Kapitel III. Stetige Funktionen. 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen. 15 Hauptsätze über stetige Funktionen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Kapitel III. Stetige Funktionen. 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen. 15 Hauptsätze über stetige Funktionen"

Transkript

1 Kapitel III Stetige Funktionen 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen 15 Hauptsätze über stetige Funktionen 16 Konvergenz von Funktionen 17 Logarithmus und allgemeine Potenz C 1

2 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen 14.1 Stetigkeit 14.2 Elementare Rechenregeln für stetige Funktionen 14.4 Stetigkeit rationaler Funktionen 14.5 Stetigkeit der Exponentialfunktion 14.7 Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft 14.9 Kriterien für Stetigkeit Rechts- bzw. linksseitige Stetigkeit Die folgende Stetigkeitsdefinition einer Funktion f an einer Stelle t 0 formalisiert die Vorstellung: Nähert man sich mit t (beliebig) gegen den vorgegebenen Wert t 0, so soll sich f(t) gegen den Wert f(t 0 ) nähern. Die Formulierung t nähert sich gegen den Wert t 0 bedarf jedoch einer mathematischen Präzisierung. Dieses Problem werden wir mittels gegen t 0 konvergierender Folgen lösen. So gelangen wir zu der folgenden Stetigkeitsdefinition: Ist (t n ) n N eine beliebige Folge, die gegen t 0 konvergiert, so konvergiert (f(t n )) n N gegen f(t 0 ). Dies führt zu der folgenden formalen Definition, bei der die Sprechweise (t n ) n N ist eine Folge in D als Abkürzung für t n D für alle n N benutzt wird Stetigkeit Sei D R und f : D R. Dann heißt f in t 0 stetig, wenn gilt: (1) t 0 D. (2) Für jede Folge (t n ) n N in D mit lim n t n = t 0 folgt lim n f(t n ) = f(t 0 ). f heißt stetig, wenn f für jedes t 0 D stetig ist. Statt f ist in t 0 stetig, sagt man auch: f ist stetig bei t 0 oder im Punkte t 0 oder an der Stelle t 0. Die Funktion f = x, d.h. die Funktion, die jedem t R den Funktionswert t zuordnet, ist stetig. (Man beachte, daß bei dieser Schreibweise für das Argument der Funktion f der Buchstabe x nicht mehr verwendet werden darf!) Die Funktion f = c R (oder auch f = c geschrieben) mit c R, die jedem t R den Funtionswert c zuordnet, ist stetig. [14] 1 C 1

3 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen Die Stetigkeit weiterer Funktionen werden wir aus den Rechenregeln für stetige Funktionen herleiten. Im gesamten Kapitel III bezeichnen durchweg f : D R, g : E R Funktionen mit D R und E R. Funktionen f : D R mit D R werden wir auch kurz reellwertige Funktionen nennen. Erinnert sei an die Verknüpfungen reellwertiger Funktionen aus 6.1. Danach sind f + g, f g, f g, α f und f/g stets definiert. Der Beweis des folgenden Satzes folgt aus den Rechenregeln für konvergente Folgen Elementare Rechenregeln für stetige Funktionen Seien f, g reellwertige in t 0 stetige Funktionen und α R. Dann sind (iii) (iv) (v) (vi) (vii) f + g in t 0 stetig; f g in t 0 stetig; f g in t 0 stetig; α f in t 0 stetig; f/g in t 0 stetig, wenn g(t 0 ) 0 ist; f in t 0 stetig; min(f, g), max(f, g) in t 0 stetig. Beweis. (iii) f + g, f g, f g sind auf D E definiert. Sei nun (t n ) n N eine Folge in D E mit t n t 0 gewählt. Da alle t n sowohl in D als auch in E liegen, folgt aus der Definition der Stetigkeit für f bzw. g in t o : (1) f(t n ) f(t 0 ), g(t n ) g(t 0 ). Satz 7.18 liefert nun (2) (f + g)(t n ) = f(t n ) + g(t n ) f(t 0) + g(t 0 ) = (f + g)(t 0 ); 6.1 (1), (3) (f g)(t n ) = f(t n ) g(t n ) f(t 0) g(t 0 ) = (f g)(t 0 ); 6.1 (1), (4) (f g)(t n ) = f(t n ) g(t n ) f(t 0) g(t 0 ) = (f g)(t 0 ). 6.1 (1),7.18(iii) 6.1 Da die Folge (t n ) n N in D E mit t n t 0 beliebig gewählt war, folgt aus (2) die Stetigkeit von f + g, aus (3) die Stetigkeit von f g und aus (4) die Stetigkeit von f g in t 0. Zu (iv) und (vi). Sei (t n ) n N aus D mit t n t 0 gewählt. Dann gilt (5) f(t n ) f(t 0 ), und aus 7.18(iv) und 7.16(iii) folgt: C 1 [14] 2

4 Kapitel III Stetige Funktionen (6) (α f)(t n ) = 6.1(iii) αf(t n ) 7.18(iv) αf(t 0) = 6.1(iii) (α f)(t 0 ); (7) f (t n ) = 6.1 f(t n ) 7.16(iii) f(t 0) = 6.1 f (t 0 ). Also sind α f und f in t 0 stetig. (vii) folgt aus,,(iv) und (vi) wegen min(f, g) = 1 2 (f + g f g ), max(f, g) = 2 1 (f + g + f g ). (v) Wegen g(t 0 ) 0 ist f/g in t 0 definiert. Es ist also t 0 (D E) \ g 1 ({0}). Sei nun (t n ) n N aus (D E) \ g 1 ({0}) mit t n t 0 gewählt. Dann gilt, da f und g in t 0 stetig sind: (8) f(t n ) f(t 0 ), g(t n ) g(t 0 ) und g(t n ), g(t 0 ) 0. Aus 7.18(v) folgt daher: ( f g )(t f(t n) = n) f(t 6.1 g(t n) 0 ) (8),7.18(v) g(t 0 ) = ( f g )(t 0) C(D) bildet eine Algebra und einen Vektorverband Sei D R. Dann bildet C(D) := {f R D : f stetig} eine Unteralgebra von R D sowie einen Vektorverband reellwertiger Funktionen. Beweis. Da R D eine Algebra (siehe 6.14) ist, ist nach Definition 6.13 zu zeigen: f, g C(D) f + g; α f C(D) für α R; (iii) f, g C(D) f g C(D); 0 C(D), d.h. die Funktion, die auf D konstant gleich Null ist, gehört zu C(D). (iii) ist trivial; folgt aus 14.2 und (iv); folgt aus 14.2(iii). C(D) ist ein Vektorverband reellwertiger Funktionen nach 14.2(vi) (siehe Definition 6.15). Aus 14.2 ergibt sich das nun folgende Resultat, daß nämlich alle Polynome und sogar alle rationalen Funktionen stetig sind Stetigkeit rationaler Funktionen Jedes Polynom ist stetig. Jede rationale Funktion ist (in allen Punkten ihres Definitionsbereiches) stetig. [14] 3 C 1

