5 Intervalle, Metrik und Topologie für R

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1 5 Intervalle, Metrik und Topologie für R 5.1 Intervalle in R 5.2 Charakterisierung der Intervalle 5.3 Die kanonische Metrik auf R 5.4 ε-umgebung 5.5 Offene und abgeschlossene Teilmengen von R 5.6 Die kanonische Topologie T über R 5.8 Innerer Punkt, Berührungspunkt 5.9 Charakterisierung von offenen und abgeschlossenen Teilmengen von R 5.10 Die kanonische Topologie über R ist hausdorffsch Der Definitionsbereich von reellwertigen Funktionen wird oftmals als ein Intervall vorausgesetzt. Hierbei versteht man unter Intervall: 5.1 Intervalle in R Seien a, b R mit a < b. Dann heißen die folgenden beschränkten Mengen: (i) (ii) (iii) (iv) [a, b] := {t R : a t b} abgeschlossenes Intervall; ]a, b[ := {t R : a < t < b} offenes Intervall; [a, b[ := {t R : a t < b} halboffenes Intervall; ]a, b] := {t R : a < t b} halboffenes Intervall. Die folgenden unbeschränkten Mengen heißen: (v) ], [ := R sowohl abgeschlossenes als auch offenes Intervall; (vi) ], a] := {t R : t a} abgeschlossenes Intervall; (vii) [a, [ := {t R : t a} abgeschlossenes Intervall; (viii) ], a[ := {t R : t < a} offenes Intervall; (ix) ]a, [ := {t R : t > a} offenes Intervall. C 1 [5] 1

2 Kapitel I Reelle Zahlen (x) Eine Menge J R heißt Intervall, wenn a) J mindestens zwei Punkte enthält und b) J mit je zwei Punkten auch jeden dazwischenliegenden Punkt enthält. Die ersten vier Arten (i) (iv) von Intervallen sind offensichtlich beschränkte Teilmengen von R. Für alle vier Mengen ist a eine untere und b eine obere Schranke. Die erste und dritte Menge hat offenbar a als Minimum und damit als Infimum. Für die zweite und vierte Menge ist a das Infimum. Diese Mengen besitzen jedoch kein Minimum. Entsprechend hat die erste und vierte Menge b als Maximum, während für die zweite und dritte Menge b Supremum ist. Der folgende Hauptsatz charakterisiert die Intervalle. Richtung benötigt man die Vollständigkeit von R. Für die nicht-triviale 5.2 Charakterisierung der Intervalle Sei J R. Dann ist J genau dann ein Intervall, wenn J eine der in 5.1(i) (ix) angegebenen Mengen ist. Beweis. : Da zwischen a und b ein weiterer Punkt c und zwischen a und c ein weiterer Punkt d liegt (siehe 2.6), enthält jedes der vier Intervalle mindestens zwei verschiedene Punkte. Da jedes der fünf weiteren Intervalle ein Intervall des Typs ]a, b [ mit a < b enthält, enthalten also alle Intervalle in 5.1(i) (ix) mindestens zwei verschiedene Punkte. Auf Grund der Eigenschaften von < bzw. enthält jedes der neun Intervalle mit je zwei Punkten auch jeden dazwischenliegenden Punkt. : Setze inf(j) :=, wenn J nach unten unbeschränkt ist, sup(j) :=, wenn J nach oben unbeschränkt ist. Wir zeigen: (1) ] inf(j), sup(j)[ J ] inf(j), sup(j)[ {inf(j), sup(j)}. Hieraus folgt, da J mindestens zwei Elemente enthält, daß J eines der Intervalle aus 5.1(i) (ix) sein muß. Zu (1): Sei t ] inf(j), sup(j)[. Dann gibt es ein a 1 J mit a 1 < t (betrachte die Fälle, daß J nach unten bzw. nicht nach unten beschränkt ist). Entsprechend gibt es ein a 2 J mit t < a 2. Da ein Intervall nach Definition mit je zwei Punkten jeden dazwischenliegenden Punkt enthält, gilt t J. Damit ist die erste Inklusion in (1) bewiesen. Ist J beschränkt, so gilt trivialerweise und es folgt die zweite Inklusion in (1). J [inf(j), sup(j)], [5] 2 C 1

