ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 4: Mächtigkeit von Mengen

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1 ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 4: Mächtigkeit von Mengen MAA.01011UB MAA.01011PH Vorlesung mit Übung im WS 2016/17 Christoph GRUBER Günter LETTL Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen an der Karl-Franzens-Universität Graz Institut für Allgemeinbildende Fächer der Sekundarpädagogik an der Pädagogischen Hochschule Steiermark

2 Definition (4.1) Es seien A und B nichtleere Mengen. a) Eine Abbildung (oder Funktion) f von A nach B (Schreibweise: f : A B) ist eine Vorschrift, die jedem a A ein eindeutig bestimmtes Bildelement b = f (a) B zuordnet. b) Eine Abbildung f : A B heißt ) injektiv, wenn für alle a, a A gilt: a a f (a) f (a ) ) surjektiv, wenn für jedes b B gilt: a A mit f (a) = b ) bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. c) Es seien f : A B eine Abbildung, A A und B B. Dann heißen f (A ) = {f (x) x A } die Bildmenge von A (unter f ) f 1 (B ) = {x A f (x) B } die Urbildmenge von B (unter f ) und f : A B mit f (x) = f (x) x A die Einschränkung A A von f auf A.

3 Beispiel 4.1: Beweisen Sie für eine Abbildung f : A B folgende Aussagen: a) Ist f injektiv und A A, so ist auch f injektiv. A b) Die Abbildung f : A f (A) ist surjektiv. c) Ist f injektiv, so ist f : A f (A) bijektiv. Beispiel 4.2: Es seien f : A B und g : B A Abbildungen. Beweisen Sie: ist g f bijektiv, so ist f injektiv und g surjektiv.

4 Definition (4.2) a) Die Mengen M und N heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung f : M N gibt. b) Eine Menge M heißt endlich, wenn es ein n N gibt, sodass M und [[1, n]] := {k N 0 < k n} = {1, 2, 3,..., n} gleichmächtig sind. Ist dies der Fall, so heißt n die Mächtigkeit (= Elementanzahl) von M, und wir schreiben #M = M = n. Ist die Menge M nicht endlich, so heißt M eine unendliche Menge, und wir schreiben #M = M =. Beispiel 4.3: Zeigen Sie, dass das offene Intervall (0, 1) und R + = (0, ) gleichmächtig sind!

5 Satz (4.1) Es seien A und B endliche Mengen. Dann gilt: a) Ist A B =, so ist A B = A + B b) Ist A A, so ist A \ A = A A c) A B = A + B A B d) A B = A B

6 Beispiel 4.4: Es seien A und B endliche Mengen. Zeigen Sie: Ist A B, so gilt A < B. Beispiel 4.5: Finden Sie eine bijektive Funktion f : N Z (oder g : Z N)! Folgerung: Z und N sind gleichmächtig.

7 Definition (4.3) Eine Menge M heißt ) abzählbar, wenn M gleichmächtig zu N ist. ) höchstens abzählbar, wenn M endlich oder abzählbar ist. ) überabzählbar, wenn M unendlich und nicht abzählbar ist. Ausblick: Man kann jeder Menge M eine Kardinalzahl card (M) (die Kardinalität von M oder die Elementanzahl von M) derart zuordnen, dass für beliebige Mengen A und B gilt: card (A) = card (B) A und B sind gleichmächtig Kardinalzahlen: 0 < 1 < 2 < 3 < < ℵ 0 < ℵ 1 <...

8 Satz (4.2) Es seien A und B Mengen. Dann gilt: card (A) card (B) eine injektive Funktion f : A B card (A) card (B) eine surjektive Funktion f : A B Beispiel 4.6: Zeigen Sie, dass card ([0, 1]) = card R gilt! Satz (4.3) Für jede Menge M gilt: card (M) < card (P(M)), d.h. die Potenzmenge einer Menge M hat immer eine größere Mächtigkeit als M.

9 Satz (4.2) Es seien A und B Mengen. Dann gilt: card (A) card (B) eine injektive Funktion f : A B card (A) card (B) eine surjektive Funktion f : A B Beispiel 4.6: Zeigen Sie, dass card ([0, 1]) = card R gilt! Satz (4.3) Für jede Menge M gilt: card (M) < card (P(M)), d.h. die Potenzmenge einer Menge M hat immer eine größere Mächtigkeit als M.

