizen Lineare Abbildungen f : R n R m Wir wissen schon: Eine lineare Abbildung f : R n R m ist eindeutig durch ein n-tupel von Vektoren v 1, v 2,, v n des R m bestimmt
MehrDer Rangsatz für lineare Abbildungen
Der Rangsatz für lineare Abbildungen Satz Sei f : V W eine lineare Abbildung Dann gilt dim V = dim Kern(f) + dim Bild(f), also gleichbedeutend dim Kern(f) = dim V rg(f) Da uns in der Regel bei gegebenem
MehrKapitel 13. Lineare Gleichungssysteme und Basen
Kapitel 13. Lineare Gleichungssysteme und Basen Matrixform des Rangsatzes Satz. Sei A eine m n-matrix mit den Spalten v 1, v 2,..., v n. A habe den Rang r. Dann ist die Lösungsmenge L := x 1 x 2. x n x
MehrDie Dimension eines Vektorraumes
Die Dimension eines Vektorraumes Ist (b 1, b 2,..., b n ) eine Basis des Vektorraums V, so heißt n die Dimension von V. Die Möglichkeit dieser Definition beruht auf dem folgenden nichttrivialen Satz. Je
MehrKapitel 10. Lineare Abbildungen Definition linearer Abbildungen Eigenschaften und Beispiele Alle linearen Abbildungen R n V Bild von Unterräumen
Kapitel 10. Lineare Abbildungen Definition linearer Abbildungen Eigenschaften und Beispiele Alle linearen Abbildungen R n V Bild von Unterräumen Vorschau: Lineare Abbildungen Wer Vektorräume studiert,
MehrLineare Algebra I (WS 13/14)
Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 15.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 12 Erinnerung Eine Abbildung f : V W zwischen reellen Vektorräumen ist linear, wenn
Mehr$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $
Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 9. $Id: linabb.tex,v.3 9//9 3:7:34 hk Exp hk $ II. Lineare Algebra 9 Lineare Abbildungen 9. Lineare Abbildungen Der folgende Satz gibt uns eine einfachere Möglichkeit
MehrVektorräume und Lineare Abbildungen
Lineare Algebra Kapitel 9. Vektorräume Der Körper der reellen Zahlen Der Vektorraumbegriff, Beispiele Rechnen in Vektorräumen Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit
Mehr5 Lineare Abbildungen
5 Lineare Abbildungen Pink: Lineare Algebra HS 2014 Seite 56 5 Lineare Abbildungen 5.1 Definition Gegeben seien Vektorräume U, V, W über einem Körper K. Definition: Eine Abbildung f : V W heisst K-linear,
MehrGegeben sei eine Menge V sowie die Verknüpfung der Addition und die skalare Multiplikation der Elemente von V mit reellen Zahlen.
1. Der Vektorraumbegriff...1 2. Unterräume...2. Lineare Abhängigkeit/ Unabhängigkeit... 4. Erzeugendensystem... 5. Dimension...4 6. Austauschlemma...5 7. Linearität von Abbildungen...6 8. Kern und Bild
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung
Mehr1 Linearkombinationen
Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 14/15 A 1 Linearkombinationen Unter einer Linearkombination versteht man in der linearen Algebra einen Vektor, der sich durch
MehrAusgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 4-5
Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Ausgewählte en zu den Übungsblättern -5 Aufgabe, Lineare Unabhängigkeit
Mehr3.5 Duale Vektorräume und Abbildungen
3.5. DUALE VEKTORRÄUME UND ABBILDUNGEN 103 3.5 Duale Vektorräume und Abbildungen Wir wollen im Folgenden auch geometrische Zusammenhänge mathematisch beschreiben und beginnen deshalb jetzt mit der Einführung
Mehr3.9 Elementarmatrizen
90 Kapitel III: Vektorräume und Lineare Abbildungen 3.9 Elementarmatrizen Definition 9.1 Unter einer Elementarmatrix verstehen wir eine Matrix die aus einer n n-einheitsmatrix E n durch eine einzige elementare
MehrDonnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl.