5 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen Beweis. Sei P = n i=0 a ix i. Da die identische Abbildung x von R in R stetig ist, ist a i x i stetig für i = 1,..., n nach 14.2(iii) und (iv). Da auch die konstanten Funktionen stetig sind, ist P stetig nach r = Q P mit Polynomen P und Q ist genau für die t 0 definiert, für die Q(t 0 ) 0 ist. Daher ist r stetig nach 14.2(v) Stetigkeit der Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion exp ist stetig. Sei n N 0, dann gilt: exp(t) = n k=0 tk k! + r n(t) mit r n (t) 2 t n+1 (n+1)! für t 1 + n/2. Beweis. Es ist nach und 9.8(b) für t R: exp(t) = n k=0 tk k! + r n(t) mit r n (t) = k=n+1 tk k!. Wir schätzen nun den Reihenrest r n (t) mittels der geometrischen Reihe ab. Es ist: r n (t) 9.11 = 9.9(iii) 9.9(iv) k=n+1 t k k! Für t 1 + n/2 gilt daher t n+1 t (n+1)!(1 + n+2 + t 2 (n+2)(n+3) t k (n+2)(n+3)...(n+k+1) +...) t n+1 t (n+1)!(1 + n+2 + t t k +...). (n+2) 2 (n+2) k r n (t) t n+1 (n+1)! (1 + (1/2) + (1/2) (1/2) k +...) = Wir zeigen zunächst: (1) exp ist in 0 stetig. Zunächst gilt nach angewandt auf n = 0: (2) exp(t) exp(0) = exp(t) 1 2 t für t 1. n+1 2 t 9.3 (n+1)!. Wähle zum Beweis von (1) eine Folge t i 0. Dann gilt t i 1 für fast alle i. Aus (2) folgt daher exp(t i ) exp(0), d.h. (1) (benutze z.b. 7.15). Sei nun t 0 R beliebig. Wähle zum Nachweis der Stetigkeit von exp in t 0 eine Folge (t i ) i N, die gegen t 0 konvergiert. Dann gilt (t i t 0 ) 0 und somit: exp(t i ) = exp(t i t 0 ) exp(t 0 ) (1) 1 exp(t 0 ) = exp(t 0 ). Also ist exp in t 0 stetig. C 1 [14] 4

6 Kapitel III Stetige Funktionen Ist t exp(t 2 ) oder allgemeiner t exp(p (t)) für ein Polynom P stetig? Ist t (exp(t)) 2 stetig? Diese und ähnliche Fragen beantwortet der folgende Satz (zusammen mit 14.5 und 14.4) bejahend. Man beachte, daß die Komposition zweier Funktionen g : E R und f : D R immer als definiert angesehen werden soll, nämlich durch (g f)(t) := g(f(t)) für t D mit f(t) E. Somit ist g f auf D f 1 (E) = f 1 (E) definiert. Mit dieser Festsetzung ist also insbesondere für eine Funktion f : D R mit D R immer: f = f x. Hierbei war x die identische Abbildung von R in R. Man setzt dann auch f(x) := f x. Also gilt mit diesen Festsetzungen immer: f = f(x) Kettenregel für stetige Funktionen Sei f eine in t 0, g eine in f(t 0 ) stetige Funktion. Dann ist g f in t 0 stetig. Beweis. Sei (t n ) n N aus D f 1 (E) mit t n t 0 ( D f 1 (E)) gewählt. Dann gilt f(t n ) f(t 0 ), da f stetig in t 0 ist. Da f(t n ), f(t 0 ) E sind, gilt wegen der Stetigkeit von g in f(t 0 ): Also ist g f in t 0 stetig. (g f)(t n ) = g(f(t n )) g(f(t 0 )) = (g f)(t 0 ) Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft Sei t 0 D E und f : D R. Ist f in t 0 stetig, dann ist auch f (D E) in t 0 stetig. Ist also E D, dann ist die Restriktion f E in t 0 stetig. Ist E eine Umgebung von t 0, dann ist f genau dann in t 0 stetig, wenn f (D E) in t 0 stetig ist. Beweis. Sei (t n ) n N eine Folge in D E. Dann ist (t n ) n N eine Folge in D. Somit folgt f(t n ) f(t 0 ), da f in t 0 stetig ist. Also ist f (D E) in t 0 stetig. folgt aus. : Sei (t n ) n N eine Folge in D mit t n t 0. Dann liegen fast alle t n in D E und somit konvergiert wegen der Stetigkeit von f D E in t 0 auch f(t n ) f(t 0 ). Also ist f in t 0 stetig. [14] 5 C 1

7 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen 14.8 Beispiel { 1, t Q Die Dirichletsche Funktion f := 1 Q, definiert durch 1 Q (t) := 0, t R \ Q ist (siehe unten) in jedem Punkt t 0 R unstetig, aber f Q ist als konstante Funktion stetig. Insbesondere läßt sich also i.a nicht umkehren. Ferner zeigt dieses Beispiel, daß f E stetig sein kann, ohne daß f in irgendeinem Punkt von E stetig sein muß. Man beachte also Ist f : D R in allen Punkten von E( E D) stetig, so ist f E stetig. Die Umkehrung gilt jedoch i.a. nicht. Zur Unstetigkeit von f: Als ersten Fall nehmen wir an, daß t 0 R \ Q gilt. Dann gibt es (siehe 7.23) rationale Zahlen q n mit q n t 0. Dann ist f(q n ) = 1 für alle n N, aber f(t 0 ) = 0. Daher konvergiert f(q n ) nicht gegen f(t 0 ), d.h. f ist nicht stetig in t 0. Ist t 0 Q, dann gibt es entsprechend irrationale Zahlen t n mit t n t 0 (benutze hierzu z.b. Aufgabe 8, nach der die irrationalen Zahlen dicht in R liegen). Also konvergiert wiederum f(t n ) = 0 nicht gegen f(t 0 ) = 1; also ist auch für rationales t 0 die Funktion f nicht stetig in t Kriterien für Stetigkeit Sei f : D R. Dann sind äquivalent: (iii) f ist in t 0 stetig. t 0 D und für jedes ε R + gibt es ein δ R +, so daß für alle t D gilt: t t 0 < δ f(t) f(t 0 ) < ε. t 0 D und für jede Umgebung U von f(t 0 ) gibt es eine Umgebung V von t 0 mit f(v D) U. Beweis. In (iii) wird jeweils t 0 D vorausgesetzt. Beim Nachweis der Äquivalenzen können wir also von t 0 D ausgehen. Angenommen sei nicht wahr. Dann gibt es ein ε R +, so daß für jedes δ R + ein t D existiert mit t t 0 < δ und f(t) f(t 0 ) ε. Insbesondere gibt es für jedes n N ein t n D mit t n t 0 < 1/n und f(t n ) f(t 0 ) ε. Dann gilt t n t 0 und nach müßte gelten f(t n ) f(t 0 ), im Widerspruch zu f(t n ) f(t 0 ) ε für alle n N. (iii) Sei U eine Umgebung von f(t 0 ). Dann gibt es ein ε R + mit U ε (f(t 0 )) U (siehe Definition 5.5). Nach gibt es dann ein δ R + mit f(u δ (t 0 ) D) U ε (f(t 0 )). Da U δ (t 0 ) eine Umgebung von t 0 ist (siehe 5.7), folgt hieraus (iii). (iii) Sei (t n ) n N eine Folge aus D mit t n t 0. Ist U eine Umgebung von f(t 0 ), so ist zu zeigen (siehe 7.9): (1) f(t n ) U für fast alle n. C 1 [14] 6

