Kapitel III. Stetige Funktionen. 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen. 15 Hauptsätze über stetige Funktionen

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1 Kapitel III Stetige Funktionen 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen 15 Hauptsätze über stetige Funktionen 16 Konvergenz von Funktionen 17 Logarithmus und allgemeine Potenz C 1

2 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen 14.1 Stetigkeit 14.2 Elementare Rechenregeln für stetige Funktionen 14.4 Stetigkeit rationaler Funktionen 14.5 Stetigkeit der Exponentialfunktion 14.7 Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft 14.9 Kriterien für Stetigkeit Rechts- bzw. linksseitige Stetigkeit Die folgende Stetigkeitsdefinition einer Funktion f an einer Stelle t 0 formalisiert die Vorstellung: Nähert man sich mit t (beliebig) gegen den vorgegebenen Wert t 0, so soll sich f(t) gegen den Wert f(t 0 ) nähern. Die Formulierung t nähert sich gegen den Wert t 0 bedarf jedoch einer mathematischen Präzisierung. Dieses Problem werden wir mittels gegen t 0 konvergierender Folgen lösen. So gelangen wir zu der folgenden Stetigkeitsdefinition: Ist (t n ) n N eine beliebige Folge, die gegen t 0 konvergiert, so konvergiert (f(t n )) n N gegen f(t 0 ). Dies führt zu der folgenden formalen Definition, bei der die Sprechweise (t n ) n N ist eine Folge in D als Abkürzung für t n D für alle n N benutzt wird Stetigkeit Sei D R und f : D R. Dann heißt f in t 0 stetig, wenn gilt: (1) t 0 D. (2) Für jede Folge (t n ) n N in D mit lim n t n = t 0 folgt lim n f(t n ) = f(t 0 ). f heißt stetig, wenn f für jedes t 0 D stetig ist. Statt f ist in t 0 stetig, sagt man auch: f ist stetig bei t 0 oder im Punkte t 0 oder an der Stelle t 0. Die Funktion f = x, d.h. die Funktion, die jedem t R den Funktionswert t zuordnet, ist stetig. (Man beachte, daß bei dieser Schreibweise für das Argument der Funktion f der Buchstabe x nicht mehr verwendet werden darf!) Die Funktion f = c R (oder auch f = c geschrieben) mit c R, die jedem t R den Funtionswert c zuordnet, ist stetig. [14] 1 C 1

3 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen Die Stetigkeit weiterer Funktionen werden wir aus den Rechenregeln für stetige Funktionen herleiten. Im gesamten Kapitel III bezeichnen durchweg f : D R, g : E R Funktionen mit D R und E R. Funktionen f : D R mit D R werden wir auch kurz reellwertige Funktionen nennen. Erinnert sei an die Verknüpfungen reellwertiger Funktionen aus 6.1. Danach sind f + g, f g, f g, α f und f/g stets definiert. Der Beweis des folgenden Satzes folgt aus den Rechenregeln für konvergente Folgen Elementare Rechenregeln für stetige Funktionen Seien f, g reellwertige in t 0 stetige Funktionen und α R. Dann sind (iii) (iv) (v) (vi) (vii) f + g in t 0 stetig; f g in t 0 stetig; f g in t 0 stetig; α f in t 0 stetig; f/g in t 0 stetig, wenn g(t 0 ) 0 ist; f in t 0 stetig; min(f, g), max(f, g) in t 0 stetig. Beweis. (iii) f + g, f g, f g sind auf D E definiert. Sei nun (t n ) n N eine Folge in D E mit t n t 0 gewählt. Da alle t n sowohl in D als auch in E liegen, folgt aus der Definition der Stetigkeit für f bzw. g in t o : (1) f(t n ) f(t 0 ), g(t n ) g(t 0 ). Satz 7.18 liefert nun (2) (f + g)(t n ) = f(t n ) + g(t n ) f(t 0) + g(t 0 ) = (f + g)(t 0 ); 6.1 (1), (3) (f g)(t n ) = f(t n ) g(t n ) f(t 0) g(t 0 ) = (f g)(t 0 ); 6.1 (1), (4) (f g)(t n ) = f(t n ) g(t n ) f(t 0) g(t 0 ) = (f g)(t 0 ). 6.1 (1),7.18(iii) 6.1 Da die Folge (t n ) n N in D E mit t n t 0 beliebig gewählt war, folgt aus (2) die Stetigkeit von f + g, aus (3) die Stetigkeit von f g und aus (4) die Stetigkeit von f g in t 0. Zu (iv) und (vi). Sei (t n ) n N aus D mit t n t 0 gewählt. Dann gilt (5) f(t n ) f(t 0 ), und aus 7.18(iv) und 7.16(iii) folgt: C 1 [14] 2

