10 Formale Grundlagen

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1 95 10 Formale Grundlagen 10.1 Mengentheorie Die Aussagen hierzu sind aus [?, S.13-21] und [?, S ]. In [?] sind die nötigsten Aussagen zusammengefaßt. In [?] sind insbesondere Links und Rechtsinverse und Faktormengen ausführlich beschrieben. Die Definitionen der Mengenoperationen in der Potenzmenge und die Definition der inversen Funktion mit Hilfe der kanonischen Potenzfunktion scheinen neu zu sein Mengen Mengen A, B, X, Y,... Mit Mengen werden die Objekte bezeichnet, die selber nirgendwo enthalten sind. Mengen lassen sich natürlich zu größren Objekten zusammenfassen. Das ist aber nicht sinnvoll. enthalten sein: x X. Jedes Objekt (bis auf die Mengen) liegt in Mengen. Es gilt stets, x X oder x X. Gleichheit: x = y bedeutet x und y ist dasselbe Objekt Teilmengen: Eine Teilmenge der Menge X ist eine Menge, die nur Elemente aus X enthält Funktionen Funktionen sind eindeutige Abbildungen einer Menge X in eine andere Menge Y f : X Y, x X =! y Y : f(x) = y Wertebereich: von f ist die Teilmenge in Y, für die es Elemente aus X gibt, deren Bild sie sind. R(f) = y Y x X : f(x) = y f heißt injektiv y R(f)! x X : f(x) = y. Das heißt, f bildet eineindeutig X auf R(f) ab. f ist f heißt surjektiv y Y x X : f(x) = y f heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Komposition Es seien f : X Y und g : Y Z Funktionen, dann ist h = g f eine Funktion, die X in Z nach der Vorschrift h(x) = g ( f(x) ) abbildet. Es gelten die Aussagen (siehe [?, S.24] f, g injektiv = g f injektiv g f injektiv = f injektiv, g injektiv eingeschränkt auf R(f) f, g surjektiv = g f surjektiv g f surjektiv = g surjektiv f injektiv, f g = f h = f surjektiv, g f = h f = g = h g = h

2 96 10 FORMALE GRUNDLAGEN Die letzten beiden Aussagen folgen aus der Existenz der Links bzw. Rechtsinversen (siehe nächsten Punkt). Beispiele: Die identische Funktion i X : X X ist definiert durch die Vorschrift i X (x) = x. Ist X Y, dann wird die natürliche Einbettung i XY : X Y definiert durch die Vorschrift i XY (x) = x. Ist X Y und f : Y Z, dann ist die Einschränkung f X : X Z von f auf X definiert als f X = f i XY. Menge aller Funktionen M(X, Y) Inverse Funktionen Es sei f : X Y. Es gilt (siehe[?, S.95]): g : Y X : g f = i X f injektiv, g heißt Linksinverse g ( f(x) ) = x g : Y X : f g = i Y f surjektiv, g heißt Rechtsinverse f ( g(y) ) = y Linksinverse und Rechtsinverse sind nicht eindeutig. f heißt invertierbar wenn f bijektiv ist. Das heißt, die Abbildung, die die Funktion f rückgängig macht ist wieder eine Funktion f : X Y, f 1 : Y X f 1 heißt Inverse, ist eindeutig und Links und Rechtsinverse. f ( f 1 (x) ) = f 1( f(x) ) = x Oft wird die inverse Funktion auf Mengen verwendet (z.b. bei der Definition stetiger Funktionen). A-priori ist aber weder klar, daß so eine Funktion existiert, da f weder surjektiv noch injektiv sein muß, außerdem ist f als Abbildung zwischen Elementen von Mengen definiert, es ist also nicht klar, was f(x) ist. Konsistent scheint f(x) nur auf der Potenzmenge und mit einer Ordnungsrelation zu definieren sein Produktmenge Die Produktmenge der Mengen X und Y ist die Menge der geordneten Paare (x, y): X Y = (x, y) x X, y Y Jede Funktion f : X Y läßt sich als Teilmenge von X Y betrachten, nämlich die Menge der Paare (x, f(x)). Die inverse Abbildung zu f ist die Menge der Paare (f(x), x).

