1.4 Äquivalenzrelationen

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1 8 1.4 Äquivalenzrelationen achdem nun die axiomatische Grundlage gelegt ist, können wir uns bis zur Einführung der Kategorien das Leben dadurch erleichtern, daß wir bis dorthin, also bis auf weiteres, voraussetzen, alle betrachteten Klassen seien Mengen. Um dies deutlich zu machen, verwenden wir für die betrachteten Mengen Großbuchstaben wie L, M,,... Darüberhinaus unterstellen wir, daß f: M stets bedeute, M sei der Definitionsbereich von f Definition (Äquivalenzrelation) Sei R M M, kurz: eine Relation auf M. Sie heißt genau dann Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, also wenn, für alle x, y, z M, folgendes gilt: xrx (Reflexivität), xry yrx (Symmetrie), ((xry) (yrz)) xrz (Transitivität). Die zu einem Element m von M äquivalenten Elemente bilden die sogenannte Äquivalenzklasse von m : [m] R := {m mrm }. Die wichtigste Eigenschaft von Äquivalenzrelationen ist die folgende: 1.4. Satz Jede Äquivalenzrelation R auf einer Menge M ergibt eine Partition von M, das heißt eine vollständige Zerlegung von M, [m] R = M, in disjunkte Teilmengen: m M ([m] R [m ] R ) ([m] R [m ] R = ). Beweis: Die Reflexivitätsbedingung garantiert, daß jedes m in mindestens einer Äquivalenzklasse liegt, z.b. in [m] R. Mit Transitivität und Symmetrie folgt, daß verschiedene Klassen disjunkt sind: [m] R [m ] R = [m] R [m ] R =. Wir beweisen die Kontraposition hiervon: Sei x [m] R [m ] R. Es gilt hierfür nach der Definition der Äquivalenzklasse: mrx m Rx. Mit der Symmetrieeigenschaft von R folgt mrx xrm, was mit der Transitivität die Äquivalenz von m und m liefert, mrm. Hieraus ergibt nochmalige Anwendung von Transitivität und Symmetrie die beiden Inklusionen [m] R [m ] R und [m] R [m ] R, woraus die Gleichheit der beiden Äquivalenzklassen folgt.

2 1.4. ÄQUIVALEZRELATIOE Beispiele Die Gleichheit = ist eine Äquivalenzrelation (auf jeder Menge M). Jede vollständige Zerlegung in disjunkte Teilmengen M = eine Äquivalenzrelation R : mrm : i: m, m M i.. i I M i liefert Jede Funktion f: M (bzw. kurz: f M ) induziert auf ihrem Definitionsbereich M die folgende Relation R f : mr f m : f(m) = f(m ). Diese Äquivalenzrelation heißt auch die von f auf M induzierte Äquivalenzrelation. Zu einer gegebenen Äquivalenzrelation R auf M bezeichnen wir mit M R die Menge ihrer Äquivalenzklassen: M R := {[m] R m M}. Viele Strukturen der Mathematik können als solche Äquivalenzklassenmengen definiert werden, d.h. durch Wahl geeigneter Mengen M und geeigneter Äquivalenzrelationen auf diesen. Besonders prominente Beispiele sind die folgenden Beispiele (Konstruktion von Z und Q) Die Konstruktion von Z aus : Ihr liegt die Idee zugrunde, daß man jede ganze Zahl z als Differenz zweier natürlicher Zahlen n 1, n schreiben kann: z = n 1 n. Dabei ist allerdings zu beachten ist, daß diese Darstellung nicht eindeutig ist, man faßt deshalb die Paare (n 1, n ), mit deren Hilfe man z als solche Differenz darstellen kann zu einer Äquivalenzklasse zusammen: Wir betrachten und setzen die Addition natürlicher Zahlen als bekannt voraus (die man auch als mengentheoretische Operation formulieren kann: n + m := (n + (m 1)) + ). Auf betrachten wir die folgende Äquivalenzrelation: (n 1, n )R(n 3, n 4 ) : n 1 + n 4 = n + n 3. Wir setzen dann Z := ( ) R, und anstelle von [(n 1, n )] R schreiben wir n 1 n, falls n 1 (n n 1 ), falls n 1 < n, und 0 sonst. > n bzw.