4 Kapitel III Stetige Funktionen (6) (α f)(t n ) = 6.1(iii) αf(t n ) 7.18(iv) αf(t 0) = 6.1(iii) (α f)(t 0 ); (7) f (t n ) = 6.1 f(t n ) 7.16(iii) f(t 0) = 6.1 f (t 0 ). Also sind α f und f in t 0 stetig. (vii) folgt aus,,(iv) und (vi) wegen min(f, g) = 1 2 (f + g f g ), max(f, g) = 2 1 (f + g + f g ). (v) Wegen g(t 0 ) 0 ist f/g in t 0 definiert. Es ist also t 0 (D E) \ g 1 ({0}). Sei nun (t n ) n N aus (D E) \ g 1 ({0}) mit t n t 0 gewählt. Dann gilt, da f und g in t 0 stetig sind: (8) f(t n ) f(t 0 ), g(t n ) g(t 0 ) und g(t n ), g(t 0 ) 0. Aus 7.18(v) folgt daher: ( f g )(t f(t n) = n) f(t 6.1 g(t n) 0 ) (8),7.18(v) g(t 0 ) = ( f g )(t 0) C(D) bildet eine Algebra und einen Vektorverband Sei D R. Dann bildet C(D) := {f R D : f stetig} eine Unteralgebra von R D sowie einen Vektorverband reellwertiger Funktionen. Beweis. Da R D eine Algebra (siehe 6.14) ist, ist nach Definition 6.13 zu zeigen: f, g C(D) f + g; α f C(D) für α R; (iii) f, g C(D) f g C(D); 0 C(D), d.h. die Funktion, die auf D konstant gleich Null ist, gehört zu C(D). (iii) ist trivial; folgt aus 14.2 und (iv); folgt aus 14.2(iii). C(D) ist ein Vektorverband reellwertiger Funktionen nach 14.2(vi) (siehe Definition 6.15). Aus 14.2 ergibt sich das nun folgende Resultat, daß nämlich alle Polynome und sogar alle rationalen Funktionen stetig sind Stetigkeit rationaler Funktionen Jedes Polynom ist stetig. Jede rationale Funktion ist (in allen Punkten ihres Definitionsbereiches) stetig. [14] 3 C 1

5 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen Beweis. Sei P = n i=0 a ix i. Da die identische Abbildung x von R in R stetig ist, ist a i x i stetig für i = 1,..., n nach 14.2(iii) und (iv). Da auch die konstanten Funktionen stetig sind, ist P stetig nach r = Q P mit Polynomen P und Q ist genau für die t 0 definiert, für die Q(t 0 ) 0 ist. Daher ist r stetig nach 14.2(v) Stetigkeit der Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion exp ist stetig. Sei n N 0, dann gilt: exp(t) = n k=0 tk k! + r n(t) mit r n (t) 2 t n+1 (n+1)! für t 1 + n/2. Beweis. Es ist nach und 9.8(b) für t R: exp(t) = n k=0 tk k! + r n(t) mit r n (t) = k=n+1 tk k!. Wir schätzen nun den Reihenrest r n (t) mittels der geometrischen Reihe ab. Es ist: r n (t) 9.11 = 9.9(iii) 9.9(iv) k=n+1 t k k! Für t 1 + n/2 gilt daher t n+1 t (n+1)!(1 + n+2 + t 2 (n+2)(n+3) t k (n+2)(n+3)...(n+k+1) +...) t n+1 t (n+1)!(1 + n+2 + t t k +...). (n+2) 2 (n+2) k r n (t) t n+1 (n+1)! (1 + (1/2) + (1/2) (1/2) k +...) = Wir zeigen zunächst: (1) exp ist in 0 stetig. Zunächst gilt nach angewandt auf n = 0: (2) exp(t) exp(0) = exp(t) 1 2 t für t 1. n+1 2 t 9.3 (n+1)!. Wähle zum Beweis von (1) eine Folge t i 0. Dann gilt t i 1 für fast alle i. Aus (2) folgt daher exp(t i ) exp(0), d.h. (1) (benutze z.b. 7.15). Sei nun t 0 R beliebig. Wähle zum Nachweis der Stetigkeit von exp in t 0 eine Folge (t i ) i N, die gegen t 0 konvergiert. Dann gilt (t i t 0 ) 0 und somit: exp(t i ) = exp(t i t 0 ) exp(t 0 ) (1) 1 exp(t 0 ) = exp(t 0 ). Also ist exp in t 0 stetig. C 1 [14] 4

