1 Folgen und Stetigkeit
|
|
- Liane Keller
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 1 Folgen und Stetigkeit 1.1 Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als (a 1, a 2, a 3,...) = (a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index n gibt an, an welcher Stelle in der Folge die Zahl a n steht. Beispiel Mit a n = n 2 ist (a n ) n N = (1, 4, 9, 16,...) die Folge der Quadratzahlen in N. 1
2 2. Mit b n = 1 n ist (b n ) n N = (1, 1 2, 1 3, 1 4,...) die Folge der sogenannten Hauptbrüche in Q. 3. Mit c n = ( 1) n ist 4. Mit d n = 2 n ist (c n ) n N = ( 1, 1, 1, 1, 1,...). (d n ) n N = (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,...) die Folge der Zweierpotenzen. 5. Mit y n = ( 1 3) n ist (y n ) n N = ( 1 3, 1 9, 1 27, 1 81, 1 243,... ). 2
3 6. Ist x n = (1 + 1 n )n, dann ist (x n ) n N = ( 2, 9 4, 64 27, ,... ) Einige weitere Folgenglieder sind in der folgenden Tabelle angegeben: n x n n x n
4 7. Die sogenannte Fibonacci-Folge ist die Folge (a n ) n N mit a 1 = a 2 = 1 und a n = a n 1 + a n 2 für n 3. Die ersten Folgenglieder sind (a) n N = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...). Die Zahl a n heißt die n-te Fibonaccizahl. Die Fibonacci-Folge heißt rekursiv definiert, da man zur Berechnung eines Folgenglieds a n die vorherigen Folgenglieder benötigt (und Anfangswerte). Die anderen Folgen hingegen sind explizit definiert, da sich jedes a n direkt aus dem Index n berechnen lässt. Man kann auch für die Fibonacci-Folge eine explizite Formel angeben. Man kann zeigen, dass die n-te Fibonacci-Zahl ( ) n ( a n = ) n
5 Folgen lassen sich auch als Abbildungen auffassen: Eine Folge ist eine Abbildung a : N R mit Definitionsbereich N. Für den Wert a(n) an der Stelle n schreibt man üblicherweise a n. Der Wert a n heißt n-tes Folgenglied von a. Wir können eine Folge a = (a n ) n N graphisch veranschaulichen, indem wir die Punkte mit den Koordinaten (n, a n ) für einige Werte von n in ein Koordinatensystem zeichnen. Wir tun dies hier für die ersten sechs Beispiele. 400 Beispiel Beispiel x x 5
6 Beispiel Beispiel x x 2.7 Beispiel fuer n<100 Beispiel fuer n< x x 6
7 Für uns in dieser Vorlesung sind die geometrischen Folgen sehr wichtig: Eine Folge (a n ) n N mit a n 0 für alle n N heißt geometrisch, wenn der Quotient aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, wenn es also eine Zahl q R gibt, so dass gilt a n+1 a n = q für alle n N. Beispiel 1.2 denn Die Folge aus Beispiel ist geometrisch, d n+1 = 2n+1 = 2 für alle n N. d n 2n Ebenso ist jede Folge mit der Vorschrift d n = q n für ein festes q R geometrisch. 7
8 Die anderen Folgen in Beispiel 1.1 sind nicht geometrisch. So ist etwa für die Folge mit b n = 1 n b 3 b 2 = 2 3, aber b 4 b 3 = 3 4. Beispiel 1.3 Ein Anfangskapital K 0 wird zum Zinssatz von p = 0.05 (also 5%) jährlich verzinst. Dann ist nach n Jahren das Kapital angewachsen auf den Wert K n, der sich wie folgt berechnet (Zinseszins!); und allgemein K 1 = K 0 + pk 0 = (1 + p)k 0, K 2 = K 1 + pk 1 = (1 + p)k 1 = (1 + p) 2 K 0, K 3 = K 2 + pk 2 = (1 + p)k 2 = (1 + p) 3 K 0, K n = (1 + p) n K 0. Die Folge der jährlichen Kapitalmenge (K n ) n N ist also geometrisch, da K n+1 K n = 1 + p für alle n N. 8
9 Für eine geometrische Folge mit dem konstanten Quotienten a n+1 a n = q gilt a n+1 = qa n und daher a 2 = qa 1, a 3 = qa 2 = q 2 a 1, a 4 = qa 3 = q 3 a 1 und allgemein a n = a 1 q n 1 oder a n = a 0 q n wobei a 0 := a 1 q. Wir können a 0 als das nullte Folgenglied auffassen. Eine geometrische Folge ist also vollständig durch den Quotienten q und einen Anfangswert a 0 (oder a 1 ) bestimmt. 9
10 Arithmetische Folgen: Eine Folge (a n ) n N heißt arithmetisch, wenn die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, wenn es also eine Zahl d R gibt, so dass gilt a n+1 a n = d für alle n N. Beispiel 1.4 Die Folge (a n ) n N mit a n = 3n 7 ist arithmetisch, denn a n+1 a n = 3(n + 1) 7 ( 3n 7 ) = 3 für alle n N. Die ersten Folgenglieder sind 4, 1, 2, 5, 8,
11 Ist eine Folge (a n ) n N arithmetisch mit der konstanten Differenz a n+1 a n = d für alle n N, dann gilt a n+1 = d + a n und die einzelnen Folgenglieder ergeben sich durch a 2 = d + a 1, a 3 = d + a 2 = d + d + a 1 = 2d + a 1, a 4 = d + a 3 = 3d + a 1 und allgemein a n = (n 1)d + a 1 oder a n = nd + a 0 wobei a 0 = a 1 d wie bei der geometrischen Folge als nulltes Folgenglied interpretiert werden kann. Eine arithmetische Folge ist also vollständig durch die Differenz d und einen Anfangswert a 0 (oder a 1 ) bestimmt. 11
12 Ähnlich wie für Abbildungen wollen wir nun die Begriffe Monotonie und Beschränktheit für Folgen erklären. Zusätzlich gibt es noch den Begriff der alternierenden Folge (machen Sie sich klar, dass die Begriffe Monotonie und Beschränktheit sowohl für Folgen als auch reelle Funktionen sinnvoll sind, alternierend aber für Abbildungen auf R nicht sinnvoll definiert werden kann). Eine Folge (a n ) n N heißt konstant, falls a n+1 = a n für alle n N gilt. Eine Folge (a n ) n N heißt monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend, falls a n+1 a n bzw. a n+1 > a n für alle n N. Eine Folge (a n ) n N heißt monoton fallend bzw. streng monoton fallend, falls a n+1 a n bzw. a n+1 < a n für alle n N. 12
13 Eine Folge heißt alternierend, falls a n+1 > 0 ist wenn a n < 0 ist und a n+1 < 0 wenn a n > 0 ist. Anders gesagt: a n+1 a n < 0 für alle n N (die Folgenglieder wechseln also in jedem Schritt das Vorzeichen). Beispiel 1.5 Betrachte die Folgen aus Beispiel 1.1. Die Folgen (a n ) n N und (d n ) n N mit a n = n 2 und d n = 2 n sowie die Fibonacci-Folge sind streng monoton wachsend. Die Folge (b n ) n N mit b n = 1 n ist streng monoton fallend. Die Folge (c n ) N mit c n = ( 1) n ist weder monoton wachsend noch monoton fallend. Sie ist alternierend. 13
14 Die Folge (x n ) n N mit x n = (1+ 1 n )n ist streng monoton wachsend. Das wird zumindest durch den Graphen angedeutet und es lässt sich auch nachrechnen. Außerdem ist auch die Folge der Kapitalmengen in Beispiel 1.3 bei konstanter jährlicher Verzinsung streng monoton wachsend. (Das sollte natürlich auch so sein!) 14
15 Für die geometrischen Folgen ist das Monotonieverhalten wie folgt: Sei a 0 > 0. Die geometrische Folge mit a n = a 0 q n ist streng monoton wachsend, wenn q > 1 ist, streng monoton fallend, wenn 0 < q < 1 ist, konstant, wenn q = 0 oder q = 1, alternierend, wenn q < 0. Sei a 0 < 0. Die geometrische Folge a mit a n = a 0 q n ist streng monoton fallend, wenn q > 1 ist, streng monoton wachsend, wenn 0 < q < 1 ist, konstant, wenn q = 0 oder q = 1, alternierend, wenn q < 0. 15
16 Beispiel 1.6 Die Folge mit a n = 5 ( 1 2) n ist streng monoton fallend. Die ersten Folgenglieder sind a 0 = 5 und a 1 = 5 2, a 2 = 5 4, a 3 = 5 8, a 4 = 5 16,..., a 10 = Für a n = 5 ( 1 2) n erhalten wir a0 = 5 und a 1 = 5 2, a 2 = 5 4, a 3 = 5 8, a 4 = 5 16, a 5 = Die Folge ist alternierend. Wir halten fest, dass die Folge ( a n ) der Beträge von a n monoton fallend ist. 16