10 Satz (4.4) a) Sind A und B abzählbare Mengen, so ist auch A B abzählbar. b) Es sei n N + und A 1, A 2,..., A n (höchstens) abzählbare Mengen. Dann ist auch A 1 A 2 A n (höchstens) abzählbar. c) Q + = { m n m, n N +} ist abzählbar. Satz (4.5) Es seien I eine höchstens abzählbare, nichtleere (Index-)Menge, und für jedes i I sei M i eine höchstens abzählbare Menge. Dann ist auch i I M i höchstens abzählbar. Ist insbesondere mindestens eine der Mengen M i abzählbar, so ist auch i I M i abzählbar.

11 Satz (4.4) a) Sind A und B abzählbare Mengen, so ist auch A B abzählbar. b) Es sei n N + und A 1, A 2,..., A n (höchstens) abzählbare Mengen. Dann ist auch A 1 A 2 A n (höchstens) abzählbar. c) Q + = { m n m, n N +} ist abzählbar. Satz (4.5) Es seien I eine höchstens abzählbare, nichtleere (Index-)Menge, und für jedes i I sei M i eine höchstens abzählbare Menge. Dann ist auch i I M i höchstens abzählbar. Ist insbesondere mindestens eine der Mengen M i abzählbar, so ist auch i I M i abzählbar.

12 Korollar (4.1) Q ist eine abzählbare Menge. Satz (4.6) R ist überabzählbar. Beispiel 4.7: Es sei M eine endliche Menge und a 0 M fix gewählt. Gibt es mehr / gleich viele / weniger Teilmenge von M, die a 0 enthalten als / wie Teilmengen von M, welche a 0 nicht enthalten? Geben Sie einen mathematischen Beweis mit den Begriffen dieses Kapitels! Lässt sich dieses Ergebnis auch für unendliche Mengen M verallgemeinern?

13 Korollar (4.1) Q ist eine abzählbare Menge. Satz (4.6) R ist überabzählbar. Beispiel 4.7: Es sei M eine endliche Menge und a 0 M fix gewählt. Gibt es mehr / gleich viele / weniger Teilmenge von M, die a 0 enthalten als / wie Teilmengen von M, welche a 0 nicht enthalten? Geben Sie einen mathematischen Beweis mit den Begriffen dieses Kapitels! Lässt sich dieses Ergebnis auch für unendliche Mengen M verallgemeinern?

14 Korollar (4.1) Q ist eine abzählbare Menge. Satz (4.6) R ist überabzählbar. Beispiel 4.7: Es sei M eine endliche Menge und a 0 M fix gewählt. Gibt es mehr / gleich viele / weniger Teilmenge von M, die a 0 enthalten als / wie Teilmengen von M, welche a 0 nicht enthalten? Geben Sie einen mathematischen Beweis mit den Begriffen dieses Kapitels! Lässt sich dieses Ergebnis auch für unendliche Mengen M verallgemeinern?

15 Dirichlet scher Schubfachschluss = Taubenschlagprinzip Satz (4.7) Es seien 1 m < n N. Verbale Formulierung: Werden n Gegenstände in m Schubladen gelegt, so gibt es (mindestens) eine Lade, in der (mindestens) zwei Gegenstände liegen. Mathematische Formulierung: Sind G und S endliche Mengen mit G = n > S = m, so existiert keine injektive Funktion f : G S; d.h.: jede Funktion f : G S ist nicht injektiv, also: g 1, g 2 G mit g 1 g 2 und f (g 1 ) = f (g 2 ).

16 Beispiel 4.8: Auf einem stark frequentierten Flughafen starten pro Tag 1500 Flugzeuge. Zeigen Sie, dass es dann zwei Flugzeuge gibt, die innerhalb einer Minute abheben! Beispiel 4.9: Untersuchen Sie, ob es in der Folge 5, 55, 555, 5555, 55555,... eine Zahl gibt, welche durch 7 3 = 343 teilbar ist! Können Sie ein n N angeben, sodass sich bereits unter den ersten n Zahlen dieser Folge eine durch 343 teilbare befindet?