8 Kapitel III Stetige Funktionen Nach (iii) gibt es zu U nun eine Umgebung V von t 0 mit (2) f(v D) U. Wegen t n t 0 liegen fast alle t n in V (siehe 7.9) und somit in V D. Aus (2) folgt daher, daß fast alle f(t n ) in U liegen, d.h. es gilt (1). Bedingung 14.9 liefert eine geometrische Deutung der Stetigkeit einer Funktion f in einem Punkte t 0. Der Einfachheit halber sei t 0 ein innerer Punkt von D. Die Stetigkeit von f in t 0 bedeutet dann, daß man zu jedem horizontalen ε-streifen einen vertikalen δ-streifen finden kann, so daß der Graph von f über ]t 0 δ, t 0 +δ[ in dem zugehörigen ε-δ-kasten ]t 0 δ, t 0 +δ[ ]f(t 0 ) ε, f(t 0 )+ε[ bleibt. f(t 0 ) + ε f(t 0 ) f(t 0 ) ε u Vertikalstreifen Horizontalstreifen t 0 δ t 0 t 0 + δ t Wichtig ist dabei, daß der Horizontalstreifen beliebig schmal (also ε beliebig klein) gemacht werden kann. Je niedriger man ihn macht, um so schmaler wird man den Vertikalstreifen (also δ kleiner) machen müssen Lokale Trennung zweier stetiger Funktionen Beweis. Setze Seien f, g in t 0 stetig. Gilt f(t 0 ) > g(t 0 ), so gibt es eine Umgebung O von t 0 mit f(t) > g(t) für jedes t O (D E). Sei f in t 0 stetig und f(t 0 ) > d. Dann gibt es eine Umgebung O von t 0 mit f(t) > d für alle t O D. (1) ε := f(t 0) g(t 0 ) 2. Dann gibt es nach 14.9 Zahlen δ 1, δ 2 R + mit (2) (t D t t 0 < δ 1 ) f(t) f(t 0 ) < ε, (3) (t E t t 0 < δ 2 ) g(t) g(t 0 ) < ε. [14] 7 C 1

9 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen Setze δ := min(δ 1, δ 2 ), dann ist O := U δ (t 0 ) eine Umgebung von t 0. t O (D E) gilt wegen (1) (3): f(t) g(t) = f(t) f(t 0 ) + f(t 0 ) g(t 0 ) + g(t 0 ) g(t) > (2),(3) ε + f(t 0 ) g(t 0 ) ε = (1) 0. Setze g(t) := d für t D und wende an. Ist t 0 also ein innerer Punkt von D E und sind f und g in t 0 stetig, dann gibt es eine ganze Umgebung V von t 0, auf der f und g definiert sind mit f(t) > g(t) für alle t V Lokale Beschränktheit stetiger Funktionen Sei f in t 0 stetig. Dann gibt es eine Umgebung O von t 0, so daß f auf O D beschränkt ist, d.h. f(o D) ist beschränkt. Beweis. Es ist U 1 (f(t 0 )) eine Umgebung von f(t 0 ). Nach 14.9 gibt es daher eine Umgebung O von t 0 mit f(o D) U 1 (f(t 0 )), also ist f(t) f(t 0 ) 1 für alle t O D. Folglich ist f(t) 1 + f(t 0 ) für alle t O D, d.h. f(o D) ist beschränkt. Der Begriff der rechts- bzw. linksseitigen Stetigkeit von f in t 0 läßt sich mit Hilfe der Stetigkeit von f E in t 0 mittels geeigneter Teilmengen E von D einführen Rechts- bzw. linksseitige Stetigkeit Sei f : D R. Dann heißt f rechtsseitig stetig in t 0, wenn f D [t 0, [ stetig in t 0 ist. f linksseitig stetig in t 0, wenn f D ], t 0 ] stetig in t 0 ist. Dann gilt: f ist genau dann stetig in t 0, wenn f rechtsseitig und linksseitig stetig in t 0 ist. Beweis. Ist f stetig in t 0, dann folgt die rechtsseitige und linksseitige Stetigkeit aus Sei f in t 0 rechts- und linksseitig stetig. Sei ε R +. Dann gibt es wegen der rechtsseitigen Stetigkeit von f in t 0 ein δ 1 R + mit (1) t D [t 0, [ t t 0 < δ 1 f(t) f(t 0 ) < ε (siehe 14.7). Wegen der linksseitigen Stetigkeit von f in t 0 gibt es ein δ 2 R + mit (2) t D ], t 0 ] t t 0 < δ 2 f(t) f(t 0 ) < ε. Wählt man nun δ := min(δ 1, δ 2 ), dann gilt wegen (1) und (2) d.h. f ist in t 0 stetig. t D t t 0 < δ f(t) f(t 0 ) < ε, C 1 [14] 8 Für

10 Kapitel III Stetige Funktionen Der Begriff der Stetigkeit soll zum Abschluß dieses Paragraphen noch einmal mit Hilfe der sogenannten Teilraumtopologie T D für D formuliert werden. Ähnlich wie sich die kanonische Topologie T von R aus der Topologie T von R dadurch gewinnen läßt, daß man die offenen Mengen von R mit R schneidet (also T = 13.4(iv) {O R : O T }), kann man T D mittels T definieren als T D := {O D : O T } Die Teilraumtopologie T D und stetige Funktionen Sei D R. Dann ist T D eine Topologie über D, d.h. es gilt: (1), D T D ; (2) O 1, O 2 T D O 1 O 2 T D ; (3) O λ T D für λ Λ λ Λ O λ T D. Die Mengen O T D heißen auch offen in D oder relativ offen. Ist a D und O offen in D mit a O, so heißt O eine (offene) Umgebung von a in D. (iii) Sei f : D R und t 0 D. Dann sind äquivalent: (1) f ist stetig in t 0. (2) Für jede Umgebung U von f(t 0 ) gibt es eine Umgebung V von t 0 in D mit f(v ) U. Sei f : D R. Dann sind äquivalent: (1) f ist stetig. (2) Das Urbild f 1 (O) jeder offenen Menge O in R ist eine offene Menge in D. Beweis. (1) Wegen, R T (siehe 5.6) gilt: = D und D = R D gehören zu T D. (2) Seien O 1, O 2 T D. Dann gibt es O 1, O 2 T mit O 1 = O 1 D und O 2 = O 2 D. Da O 1 O 2 T ist (siehe 5.6) folgt O 1 O 2 = (O 1 O 2 ) D T D. (3) Sei O λ T D für λ Λ. Dann gibt es O λ T mit O λ = O λ D. Da λ Λ O λ T ist (siehe 5.6(iii)), folgt λ Λ O λ = ( λ Λ O λ ) D T D. Nach Definition sind Umgebungen von t 0 in D die Durchschnitte von Umgebungen von t 0 mit D. Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt daher aus der Äquivalenz von 14.9 und 14.9(iii). (iii) (1) (2) : Sei O offen in R. Zu zeigen ist (I) f 1 (O) = O D mit O T. [14] 9 C 1