Unterräume und Lineare Hülle 59 3. Unterräume und Lineare Hülle Definition.1 Eine Teilmenge U eines R-Vektorraums V heißt von V, wenn gilt: Unterraum (U 1) 0 U. (U ) U + U U, d.h. x, y U x + y U. (U )
MehrLineare Abbildungen. i=0 c ix i n. K n K m
Kapitel 4 Lineare Abbildungen In diesem Abschnitt lernen Sie erstmals eine Klasse von strukturerhaltenden Abbildungen kennen. Diese Konzept ist von zentraler Bedeutung in der Algebra. Grob gesagt geht
MehrLineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen
KAPITEL 4 Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen 1. Lineare Abbildungen Definition 4.1 (Lineare Abbildungen). Seien V und W zwei Vektorräume über den selben Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt
MehrMengen und Abbildungen
Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion Mengen und Abbildungen
Mehr5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension
8 Kapitel 5. Lineare Algebra 5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension Seien v,...,v n Vektoren auseinemvektorraumv über einem KörperK. DieMenge aller Linearkombinationen von v,...,v n, nämlich { n
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
Mehr2.2 Kern und Bild; Basiswechsel
22 Kern und Bild; Basiswechsel 22 Kern und Bild; Basiswechsel 35 Jede lineare Abbildung definiert charakteristische Unterräume, sowohl im Ausgangsraum als auch im Bildraum 22 Satz Sei L: V W eine lineare
Mehr$Id: vektor.tex,v /01/24 14:10:45 hk Exp $ $Id: cartesisch.tex,v /01/24 14:28:24 hk Exp $
$Id: vektor.tex,v.7 20/0/24 4:0:45 hk Exp $ $Id: cartesisch.tex,v.3 20/0/24 4:28:24 hk Exp $ Vektorräume.5 Lineare Abbildungen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir die sogenannten linearen Abbildungen
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 18. April 2016 Übersicht über die Methoden Seien v 1,..., v r Vektoren in K n. 1. Um zu prüfen, ob die Vektoren v 1,...,
Mehr2.3 Basis und Dimension
Lineare Algebra I WS 205/6 c Rudolf Scharlau 65 2.3 Basis und Dimension In diesem zentralen Abschnitt werden einige für die gesamte Lineare Algebra fundamentale Grundbegriffe eingeführt: Lineare Abhängigkeit
Mehr2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen
Algebra und Algebra 2. Dezember 2011 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung
MehrKapitel III. Lineare Abbildungen
Kapitel III. Lineare Abbildungen Beispiele: 1 Lineare Abbildungen a) Seien c 1,..., c n K vorgegeben. Betrachte die Funktion F (x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n in den Variablen x 1,...,
MehrLineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 10 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 13. Januar.
Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 10 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 13. Januar http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1 Erinnerungen und Ergänzungen zur Vorlesung: Hinweis:
Mehr3.2 Unabhängigkeitsstrukturen
80 3.2 Unabhängigkeitsstrukturen Unser Ziel ist der Nachweis, daß in Vektorräumen, also in Moduln über Körpern, Basen existieren und zwei endliche Basen gegebenenfalls von derselben Ordnung sind. (Basen
MehrBild, Faser, Kern. Stefan Ruzika. 23. Mai Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz
Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 23. Mai 2016 Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai 2016 1 / 11 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume 4 Basis
MehrLineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 6 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 27. November
Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 6 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 27. November http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1 Erinnerungen und Ergänzugen zur Vorlesung: Der Vollständigkeit
MehrViele wichtige Operationen können als lineare Abbildungen interpretiert werden. Beispielsweise beschreibt die lineare Abbildung
Kapitel 3 Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen sind eine natürliche Klasse von Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen, denn sie vertragen sich per definitionem mit der Struktur linearer Räume Viele
MehrWeitere Eigenschaften
Weitere Eigenschaften Erklärung der Subtraktion: x y := x + ( y) (5) Die Gleichung a + x = b hat die eindeutig bestimmte Lösung x = b a. Beweis: (a) Zunächst ist x = b a eine Lösung, denn a + x = a + (b
MehrLineare Algebra I Zusammenfassung
Prof. Dr. Urs Hartl WiSe 10/11 Lineare Algebra I Zusammenfassung 1 Vektorräume 1.1 Mengen und Abbildungen injektive, surjektive, bijektive Abbildungen 1.2 Gruppen 1.3 Körper 1.4 Vektorräume Definition
MehrAbbildungen. Kapitel Definition: (Abbildung) 5.2 Beispiel: 5.3 Wichtige Begriffe
Kapitel 5 Abbildungen 5.1 Definition: (Abbildung) Eine Abbildung zwischen zwei Mengen M und N ist eine Vorschrift f : M N, die jedem Element x M ein Element f(x) N zuordnet. Schreibweise: x f(x) 5. Beispiel:
MehrErneut: Matrizen und lineare Abbildungen
Erneut: Matrizen und lineare Abbildungen Mit Hilfe der Matrixmultiplikation lässt sich die Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen elegant ausdrücken: Satz. e 1, e 2,..., e n sei die Standardbasis
MehrWiederholung: lineare Abbildungen
Wiederholung: lineare Abbildungen Def Es seien (V,+, ) und (U, +, ) zwei Vektorräume Eine Abbildung f : V U heißt linear, falls für alle Vektoren v 1, v 2 V und für jedes λ R gilt: (a) f (v 1 + v 2 ) =
MehrIn diesem Kapitel wird der Vektorraumbegriff axiomatisch eingeführt und einige grundlegende Begriffe erläutert, etwa. Unterraum,
2 Vektorräume In diesem Kapitel wird der Vektorraumbegriff axiomatisch eingeführt und einige grundlegende Begriffe erläutert, etwa Unterraum, Linearkombination, lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensystem.