6 Kapitel III Stetige Funktionen Ist t exp(t 2 ) oder allgemeiner t exp(p (t)) für ein Polynom P stetig? Ist t (exp(t)) 2 stetig? Diese und ähnliche Fragen beantwortet der folgende Satz (zusammen mit 14.5 und 14.4) bejahend. Man beachte, daß die Komposition zweier Funktionen g : E R und f : D R immer als definiert angesehen werden soll, nämlich durch (g f)(t) := g(f(t)) für t D mit f(t) E. Somit ist g f auf D f 1 (E) = f 1 (E) definiert. Mit dieser Festsetzung ist also insbesondere für eine Funktion f : D R mit D R immer: f = f x. Hierbei war x die identische Abbildung von R in R. Man setzt dann auch f(x) := f x. Also gilt mit diesen Festsetzungen immer: f = f(x) Kettenregel für stetige Funktionen Sei f eine in t 0, g eine in f(t 0 ) stetige Funktion. Dann ist g f in t 0 stetig. Beweis. Sei (t n ) n N aus D f 1 (E) mit t n t 0 ( D f 1 (E)) gewählt. Dann gilt f(t n ) f(t 0 ), da f stetig in t 0 ist. Da f(t n ), f(t 0 ) E sind, gilt wegen der Stetigkeit von g in f(t 0 ): Also ist g f in t 0 stetig. (g f)(t n ) = g(f(t n )) g(f(t 0 )) = (g f)(t 0 ) Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft Sei t 0 D E und f : D R. Ist f in t 0 stetig, dann ist auch f (D E) in t 0 stetig. Ist also E D, dann ist die Restriktion f E in t 0 stetig. Ist E eine Umgebung von t 0, dann ist f genau dann in t 0 stetig, wenn f (D E) in t 0 stetig ist. Beweis. Sei (t n ) n N eine Folge in D E. Dann ist (t n ) n N eine Folge in D. Somit folgt f(t n ) f(t 0 ), da f in t 0 stetig ist. Also ist f (D E) in t 0 stetig. folgt aus. : Sei (t n ) n N eine Folge in D mit t n t 0. Dann liegen fast alle t n in D E und somit konvergiert wegen der Stetigkeit von f D E in t 0 auch f(t n ) f(t 0 ). Also ist f in t 0 stetig. [14] 5 C 1

7 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen 14.8 Beispiel { 1, t Q Die Dirichletsche Funktion f := 1 Q, definiert durch 1 Q (t) := 0, t R \ Q ist (siehe unten) in jedem Punkt t 0 R unstetig, aber f Q ist als konstante Funktion stetig. Insbesondere läßt sich also i.a nicht umkehren. Ferner zeigt dieses Beispiel, daß f E stetig sein kann, ohne daß f in irgendeinem Punkt von E stetig sein muß. Man beachte also Ist f : D R in allen Punkten von E( E D) stetig, so ist f E stetig. Die Umkehrung gilt jedoch i.a. nicht. Zur Unstetigkeit von f: Als ersten Fall nehmen wir an, daß t 0 R \ Q gilt. Dann gibt es (siehe 7.23) rationale Zahlen q n mit q n t 0. Dann ist f(q n ) = 1 für alle n N, aber f(t 0 ) = 0. Daher konvergiert f(q n ) nicht gegen f(t 0 ), d.h. f ist nicht stetig in t 0. Ist t 0 Q, dann gibt es entsprechend irrationale Zahlen t n mit t n t 0 (benutze hierzu z.b. Aufgabe 8, nach der die irrationalen Zahlen dicht in R liegen). Also konvergiert wiederum f(t n ) = 0 nicht gegen f(t 0 ) = 1; also ist auch für rationales t 0 die Funktion f nicht stetig in t Kriterien für Stetigkeit Sei f : D R. Dann sind äquivalent: (iii) f ist in t 0 stetig. t 0 D und für jedes ε R + gibt es ein δ R +, so daß für alle t D gilt: t t 0 < δ f(t) f(t 0 ) < ε. t 0 D und für jede Umgebung U von f(t 0 ) gibt es eine Umgebung V von t 0 mit f(v D) U. Beweis. In (iii) wird jeweils t 0 D vorausgesetzt. Beim Nachweis der Äquivalenzen können wir also von t 0 D ausgehen. Angenommen sei nicht wahr. Dann gibt es ein ε R +, so daß für jedes δ R + ein t D existiert mit t t 0 < δ und f(t) f(t 0 ) ε. Insbesondere gibt es für jedes n N ein t n D mit t n t 0 < 1/n und f(t n ) f(t 0 ) ε. Dann gilt t n t 0 und nach müßte gelten f(t n ) f(t 0 ), im Widerspruch zu f(t n ) f(t 0 ) ε für alle n N. (iii) Sei U eine Umgebung von f(t 0 ). Dann gibt es ein ε R + mit U ε (f(t 0 )) U (siehe Definition 5.5). Nach gibt es dann ein δ R + mit f(u δ (t 0 ) D) U ε (f(t 0 )). Da U δ (t 0 ) eine Umgebung von t 0 ist (siehe 5.7), folgt hieraus (iii). (iii) Sei (t n ) n N eine Folge aus D mit t n t 0. Ist U eine Umgebung von f(t 0 ), so ist zu zeigen (siehe 7.9): (1) f(t n ) U für fast alle n. C 1 [14] 6