11 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen Sei hierzu t 0 f 1 (O), d.h. f(t 0 ) O. Da f stetig in t 0 ist, gibt es nach ein O(t 0 ) T t0 mit (II) f(o(t 0 ) D) O. Setze O := t0 f 1 (O)O(t 0 ). Dann ist O T (siehe 5.6(iii)) und aus (II) folgt (III) f(o D) O. Aus (III) folgt zunächst O D f 1 (O). Da aber t 0 f 1 (O) impliziert, daß t 0 O(t 0 ) D O D ist, gilt auch f 1 (O) O D und daher insgesamt (I). (2) (1) : Sei t 0 D. Sei U eine Umgebung von f(t 0 ), also eine offene Menge in R, die f(t 0 ) enthält. Nach (2) ist dann V := f 1 (U) eine offene Menge in D, die t 0 enthält, also eine Umgebung von t 0 in D. Aus V = f 1 (U) folgt nun aber f(v ) U, d.h. f ist stetig in t 0 nach. C 1 [14] 10

Stetigkeit. Kapitel 4. Stetigkeit. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

Stetigkeit. Kapitel 4. Stetigkeit. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543 Kapitel 4 Stetigkeit Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 254 / 543 Inhalt Inhalt 4 Stetigkeit Eigenschaften stetiger Funktionen Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz Umkehrfunktionen

Mehr

17 Logarithmus und allgemeine Potenz

17 Logarithmus und allgemeine Potenz 7 Logarithmus und allgemeine Potenz 7. Der natürliche Logarithmus 7.3 Die allgemeine Potenz 7.4 Die Exponentialfunktion zur Basis a 7.5 Die Potenzfunktion zum Exponenten b 7.6 Die Logarithmusfunktion zur

Mehr

Stetigkeit. Definitionen. Beispiele

Stetigkeit. Definitionen. Beispiele Stetigkeit Definitionen Stetigkeit Sei f : D mit D eine Funktion. f heißt stetig in a D, falls für jede Folge x n in D (d.h. x n D für alle n ) mit lim x n a gilt: lim f x n f a. Die Funktion f : D heißt

Mehr

Analysis I - Stetige Funktionen

Analysis I - Stetige Funktionen Kompaktheit und January 13, 2009 Kompaktheit und Funktionengrenzwert Definition Seien X, d X ) und Y, d Y ) metrische Räume. Desweiteren seien E eine Teilmenge von X, f : E Y eine Funktion und p ein Häufungspunkt

Mehr

Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen

Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen Wir betrachten jetzt Funktionen zwischen geeigneten Punktmengen. Dazu wiederholen wir einige grundlegende Begriffe und Schreibweisen aus der Mengentheorie.

Mehr

Skript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen

Skript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen Skript zur Analysis 1 Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen von Prof. Dr. J. Cleven Fachhochschule Dortmund Fachbereich Informatik Oktober 2003 2 Inhaltsverzeichnis 3 Stetigkeit und Grenzwerte

Mehr

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Häufig tauchen in der Mathematik Ausdrücke der Form lim f(x) auf. x x0 Derartigen Ausdrücken wollen wir jetzt eine präzise Bedeutung zuweisen. Definition. b = lim f(x) wenn

Mehr

Definition 3.1. Sei A X. Unter einer offenen Überdeckung von A versteht man eine Familie (U i ) i I offener Mengen U i X mit U i

Definition 3.1. Sei A X. Unter einer offenen Überdeckung von A versteht man eine Familie (U i ) i I offener Mengen U i X mit U i 3 Kompaktheit In der Analysis I zeigt man, dass stetige Funktionen f : [a, b] R auf abgeschlossenen, beschränkten Intervallen [a, b] gleichmäßig stetig und beschränkt sind und dass sie ihr Supremum und

Mehr

15 Hauptsätze über stetige Funktionen

15 Hauptsätze über stetige Funktionen 15 Hauptsätze über stetige Funktionen 15.1 Extremalsatz von Weierstraß 15.2 Zwischenwertsatz für stetige Funktionen 15.3 Nullstellensatz von Bolzano 15.5 Stetige Funktionen sind intervalltreu 15.6 Umkehrfunktionen

Mehr

IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen

IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen Definition. Seien X und Y metrische Räume und E X sowie f : X Y eine Abbildung und p ein Häufungspunkt von E. Wir schreiben lim f(x) = q, x p falls es

Mehr

9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen

9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen 9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen 9.2 Konvergenz von Reihen 9.5 Monotoniekriterium für Reihen 9.6 Konvergenzkriterium von Cauchy für Reihen 9.9 Rechenregeln für konvergente Reihen 9.10 Absolute

Mehr

Lösungen zu Aufgabenblatt 7P

Lösungen zu Aufgabenblatt 7P Analysis Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Sommersemester 205 9. Mai 205 Lösungen zu Aufgabenblatt 7P Aufgabe (Stetigkeit) (a) Für welche a, b R sind die folgenden Funktionen stetig in x 0

Mehr

Copyright, Page 1 of 5 Stetigkeit in

Copyright, Page 1 of 5 Stetigkeit in www.mathematik-netz.de Copyright, Page 1 of 5 Stetigkeit in Definition: (Stetigkeit) Sei ad, wobei D ist. Sei f eine Abbildung aus Abb(D,B) mit B und B. (i) f heißt stetig im Punkt a, wenn es zu jeder

Mehr

n 1, n N \ {1}, 0 falls x = 0,

n 1, n N \ {1}, 0 falls x = 0, IV.1. Stetige Funktionen 77 IV. Stetigkeit IV.1. Stetige Funktionen Stetige Funktionen R R sind vielen sicher schon aus der Schule bekannt. Dort erwirbt man sich die naive Vorstellung, dass eine stetige

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufgabe 45. Polynome sind stets stetig. Höhere Mathematik für Informatiker II (Sommersemester

Mehr

Stetigkeit. Klaus-R. Loeffler. 1 Vorstellung, Definition und Folgerungen Stetigkeitscharakterisierung durch Folgen... 3

Stetigkeit. Klaus-R. Loeffler. 1 Vorstellung, Definition und Folgerungen Stetigkeitscharakterisierung durch Folgen... 3 Stetigkeit Klaus-R. Loeffler Inhaltsverzeichnis 1 Vorstellung, Definition und Folgerungen 1.1 Stetigkeitscharakterisierung durch Folgen......................... 3 Regeln zur Stetigkeit an einer Stelle

Mehr

Mathematik I Herbstsemester 2014

Mathematik I Herbstsemester 2014 Mathematik I Herbstsemester 2014 www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/mathematik1 BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1 / 32 1 Stetigkeit Grenzwert einer