Mehr, Uhr Dr. Thorsten Weist. Name Vorname Matrikelnummer. Geburtsort Geburtsdatum Studiengang
Nachklausur zur Linearen Algebra I - Nr. 1 Bergische Universität Wuppertal Sommersemester 2011 Prof. Dr. Markus Reineke 06.10.2011, 10-12 Uhr Dr. Thorsten Weist Bitte tragen Sie die folgenden Daten leserlich
MehrMusterlösung zur Klausur Lineare Algebra I
Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra I Aufgabe Version A 5 Punkte: Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch? Setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz. Für jede korrekte Antwort erhalten
MehrLineare Algebra I (WS 13/14)
Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 29.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 13 Wiederholung Der Rang einer linearen Abbildung ist gleich dem Spaltenrang der darstellenden
Mehr3 Lineare Abbildungen und Matrizen
3 Lineare Abbildungen und Matrizen Definition 3.1. Es seien V und W zwei Vektorräume über demselben Zahlkörper k. Eine Abbildung heisst linear, falls gilt i) [ λ k ] [ v V ] [ f (λ v) = λ f ( v) ] ii)
MehrÜbungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Sommersemester 2010 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax = b
MehrÜbungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Wintersemester 2014/15 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax
MehrVektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition)
Vektorräume In vielen physikalischen Betrachtungen treten Größen auf, die nicht nur durch ihren Zahlenwert charakterisiert werden, sondern auch durch ihre Richtung Man nennt sie vektorielle Größen im Gegensatz
Mehr4 Lineare Abbildungen und Matrizen
4.1 Lineare Abbildungen Definition 4.1. Es seien V, W K-Vektorräume. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, wenn für alle u, v V und λ K gilt Beispiel 4.2. L1 f(u + v) = f(u) + f(v),
Mehr4.3 Bilinearformen. 312 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau
312 LinAlg II Version 0 20. Juni 2006 c Rudolf Scharlau 4.3 Bilinearformen Bilinearformen wurden bereits im Abschnitt 2.8 eingeführt; siehe die Definition 2.8.1. Die dort behandelten Skalarprodukte sind
Mehr4 Affine Koordinatensysteme
4 Affine Koordinatensysteme Sei X φ ein affiner Raum und seien p,, p r X Definition: Nach ( c ist der Durchschnitt aller affinen Unterräume Z X, welche die Menge {p,,p r } umfassen, selbst ein affiner
MehrLineare Algebra II 8. Übungsblatt
Lineare Algebra II 8. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 11 Prof. Dr. Kollross 1./9. Juni 11 Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G1 (Minitest) Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum.
MehrLineare Abbildungen - I
Lineare Abbildungen - I Definition. Seien V und W K-Vektorräume (über demselben K). Eine Abbildung F : V W heißt K-linear, wenn L1) F (v + w) = F (v) + F (w) v, w V L2) F (λv) = λf (v) v V, λ K. Somit
Mehr2.4 Matrizen und Lineare Abbildungen
Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 73 2.4 Matrizen und Lineare Abbildungen Zum Schluss von Abschnitt 2.2 hatten wir Matrizen eingeführt, und zwar im Zusammenhang mit der abgekürzten Schreibweise
Mehr(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)
(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrLineare Algebra I. Christian Ebert & Fritz Hamm. Gruppen & Körper. Vektorraum, Basis & Dimension. Lineare Algebra I. 18.
