Fachwissenschaftliche Grundlagen

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1 Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 6. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 1 / 36

2 Themen heute Sätze über injektive, surjektive, bijektive Abbildungen Umkehrabbildung Verkettung Bijektionen unendlicher Mengen Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 2 / 36

3 Wiederholung: Abbildung Denition Eine Abbildung ist ein Tripel f = (A,B,G) von Mengen, wobei die Menge G erstens Teilmenge von A B ist, d.h. G A B, und so dass G die folgende Eigenschaft hat: x A! y B : (x,y) G. Hierbei heiÿt A Denitionsmenge, und B heiÿt Zielmenge. Denition Diese Menge G heiÿt der Graph von f. Es gilt: Graph(f ) = {(x,f (x)) x A}. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 3 / 36

4 Wiederholung: Wertemenge, Bildmenge Denition Wenn f : A B eine Abbildung (Funktion) ist, dann heiÿt die Menge f (A) := {f (x) x A} die Wertemenge oder die Bildmenge oder das Bild von f. Wir schreiben statt f (A) auch Bild(f ) := f (A). Es gilt immer f (A) B, aber nicht immer f (A) = B. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 4 / 36

5 Wiederholung: Bild und Urbild von allgemeinen Teilmengen Wenn M A ist, dann ist das Bild der Teilmenge M gegeben durch f (M) := {f (x) x M} = {y B x M : f (x) = y}. Denition Wenn N B ist, dann denieren wir as Urbild der Menge N unter f durch f 1 (N) = {x A y N : f (x) = y}. Dazu muss f nicht invertierbar (Denition folgt heute) sein. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 5 / 36

6 Wiederholung: Injektiv Denition Sei f : A B eine Abbildung. f heiÿt injektiv, wenn gilt: Jedes Element y B wird höchstens einmal von f getroen. Also: f (x) = f ( x) = x = x. Äquivalent: x x = f (x) f ( x). Es muss aber nicht jedes Element aus B getroen werden. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 6 / 36

7 Wiederholung: Surjektiv Denition Sei f : A B eine Abbildung. f heiÿt surjektiv, wenn gilt: Jedes Element y B wird mindestens einmal von f getroen. Also: y B x A : f (x) = y. Es muss aber nicht jedes Element aus B nur einmal getroen werden. Es ist erlaubt, dass manche Elemente mehrmals getroen werden. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 7 / 36

8 Wiederholung: Bijektiv Denition Sei f : A B eine Abbildung. f heiÿt bijektiv, wenn gilt: f ist injektiv und f ist surjektiv. Dann gilt: Jedes Element y B wird genau einmal von f getroen. Also: y B!x A : f (x) = y. Für bijektive Abbildung sagen wir auch kurz Bijektion. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 8 / 36

9 Umkehrabbildung Wenn die Abbildung f : A B bijektiv ist, dann denieren wir die Abbildung f 1 : B A (genannt Umkehrabbildung) durch f 1 : B A f (x) x. Diese Vorschrift macht bei bijektiven Abbildungen Sinn und gibt dann wieder eine Abbildung. Deswegen: Für bijektiv können wir auch umkehrbar oder invertierbar sagen. Aber Vorsicht: es gibt mehrere Arten von Umkehrbarkeit. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 9 / 36

10 Umkehrabbilung (Beispiel) Beispiele: Die Abbildung f : {1,2,3} {6,7,8} ist bijektiv. Sie hat die Umkehrabbildung f 1 : {6,7,8} {1,2,3} Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 10 / 36

11 Identität als Abbildung; Umkehrung davon Sei A eine beliebige Menge. Die Identitätsabbildung auf der Menge A ist gegeben durch id A : A A, x x. Die Identitätsabbildung ist bijektiv. Sie hat die Umkehrabbildung id 1 A = id A. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 11 / 36

12 Zwei Bedeutungen von f 1 Die Umkehrabbildung f 1 ist nicht dasselbe wie das Urbild (Mengenabbildung), also mit f 1 (N) mit N B. Die Schreibweise f 1 bedeutet also zwei verschiedene Dinge. Das Urbild hat als Argument eine Menge von Punkten. Die Umkehrabbildung hat als Argument einen einzelnen Punkt. Was passiert jetzt, wenn wir in die Umkehrabbildung f 1 eine Menge einsetzen? Kommt dann etwas verschiedenes heraus als beim Urbild (welches ja auch f 1 heiÿt)? Es gilt zum Glück: Das Bild von N B unter der Umkehrabbildung f 1 ist genau das Urbild von N unter der Mengenabbildung f 1. Es kommt also dasselbe heraus. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 12 / 36