Mehr

11 Logarithmus und allgemeine Potenzen

11 Logarithmus und allgemeine Potenzen Logarithmus und allgemeine Potenzen Bevor wir uns mit den Eigenschaften von Umkehrfunktionen, und insbesondere mit der Umkehrfunktion der Eponentialfunktion ep : R R + beschäftigen, erinnern wir an den

Mehr

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Wintersemester 2008/2009 Übung 11 Einleitung Es wird eine 15-minütige Mikroklausur geschrieben. i) Sei D R oderd C. Wann heißt

Mehr

Etwas Topologie. Handout zur Vorlesung Semi-Riemannsche Geometrie, SS 2004 Dr. Bernd Ammann

Etwas Topologie. Handout zur Vorlesung Semi-Riemannsche Geometrie, SS 2004 Dr. Bernd Ammann Etwas Topologie Handout zur Vorlesung Semi-Riemannsche Geometrie, SS 2004 Dr. Bernd Ammann Literatur Abraham, Marsden, Foundations of Mechanics, Addison Wesley 1978, Seiten 3 17 Definition. Ein topologischer

Mehr

Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2

Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2 TU Dortmund Mathematik Fakultät Proseminar zur Linearen Algebra Ausarbeitung zum Thema Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2 Anna Kwasniok Dozent: Prof. Dr. L. Schwachhöfer Vorstellung des

Mehr

Stetigkeit von Funktionen

Stetigkeit von Funktionen Stetigkeit von Funktionen Definition. Es sei D ein Intervall oder D = R, x D, und f : D R eine Funktion. Wir sagen f ist stetig wenn für alle Folgen (x n ) n in D mit Grenzwert x auch die Folge der Funktionswerte

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Stetigkeit von Funktionen

Stetigkeit von Funktionen 9 Stetigkeit von Funktionen Definition 9.1 : Sei D R oder C und f : D R, C. f stetig in a D : ε > 0 δ > 0 mit f(z) f(a) < ε für alle z D, z a < δ. f stetig auf D : f stetig in jedem Punkt a D. f(a) ε a

Mehr

Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit

Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Josef F. Bürgler Abt. Informatik HTA Luzern, FH Zentralschweiz HTA.MA+INF Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 1 / 33 Inhalt 1 Folgen

Mehr

Der Abschluss D ist die Menge, die durch Hinzunahme der Intervallränder entsteht, in den obigen Beispielen also

Der Abschluss D ist die Menge, die durch Hinzunahme der Intervallränder entsteht, in den obigen Beispielen also Festlegung Definitionsbereich 11.1 Festlegung Definitionsbereich Festlegung: Wir betrachten Funktionen f : D Ñ R, deren Definitionsbereich eine endliche Vereinigung von Intervallen ist, also z.b. D ra,

Mehr

Wir beginnen mit der Definition eines metrischen Raumes, der in diesem Kapitel von zentraler Bedeutung ist. x, y, z X (Dreiecksungleichung).

Wir beginnen mit der Definition eines metrischen Raumes, der in diesem Kapitel von zentraler Bedeutung ist. x, y, z X (Dreiecksungleichung). Kapitel 4 Metrische Räume und Stetigkeit 4.1 Metrische und normierte Räume 4.2 Folgen in metrischen Räumen 4.3 Offene und abgeschlossene Mengen 4.4 Stetige Funktionen 4.5 Grenzwerte von Funktionen 4.6

Mehr

ε δ Definition der Stetigkeit.

ε δ Definition der Stetigkeit. ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x

Mehr

von und deren Werte in liegen, dabei ist wie bisher immer entweder oder. Verallgemeinerungen, etwa auf Abbildungen

von und deren Werte in liegen, dabei ist wie bisher immer entweder oder. Verallgemeinerungen, etwa auf Abbildungen III Stetigkeit, Grenzwerte bei Funktionen Natura non facit saltus (Die Natur macht keine Sprünge), dieser Anspruch von Raoul Fournier (1627) galt lange bei der mathematischen Behandlung von Naturvorgängen

Mehr

Folgen und Reihen von Funktionen

Folgen und Reihen von Funktionen Folgen und Reihen von Funktionen Sehr häufig treten in der Mathematik Folgen bzw. Reihen von Funktionen auf. Ist etwa (f n ) eine Folge von Funktionen, dann können wir uns für ein festes x fragen, ob die

Mehr

Formelsammlung zum Starterstudium Mathematik

Formelsammlung zum Starterstudium Mathematik Formelsammlung zum Starterstudium Mathematik Universität des Saarlandes ¼ Version.3 Inhaltsverzeichnis. Potenzgesetze. Vollständige Induktion 3. Betragsgleichungen, Betragsungleichungen 4 4. Folgen und

Mehr

Repetitorium Mathe 1

Repetitorium Mathe 1 Übungsaufgaben Skript Repetitorium Mathe 1 WS 2014/15 25./26.01. und 31.01./01.02.2015 Inhaltsverzeichnis 1 Bruchrechnung 2 2 Zahlsysteme 2 3 Arithmetisches und geometrisches Mittel 2 4 Wachstum 2 5 Lineare

Mehr

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel 8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a

Mehr

Funktionen. Mathematik-Repetitorium

Funktionen. Mathematik-Repetitorium Funktionen 4.1 Funktionen einer reellen Veränderlichen 4.2 Eigenschaften von Funktionen 4.3 Die elementaren Funktionen 4.4 Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit Funktionen 1 4. Funktionen Funktionen 2

Mehr

lim Der Zwischenwertsatz besagt folgendes:

lim Der Zwischenwertsatz besagt folgendes: 2.3. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 35 Wir stellen nun die wichtigsten Sätze über stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen zusammen. Wenn man sagt, eine Funktion f:[a,b] R, definiert

Mehr

4.1 Grundlegende Konstruktionen Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen... 92

4.1 Grundlegende Konstruktionen Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen... 92 Kapitel 4 Funktionen und Stetigkeit In diesem Kapitel beginnen wir Funktionen f : Ê Ê systematisch zu untersuchen. Dazu bauen wir auf den Begriff des metrischen Raumes auf und erhalten offene und abgeschlossene

Mehr

Kapitel 5. Stetige Funktionen 5.1. Stetigkeit

Kapitel 5. Stetige Funktionen 5.1. Stetigkeit Kapitel 5. Stetige Funktionen 5.1. Stetigkeit Reelle Zahlen sind ideale Objekte, die es uns ermöglichen, eine transparente und leistungsfähige Theorie aufzubauen. Ein Computer kann jedoch nur mit Approximationen

Mehr

Stetige Funktionen, Binomischer Lehrsatz

Stetige Funktionen, Binomischer Lehrsatz Vorlesung 13 Stetige Funktionen, Binomischer Lehrsatz 13.1 Funktionenfolgen Wir verbinden nun den Grenzwertbegriff mit dem Funktionsbegriff. Es seien (a n ) n N eine reelle Folge und f : R R eine Funktion.