3 10.1 Mengentheorie Potenzmenge Die Potenzmenge P(X) = 2 X ist die Menge aller Teilmengen von X. Es gilt X P(X) und per Definition P(X). Zwischen den Elementen der Potenzmenge ist eine Relation definiert, die Enthaltung : X Y bedeutet x X gilt x Y. Offenbar gilt X P(X): X und X X. Zwischen den Elementen in P(X) lassen sich Operationen definieren Vereinigung : X Y = x X x X x Y Schnitt : X Y = x X x X x Y Differenz \: X \ Y = x X x X x Y Complement C X : C X X = x X x X = X \ X Es gelten die Zusammenhänge (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C) C X (A B) = Ist I eine beliebige Indexmenge, dann ist α I A α und α I A α definiert, wobei in dem Fall, daß I = A α = X α I A α = und α I gesetzt wird (siehe [?, S. 17]). Die Potenzmenge ist der Prototyp zur Definition von Äquivalenzrelationen, Ordnungsrelationen und binären Operationen. Die kanonische Einbettung i P : X P(X) wirkt nach der Vorschrift i P (x) = x Die kanonische Potenzmengenfunktion Jede Funktion f : X Y generiert eine kanonische Potenzmengenfunktion ˆf : P(X) P(Y) nach der Vorschrift ˆf(X) = Y Y f(x) Y, x X Wegen P(X) ist ˆf( ) zu definieren. Das steht nirgens, sinnvoll scheinen aber nur die Varianten ˆf( ) = Y \ R(f) (43)

4 98 10 FORMALE GRUNDLAGEN oder ˆf( ) = (44) zu sein. Beide haben Nachteile. Die erste macht ˆf surjektiv auf P(Y) \, die zweite auf P(Y) \ R(f). Die Art, mit der ˆf 1 normalerweise verwendet wird, favorisiert (43). Die kanonische Potenzmengenfunktion hat folgende Eigenschaften: ˆf(A B) ˆf(A) ˆf(B) ˆf(A B) = ˆf(A) ˆf(B) ˆf(C X A) C Y ˆf(A) ˆf(X) = R(f) ˆf(X 1 ) = Y, ˆf(X2 ) = Y = ˆf(X 1 X 2 ) = Y Die letzte Eigenschaft zeigt, daß ˆf nicht injektiv ist. Aber surjektiv mit Ausnahme von P(Y). Es existiert also eine Rechtsinverse ˆf 1 mit ˆf 1 : P(Y) \ P(X), ˆf( ˆf 1 (Y ) ) = Y, Y ˆf 1 ist nicht eindeutig, unter Berücksichtigung der natürlichen Ordnungsrelation P ist es aber sinnvoll ˆf 1 eindeutig zu definieren: ˆf 1 (Y ) = sup X 0 P(X) ˆf(X 0 ) = Y wegen der Ordnungsrelation in P ist das äquivalent zu ˆf 1 (Y ) = sup X 0 P(X) ˆf(X 0 ) Y Die inverse Potenzmengenfunktion hat folgende Eigenschaften: ( ˆf 1 ˆf ) (Y ) = ˆf ( ˆf 1 (Y ) ) = Y ( ˆf 1 ˆf ) (X) = ˆf 1( ) ˆf(X) X ˆf 1 (y) = A y = sup A X x A : f(x) = y ˆf 1 (Y =, Y Y \ R(f) ˆf ( ˆf 1 ( ) ) = ˆf( ) = Y \ R(f) ˆf 1 (A B) = ˆf 1 (A B) = ˆf 1 (A) ˆf 1 (B) ˆf 1 (A) ˆf 1 (B) Die letzte Eigenschaft unterscheidet sich gerade von der entsprechneden von ˆf und bedeutet gerade den Unterschied zwischen einer Abbildung und einer Funktion. Man könnte eine Funktion f auch als Abbildung definieren, deren inverse die Mengenoperationen erhält. Mit Hilfe der kanonischen Einbettung i P und der Potenzmengenfunktion kann man entsprechend dem folgenden Diagramm zu jeder Funktion f eine Funktion f bilden.