3 30 Die Konstruktion von Q aus Z : Hier liegt dem vorigen Punkt ganz entsprechend die Idee zugrunde, daß jede rationale Zahl ja ein Quotient r = z1 z aus ganzen Zahlen ist, wobei der enner natürlich von ull verschieden sein muß. Diese Darstellung ist ebenfalls nicht eindeutig, so daß die entsprechende Äquivalenzrelation betrachtet wird: Gegeben sei Z und die Multiplikation ganzer Zahlen (auch diese läßt sich mengentheoretisch einführen, ähnlich wie die Addition!). Die Menge der von ull verschiedenen ganzen Zahlen sei mit Z bezeichnet, auf Z Z wird die folgende Äquivalenzrelation betrachtet: Wir setzen (z 1, z )R(z 3, z 4 ) : z 1 z 4 = z z 3. Q := (Z Z ) R und bezeichnen die Äquivalenzklassen wie üblich in der folgenden Weise: Für diese Brüche gilt infolgedessen: z 1 z := [(z 1, z )] R. z 1 z = z 3 z 4 z 1 z 4 = z z 3. Viele Strukturen in Mathematik und aturwissenschaften kann man bequem mit Hilfe von Äquivalenzrelationen auf Mengen von Abbildungen definieren. Ein interessantes Beispiel bilden die (unnumerierten) Graphen, die man als Äquivalenzklassen numerierter Graphen definiert, wie wir gleich sehen werden. umerierte Graphen kann man nicht vermeiden, denn beispielsweise sind Computer nur zur Verarbeitung von Mengen in der Lage, deren Elemente ummern tragen. Die numerierten Graphen mit n Punkten kann man wie folgt als Menge Y X := {f f: X Y } aller Abbildungen von einer geeigneten Menge X in eine geeignete Menge Y definieren. Man numeriert zunächst die Punkte von 0 bis n 1 und identifiziert die Menge n = {0,..., n 1} der ummern der Punkte mit der Punktemenge selbst. Dann betrachtet man die Menge der Punktepaare, ( ) n := {{i, j} i, j n, i j}. Für X nimmt man diese Menge, für Y die Menge = {0, 1} und betrachtet die Menge von Abbildungen Y X := (n )

4 1.4. ÄQUIVALEZRELATIOE 31 von der Menge der Punktepaare in die Menge {0, 1}. Ist γ in dieser Menge, dann interpretiert man den Wert γ({i, j}) = 1 als die Punkte i und j sind durch eine Kante verbunden. Hier ist ein Beispiel: Dieser Graph wird auf diese Weise mit der folgenden Abbildung identifiziert: {0, 1} 0, ( ) {0, } 0, 4 {0, 3} 1, f: {0, 1}, {1, } 1, {1, 3} 0, {, 3} 1. Demnach kann die Menge der numerierten Graphen mit n Punkten mit dieser Menge von Abbildungen γ: ( n ) {0, 1} gleichgesetzt werden. Die unnumerierten Graphen mit n Punkten definiert man weil es bei ihnen auf die ummern der Punkte nicht mehr ankommt als die Äquivalenzklassen der folgenden Relation R : Zwei numerierte Graphen heißen äquivalent oder isomorph, wie man auch sagt, wenn sie durch Umnumerierung auseinander hervorgehen. Hier sind zwei äquivalente Graphen mit 4 Punkten: Da beliebiges Umnumerieren zugelassen wird, kann man eine solche Äquivalenzklasse numerierter Graphen durch einen Graphen repräsentieren, den man durch Weglassen der ummern aus irgendeinem Element der Klasse bekommt. Hier ist der unserem Beispiel auf diese Weise entsprechende unnumerierte Graph: Solche unnumerierten Graphen dienen als Wechselwirkungsmodelle in Chemie, Physik und Wirtschaftswissenschaften, zum Beispiel zur Beschreibung von Molekülen (ein bekanntes Beispiel ist der Benzolring) oder von Schaltkreisen oder von Betriebsabläufen (etzplantechnik) usw.

5 3 Es ist bereits erwähnt worden, daß Abbildungen ein wichtiges Werkzeug zur Untersuchung von algebraischen Strukturen sind. Oft sind diese Funktionen recht kompliziert, und man sucht nach Wegen, ihre Anwendung in kleine, möglichst übersichtliche Schritte zu zerlegen. Beispielsweise kann man oft eine gegebene Funktion f: L in zwei Faktoren g: L M und h: M zerlegen, sie faktorisieren: f = h g, als Komposition zweier Abbildungen schreiben. Zur Erinnerung: f(x) = (h g)(x) = h(g(x)). Man drückt das gerne in Form eines Diagramms aus: L g M f h Man sagt, dieses Diagramm sei kommutativ, wenn f = h g gilt, und bezeichnet diesen Fall so: g L M f h Sehr wichtig ist die folgende Charakterisierung der Faktorisierbarkeit (d.h. die Angabe einer notwendigen und hinreichenden Bedingung hierfür): Der Abbildungssatz Ist L eine nicht leere Menge, f eine Abbildung von L nach, g eine Abbildung von L nach M, dann ist f genau dann über g faktorisierbar, d.h. es gibt ein h: M mit f = h g, L g f M h wenn die induzierten Äquivalenzrelationen so ineinander liegen: R g R f. Ist g surjektiv, dann ist h eindeutig bestimmt. Ist f surjektiv, dann ist auch h surjektiv, und ist g surjektiv sowie R f = R g, dann ist h injektiv.,