17 Eine Folge (a n ) n N heißt beschränkt, falls es eine Konstante M R gibt, so dass a n M für alle n N, d. h. alle Folgenglieder liegen im Intervall [ M, M]. Beispiel 1.7 Betrachte die Folgen aus Beispiel 1.1. Die Folgen (a n ) und (d n ) mit a n = n 2 und d n = 2 n sowie die Fibonacci-Folge sind nicht beschränkt. Die Folge (b n ) mit b n = 1 n ist beschränkt, denn 1 n < 1 für alle n N. Die Folge (c n ) mit c n = ( 1) n ist beschränkt: ( 1) n = 1 für alle n N. Die Kapitalzuwachsfolge aus Beispiel 1.3 ist unbeschränkt. (Wenn man nur lange genug wartet, wird das Kapital beliebig groß.) 17
18 Eine geometrische Folge mit a n = a 0 q n ist unbeschränkt, wenn q > 1 ist und beschränkt, wenn q [ 1, 1] ist. Zur Beschreibung des Verhaltens einer Folge bei wachsendem Index wird der Begriff Konvergenz eingeführt. Zunächst einige anschauliche Beispiele von Konvergenz. Beispiel 1.8 Die Folgenglieder aus Beispiel 1.1.1, werden für wachsende n immer größer. Anders gesagt: sie gehen nach Beispiel x 18
19 Die Folgenglieder aus Beispiel kommen für wachsende n immer näher an die x-achse, anders: die Werte kommen der Null immer näher. 1 Beispiel x 19
20 In der Folge aus Beispiel wechseln sich die Werte 1 und 1 ab. Die Folge kommt weder dem Wert 1 noch dem Wert 1 beliebig nahe, weil immer wieder der jeweils andere Wert angenommen wird. 1 Beispiel x Die Folgenglieder aus Beispiel wechseln sich mit dem Vorzeichen ab, aber wie in Beispiel 2 kommen die Werte der Null, also der x-achse, immer näher. 20
21 Der Graph der Folge aus Beispiel deutet an, dass die Folgenglieder zwar stets anwachsen, aber nicht beliebig groß werden, sondern sich einem Wert nähern. Was ist der genaue Wert? Diesen Wert nennen wir den Grenzwert der Folge. 2.7 Beispiel fuer n<100 Beispiel fuer n< x x 21
22 Grenzwert (Limes) von Folgen Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert oder Limes einer Folge (a n ) n N, wenn es zu jedem vorgegebenen ɛ > 0 einen von ɛ abhängigen Index n(ɛ) N gibt, so dass a n a ɛ für alle n n(ɛ). Eine Folge (a n ) n N heißt konvergent wenn sie einen Grenzwert a R besitzt. In diesem Fall schreiben wir: lim a n = a oder a n a für n. n Sprechweise: Limes n gegen unendlich von a n ist gleich a, oder: a n konvergiert gegen a für n gegen unendlich. Ist der Grenzwert a = 0, so heißt die Folge eine Nullfolge. 22
23 Man kann sich die Konvergenz gegen a auch folgendermaßen klar machen: Eine Folge (a n ) n N konvergiert gegen ein a R genau dann, wenn für alle ɛ > 0 nur endlich viele Folgenglieder nicht im Intervall [a ɛ, a+ɛ] liegen; ein solches Intervall heißt auch eine ɛ-umgebung von a. Alternative Sprechweise: fast alle Folgenglieder (d.h. mit Ausnahme von höchstens endlich vielen) liegen im Intervall [a ɛ, a + ɛ]. 23
24 Ist eine Folge nicht konvergent, so heißt sie divergent. Man sagt auch die Folge divergiert. Wir können auch noch verschiedene Arten der Divergenz unterscheiden. Die Folge a n = n verhält sich sicherlich anders als die Folge ( 1) n n oder ( 1) n. Eine Folge (a n ) n N heißt bestimmt divergent nach, falls es zu jedem M ein n 0 so gibt, dass a n M für alle n n 0, gilt, d.h. die Folgenglieder werden beliebig groß. Entsprechend wird bestimmte Divergenz nach erklärt. Schreibweise: lim n a n =, bzw. lim n a n =. 24
25 Achtung: Wir sagen nicht, dass die Folge gegen konvergiert. Wenn wir von Konvergenz sprechen, meinen wir stets Konvergenz gegen eine reelle Zahl, nie gegen ±! Beispiel 1.9 Die Folge a mit a n = n 2 aus Beispiel ist divergent (bestimmte Divergenz nach ). Die Folge b mit b n = 1 n ist eine Nullfolge. Die Folge c mit c n = ( 1) n ist divergent. Die Folge d mit d n = 2 n ist bestimmt divergent nach. Die Folge y mit y n = ( 1 3) n ist eine Nullfolge. 25
26 Die Folge x mit x n = (1 + 1 n )n ist konvergent, ihr Grenzwert ist die Eulersche Zahl e, also ( 1) n e := lim n n Wir gehen darauf später noch genauer ein. Die Fibonacci-Folge ist bestimmt divergent gegen. Aus der Definition der Konvergenz folgt sofort Jede konvergente Folge ist beschränkt. 26
27 Wir wollen im nächsten Beispiel das Konvergenzverhalten der arithmetischen und geometrischen Folgen sowie der Folgen 1 ( 1)n n und n zusammenfassen. Beispiel 1.10 ( 1) n n a n a + nd aq n 1 (a > 0) n monoton steigend d 0 q 1 nein nein streng monoton steigend d > 0 q > 1 nein nein monoton fallend d 0 0 q 1 ja nein streng monoton fallend d < 0 0 < q < 1 ja nein beschränkt d = 0 1 q 1 ja ja konvergent d = 0 1 < q < 1 q = 1 ja ja Limes a 0 a 0 0 Wir geben jeweils an, für welche Werte von a, d, q die Folgen die entsprechende Eigenschaft haben. 27
28 Ein sehr wichtiges Konvergenzkriterium ist das folgende: Jede beschränkte und monotone Folge (a n ) n N konvergiert, d.h. es gibt ein a R, so dass lim n a n = a. 3 Beispiel 1.11 Die Folge (n+1) ist monoton (fallend) und beschränkt, also konvergent, und der Grenzwert ist 0. Die Folge ( 1)n2 7n ist nicht monoton (aber beschränkt). Diese Folge ist auch konvergent (ihr Grenzwert ist ebenfalls 0). Es kann also durchaus nicht monotone Folgen geben, die konvergieren. Unbeschränkt kann eine konvergente Folge aber nicht sein! 28
29 Rechenregeln für Grenzwerte Seien (a n ) n N, (b n ) n N konvergente Folgen mit Dann gilt: lim a n = a und lim b n = b. n n 1. (a n ± b n ) n N ist konvergent mit lim (a n ± b n ) = a ± b. n 2. (a n b n ) n N ist konvergent mit lim (a n b n ) = a b. n 29
30 3. Sei b 0. Dann gibt ( es ein ) n 0 N mit b n 0 für alle an n n 0, und die Folge ist konvergent mit b n n n 0 lim n a n b n = a b. 4. Sei λ R. Dann ist auch die Folge (λa n ) n N konvergent mit lim (λa n) = λa. n Wir geben gleich eine Menge an Beispielen an, wie wir die oben angegebenen Sachverhalte ausnutzen können. Wir müssen, grob gesagt, den algebraischen Ausdruck, der die Folgenglieder a n definiert, in Teilausdrücke zerlegen, von denen wir dann jeweils die Grenzwerte kennen. 30
31 Bevor wir zu den Beispielen kommen, hier ein weiteres wichtiges Konvergenzkriterium: Ausquetschen Seien (a n), (a n) konvergente Folgen mit Ist (a n ) eine Folge mit lim n a n = a = lim a n. n a n a n a n für alle n, dann gilt auch lim a n = a. n Als Spezialfall erhalten wir für Nullfolgen: Sei (a n) eine Nullfolge. Ist (a n ) eine Folge mit a n a n für alle n dann ist auch (a n ) eine Nullfolge. 31
32 Beispiel 1.12 (1) Für k N ist (2) lim n 3n n 2 lim n 1 n k = 0. = lim (3 + 1 n n2) = lim 3 + lim n n 1 n 2 = 3. (3) Für a R mit a < 1 ist lim n an = 0. 32
33 (4) Sei a n = n + 1 n, n N. Bei dieser Folge hilft ein Umformungstrick weiter: und daher ist n + 1 n = ( n+1 n)( n+1+ n) n+1+ n = n+1 n n+1+ n = 1 n+1+ n lim ( n + 1 n) = 0. n Warnung: Bei einem Grenzwert lim n n + 1 n versuchen viele Anfänger etwa wie folgt zu argumentieren: lim ( n + 1 n) = lim n + 1 lim n = = 0. n n n Das geht aber so nicht, weil der Grenzwert der Summe zweier Folgen nur dann die Summe der Grenzwerte dieser beiden Folgen ist, wenn 33