8 Kapitel III Stetige Funktionen Nach (iii) gibt es zu U nun eine Umgebung V von t 0 mit (2) f(v D) U. Wegen t n t 0 liegen fast alle t n in V (siehe 7.9) und somit in V D. Aus (2) folgt daher, daß fast alle f(t n ) in U liegen, d.h. es gilt (1). Bedingung 14.9 liefert eine geometrische Deutung der Stetigkeit einer Funktion f in einem Punkte t 0. Der Einfachheit halber sei t 0 ein innerer Punkt von D. Die Stetigkeit von f in t 0 bedeutet dann, daß man zu jedem horizontalen ε-streifen einen vertikalen δ-streifen finden kann, so daß der Graph von f über ]t 0 δ, t 0 +δ[ in dem zugehörigen ε-δ-kasten ]t 0 δ, t 0 +δ[ ]f(t 0 ) ε, f(t 0 )+ε[ bleibt. f(t 0 ) + ε f(t 0 ) f(t 0 ) ε u Vertikalstreifen Horizontalstreifen t 0 δ t 0 t 0 + δ t Wichtig ist dabei, daß der Horizontalstreifen beliebig schmal (also ε beliebig klein) gemacht werden kann. Je niedriger man ihn macht, um so schmaler wird man den Vertikalstreifen (also δ kleiner) machen müssen Lokale Trennung zweier stetiger Funktionen Beweis. Setze Seien f, g in t 0 stetig. Gilt f(t 0 ) > g(t 0 ), so gibt es eine Umgebung O von t 0 mit f(t) > g(t) für jedes t O (D E). Sei f in t 0 stetig und f(t 0 ) > d. Dann gibt es eine Umgebung O von t 0 mit f(t) > d für alle t O D. (1) ε := f(t 0) g(t 0 ) 2. Dann gibt es nach 14.9 Zahlen δ 1, δ 2 R + mit (2) (t D t t 0 < δ 1 ) f(t) f(t 0 ) < ε, (3) (t E t t 0 < δ 2 ) g(t) g(t 0 ) < ε. [14] 7 C 1

9 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen Setze δ := min(δ 1, δ 2 ), dann ist O := U δ (t 0 ) eine Umgebung von t 0. t O (D E) gilt wegen (1) (3): f(t) g(t) = f(t) f(t 0 ) + f(t 0 ) g(t 0 ) + g(t 0 ) g(t) > (2),(3) ε + f(t 0 ) g(t 0 ) ε = (1) 0. Setze g(t) := d für t D und wende an. Ist t 0 also ein innerer Punkt von D E und sind f und g in t 0 stetig, dann gibt es eine ganze Umgebung V von t 0, auf der f und g definiert sind mit f(t) > g(t) für alle t V Lokale Beschränktheit stetiger Funktionen Sei f in t 0 stetig. Dann gibt es eine Umgebung O von t 0, so daß f auf O D beschränkt ist, d.h. f(o D) ist beschränkt. Beweis. Es ist U 1 (f(t 0 )) eine Umgebung von f(t 0 ). Nach 14.9 gibt es daher eine Umgebung O von t 0 mit f(o D) U 1 (f(t 0 )), also ist f(t) f(t 0 ) 1 für alle t O D. Folglich ist f(t) 1 + f(t 0 ) für alle t O D, d.h. f(o D) ist beschränkt. Der Begriff der rechts- bzw. linksseitigen Stetigkeit von f in t 0 läßt sich mit Hilfe der Stetigkeit von f E in t 0 mittels geeigneter Teilmengen E von D einführen Rechts- bzw. linksseitige Stetigkeit Sei f : D R. Dann heißt f rechtsseitig stetig in t 0, wenn f D [t 0, [ stetig in t 0 ist. f linksseitig stetig in t 0, wenn f D ], t 0 ] stetig in t 0 ist. Dann gilt: f ist genau dann stetig in t 0, wenn f rechtsseitig und linksseitig stetig in t 0 ist. Beweis. Ist f stetig in t 0, dann folgt die rechtsseitige und linksseitige Stetigkeit aus Sei f in t 0 rechts- und linksseitig stetig. Sei ε R +. Dann gibt es wegen der rechtsseitigen Stetigkeit von f in t 0 ein δ 1 R + mit (1) t D [t 0, [ t t 0 < δ 1 f(t) f(t 0 ) < ε (siehe 14.7). Wegen der linksseitigen Stetigkeit von f in t 0 gibt es ein δ 2 R + mit (2) t D ], t 0 ] t t 0 < δ 2 f(t) f(t 0 ) < ε. Wählt man nun δ := min(δ 1, δ 2 ), dann gilt wegen (1) und (2) d.h. f ist in t 0 stetig. t D t t 0 < δ f(t) f(t 0 ) < ε, C 1 [14] 8 Für