18. November 2011 Wozu das alles? Bedeutung von Termen Vektoren in R n Ähnlichkeiten zwischen Termbedeutungen Skalarprodukt/Norm/Metrik in R n Komposition von Termbedeutungen Operationen auf/abbildungen
MehrLineare Abbildungen und Gleichungssysteme
Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Klaus-R Loeffler Lineare Abbildungen Definition: Lineare Abbildung Es wird vorausgesetzt, dass V und W Vektorräume sind Eine Abbildung f von V in W heißt dann
MehrNatürliche, ganze und rationale Zahlen
Natürliche, ganze und rationale Zahlen Zunächst haben die zum Zählen verwendeten natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3,... nichts mit dem reellen Zahlen zu tun. Durch die ausgezeichnete reelle Zahl 1 (Maßeinheit!)
Mehr$Id: vektor.tex,v /01/21 14:35:13 hk Exp $
Mathematik für Physiker I, WS 2/2 Freitag 2 $Id: vektortex,v 5 2//2 4:35:3 hk Exp $ Vektorräume 2 Untervektorräume und Erzeugendensysteme Am Ende der letzten Sitzung hatten wir wieder einmal den Lösungsraum
Mehr70 IV. ENDLICH-DIMENSIONALE VEKTORRÄUME
IV. Endlich-dimensionale Vektorräume Unter einem endlich-dimensionalen Vektorraum verstehen wir einen Vektorraum, der eine endliche Basis besitzt. Die entscheidende Beobachtung ist die Tatsache, dass in
Mehr4. Übung zur Linearen Algebra I -
4. Übung zur Linearen Algebra I - en Kommentare an Hannes.Klarner@Fu-Berlin.de FU Berlin. WS 2009-10. Aufgabe 13 Auf dem Cartesischen Produkt Z Z werden 2 Verknüpfungen, definiert durch: Man zeige: (a
Mehr10.2 Linearkombinationen
147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition
MehrIV.3. RANG VON MATRIZEN 81
IV3 RANG VON MATRIZEN 8 Ist b,,b n eine Basis des reellen Vektorraums V, dann bildet b,,b n auch eine Basis des komplexen Vektorraums V C Mit V ist daher auch V C endlichdimensional und es gilt dim C V
Mehrx 2 + y 2 = f x y = λ
Lineare Abbildungen Def Es seien (V 1,+, ) und (V 2,+, ) zwei Vektorräume Eine Abbildung f : V 1 V 2 heißt linear, falls für alle Vektoren u,v V 1 und für jedes λ R gilt: f (u + v) = f (u) + f (v), f (λu)
Mehr3. Übungsblatt zur Lineare Algebra I für Physiker
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Mirjam Dür Dipl. Math. Stefan Bundfuss. Übungsblatt zur Lineare Algebra I für Physiker WS 5/6 6. Dezember 5 Gruppenübung Aufgabe G (Basis und Erzeugendensystem) Betrachte
MehrLineare Abbildungen und Matrizen
Lineare Abbildungen und Matrizen Seien V und W K-Vektorräume mit dimv = n und dimw = m Im folgenden wollen wir jeder m n Matrix eine lineare Abbildung V W zuordnen, und umgekehrt jeder linearen Abbildung
MehrLineare Algebra I (WS 13/14)
Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 05.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 14 Linearkombinationen Definition Es sei V ein reeller Vektorraum. Es sei (v i ) i
MehrDefinitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht
Seite 1 Definitionen affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht ähnliche Matrizen Matrizen, die das gleiche charakteristische Polynom haben
MehrVektorräume und lineare Abbildungen
Kapitel 11. Vektorräume und lineare Abbildungen 1 11.1 Vektorräume Sei K ein Körper. Definition. Ein Vektorraum über K (K-Vektorraum) ist eine Menge V zusammen mit einer binären Operation + einem ausgezeichneten
MehrLineare Algebra I. Lösung 9.2:
Universität Konstanz Wintersemester 2009/2010 Fachbereich Mathematik und Statistik Lösungsblatt 9 Prof. Dr. Markus Schweighofer 20.01.2010 Aaron Kunert / Sven Wagner Lineare Algebra I Lösung 9.1: Voraussetzung:
MehrMusterlösung zur Probeklausur Lineare Algebra I
Musterlösung zur Probeklausur Lineare Algebra I Aufgabe 1 5 Punkte: Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch? Setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz. Für jede korrekte Antwort erhalten Sie
MehrSpickzettel Mathe C1
Spickzettel Mathe C1 1 Mengenlehre 1.1 Potenzmenge Die Potenzmenge P (Ω) einer Menge Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω. Dabei gilt: P (Ω) := {A A Ω} card P (Ω) = 2 card Ω P (Ω) 1.2 Mengenalgebra Eine