Mehr

2.6 Stetigkeit und Grenzwerte

2.6 Stetigkeit und Grenzwerte 2.6 Stetigkeit und Grenzwerte Anschaulich gesprochen ist eine Funktion stetig, wenn ihr Graph sich zeichnen lässt, ohne den Stift abzusetzen. Das ist natürlich keine präzise mathematische Definition und

Mehr

Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit

Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 76 / 226 Definition 6. (Zahlenfolgen) Eine Zahlenfolge (oder kurz: Folge) ist eine Funktion f : 0!. Statt f(n) schreiben wir x n

Mehr

1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen:

1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen: Klausur zur Analysis I svorschläge Universität Regensburg, Wintersemester 013/14 Prof. Dr. Bernd Ammann / Dr. Mihaela Pilca 0.0.014, Bearbeitungszeit: 3 Stunden 1. Aufgabe [ Punte] Seien X, Y zwei nicht-leere

Mehr

1 Axiomatische Charakterisierung der reellen. 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen. 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale

1 Axiomatische Charakterisierung der reellen. 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen. 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Kapitel I Reelle Zahlen 1 Axiomatische Charakterisierung der reellen Zahlen R 2 Angeordnete Körper 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Zahlen

Mehr

2. Mathematische Grundlagen

2. Mathematische Grundlagen 2. Mathematische Grundlagen Erforderliche mathematische Hilfsmittel: Summen und Produkte Exponential- und Logarithmusfunktionen 21 2.1 Endliche Summen und Produkte Betrachte n reelle Zahlen a 1, a 2,...,

Mehr

Stetige Funktionen. Kapitel Grenzwerte von Funktionen

Stetige Funktionen. Kapitel Grenzwerte von Funktionen Kapitel 5 Stetige Funktionen 5.1 Grenzwerte von Funktionen In diesem Abschnitt soll der Grenzwertbegriff auf Funktionen erweitert werden. Im Unterschied zu den Gliedern einer Folge sind die Funktionswerte

Mehr

Kapitel 7. Funktionentheorie. 7.1 Holomorphe und harmonische Funktionen. 1. Definitionen

Kapitel 7. Funktionentheorie. 7.1 Holomorphe und harmonische Funktionen. 1. Definitionen Kapitel 7 Funktionentheorie In diesem Kapitel geht es meistens um Funktionen, die auf einem Gebiet G C definiert sind und komplexe Werte annehmen. Nach Lust, Laune und Bedarf wird C mit R identifiziert,

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: A. Kirchhoff, T. Pfrommer, M. Kutter, Dr. I. Rybak. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H.

Mehr

x, y 2 f(x)g(x) dµ(x). Es ist leicht nachzuprüfen, dass die x 2 setzen. Dann liefert (5.1) n=1 x ny n bzw. f, g = Ω

x, y 2 f(x)g(x) dµ(x). Es ist leicht nachzuprüfen, dass die x 2 setzen. Dann liefert (5.1) n=1 x ny n bzw. f, g = Ω 5. Hilberträume Definition 5.1. Sei H ein komplexer Vektorraum. Eine Abbildung, : H H C heißt Skalarprodukt (oder inneres Produkt) auf H, wenn für alle x, y, z H, α C 1) x, x 0 und x, x = 0 x = 0; ) x,

Mehr

Kapitel II. Konvergenz von Folgen und Reihen

Kapitel II. Konvergenz von Folgen und Reihen Kapitel II Konvergenz von Folgen und Reihen 7 Einführende Beispiele und Rechenregeln für konvergente Folgen 8 Konvergenzkriterien und Häufungswerte von Folgen in R 9 Konvergenz und absolute Konvergenz

Mehr

ist reelles lineares Funktional. x(t) ϕ(t) dt ist reelles lineares Funktional für alle ϕ L 2 (0, 1).

ist reelles lineares Funktional. x(t) ϕ(t) dt ist reelles lineares Funktional für alle ϕ L 2 (0, 1). Kapitel 4 Stetige lineare Funktionale 4.1 Der Satz von Hahn - Banach Definition 4.1. Sei X ein linearer normierter Raum über dem Körper K (R oder C). Ein linearer Operator f : X K heißt (reelles oder komplexes)

Mehr

2. Stetigkeit und Differenzierbarkeit

2. Stetigkeit und Differenzierbarkeit 2. Stetigkeit Differenzierbarkeit 9 2. Stetigkeit Differenzierbarkeit Wir wollen uns nun komplexen Funktionen zuwenden dabei zunächst die ersten in der Analysis betrachteten Eigenschaften untersuchen,

Mehr

Jeweils am Montag um 18:30 treffen sich Studenten in Seminarraum 3 zum gemeinsamen Lernen.

Jeweils am Montag um 18:30 treffen sich Studenten in Seminarraum 3 zum gemeinsamen Lernen. Jeweils am Montag um 18:30 treffen sich Studenten in Seminarraum 3 zum gemeinsamen Lernen. Betrachtungen zu Sprache, Logik und Beweisen Sprache Wir gehen von unserem Alphabet einigen Zusatzsymbolen aus.

Mehr

2. Stetige lineare Funktionale

2. Stetige lineare Funktionale -21-2. Stetige lineare Funktionale Die am Ende von 1 angedeutete Eigenschaft, die ein lineares Funktional T : D(ú) 6 verallgemeinerten Funktion macht, ist die Stetigkeit von T in jedem n 0 0 D(ú). Wenn

Mehr

Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 8. Übung

Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 8. Übung FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Prof Dr Patrizio Ne Frank Osterbrink Johannes Lankeit 9503 Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 8 Übung Hausaufgabe : Beweise den Satz über die Parallelogrammgleichung Sei H

Mehr

also ist Sx m eine Cauchyfolge und somit konvergent. Zusammen sagen die Sätze 11.1 und 11.2, dass B (X) ein abgeschlossenes zweiseitiges

also ist Sx m eine Cauchyfolge und somit konvergent. Zusammen sagen die Sätze 11.1 und 11.2, dass B (X) ein abgeschlossenes zweiseitiges 11. Kompakte Operatoren Seien X, Y Banachräume, und sei T : X Y ein linearer Operator. Definition 11.1. T heißt kompakt, enn T (B) eine kompakte Teilmenge von Y ist für alle beschränkten Mengen B X. Wir

Mehr

Gleichmäßige Konvergenz und Funktionenräume

Gleichmäßige Konvergenz und Funktionenräume Gleichmäßige Konvergenz und Funktionenräume Isabella Lukasewitz und Andreas Brack 07.06.2010 Vortrag zum Proseminar zur Analysis Konvergenz und Funktionenräume INHALTSVERZEICHNIS Bereits in den Vorlesungen

Mehr

Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen

Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen 17. Januar 2013 KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 1 Kapitel 1 Mathematische Grundlagen 1.1 Stetigkeit, Differenzierbarkeit und C n -Funktionen Der

Mehr

Konvergenz, Filter und der Satz von Tychonoff

Konvergenz, Filter und der Satz von Tychonoff Abschnitt 4 Konvergenz, Filter und der Satz von Tychonoff In metrischen Räumen kann man topologische Begriffe wie Stetigkeit, Abschluss, Kompaktheit auch mit Hilfe von Konvergenz von Folgen charakterisieren.

