3 Funktionen und Stetigkeit

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1 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT Funktionen und Stetigkeit. Definitionen und Beispiele Im praktischen Leben werden volks- und betriebswirtschaftliche Daten in gewissen diskreten Abständen erhoben. Auf diese Weise ergeben sich Zahlenfolgen zur Beschreibung der Abläufe. Zum besseren Verständnis der Ablaufmechanismen und zur Untersuchung von Gesetzmäßigkeiten stellt man sich jedoch meist die diskreten Daten als Einzelbeobachtungen bei einem kontinuierlichen Geschehen vor. Statt mit Zahlenfolgen arbeitet man dann mit reellen Funktionen... Definitionen Definition (Funktionen) Seien X, Y R Teilmengen. Eine Funktion von X nach Y ist eine Zuordnung, die jedem X genau ein Y zuordnet. Man schreibt: f : X Y, f() =... bzw.... für f ist Funktion von X nach Y definiert durch die Zuordnung f() =... Im konkreten Fall steht anstelle der Pünktchen die genaue Angabe, mit welcher Vorschrift den X ihr Y zugeordnet ist. Die Vorschrift ist oft eine Formel in, kann aber auch anders formuliert sein. Musterbeispiel: X = Y = R und f : X Y, f() = ( bzw. ) Zu einer Funktion f : X Y hat man folgende Bzeichnungen: X heißt der Definitionsbereich der Funktion f. Y heißt Ziel von f. f() heißt Bild von unter f. Achtung: Das Ziel Y von f ist zu unterscheiden vom sogenannten Bild von f (oder altertümlich: Wertevorrat von f ). Dieses ist definiert durch Allgemein: Für A X ist Bild(f) = { Y es gibt X mit f() = } (= { Y ist Bild eines X unter f}.) f(a) = { Y es gibt a A mit f(a) = } heißt Bild von A unter f. Weiterhin: Sei Y. Dann: f () = { X f() = )} heißt Urbild von unter f und allgemeiner für B Y : f (B) := { X f() B} heißt Urbild von B unter f.

2 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT Es ist f () Bild(f). Ist Y, so heißt f () die Nullstellenmenge von F und die f () heißen die Nullstellen von f. Beim Musterbeispiel : Definitionsbereich von f = R = Ziel von f Bild(f) = { R } = [, [ f () = {, } Für A = [, ] ist f(a) = [, 9] Für B = [, 9] ist f (B) = [, ] Anmerkung: Unser Funktionsbegriff ist so allgemein, daß auch die Folgen darunter fallen. Die Folge (a n ) n N etwa ist die Funktion f : N R, f(n) := a n. Wir werden das Wort reelle Funktion reservieren für Funktionen mit für uns passenden X und Y. Nämlich: Bezeichnung: Eine reelle Funktion ist eine Funktion f : X Y, wo sowohl X als auch Y jeweils eine Vereinigung von Intervallen ist. (Oft: X, Y sind sogar Intervalle; meist: Y = R; oft: X = [, [.).. Veranschaulichung: Koordinatenebene und Schaubild einer Funktion Definition : Wir betrachten sogenannte geordnete Paare reeller Zahlen: P = (, ),. wo R, R. Dabei gilt für P = (, ) und Q = (a, b) P = Q : = a und = b. Also z.b. : (, ) (, ) (Es kommt auf die Reihenfolge der und an.) heißt. Koordinate oder Abszisse von P = (, ). heißt. Koordinate oder Ordinate von P. Man schreibt: R := {(, ), R} und nennt R die Koordinatenebene. Als Teilmenge von R heißt {(, ) R} die -Achse, und {(, ) R} die -Achse.

3 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT Anschauliche Vorstellung von R als Zeichenebene : Man stellt sich zwei zueinander senkrechte Zahlengerade vor die -Achse oder Abszissenachse und die -Achse oder Ordinatenachse. Der Punkt (, ) ist dann wie im folgenden Bild gegeben (von der Schule bekannt): = (, )=(, ) (,) = Definition : Sei f : X Y eine reelle Funktion. Dann: G(f) := {(, f()) X} X Y heißt der Graph von f oder das Schaubild von f. Beim Musterbeispiel: Der Graph von f : R R, f() = ist Anmerkung: Die Verwendung der Zeichenebene erlaubt auch die Veranschaulichung weiterer Punktmengen, die bei Funktionen betrachtet werden können. In der Integrationstheorie z.b. treten Punktmengen der Art { (, ) [a, b] X, f() } auf (Stichworte: Konsumentenrente, Produzentenrente).

4 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 6 Für unser Musterbeispiel und [a, b] := [, ] z.b. werde diese Menge im folgenden Bild schraffiert. Machen Sie zur Übung eine Zeichnung:.. Weitere einfache Muster- und Demonstrationsbeispiele Konstante Funktionen Die einfachsten Funktionen sind die konstanten Funktionen wo c R eine feste (konstante) Zahl ist. f : X R, f() = c, Ihr Schaubild ist die Parallele zur -Achse durch den Punkt (, c) der Koordinatenebene Die identische Abbildung (Identität) f = id X = id : X X, f() =. Informationen aus dem Alltagsleben, als Funktion betrachtet: Die Briefporto-Funktion: 6 < < f :], ] [, [, f() = < < Dabei: Schaubild: =Gewicht (in g ) und = Preis( in Cent)

5 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 7 Funktionen diesen Tps heißen Treppenfunktionen. Die Stellen =,,,, heißen Sprungstellen der Funktion. Eine Treppenfunktion ist auch die Integer-Funktion f : R R, größte ganz Zahl Nun zu interessanteren Funktionen:.. Polnome Definition Sei m N und seien α, α,.., α m R. Die Funktion f : R R, f() := α m m + α m m α + α heißt ein Polnom, genauer: das Polnom mit den Koeffizienten α, α,..., α m. Ist α m, so spricht von einem Polnom m-ten Grades. Das α m heißt dann der Leitkoeffizient von f. Ein α R mit f(α) = heißt eine Nullstelle von p (s. auch.. ). Spezialfälle: m = f() = α : Die Polnome -ten Grades sind die konstanten Funktionen. Man schreibt auch f α und sagt f ist identisch gleich α. Ihre Schaubilder sind die Parallelen zur -Achse. m = f() := = α + α =: a + b (lineare Polnome). Das Bild zeigt die Funktion f() = +.