34 die beiden Grenzwerte existieren. Das ist aber in unserem Beispiel nicht der Fall.Außerdem macht ein Ausdruck der Form keinen Sinn! Die oben angegebene Umformung ist somit falsch!!! Überlegen Sie sich bitte, dass man mit so einem Argument zeigen könnte lim n ((n + 1) n) = lim n (n + 1) lim n (n) = 0, obwohl natürlich lim (n + 1 n) = lim (1) = 1 n n gilt. 34
35 Beispiel 1.13 Als einen etwas komplizierteren Grenzwert wollen wir hier zeigen n n = 1 lim n Dazu benötigen wir den binomischen Lehrsatz (a + b) n = n i=0 ( ) n a i b n i i Hier ist (gelesen: n über i), wobei ( ) n i = n! i!(n i)! m! = m (m 1) (m 2) die Fakultät von m ist (das ist das Produkt aller natürlichen Zahlen 35
36 m). Machen wir uns dies an einem Beispiel klar: (a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b) = = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Der binomische Lehrsatz verallgemeinert also die binomischen Formeln (Spezialfall n = 2). Wir wollen etwas über die Konvergenz von a n = n n aussagen. Dazu definieren wir b n = a n 1 und berechnen (b n + 1) n mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes: n n = (b n + 1) n = n i=0 ( ) n b i i n1 n i = weil ja b n + 1 = n n. Die Gleichung (1.1) zeigt ( ) n bn 2 n, 2 36 i=0 ( ) n b i i n, (1.1)
37 weil b n 0 (beachte: a n 1), also n(n 1) b 2 n n, also b n 2 Wegen b n 0 erhalten wir somit 2 n 1. 0 b n und deshalb ( Ausquetschen ) 2 n 1 lim b n = 0, also lim (b n + 1) = lim n n = 1. n n n 37
38 Wir haben bereits ein Beispiel einer Folge gesehen, die die Entwicklung eines Anfangskapitals K 0 bei einer p prozentigen Verzinsung beschreibt. Wenn x = p/100 ist, gilt für das Kapital nach m Jahren K m = (1 + x) m K 0 nach einem Jahr also (1 + x)k 0. Nun könnte man es doch als fair empfinden, wenn man statt einmal jährlich p Prozent Zinsen zu bekommen, monatlich p/12 Prozent gutgeschrieben bekommt. Dann wäre das Kapital nach einem Jahr ( 1 + x 12) 12 K0. Bei einer täglichen Verzinsung ist das schon ( 1 + x ) 365 K Vergleichen wir, wie stark sich das Kapital bei den diversen Verzinsungssmodellen und x = 0.05, d.h. bei einer 5 prozentigen Verzin- 38
39 sung, vergrößert: ( 1 + x 1 + x ) 12 ( 1 + x Genauere Untersuchungen zeigen: ) 365 ( lim n = e n n) und deswegen lim (1 + x ) n = e x n n Die Zahl e heißt Eulersche Zahl. Die unterschiedlichen Modelle können sich nach mehreren Jahren schon bemerkbar machen, wenn auch nicht sehr dramatisch. 39
40 Wir können die Exponentialfunktion e x oder, wenn es um das Wachstum in m Jahren geht, die Funktion e mx = (e x ) m als eine Grenzfunktion interpretieren, die das Wachstum bei einer kontinuierlichen oder stetigen Verzinsung beschreibt. Wir setzen wieder x = 0.05: (1 + x) m ( 1 + x 12) 12m e mx m = m = m = m = m = m = Wir wollen uns jetzt überlegen, warum lim n (1+ 1 n )n existiert, wir wollen also folgenden Satz beweisen: 40
41 Satz 1.1 Die Folge (a n ) mit a n = ( ) n n konvergiert. Dazu zeigen wir zunächst, dass die Folge (1+ 1 n )n beschränkt ist. Wir benutzen, ähnlich wie in Beispiel 1.13, den binomischen Lehrsatz: (1 + 1 ( ) n n )n = n ( ) n 1 1 n + i n i i=2 n 1 < weil n i > n(n 1) (n i + 1) i! i=2 n weil 2 i 1 i! 2 i 1 < 3. i=2 41
42 Die letzte Ungleichung gilt, weil n 1 i=1 1 2 i < 1, genauer: n 1 i= i = 1. (1.2) n 2n Das ist nichts anderes als die mathematische Formulierung des Sachverhaltes, das man einen Kuchen immer weiter halbieren kann: Man erhält dann 1 2 Kuchen +1 4 Kuchen Kuchen und so weiter bis 1 Kuchen. Die letzten beiden Stücke haben aber dieselbe Größe 2 n n. Wenn man all diese n+1 Stücke zusammenfügt, hat man wieder den ganzen Kuchen. Wenn Sie wollen, können Sie die Gleichung (1.2) aber auch sauber mit Induktion beweisen. Was es mit Induktion auf sich hat, wollen wir nun erklären: Angenommen, Sie wollen eine Aussage A beweisen, wobei die Aussage aber von n N abhängt, wie zum Beispiel die Aussage (1.2). 42
43 Wir schreiben deshalb A(n). Dann müssen Sie eigentlich unendlich viele Aussagen beweisen, nämlich A(n) für jedes n. Das kann man aber vermeiden, indem man die Idee eines Induktionsbeweises benutzt. Sie beweisen A(n) für ein n 0, meistens n 0 = 1. Wir nennen dies den Induktionsanfang. Danach nehmen Sie an, die Aussage A(n) gilt für ein beliebiges n, und sie beweisen, dass die Aussage dann auch für A(n + 1) gilt. Wir nennen dies den Induktionsschritt. Danach können Sie mit Fug und Recht behaupten: Die Aussage A(n) gilt für alle n n 0. Dieses Induktionsprinzip wird in der Vorlesung an einigen Beispielen erläutert. Wir benutzen es hier, um die sogenannte Bernoullische Ungleichung zu beweisen: Für alle x > 1 und alle n N gilt (1 + x) n 1 + nx. (1.3) 43
44 Induktionsanfang: Die Aussage (1.3) ist richtig für n = 1: (1 + x) 1 = 1 + x x. Induktionsschritt: (1 + x) n+1 = (1 + x) n (1 + x) (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx (n + 1)x. Das erste Ungleichungszeichen in der zweiten Zeile dieser Umformungskette gilt, weil wir im Induktionsschritt ja gerade annehmen, dass die Aussage für n schon bewiesen ist! Das Ungleichungszeichen in der letzten Zeile gilt, weil x 2 stets 0 ist. Die beiden folgenden Skizzen illustrieren noch einmal die Bernoullische Ungleichung: In den beiden Skizzen ist der rote Graph (die Gerade!) jeweils der von der Funktion 1 + nx, wobei n = 3 in der 44
45 ersten und n = 7 in der zweiten Skizze ist. Der blaue Graph beschreibt (1 + x) n, natürlich wieder für n = 3 und n = 7. Man sieht, dass der blaue Graph oberhalb des roten Graphen verläuft. Das ist genau die Aussage der Bernoullischen Ungleichung. 45
46 Nun ist es nicht mehr schwer, die Monotonie von (a n ) zu zeigen. Um zu zeigen, dass (a n ) monoton wachsend ist, genügt es zu zeigen, dass a n+1 /a n 1 gilt: a n+1 n+1 )n+1 = (1 + 1 a n (1 + 1 n )n = (1 + 1 n ) (1 + 1 n+1 )n+1 (1 + 1 n )n+1 ( = ( n ) n n = (1 + 1 n ) ( n+2 n+1 n+1 n ) n+1 ) n+1 46
47 = (1 + 1 ( n 2 ) n+1 n ) + 2n n 2 + 2n + 1 = (1 + 1 (1 n ) 1 n 2 + 2n + 1 (1 + 1 n ) (1 n + 1 n 2 + 2n + 1 ) = (1 + 1 n ) (1 1 n + 1 ) = 1. ) n+1 Bernoulli! Damit haben wir dann die Konvergenz der Folge (a n ) gezeigt. 47
48 1.2 Stetigkeit und Grenzwerte Anschaulich gesprochen ist eine Funktion stetig, wenn ihr Graph sich zeichnen lässt, ohne den Stift abzusetzen. Das ist natürlich keine präzise mathematische Definition und auch nicht immer eine brauchbare Beschreibung. Zunächst einige einfache Beispiele. Beispiel 1.14 Der Graph der Funktion f : [0, 5] [0, 5], f(x) = { x, falls x [0, 2], 3, falls x (2, 5] ist gegeben durch 48
49 3 ο x Offensichtlich hat die Funktion f an der Stelle 2 eine Sprungstelle. Die nächsten Beispiele sollten Ihnen aus dem Abschnitt über rationale Funktionen vertraut sein. Beispiel 1.15 Wir betrachten die Funktion f : R R, f(x) = x x 3 = x x 3 49 = x 3.