3 Intervalle, Metrik und Topologie für R Ist J nach unten und oben unbeschränkt, so ist die zweite Inklusion wegen J ], [ trivial. Ist J nach unten unbeschränkt und nach oben beschränkt, so folgt die zweite Inklusion wegen J ], sup(j)[ {sup(j)}. Ist J nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt, so folgt die zweite Inklusion wegen J ] inf(j), [ {inf(j)}. Ausgangspunkt für die übliche Topologie über R ist der Begriff des Abstands zweier reeller Zahlen. Die reellen Zahlen stelle man sich bei dieser Betrachtungsweise wieder als Punkte der Zahlengerade vor: a b = a b Abstand von a und b a b = b a b a a b 5.3 Die kanonische Metrik auf R Für a, b R heißt d(a, b) := a b ( [0, [) der Abstand von a und b. Für a, b, c R gilt: (i) a) d(a, a) = 0, b) d(a, b) = 0 a = b (Definitheit), (ii) d(a, b) = d(b, a) (Symmetrie), (iii) d(a, c) d(a, b) + d(b, c) (Dreiecksungleichung). Beweis. Der Beweis folgt unmittelbar aus 2.7 und 2.8: Es ist d(a, b) = a b 0 nach 2.7(i). (i) Ferner ist d(a, b) = a b = 0 2.7(i) a b = 0 a = b. (ii) d(a, b) = a b = 2.8(ii) b a = d(b, a). (iii) d(a, c) = a c = (a b)+(b c) 2.7(iii) a b + b c = d(a, b)+d(b, c). Im folgenden schreiben wir häufig min(a, b) für min({a, b}) und max(a, b) für max({a, b}). Mit Hilfe des Abstandes läßt sich der Begriff der ε-umgebung von a definieren: C 1 [5] 3

4 Kapitel I Reelle Zahlen 5.4 ε-umgebung Sei a R und ε R +. Dann heißt U ε (a) := {t R : d(a, t) < ε} ε-umgebung von a. Es gilt für ε, ε 1, ε 2 R + : U ε (a) = ]a ε, a + ε[, U ε1 (a) U ε2 (a) = U min(ε1,ε 2 )(a). Beweis. t U ε (a) d(a, t) < ε 5.3(ii) 5.3 t a < ε 2.9(ii) d(t, a) < ε a ε < t < a + ε 5.1 t ]a ε, a + ε[. U ε1 (a) U ε2 (a) = {t R : d(a, t) < ε 1 } {t R : d(a, t) < ε 2 } = {t R : d(a, t) < min(ε 1, ε 2 )} = U min(ε1,ε 2 )(a). Die Bezeichnung offen bzw. abgeschlossen in der Definition 5.1 rührt aus der Topologie her. Für R kann man definieren, wann eine beliebige Teilmenge von R, und nicht nur ein Intervall, offen bzw. abgeschlossen heißt. 5.5 Offene und abgeschlossene Teilmengen von R Sei M R. Dann heißt: (i) M offen, wenn es für jedes a M ein ε R + mit U ε (a) M gibt. (ii) M abgeschlossen, wenn R \ M offen ist. 5.6 Die kanonische Topologie T über R Sei T := {O R : O offen}. T heißt die kanonische Topologie über R. Für die kanonische Topologie gilt: (i), R T ; (ii) O 1, O 2 T O 1 O 2 T ; (iii) O λ T für λ Λ O λ T. λ Λ Ferner setzt man für a R: T a = {O T : a O} Man nennt O T a eine (offene) Umgebung von a. Beweis. (i) Da keinen Punkt enthält, ist die Bedingung für die Offenheit von trivialerweise erfüllt. Ist a R, so ist U ε (a) R sogar für jedes ε R +. Also ist R offen. [5] 4 C 1