6 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT Die zugehörigen Graphen sind Geraden, die nicht parallel zur -Achse oder -Achse sind. Aus der Schule bekannt: Es ist f() = b, d.h. b ist der -Wert des Durchstoßpunktes (, b) des Graphen mit der -Achse. f( ) f( ) Außerdem: Für > ist = a. Also: a ist die Steigung der Schaubild-Geraden. Schließlich: Es gibt eine Nullstelle bei = b a. ( m = f() = α +α +α =: a +b+c =! a (+ b a ) b ac ) a (quadratische Polnome). Wegen ( + b a ) liest man ab: Für alle R ist b ac a > f() a, mit Gleichheit bei = b b ac a. a < a In Bezug auf Nullstellen gilt: Es gibt Nullstellen wenn b ac >, und zwar / = b ± b ac a Eine (doppelte) Nullstelle bei =: b a, wenn b ac =, keine reelle Nullstelle, wenn b ac < m > Polnome höheren Grades werden immer kompleer, behalten aber einen recht übersichtlichen Verlauf.

7 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 9 Noch eine Information: Satz: Ein Polnom m-ten Grades hat höchstens m Nullstellen... Anwendungen der Polnome In Modellen der Ökonomie werden lineare und quadratische Polnome als Modelle für Angebots-, Nachfrage- und Kostenfunktionen genommen. Eine Nachfragefunktion ist z.b (dabei ist die (kontinuierlich aufgefaßte) Stückzahl des Produktes, p der Preis pro Einheit, A die Auslastungsgrenze): f : [, A] R, f() =: p := Aus der Nachfragefunktion entsteht die Erlösfunktion durch Multiplikation mit (Erlös = Preis Stückzahl).Also in unserem Beispiel: E() = ( ) = Übung: Zeichnen Sie das Schaubild der Funktion E. Polnome sind vegleichsweise einfache Funktionen, deren Werte einfach zu berechnen sind. Deshalb werden Polnomme häufig genommen, um kompliziertere oder noch unbekannte Funktionen zu ersetzen. Das geschieht zum Beispiel, wenn man vorgegebene Punkte in der Koordinatenebene durch das Schaubild eines Polnoms interpoliert. Der folgende Satz gibt den theoretischen Hintergrund: Satz (Polnom-Interpolation): Gegeben seien n + paarweise verschiedene reelle Zahlen,,... n+ und weitere reelle Zahlen,,..., n+, die nicht notwendigerweise verschieden sind. Dann gilt: Es gibt genau ein Polnom f vom Grade n so daß gilt: f( ) =, f( ) =,..., f( n+ ) = n+. Zum Beweis der Eistenz geben wir ein Polnom an, welches die geforderten Bedingungen erfüllt (Lagrangesches Interpolationspolnom): Man betrachte die Polnome Dann ist L i () := L i ( j ) = Das Polnom n+ j= j i ( j ) i j = ( )... ( i ) ( i+ )... ( n+ ) ( i )... ( i i ) ( i i+ )... ( i n+ ) { j = i j i,

8 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT n+ L() := i L i i= erfüllt dann die geforderten Eigenschaften. Ein Beispiel: i i i Da = =, werden L und L in der Summenformel für L() nicht gebraucht. Wir benötigen nur L und L. Es ist: L () = ( + )( )( ) ( ) ( ) und L () = ( + )( ) Somit: L() = L () + L () + L () + L () Schaubild: = ( )( ) + ( ) = Rationale Funktionen Definition (Rationale Funktionen): Seien f und g zwei Polnome, und g sei nicht konstant gleich. Sei N = {,,..., k } die Menge der Nullstellen von g. Dann heißt die Funktion f g : f() R\N R, g(), eine rationale Funktion.

9 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT Beispiele: Die Polnome zählen auch zu den rationalen Funktionen. Es ist dabei etwa g. Die einfachste echte rationale Funktion ist die Hperbel : R\{} R, Tpische allgemeinere rationale Funktionen sind, +, +, + Es folgen die Schaubilder von und der drei angegebenen allgemeineren Beispiele Wie der Verlauf solcher Funktionen im einzelnen ermittelt wird, werden wir im weiteren Verlauf der Vorlesung sehen. Anwendung rationaler Funktionen: Rationale Funktionen treten u.a. als Stückkostenfunktionen auf: Es sei Dann K : [, A] R eine Kostenfunktion.