10 Kapitel III Stetige Funktionen Der Begriff der Stetigkeit soll zum Abschluß dieses Paragraphen noch einmal mit Hilfe der sogenannten Teilraumtopologie T D für D formuliert werden. Ähnlich wie sich die kanonische Topologie T von R aus der Topologie T von R dadurch gewinnen läßt, daß man die offenen Mengen von R mit R schneidet (also T = 13.4(iv) {O R : O T }), kann man T D mittels T definieren als T D := {O D : O T } Die Teilraumtopologie T D und stetige Funktionen Sei D R. Dann ist T D eine Topologie über D, d.h. es gilt: (1), D T D ; (2) O 1, O 2 T D O 1 O 2 T D ; (3) O λ T D für λ Λ λ Λ O λ T D. Die Mengen O T D heißen auch offen in D oder relativ offen. Ist a D und O offen in D mit a O, so heißt O eine (offene) Umgebung von a in D. (iii) Sei f : D R und t 0 D. Dann sind äquivalent: (1) f ist stetig in t 0. (2) Für jede Umgebung U von f(t 0 ) gibt es eine Umgebung V von t 0 in D mit f(v ) U. Sei f : D R. Dann sind äquivalent: (1) f ist stetig. (2) Das Urbild f 1 (O) jeder offenen Menge O in R ist eine offene Menge in D. Beweis. (1) Wegen, R T (siehe 5.6) gilt: = D und D = R D gehören zu T D. (2) Seien O 1, O 2 T D. Dann gibt es O 1, O 2 T mit O 1 = O 1 D und O 2 = O 2 D. Da O 1 O 2 T ist (siehe 5.6) folgt O 1 O 2 = (O 1 O 2 ) D T D. (3) Sei O λ T D für λ Λ. Dann gibt es O λ T mit O λ = O λ D. Da λ Λ O λ T ist (siehe 5.6(iii)), folgt λ Λ O λ = ( λ Λ O λ ) D T D. Nach Definition sind Umgebungen von t 0 in D die Durchschnitte von Umgebungen von t 0 mit D. Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt daher aus der Äquivalenz von 14.9 und 14.9(iii). (iii) (1) (2) : Sei O offen in R. Zu zeigen ist (I) f 1 (O) = O D mit O T. [14] 9 C 1

11 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen Sei hierzu t 0 f 1 (O), d.h. f(t 0 ) O. Da f stetig in t 0 ist, gibt es nach ein O(t 0 ) T t0 mit (II) f(o(t 0 ) D) O. Setze O := t0 f 1 (O)O(t 0 ). Dann ist O T (siehe 5.6(iii)) und aus (II) folgt (III) f(o D) O. Aus (III) folgt zunächst O D f 1 (O). Da aber t 0 f 1 (O) impliziert, daß t 0 O(t 0 ) D O D ist, gilt auch f 1 (O) O D und daher insgesamt (I). (2) (1) : Sei t 0 D. Sei U eine Umgebung von f(t 0 ), also eine offene Menge in R, die f(t 0 ) enthält. Nach (2) ist dann V := f 1 (U) eine offene Menge in D, die t 0 enthält, also eine Umgebung von t 0 in D. Aus V = f 1 (U) folgt nun aber f(v ) U, d.h. f ist stetig in t 0 nach. C 1 [14] 10