Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik I. Relationen und Funktionen (Teil 4)

Transkript

1 Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik I Relationen und Funktionen (Teil 4) Funktionen und ihre Eigenschaften Exzerpt aus dem Skript von Prof. Dr. Klaus U. Schulz Michaela Geierhos M.A. Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung Ludwig-Maximilians-Universität München

2 Relationen und Funktionen (Teil 4) - Funktionen und ihre Eigenschaften 129 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität (1) Wir kommen zu einigen wichtigen Eigenschaften von Funktionen. Definition (Injektive Funktion) Eine Funktion f: A B heißt injektiv (oder eineindeutig) genau dann, falls verschiedene Argumente stets verschiedene Werte unter f haben, das heißt, falls gilt x, y A: (f(x) = f(y) x = y). Eine injektive Funktion wird auch Injektion genannt.

3 Relationen und Funktionen (Teil 4) - Funktionen und ihre Eigenschaften 130 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität (2) Wenn es eine injektive Funktion f von A nach B gibt, so bedeutet dies, dass B,,bis auf Namensgebung eine Kopie der Elemente von A enthält. Das Bild f(a) hat dann nämlich dieselbe Anzahl von Elementen wie A selbst. Abbildung 1: Injektivität von Funktionen.

4 Relationen und Funktionen (Teil 4) - Funktionen und ihre Eigenschaften 131 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität (3) Bezeichnen wir für eine endliche Menge M mit M die Anzahl der Elemente von M (auch Kardinalität von M genannt), so gilt also: Lemma Es seien A und B endliche Mengen. Gibt es eine injektive Funktion f: A B, so folgt A B. Die Umkehrung gilt ebenfalls. Eine Umformulierung diese Lemmas ist in der Literatur unter der Bezeichung,,pigeonhole principle (Taubenloch-Prinzip) bekannt: Gilt A > B, so kann es keine injektive Funktion von A nach B geben. Oder suggestiver: will man m Tauben auf n Löcher verteilen, und gilt m > n, so muss man zumindest in ein Loch zwei oder mehr Tauben stecken.

5 Relationen und Funktionen (Teil 4) - Funktionen und ihre Eigenschaften 132 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität (4) Beispiel Die Sitzordnung im Hörsaal definiert eine injektive Funktion von der Menge der Zuhörer auf die Menge der Plätze im Hörsaal. In einem Konzertsaal definiert die Platznummer eine injektive Funktion der Menge der Plätze in IN. Beispiel Injektive Funktionen f: A B werden häufig in Situationen verwendet, wo wir auf Elemente aus A referieren wollen, sprachlich aber besser auf die Elemente von B zugreifen können. Betrachten wir als Beispiel das folgende Bild einer injektiven Funktion f: A {1, 2, 3, 4, 5}.

6 Relationen und Funktionen (Teil 4) - Funktionen und ihre Eigenschaften 133 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität (5) Definition (Surjektive Funktion) Eine Funktion f: A B heißt surjektiv (oder Funktion von A auf B) genau dann, wenn jedes b B als Bild unter f auftritt, das heißt, falls gilt b B a A: f(a) = b. Eine surjektive Funktion wird auch Surjektion genannt. Wenn es eine surjektive Funktion f von A auf B gibt, so bedeutet dies, dass man genau diejenigen Elemente aus A identifiziert, die dasselbe Bild unter f in B haben.

7 Relationen und Funktionen (Teil 4) - Funktionen und ihre Eigenschaften 134 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität (6) Damit zusammenhängend wird deutlich, dass die Menge {f 1 ({b}) b B} eine Partition von A ist. Bezüglich der Zahl der Elemente von A und B gilt die folgende Aussage: Lemma Es seien A und B endliche Mengen. Gibt es eine surjektive Funktion f: A B, so folgt A B. Die Umkehrung gilt ebenfalls.

8 Relationen und Funktionen (Teil 4) - Funktionen und ihre Eigenschaften 135 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität (7) Definition (Bijektive Funktion) Eine Funktion f: A B heißt bijektiv genau dann, wenn f sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Eine bijektive Funktion wird auch Bijektion genannt. Eine Bijektion einer Menge M auf sich selbst wird auch Permutation von M genannt. Abbildung 2 verdeutlicht das Konzept der Bijektion.