10 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT K K() K :=: : ], A] R, ist die sogenannte Stückkostenfunktion, Beispiel: K() = + mit K() = + = Potenzfunktionen. Wurzelfunktionen. Eponentialfunktionen Potenzfunktionen sind Funktionen mit der Zuordnung a K a, a, K feste reelle Zahlen. oder etwas allgemeiner Zuerst einige Spezialfälle: Natürliche Zahlen als Eponenten: Die entspechenden Funktionen sind spezielle Polnome, die sogenannten Monome f: R R, f() = n. Eponenten vom Tp k. k N: Tatsache und Bezeichnung ( k-te Wurzeln): Sei k N. Dann: Zu jedem R mit gibt es genau ein mit k =. Dieses heißt die k-te Wurzel von, geschrieben k. Zusatz: Ist k ungerade, so kann man die k-te Wurzel auch für definieren, und zwar ist dann k := k. Beweis:.Version: Man kann einen abstrakten Eistenzbeweis mittels des Vollständigkeitsaioms (s...) führen..version: Für > definiert man rekursiv folgende Folge: Es sei a > und für n sei a n+ := a n( + k ( ) ). a k n Man zeigt dann: Die Folge (a n) n N konvergiert gegen ein > und für dieses gilt k =. Übung: Man zeige: Für k = und a = liefert die angegebene Formel dieselbe Folge wie die in () der Tatsache in.. definierte Folge für. Rationale Eponenten Bezeichnung : Seien n, k N, q := n k und sei R. Man definiert q := ( k ) n, := und q := q im Falle >. Für jedes q Q ist also eine Funktion f : ], [ R, q,

11 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT wohldefiniert. Name dafür: Potenzfunktion mit Eponent q. Anmerkung: Das Beispiel geplottet: Für positive q kann man zum Definitionsbereich hinzunehmen Beliebige reelle Eponenten Bemerkungen: () Die sstematische Einführung der reellen Zahlen liefert folgende Tatsache: Jede reelle Zahl ist Limes einer Folge rationaler Zahlen. () Sei < R. Sei q eine reelle Zahl und sei (a n ) n=,,.. eine Folge rationaler Zahlen mit lim a n = q. Dann eistiert lim n n an. Der Limes sei q genannt. Ist b n eine weitere Folge reeller Zahlen mit lim b n = q, so ist auch lim n n bn = (dasselbe) q. Definition (der allgemeinen Potenz): Seien > und q reelle Zahlen. Man definiert die Potenz q folgendermaßen: Sei q = lim der Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen. Dann sei n a n q := lim n an. Nach den Bemerkungen ist q wohldefiniert.

12 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT Definition ( Potenzfunktionen. Eponentialfunktionen): Die Definition erlaubt die Definition von zwei Tpen von Funktionen, je nachdem ob man die Basis oder den Eponenten der Potenz variiert. Potenzfunktionen: Für q R definiert man ], [ R, q. Man bezeichnet diese Funktion einfach mit q und nennt sie die Potenzfunktion mit Eponenten q, Eponentialfunktionen: Für jedes reelle a > definiert man eine Funktion R R durch a. Man bezeichnet sie mit a und spricht von der Eponentialfunktion zur Basis a. Tatsache (Potenzregeln): Für allgemeine Potenzen gelten die üblichen Potenzregeln, nämlich: Für alle reellen, > und alle p, q R gilt () () q = q q () p q = p+q und ( p ) q = pq. () Aus der ersten Gleichung in () ergibt sich insbesondere: q = q...8 Die Eponentialfunktion Zu beliebigem R sei die Reihe n = + + n! + n =: ep() 6 n! n= betrachtet. Tatsache und Bezeichnung: n Die Reihe ep() = ist konvergent für jedes R. Die auf diese Weise n! n= definierte Funktion n ep : R R, ep() := n! n= heißt die Eponentialfunktion oder e-funktion. n Die Reihe heißt die Eponentialreihe n! n= Beweis der Konvergenz: an: Es ist a n+ = n+ n! a n n (n + )! Es ist offenbar ep() =. Für wendet man das Quotientenkriterium = n + n <. Nach dem Quotientenkriterium konvergiert die Reihe.

13 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT Tatsache Die Eponentialfunktion erfüllt folgende Potenzregeln : Für alle, R gilt ep( + ) = ep() ep() und (ep()) = ep(). Insbesondere gilt ep( ) = für alle R. ep() Beweisskizze für die erste Formel: Schreibe a n := n n und bn := für die Glieder der entsprechenden Eponentialreihen. Definiere dann c n := a n k b k. Nach einem allgemeinen Satz für n! n! nx Rei- k= hen (Satz über das Cauch-Produkt von Reihen) konvergiert die Reihe der c n gegen ep() ep(). Andererseits ist mittels Anwendung der binomischen Formel: nx n k k c n = = nx n! (n k)! k! n! (n k)! k! n k k ( + )n = n! k= k= X Ergebnis: Die Reihe der c n ist gleich der Reihe ep( + ) und somit ist ep( + ) = c n = ep()ep() n= Tatsache : Sei e := lim n ( + n )n die Eulersche Wachstumszahl (s. (6) der Tatsache in.. ). Für alle R gilt ep() = e = lim ( + n n )n. Also: ep ist die Eponentialfunktion zur Basis e. Der Beweis ist etwas tüftelig. Die e-funktion geplottet:

14 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 6..9 Cosinus und Sinus Tatsache Die Reihen und cos := sin := ( ) n n (n)! k= ( ) n n+ (n + )! k= sind konvergent für alle R. = + n ( )n (n)! +... = ( )n n+ (n + )! +... Beweis: Die konvergente Reihe ep( ) kann als Majorante für beide Reihen genommen werden. Nach dem Majorantenkriterium aus..8 sind also beide konvergent. Der Cosinus und der Sinus geplottet Konstruktion neuer Funktionen.. Rechnen mit Funktionen Bezeichnung: Es seien f, g : X R Funktionen mit demselben Definitionsbereich und es sei α R. Sei schließlich N die Nullstellenmenge von g. Man definiert dann Funktionen αf, f + g, f g = fg und f g folgendermaßen:

15 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 7 αf : X R, (αf)() := αf() f + g : X R, (f + g)() := f() + g(). f g : X R, (f g)() := f() g(). f g : X \N R, f f() () := g g() Redeweise: Man sagt, die eingeführten Verknüpfungen von Funktionen sind argumentweise definiert. Bemerkung: Wenn die Definitionsbereiche X von f und X von g nicht übereinstimmen, so kann man ihre Summe und ihr Produkt immer noch auf dem Durchschnitt X X definieren (falls dieser Durchschnitt ist). Beispiele: Wir haben das Rechnen mit Funktionen stillschweigend schon benutzt. Z.B. sind Polnome solche Funktionen, die aus den konstanten Funktionen und der Identität durch sukzessive Anwendungen unserer Verknüpfungen entstanden sind. Rationale Funktionen sind Quotienten von Polnomen usw... Die Komposition von Funktionen Definition Es seien f : X f Y f und g : X g Y g reelle Funktionen. Es sei vorausgesetzt, daß Bild(g) X f, d.h. daß das Bild von g im Definitionsbereich von f liegt. Dann definiert man eine Funktion f g von X g nach Y f durch f g : X g Y f, f(g()) (Das X g wird in einem ersten Schritt unter g auf g() X f abgebildet und dann in einem nächsten Schritt unter f von g() nach f(g()). Das Ganze ist eine Abbildung mit Zwischenschritt.) Sprechweise und Bezeichnung: Man spricht f g als erst g, dann f oder f nach g und bezeichnet f g als Komposition oder Hintereinanderschaltung von f und g. Man redet auch vom Einsetzen von g in f oder von geschachtelten Abbildungen Beispiele () g definiert durch g() := + eingesetzt in f definiert durch f() := ergibt das Polnom f g () = ( + ) ( + ) = +. () Das Polnom g() = eingesetzt in ep ergibt die Funktion e. Anmerkung Man erkennt: Durch die Möglichkeiten der Komposition kann man ein reichhaltiges Reservoir an Funktionen erzeugen.

16 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 8.. Umkehrfunktionen Bezeichnung (injektive Funktionen): Sei f : X Y eine reelle Funktion. f heißt injektiv : Für alle, X mit ist auch f( ) f( ). Bemerkung : Injektive Funktionen f sind an ihrem Schaubild so zu erkennen: Jede Parallele zur -Achse schneidet das Schaubild von f in höchstens einem Punkt. Beispiele: Die Funktion R R,, ist nicht injektiv: Es ist z.b., aber f( ) = = f(). Die Funktion R R,, ist hingegen injektiv. Gewisse Eigenschaften von Funktionen implizieren Injektivität. Dazu Bezeichnung (Monotonie bei Funktionen): Sei I R ein Intervall und f : I R eine Funktion. Dann heißt f monoton wachsend : Für alle, I mit ist f( ) f( ). streng monoton wachsend : Für alle, I mit < ist f( ) < f( ). monoton fallend : Für alle, I mit ist f( ) f( ). streng monoton fallend : Für alle, I mit < ist f( ) > f( ). Beispiele: Die Eponentialfunktion ep ist streng monoton wachsend. Zusatzinformation: Das Bild von ep ist ], ]. In der Vorlesung: Beweis der Monotonie und der Tatsache, daß Bild( ep ) ], ]. Bemerkung : Streng monoton steigende und streng monoton fallende Funktionen sind injektiv. Die Eponentialfunktion ep ist also z.b. injektiv. Beweis: klar. Bemerkung : Sei f : X Y eine injektive Funktion. Sei B das Bild von f (s... ). Dann gilt (i) Nach Definition von B gibt es zu jedem B ein X mit f() =. (ii) Wegen der Injektivität von f gibt es höchstens ein solches und somit wegen (i) genau ein X mit f() =. Dann: Die Zuordnung dasjenige eindeutig bestimmte X mit f() = definiert eine Funktion von B nach X. Definition Sei f : X Y eine injektive Abbildung und B sei das Bild von f. Dann: Die nach der Bemerkung wohldefinierte Abbildung von B nach X wird mit f bezeichnet und heißt die zu f gehörige Umkehrabbildung oder inverse Abbildung. Es ist also

17 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 9 f : B X, { dasjenige eindeutig bestimmte X mit f() =. Beispiel: Die Umkehrabbildung zu ist die Bildung der dritten Wurzel : R R,. Definition Die zu ep gehörige Umkehrabbildung heißt der natürliche Logarithmus und wird mit ln bezeichnet. Er ist also eine Funktion des Tps Der ln geplottet: ln : ], [ R, ln Bemerkung : Bei Funktionen f mit Umkehrabbildung f erhält man das Schaubild von f aus dem Schaubild von f durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen des Koordinatenstems (das ist der Graph der identischen Funktion R R, ; den Graphen von nennt man auch die Nebendiagonale ). Zur Illustration vergleiche man etwa die Schaubilder von ep und ln und hier geplottet die Schaubilder von (eingeschränkt auf [, [ ) und von.

18 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT Hier noch eine formale Beschreibung der Situation, wo eine Umkehrabbildung eistiert: Tatsache: () Für injektive Funktionen f : X Y mit B = Bild(f) gilt f f = id X : und f f = id B, wobei id X : X X, und id B : B B,. () Umgekehrt: Ist B das Bild von f und ist g : B X eine Funktion mit g f = id X und f g = id B, so ist f injektiv und es ist g = f. Zum Beweis: () Direkt aus der Definition von f. () Beweis, daß f injektiv ist: Seien, X mit f( ) = f( ). Dann ist auch = g(f( )) = g(f( )) =. Wir geben noch eine Prosafassung der Definition bzw. der Aussage der Tatsache für die zwei angegebenen Beispiele von Umkehrfunktionen: Daß n die Umkehrfunktion von n ist, bedeutet: n ist diejenige Zahl, die man mit n potenzieren muß, um zu erhalten. Ebenso: Für > ist ln diejenige Zahl, für die e ln = ist.