50 Da f(x) für x = 3 nicht definiert ist, ist der maximale Definitionsbereich D(f) = R\{3}. Der Graph von f hat die folgende Gestalt x Bei Annäherung der Argumente x von links gegen 3 werden die Funktionswerte beliebig klein, bei Annäherung von rechts beliebig groß. 50
51 Beispiel 1.16 Die Funktion f : R R, f(x) = (x 1)2 (x + 2) (x 1) 2 hat den Definitionsbereich D(f) = R\{1} und den Graphen ο x Die Funktion ist zwar an der Stelle x 0 = 1 nicht definiert, aber offensichtlich kann durch Hinzunahme des Punktes (1, 3) der Graph 51
52 geschlossen werden. Es gibt also eine schöne Ersatzfunktion g(x) = x + 2, die nach Hinzunahme des Punktes (1, 3) entsteht. Wir wollen nun den Begriff der Stetigkeit formal sauber erklären. Dazu müssen wir den Begriff des Grenzwerts einer Folge etwas verallgemeinern. Sei f : R R eine Funktion mit Definitionsbereich D. Ferner sei x 0 R und a R. Dann heißt a linksseitiger Grenzwert von f an der Stelle x 0, falls es für alle ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass aus x D (x 0 δ, x 0 ) stets f(x) a < ε folgt. Wir schreiben dann lim f(x) = a. x x 0 52
53 Analog definiert man rechtsseitigen Grenzwert, indem man (x 0 δ, x 0 ) durch (x 0, x 0 + δ) ersetzt. In dem Fall, dass a rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle x 0 ist, schreibt man lim f(x) = a. x x 0 Besonders wichtig ist der Fall, dass rechts- und linksseitiger Grenzwert existieren und gleich sind: a heißt Grenzwert an der Stelle x 0, wenn a links- und rechtsseitiger Grenzwert an x 0 ist, Schreibweise: lim f(x) = a. x x 0 Anschaulich bedeutet lim x x0 f(x) = a, dass die Funktionswerte f(x) dem Wert a beliebig nahe kommen, wenn die x-werte aus der Nähe von x 0 kommen (aber x 0 sind). 53
54 Es kann vorkommen, dass eine Funktion gar keinen rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle x 0 hat, aber einen linksseitigen oder umgekehrt. Sie kann auch weder einen rechtsseitigen noch einen linksseitigen Grenzwert an x 0 haben. Beispiel 1.17 Die Funktion in Beispiel 1.14 f : [0, 5] [0, 5], f(x) = { x, falls x [0, 2], 3, falls x (2, 5] hat an der Stelle x 0 = 2 den linksseitigen Grenzwert 2 und den rechtsseitigen Grenzwert 3, also: lim f(x) = 2 und lim f(x) = x 2 x 2 3. Der linksseitige Grenzwert stimmt mit dem Funktionswert f(2) überein. 54
55 Die Funktion in Beispiel 1.15 f : R R, f(x) = x x 3 = x x 3 = x 3. hat an der Stelle x 0 = 3 weder einen linksseitigen noch einen rechtsseitigen Grenzwert. Die Funktion in Beispiel 1.16 f : R R, f(x) = (x 1)2 (x + 2) (x 1) 2 hat an der Stelle x 0 = 1 den Grenzwert 3, also lim x 1 f(x) = 3. 55
56 Stetigkeit lässt sich mit Hilfe von Grenzwerten definieren. Eine Funktion f : R R ist stetig an der Stelle x 0 D(f), wenn f an der Stelle x 0 einen linksseitigen und einen rechtsseitgen Grenzwert hat und diese beide mit dem Funktionswert f(x 0 ) übereinstimmen, wenn also gilt: lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 x x0 x x0 Wir nennen eine Funktion stetig auf ihrem Definitionsbereich, wenn die Funktion in allen Punkten des Definitionsbereiches stetig ist. 56
57 Es gibt folgenden nützlichen Zusammenhang zwischen dem Grenzwert einer Folge und dem Grenzwert einer Funktion f, sofern f stetig ist: Sei f eine auf (a, b) stetige Funktion. Ferner sei x (a, b) und x n eine Folge reeller Zahlen mit x n (a, b) für alle n. Wenn dann lim n x n = x gilt, so ist lim f(x n) = f(x). n Es genügt hier sogar, x n (a, b) nur für alle n > n 0 für eine Zahl n 0 N zu verlangen. Dieser Satz hat z.b. wegen der Stetigkeit der Wurzelfunktion folgende Konsequenz: Ist a n 0 für alle n N und lim n a n = a, dann ist lim n an = a. 57
58 Hier sind noch einige Sprechweisen für Spezialfälle: Wenn x 0 D(f) ist und lim f(x) und lim f(x) beide existieren, aber verschieden sind, dann heißt x 0 Sprungstelle x x0 x x0 von f. Wenn x 0 D(f) ist und lim f(x) existiert (also lim x x0 und lim f(x) beide existieren und übereinstimmen) aber von x x0 f(x 0 ) verschieden ist, heißt x 0 eine hebbare Unstetigkeitsstelle. x x0 f(x) Ist x 0 D(f) und lim x x0 f(x) existiert, so heißt x 0 eine hebbare Definitionslücke. 58
59 Beispiel 1.18 Für die Funktion f : R R, f(x) = { 2x + 7, x 4, 13, x = 4 mit dem Graphen ο x ist x 0 = 4 eine hebbare Unstetigkeitsstelle. 59
60 Rechenregeln für Grenzwerte Wenn lim x x0 f(x) und lim x x0 g(x) existieren, dann existieren auch lim (f(x) ± g(x)) und lim (f(x) g(x)), x x 0 x x0 und es ist lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim x x 0 x x0 lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim x x 0 x x0 lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x). x x 0 x x0 x x0 x x0 g(x) x x0 g(x) Ist außerdem lim g(x) 0, dann existiert auch lim x x0 ist f(x) lim x x 0 g(x) = lim x x 0 f(x) lim x x0 g(x) 60 x x0 f(x), und es g(x)
61 Entsprechende Aussagen gelten für einseitige Grenzwerte. Rechenregeln zur Stetigkeit Seien f, g : R R Funktionen, die beide in x 0 D(f) D(g) stetig sind. Dann sind auch die Funktionen f ± g : R R, f g : R R, λf : R R (für alle λ R) stetig in x 0. Ist zudem g(x 0 ) 0, dann ist auch die Funktion f g : R R stetig in x 0. Seien f : R R und g : R R Funktionen mit W (f) D(g). Ist f in x 0 stetig, und ist g in f(x 0 ) stetig, dann ist auch die zusammengesetzte Funktion g f : R R in x 0 stetig. 61
62 Stetige Funktionen haben sehr schöne und anschauliche Eigenschaften. Satz 1.2 Sei f : R R eine auf [a, b] D(f) stetige Funktion. Dann ist f beschränkt, und es gibt x min, x max [a, b], so dass gilt: f(x min ) f(x) f(x max ) für alle x [a, b]. (Eine stetige Funktion nimmt auf einem abgeschlossenen Intervall ihr Minimum und Maximum an.) 62
63 Satz 1.3 (Zwischenwertsatz) Sei f : R R eine auf [a, b] D(f) stetige Funktion. Dann gibt es zu jedem y 0 R zwischen f(a) und f(b) (d.h. f(a) y 0 f(b) oder f(b) y 0 f(a)) ein x 0 [a, b] mit f(x 0 ) = y 0. (Eine stetige Funktion nimmt auf einem abgeschlossenen Intervall jeden Zwischenwert an.) Ist in dieser Situation f(a)f(b) < 0, dann hat f eine Nullstelle in [a, b]. Dies lässt sich benutzen, um Nullstellen näherungsweise zu berechnen. 63
64 Beispiel 1.19 Die Funktion hat den Graphen f : R R, f(x) = x 3 + 3x 2 5x 1 10 x also drei Nullstellen zwischen 5 und 2. 64