Mehrx y f : R 2 R 3, Es gilt: Bild f = y : wobei x,y R Kern f = 0 (wird auf der nächsten Folie besprochen)
Def Wiederholung Sei f : V U eine lineare Abbildung Das Bild von f ist die folgende Teilmenge von U: Bild f = {u U so dass es gibt ein Element v V mit f (v) = u} (Andere Bezeichnung: f (V) wird in Analysis-Vorlesung
Mehr11.2 Orthogonalität. Wintersemester 2013/2014
Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Wintersemester 2013/2014 Markus Scheighofer Lineare Algebra I 11.2 Orthogonalität Definition 11.2.1. Seien V ein K-Vektorraum mit Skalarprodukt
Mehri) ii) iii) iv) i) ii) iii) iv) v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung): Winkel zwischen zwei Vektoren : - Für schreibt man auch.
Abbildungen Rechnen Matrizen Rechnen Vektoren Äquivalenzrelation Addition: Skalarmultiplikation: Skalarprodukt: Länge eines Vektors: Vektorprodukt (im ): i ii i ii v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung):
MehrZusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren
Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier
MehrMusterlösung zur Nachklausur Lineare Algebra I
Musterlösung zur Nachklausur Lineare Algebra I Aufgabe 1 5 Punkte: Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw falsch? Setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz Für jede korrekte Antwort erhalten Sie 0,5
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)
MehrLineare Algebra Weihnachtszettel
Lineare Algebra Weihnachtszettel 4..008 Die Aufgaben auf diesem Zettel sind zum Üben während der Weihnachtspause gedacht, sie dienen der freiwilligen Selbstkontrolle. Die Aufgaben müssen nicht bearbeitet
Mehr4 Lineare Abbildungen und Matrizen
Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 8 4 Lineare Abbildungen und Matrizen 4 Kern und Injektivität 4 Definition: Sei : V W linear Kern : {v V : v } ist linearer eilraum von V Ü68 und heißt
MehrDefinitionen. b) Was bedeutet V ist die direkte Summe von U und W? V ist direkte Summe aus U und W, falls V = U + W und U W = {0}.
Technische Universität Berlin Wintersemester 7/8 Institut für Mathematik 9. April 8 Prof. Dr. Stefan Felsner Andrea Hoffkamp Lösungsskizzen zur Nachklausur zur Linearen Algebra I Aufgabe ++ Punkte Definieren
MehrKLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG
KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I Wiederholungsprüfung MUSTERLÖSUNG. April 2008 Name: Studiengang: Aufgabe 2 3 4 5 6 Summe Punktzahl /50 Allgemeine Hinweise: Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen jeweils unter
MehrAffine und projektive Räume
Affine und projektive Räume W. Kühnel Literatur hierzu: G.Fischer, Analytische Geometrie, 7. Aufl., Vieweg 2001 Zur Motivation: Wenn man in einem Vektorraum die Elemente nicht als Vektoren, sondern als
MehrDer Kern einer Matrix
Die elementaren Zeilenoperationen p. 1 Der Kern einer Matrix Multipliziert man eine Matrix mit den Spaltenvektoren s 1,..., s m von rechts mit einem Spaltenvektor v := (λ 1,..., λ m ) T, dann ist das Ergebnis
MehrLineare Algebra I. Lösung 3.1:
Universität Konstanz Wintersemester 2009/2010 Fachbereich Mathematik und Statistik Lösungsblatt 3 Prof. Dr. Markus Schweighofer 18.11.2009 Aaron Kunert / Sven Wagner Lineare Algebra I Lösung 3.1: (a) Sei
Mehr8 Lineare Abbildungen und Matrizen
8 Lineare Abbildungen und Matrizen 8.1 Lineare Abbildungen Wir beschäftigen uns nun mit Abbildungen zwischen linearen Räumen. Von besonderem Interesse sind Abbildungen, die die Struktur der linearen Räume
Mehr1 Loesungen zu Analysis 1/ 1.Uebung
Loesungen ausgewaehlter Beispiele zu Analysis I, G. Bergauer, Seite 1 1 Loesungen zu Analysis 1/ 1.Uebung 1.1 Einleitung Gegeben Mengen X, A mit A X. Sei die Menge durch A = {a X : a erfuellt B} gegeben,
MehrLineare Abbildungen. Es seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, falls. d.h.