5 Intervalle, Metrik und Topologie für R (ii) Sei a O 1 O 2. Dann gilt U ε1 (a) O 1 und U ε2 (a) O 2 für geeignete ε 1, ε 2 R +. Mit ε := min(ε 1, ε 2 ) erhalten wir daher: Also ist O 1 O 2 offen. U ε (a) = 5.4 U ε1 (a) U ε2 (a) O 1 O 2. (iii) Sei x O λ. Dann ist x O λ0 für ein λ 0 Λ. Somit gilt U ε (a) λ Λ O λ0 O λ für ein ε R +. Also ist O λ offen. λ Λ λ Λ 5.7 Intervalle, offen und abgeschlossen Sei M R. Dann gilt: (i) (ii) M ist genau dann sowohl Intervall (siehe 5.1(x)) als auch offene Menge (siehe 5.5(i)), wenn M ein offenes Intervall im Sinne von 5.1 ist. Insbesondere ist U ε (a) eine (offene) Umgebung von a. M ist genau dann sowohl Intervall (siehe 5.1(x)) als auch abgeschlossene Menge (siehe 5.5(ii)), wenn M ein abgeschlossenes Intervall im Sinne von 5.1 ist. (iii) Der Durchschnitt von endlichen vielen offenen Intervallen ist leer oder ein offenes Intervall. Beweis. :(i) Wir zeigen zunächst, daß jedes der in 5.1 angegebenen offenen Intervalle J sowohl ein Intervall als auch offene Menge ist. Nach 5.2 ist zunächst jedes dieser offenen Intervalle ein Intervall im Sinne von 5.1(x). Ist nun c J, so gibt es, nach Auflistung der in 5.1 definierten offenen Intervalle, Punkte a, b J mit a < b und c ]a, b [ J. Dann ist U ε (c) J mit ε := min(c a, b c). Also ist J eine offene Menge nach Definition 5.5(i). Damit ist die Richtung in (i) bewiesen. : Sei nun umgekehrt J sowohl Intervall als auch offene Menge. Nach 5.2 ist J eine der in 5.1(i) (ix) angegebenen Mengen. Zu zeigen bleibt, daß J nicht von der Gestalt einer der in 5.1(i),(iii),(vi),(vii),(iv) angegebenen Mengen ist. Dies folgt, da für jedes ε R + gilt: U ε (a) [a, b], [a, b[, ], a], [a, [ und U ε (b) ]a, b]. (Zum Nachweis hiervon verwende a ε 2, a + ε 2 ]a ε, a + ε[ = U ε(a).) Da U ε (a) = 5.4 ]a ε, a + ε[ ist, ist nach Bewiesenem U ε (a) T. (ii) : Wir zeigen zunächst, daß jedes der in 5.1 angegebenen abgeschlossenen Intervalle J sowohl Intervall als auch abgeschlossene Menge ist. Nach 5.2 ist zunächst jedes dieser abgeschlossenen Intervalle ein Intervall im Sinne von 5.1(x). Daß diese abgeschlossenen Intervalle abgeschlossene Mengen sind, folgt so: C 1 [5] 5