13 Verkettung von Abbildungen Denition Wenn f : A B eine Abbildung ist und g : B C eine Abbildung, dann denieren wir die Verkettung von f und g durch g f : A C, (g f )(x) := g(f (x)). Aussprache: g nach f. Zuerst wird f angewendet, dann g. Ausgewertet wird also von rechts nach links. Die Reihenfolge ist wichtig. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 13 / 36

14 Verkettung ist nicht kommutativ (Beispiel) Beispiel: f : Z Z, x x + 1 g : Z Z, x x 2. Dann ist g f : Z Z gegeben durch x (x + 1) 2. Dagegen wäre f g : Z Z gegeben durch x x Dies ist nicht dasselbe (z.b. für x = 1). Es gilt also kein Kommutativgesetz. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 14 / 36

15 Verkettung ist assoziativ Für mehrfache Verkettungen gilt das Assoziativgesetz: Satz Seien f : A B, g : B C und h : C D Abbildungen. Dann gilt: h (g f ) = (h g) f. Beweis. Für jedes x A gilt (h (g f ))(x) = h ((g f )(x)) =h (g(f (x))) =(h g)(f (x)) =((h g) f )(x). Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 15 / 36

16 Verkettung mit sich selbst, beliebig oft Wenn f : A A eine Abbildung ist mit gleicher Denitionsmenge und Zielmenge, dann darf f beliebig oft mit sich selbst verkettet werden. D.h. die Ausdrücke f f f f f f f f f f... sind alle sinnvoll deniert. Wegen dem Assoziativgesetz müssen hier keine Klammern geschrieben werden. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 16 / 36

17 Sätze über Verkettung, Injektivität, Surjektivität, Bijektivität Satz Für alle Abbildungen f : A B und g : B C gilt: Wenn f und g injektiv sind, dann ist auch g f injektiv. Beweis. Für beliebige x, x A gilt: Aus (g f )(x) = (g f )( x) folgt g(f (x)) = g(f ( x)). Wegen der Injektivität von g folgt daraus f (x) = f ( x). Wegen der Injektivität von f folgt daraus x = x. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 17 / 36

18 Sätze über Verkettung, Injektivität, Surjektivität, Bijektivität Satz Für alle Abbildungen f : A B und g : B C gilt: Wenn f und g surjektiv sind, dann ist auch g f surjektiv. Beweis. g ist surjektiv, also gilt: Für jedes z C gibt es y B mit g(y) = z. f ist surjektiv, also gilt: Es gibt ein x A mit f (x) = y. Deswegen gibt es zu jedem z C ein x A mit (g f )(x) = g(f (x)) = z. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 18 / 36

19 Sätze über Verkettung und Injektivität, Surjektivität und Bijektivität Satz Für alle Abbildungen f : A B und g : B C gilt: Wenn f und g bijektiv sind, dann ist auch g f bijektiv. Beweis. Dies folgt aus den vorigen beiden Sätzen. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 19 / 36

20 Sätze über Verkettung, Injektivität, Surjektivität, Bijektivität Satz Für alle Abbildungen f : A B und g : B C gilt: Wenn g f injektiv ist, dann ist auch f injektiv. Beweis. Wenn f (x) = f ( x) gilt, dann gilt auch g(f (x)) = g(f ( x)). Das ist dasselbe wie (g f )(x) = (g f )( x). Wegen der Injektivität von g f folgt daraus x = x. Also ist f injektiv. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 20 / 36

21 Sätze über Verkettung, Injektivität, Surjektivität, Bijektivität Satz Für alle Abbildungen f : A B und g : B C gilt: Wenn g f surjektiv ist, dann ist auch g surjektiv. Beweis. Wenn g f surjektiv ist, dann gibt es für alle z C ein x A mit z = (g f )(x) = g(f (x)). Also gibt es ein y B mit g(y) = z, nämlich y = f (x). Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 21 / 36

22 Sätze über Verkettung und Injektivität, Surjektivität, Bijektivität Satz Für alle Abbildungen f : A B und g : B C gilt: Wenn g f bijektiv ist, dann ist f injektiv und g surjektiv. Beweis. Dies folgt aus den letzten beiden Sätzen. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 22 / 36