5 10.1 Mengentheorie 99 X P(X) f ˆf ˆf 1 Y P(Y) i P(Y) ( ) f(x) = ˆf 1 i P(Y) f (x) = A f,x A f,x ist die Menge aller Punkte in X, die das gleiche Bild wie x, nämlich f(x) erzeugen. Es gilt x A f,x. Die A f,x bilden eine disjunkte Zerlegung von X. Übrigens: Die Funktion ( i P(Y) f ist injektiv. ) (y) = A y Äquivalenz, Faktormenge Das ist sehr verständlich in [?, S.16-21] erklärt, allerdings ohne Faktormenge. Ausführlich steht alles in [?, S.124ff]. Eine Äquivalenzrelation ϕ ist eine Teilmenge der Produktmenge X X mit folgenden Eigenschaften: Für alle x X gilt (x, x) ϕ. (x, y) ϕ = (y, x) ϕ. (x, y) ϕ, (y, z) ϕ = (x, z) ϕ Der Zusammenhang zur üblichen Äquivalenzrelation besteht in (x, y) ϕ x y Eine Äquivalenzrelation zerlegt die Menge X in Teilmengen (oder Klassen) A ϕ,x : A ϕ,x = y X (x, y) ϕ A ϕ,x sind also alle die Elemente, die Äquivalent zu x sind. Es gilt x A ϕ,x, A x = X und x X A x A y = x y Die Faktormenge X = A ϕ,x x X P(X) ϕ ist die Menge der Klassen der Äquivalenzrelation. Die Funktion f ϕ = X X, f ϕ (x) = A ϕ,x ϕ heißt die kanonische Faktorfunktion.

6 FORMALE GRUNDLAGEN X A 3 A 2 A 1 X Das Bild zeigt den Fall, daß X aus 3 Äquivalenzklassen besteht. ϕ besteht aus drei Quadraten, die symmetrisch bezüglich der Diagonalen liegen. X = A 1, A 2, A 3 ϕ Beispiele: A 1 A 2 A 3 Jede Funktion f : X Y definiert eine Äquivalenzrelation ϕ f auf folgende Weise: (x, y) ϕ y f(x) = A f,x. In eine Äquivalenzklasse gehören alle Punkte, die das gleiche Bild wie x, nämlich f(x) erzeugen. Alle Funktionen, die mengentheoretisch das gleichen Abbildungsverhalten haben, erzeugen die gleiche Äquivalenzklassenstruktur. fϕ = f = ˆf 1 i P(Y) f ϕ f = A x A x P(X X) x R(f) Ist f : X Y injektiv (falls Y = X, erzeugt jede injektive Funktion die gleichen Äquivalenzklassen wie die identische), so besteht jede Äquivalenzklasse nur aus dem Punkt x. Die Äquivalenzrelation besteht nur aus der Diagonalen: (x, y) ϕ x = y. Es gilt A ϕ,x = x und f ϕ = i P(X). Diese spezielle Relation ϕ heißt feinste. Das Bild von ϕ besteht aus der kleistmöglichen Menge, der Diagonalen. Ist f : X Y konstant f(x) = c, gibt es nur eine Äquivalenzklasse, X. (x, y) ϕ x X und y X. Diese spezielle Relation ϕ heißt gröbste. Das Bild von ϕ besteht aus allen Punkten der Menge X X. Jeder Isomorphismus erzeugt eine Äquivalenzrelation zwischen den Objekten zwischen denen er wirkt und teilt die Menge aller solcher Objekte (wenn es diesen Begriff überhaupt gibt) in Klassen zueinander isomorpher. M(X, Y), wobei Y beliebig ist, läßt sich in alle die unterteilen, die gleiche X bilden. ϕf Jede Zerlegung X = A α mit A α A β = ; α I definiert eine Äquivalenzrelation. f : X I, f(x) = α; x A α ist der Prototyp so einer Äquivalenzrelation.