Lineare Abbildungen Es seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, falls (1) u, v V : f( u + v) = f( u) + f( v). (2) v V α K : f(α v) = αf( v).
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker I Wintersemester 3/ Aufgabenblatt 6. Januar Präsenzaufgaben
MehrGrundlagen der Mathematik 1
Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010, Blatt 14 Thomas Markwig Stefan Steidel Grundlagen der Mathematik 1 Die Lösungen müssen nicht eingereicht werden und werden auch nicht korrigiert. Die Aufgaben
MehrEigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
MehrAusgangsfrage: gegeben Vektorraum, wieviele Komponenten hat. allgemein: ein Vektorraum mit, heisst 'Unterraum' von. ist ein Unterraum von V.
L2.3 Basis und Dimension Ausgangsfrage: gegeben Vektorraum, wieviele Komponenten hat Formaler: was ist die 'Dimension' von Sei Definition: 'Span' 'lineare Hülle' = alle möglichen Linearkombination der
MehrVektorräume. Kapitel Definition und Beispiele
Kapitel 3 Vektorräume 3.1 Definition und Beispiele Sei (V,,0) eine abelsche Gruppe, und sei (K, +,, 0, 1) ein Körper. Beachten Sie, dass V und K zunächst nichts miteinander zu tun haben, deshalb sollte
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 205/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2
MehrFU Berlin: WiSe (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5. Aufgabe 18. Aufgabe 20. (siehe Musterlösung Zettel 4)
FU Berlin: WiSe 13-14 (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5 Aufgabe 18 (siehe Musterlösung Zettel 4) Aufgabe 20 In der Menge R der reellen Zahlen sei die Relation 2 R 2 definiert durch: x 2 y :
MehrÜbungen zur Diskreten Mathematik I Blatt 6
1 Blatt 6 Aufgabe 19 Es sei M := {n N : n 2} und R := {(n, m) M M : n teilt m}. a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation auf M ist. b) Überprüfen Sie, ob R eine totale Ordnung auf M ist. c) Zeigen Sie,
Mehr9 Aus der linearen Algebra. Themen: Lineare Abbildungen Darstellung durch Matrizen
9 Aus der linearen Algebra Themen: Der à n Lineare Abbildungen Darstellung durch Matrizen Der à n besteht aus den n-tupeln mit x i Ã. x 1 x 2 x = (x 1, x 2,...,x n ) oder x =. x n Der à n besteht aus den
MehrLineare Algebra und Analytische Geometrie I für die Fachrichtung Informatik
Universität Karlsruhe (TH) Institut für Algebra und Geometrie Dr. Klaus Spitzmüller Dipl.-Inform. Wolfgang Globke Lineare Algebra und Analytische Geometrie I für die Fachrichtung Informatik Lösungen zum
Mehr10 Kapitel I: Anschauliche Vektorrechnung
10 Kapitel I: Anschauliche Vektorrechnung haben. In Mengenschreibweise ist G = {x x = a + tb für ein t R}. Wir werden für diese einführenden Betrachtungen im Interesse einer knappen Redeweise jedoch häufig
Mehr2 Die Dimension eines Vektorraums
2 Die Dimension eines Vektorraums Sei V ein K Vektorraum und v 1,..., v r V. Definition: v V heißt Linearkombination der Vektoren v 1,..., v r falls es Elemente λ 1,..., λ r K gibt, so dass v = λ 1 v 1
MehrKapitel 2: Mathematische Grundlagen
[ Computeranimation ] Kapitel 2: Mathematische Grundlagen Prof. Dr. Stefan M. Grünvogel stefan.gruenvogel@fh-koeln.de Institut für Medien- und Phototechnik Fachhochschule Köln 2. Mathematische Grundlagen
Mehr