65 Ist der Definitionsbereich von f kein abgeschlossenes Intervall, dann sind die obigen Eigenschaften stetiger Funktionen im allgemeinen nicht gegeben. Beispiel 1.20 Die Funktion 1/x ist auf dem offenen Intervall (0, 3) definiert und dort stetig. Sie nimmt dort aber kein Maximum oder Minimum an. Die Funktionen, die wir bislang kennengelernt haben, sind fast alle stetig: Polynome, rationale Funktionen, sowie die Exponential- und Logarithmusfunktionen sind alle stetig auf ihrem Definitionsbereich. Nicht stetig auf dem ganzen Definitionsbereich hingegen sind Treppenfunktionen! 65
66 Uneigentliche Grenzwerte Werden die Funktionswerte in der Nähe einer Stelle x 0 beliebig groß (positiv oder negativ), so spricht man von einer Polstelle. Das soll hier präzisiert werden: Sei f : R R eine Funktion mit D(f) = D. Ferner sei x 0 R. Falls es für alle beliebig großen M R + ein δ R + gibt, so dass für alle x D (x 0 δ, x 0 ) stets f(x) > M gilt, dann sagen wir f geht linksseitig nach Falls stets f(x) < M folgt, dann sagen wir f geht linksseitig nach. Schreibweise: lim f(x) = +, lim f(x) =. x x0 x x0 Man nennt ± uneigentliche Grenzwerte. 66
67 Analog definiert man lim x x0 f(x) = + bzw. lim x x0 f(x) =. Gilt lim f(x) = ± und lim f(x) = ± (wobei auch verschiedene x x0 x x0 Vorzeichen vorkommen können), so schreibt man lim f(x) = ±. x x0 In diesem Fall heißt x 0 eine Polstelle von f. Ist das Vorzeichen bei links- und rechtsseitiger Annäherung x x 0 gleich, so schreiben wir lim f(x) = + bzw. lim f(x) =. x x0 x x0 67
68 Wir wollen dies am Beispiel erläutern: Beispiel 1.21 Die Funktion aus Beispiel 1.15 f : R R, f(x) = x x 3 = x 3. geht an der Stelle x 0 = 3 linksseitig nach und rechtsseitig nach +, also lim f(x) = und lim f(x) = +, d.h. lim f(x) = ±. x 3 x 3 x 3 Die Funktion f : R R, f(x) = 2 (x 4) 2 geht für x 0 = 4 beidseitig nach +, also lim x 4 f(x) = +. 68
69 Wir wollen abschließend noch das Verhalten von Funktionen für x ± untersuchen. Wir beginnen mit der Situation, dass f für x gegen eine Zahl a R konvergiert: Sei f : R R eine Funktion. f heißt für x (bzw. x ) konvergent gegen a R, falls es für alle ε > 0 ein t(ε) > 0 gibt, so dass gilt ist x > t(ε), dann folgt f(x) a < ε (bzw. ist x < t(ε), dann folgt f(x) a < ε). Wir schreiben dann lim x = a bzw. lim x = a. 69
70 Wir kommen nun zu der Situation, dass für große Werte von x die Funktion f nach strebt: Die Funktion f : R R geht für x nach (bzw. ), falls es für alle M > 0 ein t(ε) > 0 gibt, so dass gilt ist x > t(ε), dann folgt f(x) > M bzw. ist x > t(ε), dann folgt f(x) < M. Man schreibt dann lim x = (bzw. lim x = ). Analog für x. Ist f nicht konvergent, so nennen wir f divergent. Wenn f nach strebt, so sprechen wir von bestimmter Divergenz. 70
71 Es gelten für die Grenzwerte lim x die analogen Rechenregeln wie für Grenzwerte bei Konvergenz x x 0. Im Fall bestimmter Divergenz darf man mit dem Symbol nicht rechnen wie mit reellen Zahlen, z.b. machen Ausdrücke der Form oder keinen Sinn! Beispiel f(x) = 3x2 2x + 5 x x 71
72 Der Graph zeigt lim x f(x) = 3 = lim f(x). x Beweisen lässt sich dies durch Umformung zu und Benutzen von Wir notieren noch lim x ± 3 2 x + 5 x x 2, 1 = 0 für alle n N. xn lim x xn = für alle n N. 72
73 2. f(x) = 2x x x x Der Graph zeigt lim f(x) = und lim f(x) = und x x dies lässt sich mit den gleichen Methoden wie in 1. zeigen: f(x) = x 3 ( x + 10 x x 3). 73
74 3. lim x e x = und lim x ex = f(x) = ex + 2. Der Graph e 2x x zeigt lim f(x) = 0 und lim f(x) = 1. Der zweite Grenzwert folgt sofort aus den üblichen Rechenregeln zusammen mit x x dem vorigen Beispiel. 74
75 Der erste Grenzwert folgt aus f(x) = e x e x 2 e x. Wir sehen, dass der Zähler hier gegen 1 geht, der Nenner konvergiert gegen, der Quotient geht also gegen 0. Lax gesprochen: a = 0, wobei a R. 75
3 Folgen und Stetigkeit
3 Folgen und Stetigkeit 3.1 Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als (a 1, a 2, a 3,...) = (a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index n gibt
Mehr1 Folgen und Stetigkeit
1 Folgen und Stetigkeit 1.1 Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als (a 1, a 2, a 3,...) = (a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index n gibt
Mehr3.1 Folgen. ,...) die Folge der sogenannten Hauptbrüche in Q. Mathematik I WiSe 2005/ y = (y n ) n N = ( 1 3, 1 9, 1 27, 1 81, 1
Kapitel 3. Folgen und Reihen 3.1 Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als a = (a 1, a 2, a 3,...) = (a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index
MehrJede beschränkte und monotone Folge (a n ) n N konvergiert, d.h. es gibt ein a R, so dass lim
Beispiel 3.10 ( 1) n n a n a+nd aq n 1 (a > 0) n monoton steigend d 0 q 1 nein nein streng monoton steigend d > 0 q > 1 nein nein monoton fallend d 0 0 q 1 streng monoton fallend d < 0 0 < q < 1 ja nein
MehrDie anderen Folgen in Beispiel 3.1 sind nicht geometrisch. So ist etwa für die Folge mit b n = 1 n b 3 = 2 b 2 3, aber b 4
Ebenso ist jede Folge mit der Vorschrift d n = q n für ein festes q R geometrisch. Die anderen Folgen in Beispiel 3.1 sind nicht geometrisch. So ist etwa für die Folge mit b n = 1 n b 3 = 2 b 2 3, aber
Mehrist streng monoton fallend.
Beispiel 3.5 Betrachte die Folgen aus Beispiel 3.1 Die Folgen a und d mit a n = n 2 und d n = 2 n sowie die Fibonacci-Folge sind streng monoton wachsend. Die Folge b mit b n = 1 n ist streng monoton fallend.
Mehr3.2 Trigonometrische Funktionen
3. Trigonometrische Funktionen Vorbemerkung. Wir definieren die Winkelfunktionen bezogen auf die Bogenlänge x auf dem Einheitskreis, d.h. für x [0,π]. Alternativ werden die Argumente der Winkelfunktionen
Mehr2.6 Stetigkeit und Grenzwerte
2.6 Stetigkeit und Grenzwerte Anschaulich gesprochen ist eine Funktion stetig, wenn ihr Graph sich zeichnen lässt, ohne den Stift abzusetzen. Das ist natürlich keine präzise mathematische Definition und
MehrMan schreibt dann lim. = bzw. lim
Die Funktion f : R R geht für x nach (bzw. ), fallses für allem R + ein t(ε) R + gibt, so dass gilt ist x > t(ε), dann folgt f(x) > M bzw. ist x > t(ε), dann folgt f(x) < M. Man schreibt dann lim x = bzw.