23 Paarweise Zuordnung, präzise deniert Mit Abbildungen können wir unsere Idee der paarweisen Zuordnung präzise denieren: Denition Die beiden Mengen A und B heiÿen paarweise zuordenbar, wenn es eine bijektive Abbildung f : A B gibt. In diesem Fall heiÿt f eine paarweise Zuordnung zwischen den Mengen A und B. Wir sagen auch, f ist eine Bijektion zwischen den Mengen A und B. Es genügt auch, dass es eine Bijektion zwischen den Mengen B und A gibt, d.h. eine bijektive Abbildung g : B A. So ein g gibt es genau dann, wenn es eine Bijektion f : A B gibt. Wenn es eine Bijektion f zwischen den Mengen A und B gibt und eine Bijektion g zwischen B und C, dann gibt es auch eine Bijektion zwischen A und C, nämlich g f : A C. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 23 / 36

24 Beispiele (Bijektion, paarweise Zuordnung) mit unendlichen Mengen Beispiele: Satz Die Mengen N 0 und N sind paarweise zuordenbar mit der Bijektion f : N 0 N, x x + 1. Beweis. f ist injektiv: Wenn f (x) = f ( x), dann gilt x + 1 = x + 1, und daraus folgt x = x. f ist surjektiv: Für jedes y N gibt es ein x N 0, nämlich x = y 1, so dass gilt: f (x) = y. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 24 / 36

25 Bijektion mit unendlichen Mengen Satz Die Mengen Z und N sind paarweise zuordenbar mit der Bijektion f : N Z wobei auf der linken Seite die Elemente von N aufgelistet sind und auf der rechten Seite die Elemente von Z aufgelistet sind.

26 Bijektion mit unendlichen Mengen Beweis. f ist injektiv: Auf der rechten Seite steht jedes Element von Z (höchstens) einmal, kann also höchstens einmal getroen werden. f ist surjektiv: Auf der rechten Seite steht jedes Element von Z (mindestens) einmal, wird also (mindestens) einmal getroen. Denition Wenn die Menge M komplett aufgelistet werden kann (wie vorhin die Menge Z), und die Menge M unendlich viele Elemente enthält, dann gibt es eine Bijektion f : N M und eine Bijektion g : M N. (Wobei g = f 1 ist.) In dem Fall heiÿt die Menge M abzählbar. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 26 / 36

27 Cantors Diagonalverfahren Als nächstes zeigen wir den wichtigen Satz: Satz Die Mengen Q + := {x Q x > 0} und N sind bijektiv aufeinander abbildbar. Sowie den Satz: Satz Die Mengen Q und N sind bijektiv aufeinander abbildbar. Wir zeigen zuerst den (ähnlichen) Satz: Satz Die Mengen N N und N sind paarweise zuordenbar mit einer Methode namens Cantors Diagonalverfahren. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 27 / 36

28 Cantors Diagonalverfahren Satz Die Mengen N N und N sind paarweise zuordenbar mit einer Methode namens Cantors Diagonalverfahren. Zum Beweis: N N ist die Menge {(x,y) x N y N}. 1 Bilde eine Tabelle, in beide Richtungen (x und y) unendlich ausgedehnt. 2 Schreibe in x-richtung für jedes n N die Zahl n als Überschrift über die n-te Spalte. 3 Schreibe in y-richtung für jedes m N die Zahl m als Überschrift über die m-te Zeile. 4 Schreibe das Element (x,y) an die Position (x,y) in der Tabelle (also x-te Spalte und y-te Zeile). Das war noch nicht das Verfahren, das war die Tabelle, mit der das Verfahren funktioniert. Es geht so: Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 28 / 36

29 konstruiert. Die Abbildung f ist surjektiv: Nach Konstruktion. Die Abbildung f ist injektiv: Auch nach Konstruktion. Also ist sie bijektiv. Cantors Diagonalverfahren 1 Die Tabellenposition ganz links oben bekommt die Zahl 1 zugeordnet. 2 Die Positionen (1, 2) und (2, 1) (welche eine kurze Diagonale der Länge 2 bilden) bekommen die Zahlen 2 und 3 zugeordnet. 3 Die Positionen (1,3), (2,2) und (3,1) (welche eine kurze Diagonale der Länge 3 bilden) bekommen die nächsten 3 ganzen Zahlen (hier also 4,5,6) zugeordnet. 4 Die Positionen (1,4), bis (4,1) (welche eine kurze Diagonale der Länge 4 bilden) bekommen die nächsten 4 ganzen Zahlen zugeordnet. 5 usw. Auf diese Weise wird jede Tabellenposition erreicht. Wir haben damit eine Abbildung f : N N N