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

1 Reihen von Zahlen. Inhalt:

1 Reihen von Zahlen. Inhalt: 5 Kapitel 3 Reihen Reihen von Zahlen Inhalt: Konvergenz und Divergenz von Reihen reeller oder komplexer Zahlen, geometrische Reihe, harmonische Reihe, alternierende Reihen. Cauchy-Kriterium, absolute Konvergenz,

Mehr

10. Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit, Differenzierbarkeit. Der bisher intuitiv verwendete Grenzwertbegriff soll im folgenden präzisiert werden.

10. Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit, Differenzierbarkeit. Der bisher intuitiv verwendete Grenzwertbegriff soll im folgenden präzisiert werden. 49. Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit, Differenzierbarkeit a Grenzwerte von Funktionen Der bisher intuitiv verwendete Grenzwertbegriff soll im folgenden präzisiert werden. Einführende Beispiele: Untersuche

Mehr

Folgen und Reihen. Katharina Brazda 9. März 2007

Folgen und Reihen. Katharina Brazda 9. März 2007 Katharina Brazda 9. März 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Folgen 2 1.1 Definition von Folgen - explizite und rekursive Darstellung.............. 2 1.2 Wachstumsverhalten von Folgen - Monotonie und Beschränktheit..........

Mehr

Kapitel 7 STETIGKEIT

Kapitel 7 STETIGKEIT Kapitel 7 STETIGKEIT Fassung vom 8. Juni 2002 Claude Portenier ANALYSIS 29 7. Der Begri Stetigkeit 7. Der Begri Stetigkeit DEFINITION I.a. sagt man, daßeine Abbildung von einer Menge X in K n, wobei K

Mehr

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 $Id: folgen.tex,v. 200/2/06 :2:5 hk Exp $ $Id: reihen.tex,v. 200/2/0 4:4:40 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Cauchyfolgen Wir kommen nun

Mehr

Leitfaden a tx t

Leitfaden a tx t Leitfaden -0.7. Potenz-Reihen. Definition: Es sei (a 0, a, a 2,...) eine Folge reeller Zahlen (wir beginnen hier mit dem Index t 0). Ist x R, so kann man die Folge (a 0, a x, a 2 x 2, a 3 x 3,...) und

Mehr

Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II. x 2

Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II. x 2 Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II Wiederholungsblatt: Analysis Sommersemester 2011 W. Werner, F. Springer erstellt von: Max Brinkmann Aufgabe 1: Untersuchen Sie, ob die

Mehr

Stetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, ϱ) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. D(f) X sei der Definitionsbereich von f.

Stetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, ϱ) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. D(f) X sei der Definitionsbereich von f. Stetige Funktionen Abbildungen f : X Y, wobei X und Y strukturierte Mengen sind (wie z.b. Vektorräume oder metrische Räume), spielen eine zentrale Rolle in der Mathematik. In der Analysis sind Abbildungen

Mehr

Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME

Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME Dietmar A. Salamon ETH-Zürich 23. Februar 2015 1 Topologische Grundbegriffe Sei (X, d) ein metrischer Raum, d.h. X ist eine Menge und d : X X R ist

Mehr

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund Lineare Algebra 1 Detlev W. Hoffmann WS 2013/14, TU Dortmund 1 Mengen und Zahlen 1.1 Mengen und Abbildungen Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung/unseres Denkens/unserer

Mehr

4.1 Definition. Gegeben: Relation f X Y f heißt Funktion (Abbildung) von X nach Y, wenn. = y 1. = y 2. xfy 1. xfy 2

4.1 Definition. Gegeben: Relation f X Y f heißt Funktion (Abbildung) von X nach Y, wenn. = y 1. = y 2. xfy 1. xfy 2 4.1 Definition Gegeben: Relation f X Y f heißt Funktion (Abbildung) von X nach Y, wenn xfy 1 xfy 2 = y 1 = y 2 Y heißt Zielbereich oder Zielmenge von f. Statt (x, y) f oder xfy schreibt man y = f(x). Vollständige

Mehr

MAA = MAB + B AA = B CA + CAA BA A Nun sehen wir mit Proposition 10.7 aus dem Skript, dass A M AB gelten muss.

MAA = MAB + B AA = B CA + CAA BA A Nun sehen wir mit Proposition 10.7 aus dem Skript, dass A M AB gelten muss. 1. Konvexität in der absoluten Ebene In einem Dreieck in der Euklidischen Ebene hat die Strecke zwischen zwei Seitenmittelpunkten die halbe Länge der dritten Seite. In der absoluten Ebene hat man eine

Mehr

Topologische Begriffe

Topologische Begriffe Kapitel 3 Topologische Begriffe 3.1 Inneres, Rand und Abschluss von Mengen Definition (innerer Punkt und Inneres). Sei (V, ) ein normierter Raum über K, und sei M V eine Menge. Ein Vektor v M heißt innerer

Mehr

7 KONVERGENTE FOLGEN 35. inf M = Infimum von M. bezeichnet haben. Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt.

7 KONVERGENTE FOLGEN 35. inf M = Infimum von M. bezeichnet haben. Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt. 7 KONVERGENTE FOLGEN 35 und die größe untere Schranke mit bezeichnet haben. inf M = Infimum von M Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt der Limes superior der Folge, und lim

Mehr

3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba.

3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba. Die Eindeutigkeit nach Satz 3 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und () wegen Aussage (7) ergibt sich aus () und (6). 0 = log b = log b ( a a) = log b a +log ba. 3 Reihen 3. Konvergenz und Divergenz

Mehr

n=1 a n mit reellen Zahlen a n einen

n=1 a n mit reellen Zahlen a n einen 4 Unendliche Reihen 4. Definition und Beispiele Ein altes Problem der Analysis ist es, einer Reihe mit reellen Zahlen einen Wert zuzuordnen. Ein typisches Beispiel ist die unendliche Reihe + +..., die

Mehr

4.7 Der Taylorsche Satz

4.7 Der Taylorsche Satz 288 4 Differenziation 4.7 Der Taylorsche Satz Die Differenzierbarkeit, also die Existenz der ersten Ableitung einer Funktion, erlaubt bekanntlich, diese Funktion lokal durch eine affine Funktion näherungsweise

Mehr

x k = s k=1 y k = y konvergent. Dann folgt (cx k ) = cx für c K. Partialsummenfolge konvergiert

x k = s k=1 y k = y konvergent. Dann folgt (cx k ) = cx für c K. Partialsummenfolge konvergiert 4 Reihen Im Folgenden sei K R oder K C. 4. Definition. Es sei (x k ) Folge in K. Wir schreiben x k s und sagen, die Reihe x k konvergiere, falls die sogenannte Partialsummen-Folge s n x k n, 2,... in K

Mehr

11. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

11. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 200/ 2.0.-28.0. Aufgabe G (Grenzwertberechnung)

Mehr

eine Folge in R, für die man auch hätte schreiben können, wenn wir alle richtig raten, was auf dem Pünktchen stehen sollte.

eine Folge in R, für die man auch hätte schreiben können, wenn wir alle richtig raten, was auf dem Pünktchen stehen sollte. Analysis, Woche 5 Folgen und Konvergenz A 5. Cauchy-Folgen und Konvergenz Eine Folge in R ist eine Abbildung von N nach R und wird meistens dargestellt durch {x n } n=0, {x n} n N oder {x 0, x, x 2,...