19 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 6.. Anwendung auf allgemeine Potenzen Tatsache : Für > und q R ist: q = ep( q ln ) ( = e q ln ). Beweis: Nach der einen der Potenzregeln aus..8 Tatsache bzw...7 Tatsache ist ep( q ln ) = ep( ln ) q = q. Das liefert einem auch für a > die Umkehrfunktionen für die allgemeinen Eponentialfunktionen a. Nämlich: Tatsache und Bezeichnung : Für a > ist die Eponentialfunktion a zur Basis a injektiv mit ], [ als Bild. Die zugehörige Umkehrfunktion wird Logarithmus zur Basis a genannt, wird geschrieben mit log a und ist gegeben durch log a : ], [ R, log a () := ln a ln. Beweis: Für R, > sei f() = a und g() = ln. Wir verifizieren die ln a charakteristischen Eigenschaften für g = f, aus () der Tatsache in... Es ist g(f()) = ln ( f() ) = ln a ln a ln ( e ln a ) = ln a = und ln a f(g()) = ep( g() ln a ) = ep( ln ln a ) = ep( ln ) =. ln a Nach () der Tatsache in.. ist also g = log a die Umkehrfunktion von a.. Stetigkeit. Grenzwerte bei Funktionen.. Definition der Stetigkeit Stetige Funktionen sind, allgemein formuliert, Funktionen, die sich zuverlässig verhalten, die nicht plötzlich und unerwartet ihr Verhalten sprunghaft ändern. Die mathematische Definition ist: Definition (der Stetigkeit mit Hilfe des Konvergenzbegriffs für Folgen): Sei f : X Y eine reelle Funktion. () Sei X. Dann : f heißt stetig in : Für alle Folgen ( n ) n=,,... mit n X für alle n und mit lim n = gilt n lim f( n) = f() n () f heißt (insgesamt) stetig : f ist stetig in jedem X,.

20 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 6 Die Definition über die Folgen hat den Vorteil, daß man das schon erarbeitete Wissen über Folgen dazu verwenden kann, Eigenschaften stetiger Funktionen abzuleiten. Es gibt noch andere äquivalente Varianten der Definition der Stetigkeit einer Funktion f : X Y in einem Punkt X, z.b.: ε δ Definition (der Stetigkeit): f ist stetig in : Zu jedem ε >, gibt es ein δ >, so daß für alle X gilt: Ist < δ, so ist f( ) f() < ε. Beachte(!): Das δ hängt von ε und von ab Bei dieser Gelegenheit: Für kompliziertere mathematische Aussagen wie diejenige auf der rechten Seite der letzten Definition stellt die Logik formelhafte Abkürzungen bereit. Zum Beispiel: Zeichen: = (schon benutzt) (schon benutzt) Bedeutung: für alle es gibt impliziert genau dann wenn Unter Verwendung dieser Zeichen schreibt sich die ε δ-definition der Stetigkeit so: und f ist stetig in : ε> δ> X : < δ = f( ) f() < ε, f ist stetig : X ε> δ> X : < δ = f( ) f() < ε

21 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 6 Interpretation der Stetigkeit: Stabilitätsstandpunkt: Der Funktionsverlauf stetiger Funktionn ist in gewissem Sinn stabil : Bei genügend kleinen Änderungen der Argumente bleibt die Änderung der Funktionswerte im vorgegebenen Rahmen. Approimationsstandpunkt: Bei vorgegebener Fehlergrenze ε > gibt es ein δ >, so daß Ungenauigkeiten im Argument, die durch δ beschränkt sind, zu Funktionswerten führen, die noch innerhalb der Fehlergrenze liegen. Hier erst einmal zur allgemeinen Beruhigung folgende Tatsache: Alle bereits eingeführten interessanten Funktionen: die Polnome, die rationalen Funktionen, die Potenzfunktionen, die Eponentialfunktionen, der Cosinus, der Sinus, die Logarithmen zur Basis a sind stetig (in ihrem ganzen Definitionsbereich). Zum Beweis werden wir an späteren Stellen noch etwas sagen. Zum Beweis der Stetigkeit der Polnome und rationalen Funktionen siehe die Anwendungen im folgenden Abschnitt..... Rechnen mit stetigen Funktionen Tatsache : Es seien f, g : X R Funktionen mit demselben Definitionsbereich und es sei α R. Sei schließlich N die Nullstellenmenge von g. Es gilt: Sind f und g stetig so sind die in der Bezeichnung in.. definierten Funktionen αf, f + g, f g, und f g alle stetig. Beweis: Die Ergebnisse über das Rechnen mit konvergenten Folgen aus dem Satz in.. zusammen mit der Definition der Stetigkeit via Folgen liefern unmittelbar einen Beweis der Tatsache. Da wir den Satz in.. nicht bewiesen haben, geben wir hier als eine Übung den Beweis der Stetigkeit von f + g in einem X im Rahmen der ε δ-definition: Sei ε >. Wegen der Stetigkeit von f und von g in gibt es δ > und δ > so daß f( ) f() < ε für alle mit < δ und so daß g( ) g() < ε für alle mit < δ. Sei dann δ das Minimum von δ und δ. Für alle X mit < δ gilt dann (f +g)( ) (f +g)() = f( ) f()+g( ) g() f( ) f() + g( ) g() < ε + ε < ε. Dreiecksungleichung für den Abstand, s...