Mehr,...) ist eine Folge, deren Glieder der Null beliebig nahe kommen. (iii) Die Folge a n = ( 1) n + 1 n oder (a n) = (0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5
3 Folgen 3.1 Definition und Beispiele Eine Abbildung a : Æ Ê heißt (reelle) Zahlenfolge. Statt a(n) schreiben wir kürzer a n und bezeichnen die ganze Folge mit (a n ) n Æ oder einfach (a n ), was aber
MehrFolgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit
Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Josef F. Bürgler Abt. Informatik HTA Luzern, FH Zentralschweiz HTA.MA+INF Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 1 / 33 Inhalt 1 Folgen
Mehr3 Folgen, Reihen und stetige Funktionen
Höhere Mathematik 101 3 Folgen, Reihen und stetige Funktionen 3.1 Folgen und Reihen: Definitionen und Beispiele Eine reelle oder komplexe Zahlenfolge ist eine Abbildung, die jeder natürlichen Zahl n eine
MehrAnalysis I. Guofang Wang Universität Freiburg
Universität Freiburg 8.11.2016 Kapital 2. Konvergenz 1. Grenzwerte von Folgen Definition 1.1 (Folge) Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung N R, n a n. a n heißt das n-te Glied der Folge, die Folge
MehrFolgen und Reihen. Kapitel Zahlenfolgen
Kapitel 2 Folgen und Reihen 2. Zahlenfolgen Definition. Eine Folge reeller Zahlen a 0,a,a 2,..., die gewonnen wird durch eine Vorschrift, die jeder natürlichen Zahl n N genau eine reelle Zahl a n zuordnet,
MehrMathematik 1 Folgen, Reihen und Finanzmathematik
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 1 Universität Basel Abteilung Quantitative Methoden Mathematik 1 Dr. Thomas Zehrt Folgen, Reihen und Finanzmathematik Inhaltsverzeichnis 1 Zahlenfolgen 2 1.1 Grundlegende
Mehra 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter.
7 Folgen 30 7 Folgen Wir betrachten nun (unendliche) Folgen von Zahlen a 0, a, a 2, a 3,.... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. Bezeichnung Wir bezeichnen mit N die Menge der
MehrNumerische Verfahren und Grundlagen der Analysis
Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 26 1. Folgen R. Steuding (HS-RM)
MehrMathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium
Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium Dr. B. Hallouet b.hallouet@mx.uni-saarland.de SS 2018 Vorlesung MINT Mathekurs SS 2018 1 / 20 Vorlesung 4 (Lecture 4) Folgen Sequences Vorlesung MINT
MehrMathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium
Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium Dr. B. Hallouet b.hallouet@mx.uni-saarland.de SS 2017 Vorlesung 4 MINT Mathkurs SS 2017 1 / 20 Vorlesung 4 (Lecture 4) Folgen Sequences Vorlesung 4
MehrKonvergenz einer Folge. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Konvergenz einer Folge 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Konvergenz einer Folge: Inhalt Drei Verhaltensmuster von Folgen. Beispiele 1 ) = 1 n, = n n +1, 2 ) = ( 1)n n +1 n und ihre graphischen Darstellungen.,
Mehr11. Folgen und Reihen.
- Funktionen Folgen und Reihen Folgen Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a: N R Statt a(n) für n N schreibt man meist a n ; es handelt sich also bei einer Folge um die Angabe der Zahlen a, a
MehrVorlesungen Analysis von B. Bank
Vorlesungen Analysis von B. Bank vom 23.4.2002 und 26.4.2002 Zunächst noch zur Stetigkeit von Funktionen f : D(f) C, wobei D(f) C. (Der Text schliesst unmittelbar an die Vorlesung vom 19.4.2002 an.) Auf
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 1
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 07 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie. Frage Welche der Aussagen sind richtig? Eine divergente Folge ist nicht beschränkt. Falsch. Z.B. ist {( ) n } n N beschränkt und divergent.
MehrLösungen zur Probeklausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version A)
Lösungen zur Probeklausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, 10.1.009 (Version A) Kennwort: Übungsgruppe: (Sie können ein beliebiges Kennwort wählen, um Ihre Anonymität zu wahren! Da die Probeklausur
MehrVorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen
Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen Susanna Pohl Vorkurs Mathematik TU Dortmund 12.03.2015 Folgen und Reihen Folgen und Grenzwerte Rechenregeln für konvergente Folgen
MehrWirtschaftsmathematik
Hochschule Darmstadt FB Mathematik und Naturwissenschaften Wirtschaftsmathematik für die Betriebswirtschaftslehre (B.Sc.) Sommersemester 207 Adam Georg Balogh Dr. rer. nat. habil. Adam Georg Balogh E-mail:
MehrFolgen und Reihen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden
Folgen und Reihen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-0062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Folgen Eine (unendliche) (Zahlen)folge ist eine Abbildung f : N R. Statt f (n) schreibt man
Mehr(alternierendes Vorzeichen) a n := ( 1)n n + 1 a n := 3n 2 7n a n := n(n 1)(n 2), n 3
ANALYSIS FÜR PHYSIK UND VERWANDTE FÄCHER I 43 2. Folgen und Reihen Folgen und Reihen werden in jedem Analysislehrbuch besprochen, siehe etwa [H, Kapitel III], [K, Kapitel 5], [J2, Kapitel 23] oder [M,
MehrFolgen und Reihen. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel. Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Folgen und Reihen Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band, 7. Auflage,
MehrGRUNDLAGEN MATHEMATIK
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 2. Folgen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies Grundlagen Mathematik
MehrKapitel 2. Folgen und ihre Konvergenz
Kapitel 2 Folgen und ihre Konvergenz Zur Erinnerung Denition. Eine Folge (reeller Zahlen) ist eine Funktion von N 0 nach R. Schreibweisen. Im Falle einer Folge f : N 0 R schreibt man an Stelle von f (n)
MehrGrenzwerte und Stetigkeit
KAPITEL 3 Grenzwerte und Stetigkeit 3.1 Grenzwerte..................................... 49 3.2 Stetigkeit....................................... 57 Lernziele 3 Grenzwerte ε-δ-definition des Grenzwerts,
MehrFolgen. Eine (unendliche) (Zahlen)folge ist eine Abbildung. dann als. notiert, und das wird abgekürzt mit. nennt man die Folgenglieder.
Folgen Eine (unendliche) (Zahlen)folge ist eine Abbildung Statt dann als schreibt man auch oder ähnlich, die Folge wird notiert, und das wird abgekürzt mit. Die nennt man die Folgenglieder. Mathematik
MehrFolgen und Reihen Folgen
Folgen und Reihen 30307 Folgen Einstieg: Wir beginnen mit einigen Beispielen für reelle Folgen: (i),, 4, 8, 6, (ii) 4,, 6, 3, 7, (iii) 0,,,, 3,, (iv), 3, 7,,, Aufgabe : Setzt die Zahlenfolgen logisch fort
MehrMathematik I Herbstsemester 2014
Mathematik I Herbstsemester 2014 www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/mathematik1 BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1 / 32 1 Stetigkeit Grenzwert einer
Mehr( Mathematik verstehen 6, Kapitel 7,S.116 ff) Eine Folge ( ) kann man auch als eine f: auffassen, die jeder von 0
Factsheet 1 Folgen und Reihen Folgen ( Mathematik verstehen 6, Kapitel 7,S.116 ff) Wichtige Begriffe und Defintionen: (Zahlen)Folge.. (a n *) mit (a 1, a 2,.), oder ( a o, a 1, a 2, ), a n n-tes Folgenglied
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kapitel 4: Konvergenz und Stetigkeit Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 22. November 2007) Folgen Eine Folge
Mehr{, wenn n gerade ist,, wenn n ungerade ist.
11 GRENZWERTE VON FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 60 Mit anderen Worten, es ist lim f(x) = b lim f (, a)(x) = b, x a x a wobei f (, a) die Einschränkung von f auf (, a) ist. Entsprechendes gilt für lim x a.
Mehr10 Aus der Analysis. Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit
10 Aus der Analysis Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit Zahlenfolgen Ein unendliche Folge reeller Zahlen heißt Zahlenfolge. Im Beispiel 2, 3, 2, 2 2, 2
Mehr2. Eigenschaften von Zahlenfolgen
. Eigenschaften von Zahlenfolgen.. Monotone Folgen ) Definition Eine Folge heisst streng monoton wachsend, wenn für alle n gilt: an+ > an. (D.h. jedes Folgenglied ist grösser als sein Vorgänger. Man sagt
MehrFolgen und Reihen. 1 Konvergenz
Folgen und Reihen Man betrachte viele Zahlen hintereinander geschrieben. Solche Folgen von Zahlen können durch nummeriert werden. Es entsteht eine Zuordnung der natürlichen Zahlen zu den Gliedern der Folge.