17 Erweiterung von Satz 4.1 Satz (4.8) Es seien 1 n N und A 1, A 2,..., A n endliche Mengen. Dann gilt: a) n n A i A i i=1 In dieser Ungleichung gilt,,= genau dann, wenn A 1, A 2,..., A n paarweise disjunkt sind, d.h.: für alle 1 i < j n gilt: A i A j =. i=1 b) A 1 A 2 A n = n A i i=1 c) Es seien A und B endliche, nichtleere Mengen und Abb(A, B) = {f f ist eine Abbildung von A nach B}. Dann ist Abb(A, B) = B A.

18 Inklusions-Exklusions-Formel Satz (4.9) Es seien 1 n N und A 1, A 2,..., A n endliche Mengen. Dann gilt: n A i = i=1 n ( ( 1) k 1 k=1 J {1,2,...,n} mit J =k ) A j j J

19 Beispiel 4.10: Vor einem Stadion werden an 400 Fussballfans 150 Hüte, 150 Schals und 200 Fahnen verteilt. Kein Fan erhält mehrere Hüte bzw. mehrere Schals bzw. mehrere Fahnen. 45 Fans haben einen Hut, einen Schal und eine Fahne; 30 Fans haben eine Fahne und einen Schal; 18 Fans haben einen Schal und einen Hut; 25 Fans haben einen Hut und eine Fahne. Wie viele Fussballfans haben keinen Fanartikel erhalten? Beispiel 4.11: Wie viele natürliche Zahlen zwischen 1 und 100 (genauer: in der Menge [[1, 100]]) gibt es, die durch 2, 3 oder 5 teilbar sind?

20 Satz (4.10) Es seien A und B endliche Mengen mit A = k, B = n. Die Anzahl der injektiven Funktionen f : A B beträgt k 1 (n i) = n (n 1) (n k + 1) i=0 Lemma (4.11) Es seien A und B zwei endliche Mengen mit A = B = n. Dann ist jede injektive Funktionen f : A B bijektiv. Satz (4.12) Seien A und B zwei (eventuell gleiche) endliche Mengen mit n 1 Elementen. Dann gibt es genau n! bijektive Abbildungen f : A B.

21 Satz (4.10) Es seien A und B endliche Mengen mit A = k, B = n. Die Anzahl der injektiven Funktionen f : A B beträgt k 1 (n i) = n (n 1) (n k + 1) i=0 Lemma (4.11) Es seien A und B zwei endliche Mengen mit A = B = n. Dann ist jede injektive Funktionen f : A B bijektiv. Satz (4.12) Seien A und B zwei (eventuell gleiche) endliche Mengen mit n 1 Elementen. Dann gibt es genau n! bijektive Abbildungen f : A B.

22 Satz (4.10) Es seien A und B endliche Mengen mit A = k, B = n. Die Anzahl der injektiven Funktionen f : A B beträgt k 1 (n i) = n (n 1) (n k + 1) i=0 Lemma (4.11) Es seien A und B zwei endliche Mengen mit A = B = n. Dann ist jede injektive Funktionen f : A B bijektiv. Satz (4.12) Seien A und B zwei (eventuell gleiche) endliche Mengen mit n 1 Elementen. Dann gibt es genau n! bijektive Abbildungen f : A B.

23 Definition (4.4) Es seien k, n N. Dann bezeichnen wir mit ( n k) die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. Satz (4.13) Es seien A und B endliche Mengen mit A = k, B = n. Die Anzahl der surjektiven Funktionen f : A B beträgt n ( n ( 1) i i i=0 ) (n i) k

24 Definition (4.4) Es seien k, n N. Dann bezeichnen wir mit ( n k) die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. Satz (4.13) Es seien A und B endliche Mengen mit A = k, B = n. Die Anzahl der surjektiven Funktionen f : A B beträgt n ( n ( 1) i i i=0 ) (n i) k

25 Beispiel 4.12: Bestimmen Sie eine Tabelle aller Funktionen f : {1, 2, 3} {1, 2, 3} und untersuchen Sie diese auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. Was fällt Ihnen dabei auf? Finden Sie darunter zwei bijektive Funktionen f i, f j ungleich der Identität, sodass deren Komposition nicht die Identität ist, und dass f i f j f j f i. f f 1 f 2... f (1) 1 1 f (2) 1 1 f (3) 1 2