6 1.4. ÄQUIVALEZRELATIOE 33 Beweis: i) Beweisen wir zunächst die Faktorisierbarkeit von f. Wegen L sind M und ebenfalls nicht leer. Wir können deshalb ein n 0 auswählen und damit die folgende Zuordnung treffen: { n0, falls m Bild(g) h: M, m. f(l), falls m = g(l). Sie definiert eine Funktion, denn die Voraussetzung R g R f Implikation g(l) = g(l ) = f(l) = f(l ). liefert die Für diese Abbildung gilt ganz offensichtlich f = h g, sie faktorisiert also f. ii) Sei umgekehrt f = h g. Die Gleichheit g(l) = g(l ) impliziert dann also die Implikation R g R f. f(l) = h(g(l)) = h(g(l )) = f(l ), iii) Die übrigen Behauptungen sind ebenso leicht nachzuprüfen: Daß die Surjektivität von g die Abbildung h festlegt, ist klar (vgl. die Definition von h), ebenso, daß die Surjektivität von f die von h impliziert. Falls g surjektiv ist und R f = R g, dann ergibt sich die Injektivität von h wie folgt: Sei h(m) = h(m ). Wegen der Surjektivität von g gibt es l, l mit m = g(l) und m = g(l ). Die Faktorisierung f = h g liefert f(l) = f(l ), was wegen der Gleichheit der Relationen die Identität g(l) = g(l ), also auch m = m impliziert, wie behauptet. Ein Beispiel hierfür ist gegeben, wenn R eine Äquivalenzrelation ist mit R R f, denn dann läßt sich f über faktorisieren: ν R : L M, l [l] R L ν R M f h.

7 34 Betrachten wir als erste Anwendung die natürliche Faktorisierung einer Abbildung mit Hilfe der von ihr induzierten Äquivalenzrelation: ν M Rf M Rf f [m] Rf f(m) Mit anderen Worten:jede Abbildung f: M läßt sich mit Hilfe von zerlegen: ν Rf : M M Rf, m [m] Rf M M Rf Bild(f) m [m] Rf f(m) f(m). (Dabei wird mit wie meist üblich die sogenannte Einbettung bezeichnet, das ist, für M, die Abbildung m m.) Insbesondere gilt M Rf Bild(f), d.h. M Rf und Bild(f) sind im wesentlichen dasselbe. Eine weitere Anwendung ist Der Satz über induzierte Abbildungen Ist f eine Abbildung von M nach und sind R und S zwei Äquivalenzrelationen auf M bzw., die mit f wie folgt verträglich sind: mrm = f(m)sf(m ), dann gibt es genau eine Abbildung h: M R S, die das folgende Diagramm kommutativ ergänzt: M f ν R ν S M R S. Beweis: Übungsaufgabe! Weitere Abbildungssätze werden wir bei Bedarf kennenlernen. Damit sind die grundlegenden Definitionen, Axiome und Resultate der Mengenlehre zusammengestellt, so daß wir uns jetzt den algebraischen Strukturen zuwenden können. Dabei werden wir über die bereits erwähnten Resultate hinaus die Grundeigenschaften von, Z, Q, R und C als bekannt voraussetzen., Z und Q wurden definiert, Konstruktionen von R und C werden Sie in der Analysis-Vorlesung kennenlernen.

8 1.4. ÄQUIVALEZRELATIOE 35 Aufgabe Sei R eine Äquivalenzrelation auf der nichtleeren Menge M. Zeigen Sie, daß durch (x, y)s(u, v) : (xru yrw) eine Äquivalenzrelation S auf M M definiert wird, und daß für die Äquivalenzklassen gilt: [(x, y)] S = [x] R [y] R := {(u, v) M M u [x] R, v [y] R }. Aufgabe 1.4. Beweisen Sie den Satz über induzierte Abbildungen.