Mehr3. Mit c n = ( 1) n ist. 4. Mit d n = 2 n ist. 5. Mit y n = ( 1 3) n. 6. Ist x n = (1 + 1 n )n, dann ist. Die Zahl a n heißt die n-te Fibonaccizahl.
Kapitel 3. Folgen und Reihen 3. Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als a, a, a 3,...) = a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index n gibt
MehrMathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 2: Stetigkeit
Mathematik I Herbstsemester 2018 Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1 / 33 2. Stetigkeit Reelle Zahlenfolgen Grenzwert einer Folge Grenzwert einer Funktion Stetigkeit einer Funktion
MehrFolgen und Reihen. Folgen. Inhalt. Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis. Folgen und Reihen. Reelle Funktionen. Vorlesung im Wintersemester 2014
Inhalt Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis Vorlesung im Wintersemester 2014 Kurt Frischmuth Institut für Mathematik, Universität Rostock Rostock, Oktober 2014... Folgen und Reihen Reelle Funktionen
MehrKapitel IV. Folgen und Konvergenz
Kapitel IV Folgen und Konvergenz Inhalt IV.1 Zahlenfolgen Motivation und Begriffsbestimmungen IV.2 Konvergente Folgen Konvergenz und Grenzwert einer Folge Rechenregeln konvergenter Folgen IV.3 Einige nützliche
MehrDas Newton Verfahren.
Das Newton Verfahren. Ziel: Bestimme eine Nullstelle einer differenzierbaren Funktion f :[a, b] R. Verwende die Newton Iteration: x n+1 := x n f x n) f x n ) für f x n ) 0 mit Startwert x 0. Das Verfahren
Mehr1 Reihen von Zahlen. Inhalt:
5 Kapitel 3 Reihen Reihen von Zahlen Inhalt: Konvergenz und Divergenz von Reihen reeller oder komplexer Zahlen, geometrische Reihe, harmonische Reihe, alternierende Reihen. Cauchy-Kriterium, absolute Konvergenz,
Mehr3.2 Konvergenzkriterien für reelle Folgen
3.2 Konvergenzkriterien für reelle Folgen Definition: Eine reelle Folge a n ) n N heißt monoton wachsend : n < m : a n a m streng monoton wachsend : n < m : a n < a m nach oben beschränkt : C R : n : a
MehrRekursionen (Teschl/Teschl 8.1/8.2)
Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1/8.2) treten in vielen Algorithmen auf: Eine Rekursion ist eine Folge von Zahlen a 0, a 1, a 2,.., bei der jedes a n aus seinen Vorgängern berechnet wird: Beispiele a n =
MehrNumerische Verfahren und Grundlagen der Analysis
Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 22 3. Funktionen. Grenzwerte.
MehrVorkurs Mathematik. Übungen Teil IV
Vorkurs Mathematik Herbst 009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil IV. Folgen und die Konstruktion von R Im vorherigen Kapitel haben wir Z und Q über (formale) Lösungsmengen von Gleichungen der Form
Mehr3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die
3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind ( n N, auch
MehrSerie 4 2 = 10. ) ist). Dann gilt für alle n n 0
Serie 4. Aufgabe 336 Punkte) Gegeben seien zwei reelle Zahlenfolgen durch a n : 0 n, n N b n : n n, n N Bestimmen Sie die Grenzwerte a bzw. b der Folgen a n ) n N bzw. b n ) n N. Geben Sie jeweils zu gegebenem
MehrRechenoperationen mit Folgen. Rekursion und Iteration.
Rechenoperationen mit Folgen. Die Menge aller Folgen in V bildet einen Vektorraum, V N, für den die Addition und skalare Multiplikation wie folgt definiert sind. (a n ) n N + (b n ) n N := (a n + b n )
MehrFunktionsgrenzwerte, Stetigkeit
Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Häufig tauchen in der Mathematik Ausdrücke der Form lim f(x) auf. x x0 Derartigen Ausdrücken wollen wir jetzt eine präzise Bedeutung zuweisen. Definition. b = lim f(x) wenn
MehrAufgabe 49: (Stetigkeit) e (x2) 1 x 2 Zeige, dass folgende Funktion am Nullpunkt stetig ist: f(x) = x 0 für x = 0.
Mathe II für Informatiker Sommersemester 5 Walter Oevel 3. 5. 25 Ü b u n g s b l a t t 8 Lösungen von -Aufgaben sind per Web-Formular unter http://math-www.upb.de/~walter Lehre SS 5 Übungen bis spätestens
MehrMathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010
Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 8 10. November 2009 Kapitel 2. Konvergenz von Folgen und Reihen Definition 27. Eine (reelle bzw. komplexe) Zahlenfolge ist eine R- bzw. C-wertige
MehrKapitel 3. Reihen und ihre Konvergenz
Kapitel 3 Reihen und ihre Konvergenz Abschnitt 3.1 Der Reihenbegri und erste Beispiele Denitionen zu Reihen, 1 Denition. Sei (a n ) n N0 eine Folge reeller Zahlen. Für n N 0 heiÿt dann die Zahl s n :=
MehrDem Anschein nach werden diese Zahlen kleiner und kleiner und streben gegen Null. Was sollen sie sonst auch tun? Aber der Begriff
47 5 Irrationales 5.1 Folgen, Konvergenz und Vollständigkeit Eine Abbildung a : N R definiert eine Folge von reellen Werten a 1 = a(1), a 2 = a(2), a 3 = a(3),... Solche Zahlenfolgen werden uns dazu dienen,
MehrStetigkeit. Definitionen. Beispiele
Stetigkeit Definitionen Stetigkeit Sei f : D mit D eine Funktion. f heißt stetig in a D, falls für jede Folge x n in D (d.h. x n D für alle n ) mit lim x n a gilt: lim f x n f a. Die Funktion f : D heißt
MehrFunktionen, Folgen und Reihen
Kapitel 3 Funktionen, Folgen und Reihen (Prof. Elias Wegert) 3.1 Vorbemerkungen Die Mathematik zeichnet sich unter anderem durch eine ungewohnte Schärfe der Begriffsbildungen aus in der Regel ist bei der
Mehr= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,.
2 Folgen, Reihen, Grenzwerte 2.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind (n N; auch
Mehre. Für zwei reelle Zahlen x,y R gelten die Additionstheoreme sin(x+y) = cos(x) sin(y)+sin(x) cos(y). und f. Für eine reelle Zahl x R gilt e ix = 1.
8. GRENZWERTE UND STETIGKEIT VON FUNKTIONEN 51 e. Für zwei reelle Zahlen x,y R gelten die Additionstheoreme cos(x+y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) und sin(x+y) = cos(x) sin(y)+sin(x) cos(y). f. Für eine
MehrFerienkurs Analysis 1
Skript Ferienkurs Analysis 1 Fabian Hafner und Thomas Baldauf TUM Wintersemester 2016/17 04.04.2017 Das Skript wurde teilweise übernommen vom Skript des Ferienkurses WS 2014, verfasst von Andreas Wörfel.
MehrHM I Tutorium 2. Lucas Kunz. 3. November 2016
HM I Tutorium 2 Lucas Kunz 3. November 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie 2 1.1 Reelle Zahlen.................................. 2 1.2 Intervalle..................................... 2 1.3 Beträge.....................................
MehrViele Statistiken werden durch endliche Folgen beschrieben. (z.b. Anzahl der Studierenden an der TU München in den Jahren 1962 bis 1976)
Kapitel 9 Folgen und Reihen 9.1 Folgen 9.1.1 Was ist eine Folge? Abbildungen, die auf N definiert sind (mit Werten z.b. in R), heißen (unendliche) Folgen. Abb., die auf einer endlichen Menge aufeinander
MehrFolgen und Reihen. Katharina Brazda 9. März 2007
Katharina Brazda 9. März 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Folgen 2 1.1 Definition von Folgen - explizite und rekursive Darstellung.............. 2 1.2 Wachstumsverhalten von Folgen - Monotonie und Beschränktheit..........
Mehr$Id: folgen.tex,v /05/31 12:40:06 hk Exp $ an 1 2 n 1 ist gerade, 3a n 1 + 1, a n 1 ist ungerade.