9 Relationen und Funktionen (Teil 4) - Funktionen und ihre Eigenschaften 136 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität (8) Lemma Es seien A und B endliche Mengen. Gibt es eine bijektive Funktion f: A B, so folgt A = B. Die Umkehrung gilt ebenfalls. Beispiel Sind bei einer Vorlesung alle Plätze besetzt (ohne dass sich zwei Zuhörer einen Platz teilen), so definiert die Sitzordnung eine Bijektion zwischen der Menge der Zuhörer und der Menge der Plätze. Abbildung 2: Beispiele bijektiver Funktionen.

10 Relationen und Funktionen (Teil 4) - Funktionen und ihre Eigenschaften 137 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität (9) Lemma (Charakterisierung der Injektivität) Sei A und f: A B. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) f ist injektiv, (ii) X, X A: f(x X ) = f(x) f(x ), (iii) f besitzt ein Rechtsinverses, das heißt, es gibt eine Funktion g: B A so dass f g = Id A. Beweis,,(i) (ii) : Sei f injektiv. Sind nun X, X A so gilt stets f(x X ) f(x) f(x ). Es bleibt daher die umgekehrte Inklusion f(x) f(x ) f(x X ) zu zeigen. Sei b f(x) f(x ). Dann gilt x X: b = f(x) x X : b = f(x )

11 Relationen und Funktionen (Teil 4) - Funktionen und ihre Eigenschaften 138 Da f injektiv ist, folgt x = x X X und somit b f(x X ).,,(ii) (iii) : Es gelte Eigenschaft (ii). Wir zeigen zunächst, dass f 1 eine Funktion ist. Dazu seien y, x 1 und y, x 2 in f 1. Wir müssen also x 1 = x 2 zeigen. Es sind x 1, y und x 2, y in f, nach Definition von f 1. Wäre nun x 1 x 2, so wäre {x 1 } {x 2 } = und wegen (ii) somit {y} = f({x 1 }) f({x 2 }) = f({x 1 } {x 2 }) = f( ) =, was unmöglich ist. Daher ist tatsächlich x 1 = x 2. Somit ist f 1 eine Funktion. Es ist klar, dass Def (f 1 ) = f(a).

12 Relationen und Funktionen (Teil 4) - Funktionen und ihre Eigenschaften 139 Wir wählen nun irgendein a A, was geht, da A nach Voraussetzung. Durch die Definition g(y) = { f 1 (y) für y f(a) a für y B \ f(a) erhalten wir die Funktion g: B A. Es sei x A gegeben. Es gilt (f g)(x) = g(f(x)) = f 1 (f(x)) = x, damit ist (iii) gezeigt.,,(iii) (i) : Wir nehmen an, dass es eine Funktion g: B A mit (f g)(x) = x für alle x A gibt. Es seien x 1, x 2 A und f(x 1 ) = f(x 2 ). Damit folgt g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )) = x 1 = x 2. Somit ist f injektiv.

13 Relationen und Funktionen (Teil 4) - Funktionen und ihre Eigenschaften 140 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität (10) Der letzte Beweis verwendet einen sogenannten Ringschluss: obwohl wir nur drei Richtungen gezeigt haben, folgt nun sofort, dass tatsächlich alle Aussagen äquivalent sind. Alle nicht explizit gezeigten Richtungen folgen wegen der Transitivität der Implikation. Lemma Sei f: A B. Es ist f 1 eine Funktion genau dann, wenn f injektiv ist. In diesem Fall ist auch f 1 wieder injektiv, und jedes a A tritt als Bild unter f 1 auf. Ist f außerdem surjektiv, so ist f 1 : B A eine Bijektion und es gilt f f 1 = Id A und f 1 f = Id B.

14 Relationen und Funktionen (Teil 4) - Funktionen und ihre Eigenschaften 141 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität (11) Lemma Es sei f: A B. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) f ist surjektiv, (ii) Y B : f(f 1 (Y )) = Y, (iii) f hat ein Linksinverses, das heißt, es gibt eine Funktion g: B A mit g f = Id B.

15 Relationen und Funktionen (Teil 4) - Funktionen und ihre Eigenschaften 142 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität (12) Lemma Es seien f: A B und g: B C Funktionen. (i) Sind f und g injektiv, so ist auch f g injektiv. (ii) Sind f und g surjektiv, so ist auch f g surjektiv. (iii) Sind f und g bijektiv, so ist auch f g bijektiv und es gilt (f g) 1 = g 1 f 1, (iv) Ist f g bijektiv, so ist g surjektiv und f injektiv.