22 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 6 Anwendungen: Zuerst eine Bemerkung: Die konstanten Funtionen α und die identische Abbildung f() = sind stetig als Funktionen von R nach R. Der Beweis ist trivial: Zu R und{ ε > wähle δ := ε. Dann ist für mit α α = < ε f konstant < δ = ε auch f( ) f() =. < ε f = id R Daraus und mit obiger Tatsache: Polnome und rationale Funktionen sind stetig. Beweis: Ist f die (stetige) identische Funktion, so ist f f = f die Funktion und sie ist gemäß der Tatsache stetig wegen der Stetigkeit der Produktfunktion. Durch Induktion über n erhält man sofort: Die Monome n sind stetig. Ebenfalls gemaß der Tatsache sind dann alle n α k k stetig und auch alle Summen α k k, d.h. alle Polnome. k= Daß auch die rationalen Funktionen stetig sind, folgt dann ebenfalls aus der Tatsache und zwar aus der Stetigkeit der Quotientenfunktionen.! Tatsache Es seien f : X f Y f und g : X g Y g reelle Funktionen mit Bild(g) X f. () Sei a X g. Dann gilt: Ist g stetig in a und f stetig in g(a), so ist f g stetig in a. () Sind f und g stetig, so auch f g. Beweis als Übung... Grenzwerte von Funktionen Bezeichnung (Häufungspunkte): Sei X R. Ein a R heißt ein Häufungpunkt von X, wenn folgendes gilt: Es gibt Folgen ( n ) n=,,... mit n X, jedoch n a für alle n =,,... und mit lim n n = a. Eine solche Folge ( n ) n=,,... heiße Häufungspunktfolge zu a. Tpisches Beispiel: X ist ein Intervall und a ist ein Randpunkt des Intervalles, insbesondere auch, wenn a nicht zm Intervall gehört. Also z.b. : Sei X = [a, b] oder X = [a, b[ oder X = ]a, b] oder X = ]a, b[. In allen Fällen besteht die Menge aller Häufungspunkte von X aus allen Punkten des abgeschlossenen Intervalls [a, b]. Definition (des Grenzwerts einer Funktion): Sei f : X Y eine reelle Fuktion, a R sei ein Häufungspunkt von X und es sei α R. Dann: } Für alle Häufungspunktfolgen α heißt Grenzwert (Limes) : ( n ) n=,,... zu a gilt von f für gegen a lim f( n) = α. n

23 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 6 α heißt linksseitiger (bzw. rechtsseitiger) Grenzwert von f in a : Für alle Häufungspunktfolgen ( n ) n=,,... zu a mit n < a für alle n (bzw. mit n > a für alle n ) gilt lim f( n) = α. n Schreibweisen: lim f() = α für Der Grenzwert eistiert und ist gleich α a bzw. entsprechend lim f() = α für den linksseitigen und lim f() = α für a a + den rechtsseitigen Grenzwert. Als Übung: Formulieren Sie eine ε δ Definition für den Limes einer Funktion für gegen a. Beispiele: () Bei der Integer-Funktion (s. am Ende von.. ) hat man lim f() =, jedoch lim f() =. + Wenn diese beiden Limites verschieden sind, eistiert der lim f() nicht. sin () Wir werden später zeigen können, daß lim =. Dies ist ein Beispiel, das tpisch ist für Situationen, wo einen der Limes von Funktionen interessiert: Die Funktion ist durch eine Formel gegeben, die für ein einzelnes a (hier a = ) nicht definiert ist.für a eistiert aber (wie hier) möglicherweise der Limes. Das wichtigste allgemeine Beispiel dieses Tps ist das folgende: Für a betrachtet man die f() f(a) Funktion. Wenn der Limes dieser Funktion für gegen a eistiert, heißt die Funktion differenzierbar in a a. Zusammenhang mit der Stetigkeit Der Stetigkeitsbegriff und der Begriff des Grenzwerts einer Funktion hängen folgendermaßen zusammen: Tatache: Sei f : X Y eine Funktion und sei a X. Dann: f ist stetig in a Beweis als Übung. lim f() = f(a) a ( d.h. der Limes eistiert und ist gleich dem Funktionswert f(a) ).. Unstetigkeitsstellen Wir wollen eplizit tpische Unstetigkeitsstellen von Funktionen betrachten. Hebbare Unstetigkeitsstellen

24 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 66 Das sind Stellen a im Definitionsberech einer Funktion, wo die Funktion nur falsch definiert ist: Es eistiert der Limes lim f() = α, aber es ist (dummerweise) f(a) α. a Definiert man die Funktion um, indem man f(a) := α als neuen Funktionswert in a nimmt, wird die Funktion stetig in a. { < Beispiel: f : [, ] R, = Ändert man die Funktion um, indem man f() := setzt, erhält man die stetige konstante Funktion f auf [, ]. Anmerkung: In der mathematischen Prais können solche falsch definierte Funktionen durchaus auftreten, etwa als Limes einer Folge von Funktionen, s. die Vorlsung. Sprungstellen Das sind Stellen a im Definitionsbereich von f, wo der linksseitige Limes lim f() = a α und der rechtseitige Limes lim f() = α eistieren, wo aber α α ist. a + Hier kann die Unstetigkeit nicht wegrepariert werden. Beispiel: Die Vorzeichenfunktion f : R R, < = > Hier ist lim f() = und lim f() =. a a + Man kann die Funktion ein bißchen stetiger machen: Sei a :=. Setzt man f() :=, so gilt f(a) = lim f(). Solche Funktionen heißen a linksseitig stetig in a. Setzt man f() :=, so ist f(a) = lim f(). Funktionen mit dieser Eigenchaft heißen a + rechtsseitig stetig in a. Wesentliche Unstetigkeitsstellen Das sind Stellen a im Definitionsbereich von f, wo weder der linksseitige noch der rechsseitige Limes von f in a eistieren. { sin Beispiel: f, : R R, = Schaubild:

25 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 67,,, -, - -, - -,,,, -, - -, - -,.. Uneigentliche Grenzwerte von Funktionen Sei f : X Y eine reelle Funktion. Man hat mehrere Varianten uneigentlicher Grenzwerte bei f. f : X Y.:. Fall: Es ist a ein endlicher Häufungspunkt von X, und für a wächst oder fällt f() ins Unendliche.. Fall: Das X enthält ein unendliches Intervall und für bzw. hat f() einen endlichen Grenzwert.. Fall: Für bzw. wächst oder fällt f() ins Unendliche. Bezeichnung: Enthält X ein unendliches Intervall der Form [c, [ ( bzw. ], c] ), so nennen wir (bzw. ) Häufungspunkt von X. Die Definitionen uneigentlicher Grenzwerte für f im einzelnen: Definition Sei a ein Häufungspunkt von X. Dann: lim = ( bzw. ) a Sei ein Häufungspunkt von X und sei α R. Dann: lim = α Zu jedem C > gibt es ein δ >, so daß für alle X mit a und mit a < δ gilt: f() > C (bzw. f() < C ) Zu jedem ε > gibt es ein K >, so daß für alle X mit > K gilt: f() α < ε )

26 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 68 lim = (bzw. ) Die Definition von lim a lim = α, von a Zu jedem C > gibt es ein K >, so daß für alle X mit > K gilt: f() > C ( bzw. f() < C) lim = ± und lim = ± sei als Übung überlassen. + = ± und der einseitigen Limites Beispiel (s. den Zusatz () in..7 ): Sei f ein Polnom m-ten Grades mit Leitkoeffizient α m.dann gilt: lim f() = (Vorzeichen von α m) lim f() = ( )m (Vorzeichen von α m )..6 Rechnen mit dem Limes von Funktionen Tatsache : Gegeben seien f, g : X R Funktionen mit demselben Definitionsbereich und ein λ R. Es sei N die Nullstellenmenge von g. Schließlich sei ein Häufungspunkt von X. Dann gilt: Eistieren die Limites lim f() =: α und lim g() =: β, so ist lim λf() = λ α lim (f + g)() = α + β lim (f g)() = α β und, wenn β, f lim g () = α β Dabei können die Limites α und β auch ± sein, wenn man die formalen Rechenregeln aus.. berücksichtigt und beachtet, daß man für die dort angegebenen unbestimmten Ausdrücke keine algemeinen Aussagen machen kann...7 Anwendung auf rationale Funktionen Als Information: Nullstellen von Polnomen vom Grade höheren Grades sind i.a. nur numerisch und approimativ zu bestimmen. Theoretisch hat man jedoch folgenden Sachverhalt: Satz und Bezeichnung: Sei f ein Polnom vom Grade m und sei a eine Nullstelle von f, d.h. es sei f(a) =. Dann: Es gibt ein r N und ein Polnom p, so daß f = ( a) r p und p(a).

27 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 69 Das r heißt die Vielfachheit (oder der Grad) der Nullstelle a bei f. Seien nun f, g Polnome, g und sei f g die entsprechende rationale Funktion. Sei N:= Nullstellenmenge von g. Nach der Tatsache in.. ist f stetig in seinem Definitionsbereich X \ N. g Was geschieht, wenn gegen eine Nullstelle von g strebt? Es sei a eine Nullstelle von g und es sei g = ( a) s q mit q(a) im Sinne des Satzes, wo also s die Vielfacheit der Nullstelle a bei g ist. Das Polnom f sei ebenfalls zerlegt in f = ( a) r p und p(a). Dabei sei r = gesetzt, wenn a keine Nullstelle von f ist. Andernfalls sei r wie im Satz die Vielfachheit der Nullstelle a bei f. Bemerkung Es ist dann für alle aus dem Definitionsbereich X \ N von f g Potenzen von ( a) ) (nach Kürzen entsprechender Folgerung f() g() = ( a)r s p() q() Das Verhalten von f() für gegen a ist das gleiche wie das von g() p(a) ( ) q(a) ( a)r s. f() Insbesondere eistiert der Limes lim und ist endlich, wenn r s. a g() Ist r s < so sind die einseitigen Limites bei a unendlich. Das genaue Verhalten kann man aus ( ) ablesen. Beispiel in der Vorlesung und in den Übungen...8 Wichtige Eigenschaften stetiger Funktionen Wir listen hier einige Eigenschaften auf, deretwegen die Stetigkeit von Funktionen bei Anwendungen so wichtig ist. Satz (Zwischenwertsatz): Sei f : X Y eine stetige Funktion. Seien a, b X, a < b und es sei [a, b] X. Dann gilt: Ist f(a) f(b) und ist z eine Zahl zwischen f(a) und f(b), so gibt es ein c [a, b] mit f(c) = z.