$Id: folgen.tex,v. 202/05/3 2:40:06 hk Exp $ 6 Folgen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir Folgen in einer Menge X als Abbildungen a : N X definiert, die dann typischerweise in der Form (a n ) n N, also
MehrWie in der reellen Analysis üblich notiert man Folgen f in der Form
2.1.3 Folgen und Konvergenz Viele aus der Analysisvorlesung bekannte Begriffe lassen sich in den Bereich der metrischen Räume verallgemeinern. Diese Verallgemeinerung hat sich als sehr nützliches mathematisches
Mehrheißt Exponentialreihe. Die durch = exp(1) = e (Eulersche Zahl). n! + R m+1(x) R m+1 (x) = n! m m + 2
9 DIE EXPONENTIALREIHE 48 absolut konvergent. Beweis. Wegen x n+ n! n + )!x n = x n + < 2 für n 2 x folgt dies aus dem Quotientenkriterium 8.9). Definition. Die Reihe x n heißt Exponentialreihe. Die durch
MehrFolgen und Reihen. Thomas Blasi
Folgen und Reihen Thomas Blasi 02.03.2009 Inhaltsverzeichnis Folgen und Grenzwerte 2. Definitionen und Bemerkungen............................. 2.2 Konvergenz und Beschränktheit.............................
Mehrc < 1, (1) c k x k0 c k = x k0
4.14 Satz (Quotientenkriterium). Es sei (x k ) Folge in K. Falls ein k 0 existiert, so dass für k k 0 gilt x k 0 und x k+1 x k c < 1, (1) so ist x k absolut konvergent. Beweis. Aus (1) folgt mit vollständiger
MehrEin Kennzeichen stetiger Funktionen ist es, dass ihre Graphen (evtl. auch nur in Intervallen) nicht. Knicke im Funktionsgraphen auftreten.
FOS, 11 Jahrgangsstufe (technisch) 6 Stetigkeit Ein Kennzeichen stetiger Funktionen ist es, dass ihre Graphen (evtl auch nur in Intervallen) nicht abreißen und gezeichnet werden können, ohne den Zeichenstift
Mehr4 Reihen und Finanzmathematik
4 Reihen und Finanzmathematik 4. Reihen Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Sei
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufgabe 45. Polynome sind stets stetig. Höhere Mathematik für Informatiker II (Sommersemester
MehrÜbungen zu Einführung in die Analysis
Übungen zu Einführung in die Analysis (Nach einer Zusammengestellung von Günther Hörmann) Sommersemester 2011 Vor den folgenden Aufgaben werden in den ersten Wochen der Übungen noch jene zur Einführung
MehrKap. 10: Folgen und Reihen. Eine Funktion a : N Ñ R
Definition: Zahlenfolge Kap. 10: Folgen und Reihen 10.1 Definition: Zahlenfolge Eine Funktion a : N Ñ R poder Cq heißt reelle (oder komplexe) Zahlenfolge. Man nennt a n apnq das n-te Folgenglied und schreibt
MehrKapitel 4. Folgen und Reihen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folgen und Reihen 1 / 38
Kapitel 4 Folgen und Reihen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folgen und Reihen 1 / 38 Folgen Eine Folge ist eine Anordnung von reellen Zahlen. Die einzelnen Zahlen heißen Glieder
MehrFerienkurs Analysis 1, SoSe Unendliche Reihen. Florian Beye August 15, 2008
Ferienkurs Analysis 1, SoSe 2008 Unendliche Reihen Florian Beye August 15, 2008 1 Reihen und deren Konvergenz Definition 1.1. Eine reelle bzw. komplexe Reihe ist eine unendliche Summe über die Glieder
MehrFolgen und Reihen. Zahlenfolgen , ,
97 Wegener Math/5_Reihen Mittwoch 04.04.2007 8:38:52 Folgen und Reihen Zahlenfolgen Eine Zahlenfolge a besteht aus Zahlen a,a 2,a 3,a 4,a 5,... Die einzelnen Zahlen einer Folge heißen Glieder oder Terme.
MehrKapitel 5 Trigonometrie
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / 7 Schenkel Winkelbereich Scheitel S α Winkel werden in Grad oder im Bogenmaß (auch Rad) angegeben: 360 =. y cot α r = sin α α cos α tan α x Durch diese Betrachtungen
MehrAufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I
Aufgaben und en Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Wintersemester 2008/2009 Übung 6 Einleitung Eventuell auftretende Fragen zum Übungsblatt sollen beantwortet werden. Dazu ist es erforderlich,
MehrVO Mathematik I für Studierende der Wirtschaftswissenschaften
VO Mathematik I für Studierende der Wirtschaftswissenschaften ao. Univ.-Prof. Mag. Dr. Andreas J. Novák December 3, 015 1 Einleitung 1.1 Mathematische Schreibweisen: für alle es existiert ein/eine n n
Mehr7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung β-version) Aufgabe : Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Folgen mit den Folgengliedern a) a n n n X + cosnπ), b) b n i) i j, und geben Sie
MehrKapitel 5 Reihen 196
Kapitel 5 Reihen 96 Kapitel 5. Definition und Beispiele 97 Das Material dieses Kapitels können Sie nachlesen in: MICHAEL SPIVAK, Calculus, Kapitel 22 DIRK HACHENBERGER, Mathematik für Informatiker, Kapitel
MehrFerienkurs Seite 1. Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Stetigkeit, Konvergenz, Topologie
Ferienkurs Seite Technische Universität München Ferienkurs Analysis Hannah Schamoni Stetigkeit, Konvergenz, Topologie Lösung 2.03.202. Gleichmäßige Konvergenz Entscheiden Sie, ob die folgenden auf (0,
MehrDer Abschluss D ist die Menge, die durch Hinzunahme der Intervallränder entsteht, in den obigen Beispielen also
Festlegung Definitionsbereich 11.1 Festlegung Definitionsbereich Festlegung: Wir betrachten Funktionen f : D Ñ R, deren Definitionsbereich eine endliche Vereinigung von Intervallen ist, also z.b. D ra,
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1,
MehrAnalysis I. 3. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 3. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. (1) Eine Abbildung F von einer Menge L in eine
MehrRekursionen (Teschl/Teschl 8.1/8.2)
Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1/8.2) treten in vielen Algorithmen auf: Eine Rekursion ist eine Folge von Zahlen a 0, a 1, a 2,.., bei der jedes a n aus seinen Vorgängern berechnet wird: Beispiele a n =
Mehr3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen und Grenzwerte. Denition 3.1 (Folge) Kapitelgliederung
Kapitelgliederung 3. Folgen und Reihen 3.1 Folgen und Grenzwerte 3.2 Rechenregeln für konvergente Folgen 3.3 Monotone Folgen und Teilfolgen 3.4 Ein Algorithmus zur Wurzelberechnung 3.5 Reihen 3.6 Absolut
Mehr2 Funktionen einer Variablen
2 Funktionen einer Variablen 2.1 Einführende Beispiele Kostenfunktion und Stückkostenfunktion: Das Unternehmen Miel produziert hochwertige Waschmaschinen. Es hat monatliche Fikosten von 170.000. Die sind
Mehr1 Funktionen einer Variablen
1 Funktionen einer Variablen 1.1 Einführende Beispiele Kostenfunktion und Stückkostenfunktion: Das Unternehmen Miel produziert hochwertige Waschmaschinen. Es hat monatliche Fikosten von 170.000. Die sind
MehrKapitel 4: Grenzwerte bei Funktionen, Stetigkeit
Kapitel 4: Grenzwerte bei Funktionen, Stetigkeit Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika (KO) Grenzwerte bei Funktionen, Stetigkeit 1 / 27 Gliederung
Mehr1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen
1 Einleitung Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis 1 aus dem Wintersemester 2008/09
MehrAnalysis I. Guofang Wang Universität Freiburg
Universität Freiburg 22.11.2016 3. Mächtigkeit und die komplexe Zahlen Komplexe Zahlen Definition Die komplexe Zahlen sind definiert als C = R 2 = R R, mit (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 +
Mehr13. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 3. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 00/ 07.0.-.0. Aufgabe G Stetigkeit) a) Gegeben
MehrStetigkeit von Funktionen
Stetigkeit von Funktionen Definition. Es sei D ein Intervall oder D = R, x D, und f : D R eine Funktion. Wir sagen f ist stetig wenn für alle Folgen (x n ) n in D mit Grenzwert x auch die Folge der Funktionswerte
Mehr3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen
3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen Satz: Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte reelle Folge a n ) n N ist konvergent mit Grenzwert lim a n = sup{a n n N} Beweis: Sei a n ) n N nach oben
Mehr