30 Rationale Zahlen sind abzählbar Die Mengen Q + := {x Q x > 0} und N sind paarweise zuordenbar mit Cantors Diagonalverfahren: Beweis wie eben, wobei wir in jedem Schritt alle Brüche überspringen, die wir schon einmal erreicht hatten. Die Mengen Q und N sind ebenfalls paarweise zuordenbar mit Cantors Diagonalverfahren. Wir können also auch die rationalen Zahlen 0 dazunehmen. Die Mengen R und N sind nicht paarweise zuordenbar. Dies werden wir als nächstes beweisen. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 30 / 36

31 Dezimalschreibweise Zunächst müssen wir die reellen Zahlen besser verstehen. Es ist möglich, eine exakte Denition von R zu geben; das wird z.b. in Analysis getan. Hier beschäftigen wir uns mit etwas leichterem: der Frage, wann zwei reelle Zahlen, deren Dezimalschreibweise wir kennen, gleich sind. Dezimalschreibweise: π = 3, = ,5 wobei hier ein Punkt zwischen Vor- und Nachkommateil verwendet wird. Es gibt 3 verbreitete Schreibweisen für Zahlen wie diese: international übliche (modernste): 10,000,000,000.5 ; deutsche traditionelle: ,5 deutsche modernere: 10'000'000'000,5 Leider sind diese Schreibweisen inkompatibel. (Was heiÿt 1.234? Was heiÿt 1,234?) Alle sind möglich, aber wir müssen uns auf eine festlegen. In dieser Vorlesung verwenden wir die deutsche modernere. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 31 / 36

32 Dezimalschreibweise von reellen Zahlen Simple Frage: Sind die beiden Zahlen a = 2,7136 b = 2,7203 gleich oder verschieden? Antwort: Natürlich verschieden. Die zweite Nachkommastelle ist verschieden, und die Dierenz ist > (Nämlich ) Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 32 / 36

33 Dezimalschreibweise von reellen Zahlen Knobelaufgabe: Sind die Zahlen a = 0, b = 1 = 1, gleich oder verschieden? Wenn verschieden, wie groÿ ist die Dierenz? Antwort: Gleich. Denn 10a = 9, a = 10a a = 9,9999 0,9999 = 9 = a = 1. Die Dierenz ist 0. Denn: Die Dierenz ist kleiner als Sogar kleiner als 100. Sogar kleiner als , usw. Deswegen ist die Dierenz gleich Null. (Das benutzt eine Eigenschaft der reellen Zahlen.) Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 33 / 36

34 Dezimalschreibweise von reellen Zahlen Aus diesem Grund gilt folgende Vereinbarung: Wenn wir reelle Zahlen schreiben, dann verwenden wir nie die Schreibweise, wo irgendwann nur noch 9en kommen, sondern (sofern nötig) nur die Schreibweise mit 0en. Es gilt: Die Zahlen, die Vorkomma-Anteil 0 haben, sind genau das Intervall [0,1[= {x R x 0 x < 1} R. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 34 / 36

35 Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche... Grundlagen 6. Vorlesung 35 / 36 Die reellen Zahlen sind nicht abzählbar Satz Es gibt keine surjektive Abbildung N R. D.h.: Die reellen Zahlen lassen sich nicht abzählen. Beweis. Wir zeigen noch mehr: Schon das Intervall [0,1[= {x R x 0 x < 1} R läÿt sich nicht abzählen. Annahme: es gebe eine surjektive Abbildung f : N [0,1[. Wir schreiben alle Werte in Dezimalschreibweise: f (1) = 0,x 11 x 12 x f (2) = 0,x 21 x 22 x 23...

36 Die reellen Zahlen sind nicht abzählbar Beweis. (Fortsetzung) Betrachte die Zahl r := 0,r 1 r 2 r 3 [0,1[ die gegeben ist durch die Ziern { x ii + 1 für x ii 9 r i : = 0 für x ii = 9. Ist r eine Zahl aus der Liste? Gilt r Bild(f )? Antwort: Nein, denn für jedes i N ist r von f (i) verschieden (nämlich in der i-ten Zier). Die reellen Zahlen sind also wirklich mächtiger als die natürlichen Zahlen. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 36 / 36

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