28 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 7 Eine äquivalente Formulierung ist: Ist I X ein Intervall, so ist f(i) eine Zahl, d.h f eingeschränkt auf I ist konstant, oder f(i) ist auch ein Intervall. Der Satz folgt im wesentlichen aus dem Vollständigkeitsaiom. Eine Anwendung Tatsache: Polnome ungeraden Grades haben mindestens eine Nullstelle. Beweis: Aus den Aussagen für Polnome am Ende von..6 folgt: Für Polnome f ungeraden Grades m gibt es a < und b >, so daß f(a) und f(b) verschiedenes Vorzeichen haben, d.h. liegt zwischen f(a) und f(b). Nach Satz gibt es c [a, b] mit f(c) =. Satz Sei [a, b] ein endliches abgeschlossenes Intervall und sei f : [a, b] R stetig. Dann: Auch das Bild f[a, b]) von f ist ein endliches abgeschlossenes Intervall. Daß f[a, b]) ein Intervall ist ist die Aussage von Satz. Zum Beweis der Abgeschlossenheit und Beschränktheit werden etwas diffizilere Eigenschaften endlicher abgeschlossener Intervalle benutzt.) Satz (Eistenz von Maimum und Minimum): Sei [a, b] ein endliches abgeschlossenes Intervall und sei f : [a, b] R stetig. Dann gilt: Es gibt [a, b] mit f( ) f() für alle [a, b]. Und: Es gibt [a, b] mit f( ) f() für alle [a, b]. Man sagt dazu: Auf endlichen abgeschlossenen Intervallen nehmen stetige Funktionen ihr Maimum und ihr Minimum an. Der Beweis folgt aus Satz und dem Vollständigkeitsaiom. Satz (über gleichmäßige Stetigkeit): Sei wieder [a, b] ein endliches abgeschlossenes Intervall und sei f : [a, b] R stetig. Dann : Zu jedem ε > gibt es ein δ >, so daß für alle(! ) [a, b] gilt: Für alle [a, b] mit < δ ist, f( ) f() < ε. Die Aussage in logischen Smbolen, wobei wir X := [a, b] schreiben: ( ) ε> X δ> X : < δ = f( ) f() < ε Anmerkung: Man vergleiche mit der Definition der bloßen Stetigkeit einer Funktion f. Der Unterschied besteht in folgendem: Bei der einfachen Stetigkeit ist das δ, das zu ε gewählt werden muß, auch vom jeweiligen abhängig und kann im allgemeinen nicht simultan für alle im Definitionsbereich X von f gewählt werden. Im Fall X = [a, b] ist das angenehmer : Das δ kann zu ε so gewählt werden daß es simultan ( gleichmäßig ) für alle zu gebrauchen ist. Das ist für Anwendungen wichtig (vergl. die Anmerkungen zum Stabilitätsstandpunkt und zum

29 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 7 Approimtionsstandpunkt in.. ). Definition: Reelle Funktionen f : X R mit der Eigenschaft ( ) aus Satz heißen gleichmäßig stetig. (Gegen-)Beispiel für den Fall eines nicht abgeschlossenen Intervalls: Die Funktion f :], ] R, ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig. Das gleiche f ist auch ein Gegenbeispiel zu Satz und Satz. Zum Ende noch eine Bemerkung (Eine Standardanwendung der Stetigkeit): Es sei f : X R eine relle Funktion. Dann gilt: Ist f stetig in X und ist f( ) > (bzw. f( ) > ), so ist f positiv (bzw. negativ ) in einer ganzen Umgebung von. D.h. es gibt ein ε > so daß f() > (bzw. f() < ) für alle X mit < ε.

30 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 7. Aufgaben Aufgabe. Eine Kostenfunktion K : R + R gibt die Kosten K() an, die entstehen, wenn Eemplare eines Produkts herzustellen sind. Geben Sie für folgende Situation eine Kostenfunktion an und skizzieren Sie diese: In einer Buchdruckerei fallen zum Herstellen der Druckerplatten und zum Einstellen der Maschinen EUR an. Aufgrund von erhöhten Fehlerrisiko beim Anlauf einer Serie wird für die ersten Bücher mit EUR pro Buch kalkuliert. Danach läuft eine Serie, und man rechnet für jedes weitere Buch mit lediglich EUR zusätzlichen Kosten. Aufgabe. Skizzieren Sie folgende Funktionen. Achten Sie dabei auf Nullstellen, Polstellen, Verhalten für sehr große/kleine : a) b) c) + ( )( + )( + ) d) ( ) Aufgabe. Bestimmen Sie folgende Grenzwerte, falls diese eistieren: a) f() = für, b) g() = + für, c) h() = e für < und > Aufgabe. Vergleichen Sie die Graphen der folgenden Funktionen in einer Skizze: a),,,, b) e,,, ( ) c) log (), log (), log e () (Dabei ist für a >, a log a : (, ) R, ln ln a.) Aufgabe. Eine Nachfragefunktion N : R + R ist eine Funktion, welche angibt, zu welchem Preis N() auf dem Markt genau Produkte verkauft werden können. Eine Angebotsfunktion A : R + R bestimmt, zu welchem Preis A() auf dem Markt genau Produkte angeboten werden. Betrachten Sie folgende Nachfrage- und Angebotsfunktion: N() = A() =

31 . FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 7 a) Geben Sie einen sinnvollen Definitionsbereich für an, sodass sowohl N() als auch A() positiv sind. b) Ein Markt befindet sich im Gleichgewicht, falls für die Anzahl der tatsächlich angebotenen Produkte A() = N() gilt. Bestimmen Sie eine ganze Zahl sodass sich Angebot und Nachfrage möglichst wenig unterscheiden. Aufgabe 6. Wir möchten eine Angebotsfunktion modellieren. Zu einem Preis von = werden A() = Produkte angeboten, und zu einem Preis von = werden A() = 6 Produkte angeboten. Ab einem Preis von = würden alle Ressourcen ausgeschöpft, insgesamt wären dann A() = 9 Produkte auf dem Markt. Bestimmen Sie eine quadratische Funktion, welche als Modell für die Angebotsfunktion dienen kann. Aufgabe 7. a) Geben Sie eine Funktion an, die injektiv, aber nicht streng monoton ist. b) Wie lautet eigentlich die Umkehrfunktion zu f() =? Und zu f() =? Aufgabe 8. Gegeben sei die Nachfrage-Funktion p() = e ( 6) Gegen welchen Wert strebt die nachgefragte Menge, wenn der Preis p() über alle Grenzen wächst?