Mehr

MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik

MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik Fernstudium Guide Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik Version vom 05.02.2015 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der

Mehr

$Id: stetig.tex,v /06/26 15:40:18 hk Exp $

$Id: stetig.tex,v /06/26 15:40:18 hk Exp $ $Id: stetig.tex,v 1.11 2012/06/26 15:40:18 hk Exp $ 9 Stetigkeit 9.1 Eigenschaften stetiger Funktionen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eine der Grundeigenschaften stetiger Funktionen nachgewiesen,

Mehr

Weitere einfache Eigenschaften elementarer Funktionen

Weitere einfache Eigenschaften elementarer Funktionen Kapitel 6 Weitere einfache Eigenschaften elementarer Funktionen 6.1 Polynome Geg.: Polynom vom Grad n p(x) = a 0 + a 1 x +... + a n 1 x n 1 + a n x n, also mit a n 0. p(x) = x n ( a 0 x + a 1 n x +...

Mehr

Kapitel V. Folgen und Konvergenz. V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen

Kapitel V. Folgen und Konvergenz. V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen Kapitel V Folgen und Konvergenz V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen Wir erinnern an den Begriff der Folge, den wir schon im Kapitel III verwenden. Eine Folge (a n ) n=1 AN in A ist eine Abbildung a ( ) : N

Mehr

Folgen und Reihen. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel. Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt

Folgen und Reihen. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel. Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Folgen und Reihen Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band, 7. Auflage,

Mehr

Mathematik 1 für Informatiker und Wirtschaftsinformatiker Wintersemester 07/08 (Winkler) Musterprüfung mit Lösungen

Mathematik 1 für Informatiker und Wirtschaftsinformatiker Wintersemester 07/08 (Winkler) Musterprüfung mit Lösungen Mathematik für Informatiker und Wirtschaftsinformatiker Wintersemester 07/08 (Winkler Musterprüfung mit Lösungen. Sei T N. (a Unter welchen beiden Voraussetzungen an T garantiert das Induktionsaxiom (nach

Mehr

Analysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen

Analysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 4. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. (1) Eine bijektive Abbildung f: M N. () Ein

Mehr

$Id: reihen.tex,v /06/12 10:59:50 hk Exp $ unendliche Summe. a 1 + a 2 + a 3 +.

$Id: reihen.tex,v /06/12 10:59:50 hk Exp $ unendliche Summe. a 1 + a 2 + a 3 +. Mathematik für Informatiker B, SS 202 Dienstag 2.6 $Id: reihen.tex,v.8 202/06/2 0:59:50 hk Exp $ 7 Reihen Eine Reihe ist eine unendliche Summe a + a 2 + a 3 +. Die Summanden a i können dabei reell oder

Mehr

Der Begriff der konvexen Menge ist bereits aus Definition 1.4, Teil I, bekannt.

Der Begriff der konvexen Menge ist bereits aus Definition 1.4, Teil I, bekannt. Kapitel 3 Konvexität 3.1 Konvexe Mengen Der Begriff der konvexen Menge ist bereits aus Definition 1.4, Teil I, bekannt. Definition 3.1 Konvexer Kegel. Eine Menge Ω R n heißt konvexer Kegel, wenn mit x

Mehr

Wertebereich der Funktion. Die Funktion f heißt

Wertebereich der Funktion. Die Funktion f heißt 18 1.4 Funktionen 1.4.1 Definitionen Definition 1.43: Eine Funktion f : D R ist eine Zuordnung f : x f(x) einer Zahl x D R zu einem Bildwert f(x) R. Der Punkt x heißt auch Urbild von f(x). Die Menge D

Mehr

Caputo fraktionale Differentialgleichungen. 1 Riemann Liouville fraktionale Differentialgleichungen

Caputo fraktionale Differentialgleichungen. 1 Riemann Liouville fraktionale Differentialgleichungen Seminar Fraktionale Differentialgleichungen Prof. Dr. P.E. Kloeden, WS1000/2001 Caputo fraktionale Differentialgleichungen Lars Grüne, 25.1.2001 Basierend auf Fractional Differential Equations, Theory

Mehr

Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe. a 0 + a 1 + a 2 +

Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe. a 0 + a 1 + a 2 + 8 Reihen 38 8 Reihen Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe a 0 + a + a 2 + zu bilden. Wir wollen nun erklären, was wir darunter verstehen wollen. Zunächst kann man die

Mehr

Zusammenfassung der Lebesgue-Integrationstheorie

Zusammenfassung der Lebesgue-Integrationstheorie Zusammenfassung der Lebesgue-Integrationstheorie Das Lebesguesche Integral verallgemeinert das Riemannsche Integral. Seine Vorteile liegen für unsere Anwendungen vor allem bei den wichtigen Konvergenzsätzen,

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion Mengen und Abbildungen

Mehr

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die 3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind ( n N, auch

Mehr

= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,.

= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,. 2 Folgen, Reihen, Grenzwerte 2.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind (n N; auch

Mehr

Kapitel 6. Exponentialfunktion

Kapitel 6. Exponentialfunktion Kapitel 6. Exponentialfunktion 6.1. Potenzreihen In Kap. 4 haben wir Reihen ν=0 a ν studiert, wo die Glieder feste Zahlen sind. Die Summe solcher Reihen ist wieder eine Zahl, z.b. die Eulersche Zahl e.

Mehr

Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit. a n := n 2 + 5n + 1 n. Es gilt. (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n n, woraus folgt

Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit. a n := n 2 + 5n + 1 n. Es gilt. (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n n, woraus folgt Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit a n := n 2 + 5n + 1 n Es gilt ( ( ) (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n + 1 + n, woraus folgt a n = (n2 + 5n + 1) n 2 n2 + 5n + 1 + n = 5n + 1 n2

Mehr

Folgen und endliche Summen

Folgen und endliche Summen Kapitel 2 Folgen und endliche Summen Folgen und ihre Eigenschaften Endliche arithmetische und geometrische Folgen und Reihen Vollständige Induktion Anwendungen Folgen/endliche Summen Eigenschaften Folgen

Mehr

Lineare Abhängigkeit

Lineare Abhängigkeit Lineare Abhängigkeit Vorbemerkung. Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung I X, i x i. I heißt dabei Indexmenge. Man verwendet dabei oft die Schreibweise (x i ) oder (x

Mehr

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS Funktionen. Evelina Erlacher 1 7. März 2007

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS Funktionen. Evelina Erlacher 1 7. März 2007 Workshops zur VO Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 007 Inhaltsverzeichnis Funktionen Evelina Erlacher 7. März 007 Der Funktionsbegriff Darstellungsmöglichkeiten von Funktionen 3 Einige Typen

Mehr

Regulär variierende Funktionen

Regulär variierende Funktionen KAPITEL 4 Regulär variierende Funktionen Unser nächstes Ziel ist es, die Max-Anziehungsbereiche der Extremwertverteilungen zu beschreiben. Dies wird im nächsten Kapitel geschehen. Wir haben bereits gesehen,

Mehr