6 Kapitel I Reelle Zahlen R \ [a, b] = ], a[ ]b, [ ist offen als Vereinigung zweier nach (i) offener Mengen. Also ist [a, b] nach Definition 5.5(ii) abgeschlossen. Da = R \ R nach 5.6(i) offen ist, ist R nach Definition 5.5(ii) abgeschlossen. R\], a] = ]a, [ ist offen nach (i). Daher ist ], a] nach Definition 5.5(ii) abgeschlossen. R \ [a, [ = ], a[ ist offen nach (i). Daher ist [a, [ nach Definition 5.5(ii) abgeschlossen. Damit ist die Richtung in (ii) bewiesen. : Sei nun umgekehrt J sowohl Intervall als auch abgeschlossene Menge. Nach 5.2 ist J eine der in 5.1(i) (ix) angegebenen Mengen. Zu zeigen bleibt, daß J nicht von der Gestalt einer der in 5.1(ii),(iii),(iv),(viii),(ix) angegebenen Mengen ist. Da R\]a, b[ = ], a] [b, [ ist, und somit kein U ε (a) R\]a, b[ ist, ist R\]a, b[ nicht offen. Also ist ]a, b[ nicht abgeschlossen. Da R \ [a, b[ = ], a[ [b, [ ist, und somit kein U ε (b) R \ [a, b[ ist, ist R \ [a, b[ nicht offen. Also ist [a, b[ nicht abgeschlossen. Da R\]a, b] = ], a] ]b, [ ist, und somit kein U ε (a) R\]a, b] ist, ist R\]a, b] nicht offen. Also ist ]a, b] nicht abgeschlossen. R\], a[ = [a, [ und R\]a, [ = ], a] sind nicht offen nach (i). Daher sind ], a[ und ]a, [ nicht abgeschlossen. (iii) Seien O j, j = 1,..., n offene Intervalle und I := n j=1 O j. Zu zeigen ist: (1) I ist ein offenes Intervall. Nach 5.6(ii) ist I als endlicher Durchschnitt von nach (i) offenen Mengen offen. Da I offen und nach Voraussetzung nicht-leer ist, enthält I mindestens zwei Elemente. Ferner enthält I mit je zwei Elementen auch jedes dazwischenliegende, da jedes O j diese Eigenschaft hat. Also ist I ein Intervall und eine offene Menge, also nach (i) ein offenes Intervall. Man beachte, daß es Mengen (z.b. R) gibt, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind. Ferner gibt es Mengen, z.b. ]a, b], [a, b[, die weder offen noch abgeschlossen sind. Insbesondere ist es also nicht erlaubt, aus der Nicht-Offenheit einer Menge auf ihre Abgeschlossenheit zu schließen. 5.8 Innerer Punkt, Berührungspunkt Sei M R und T die kanonische Topologie über R. Dann heißt: (i) a innerer Punkt von M O M für eine Umgebung O von a. (ii) a Berührungspunkt von M M O für jede Umgebung O von a. Innere Punkte können zur Charakterisierung der Offenheit, Berührungspunkte zur Charakterisierung der Abgeschlossenheit verwendet werden. [5] 6 C 1

7 Intervalle, Metrik und Topologie für R 5.9 Charakterisierung von offenen und abgeschlossenen Teilmengen von R Sei M R. Dann gilt: (i) a ist innerer Punkt von M U ε (a) M für ein ε R +. (ii) a ist Berührungspunkt von M M U ε (a) für jedes ε R +. (iii) M ist offen jeder Punkt von M ist innerer Punkt von M. (iv) M ist abgeschlossen jeder Berührungspunkt von M gehört zu M. Beweis. (i) : Da a innerer Punkt von M ist, gibt es nach Definition 5.8(i) eine offene Menge O mit a O M. Nach Definition 5.5(i) existiert daher ein ε R + mit U ε (a) O. Also ist U ε (a) M. : Sei U ε(a) M für ein ε R +. Dann ist U ε (a) a eine nach 5.7(i) offene Menge O mit a O M. (ii) : Da U ε (a) T a (siehe 5.7(i)) ist, gilt M U ε (a) nach Definition 5.8(ii). : Sei O T a. Dann gibt es ein ε R + mit U ε (a) O (siehe Definition 5.5(i)). Aus U ε (a) M folgt somit insbesondere M O. (iii) M offen 5.5(i) ( a M)( ε R + ) mit U ε (a) M (i) jeder Punkt von M ist innerer Punkt von M. (iv) Jeder Berührungspunkt von M gehört zu M (ii) ((M U ε (a) für jedes ε R + ) a M) (a R \ M (M U ε (a) = für ein ε R + )) (a R \ M (U ε (a) R \ M für ein ε R + )) (i) jeder Punkt von R \ M ist innerer Punkt von R \ M (iii) R \ M offen M abgeschlossen. Die folgende Eigenschaft, die vom Begründer der mengentheoretischen Topologie, Hausdorff ( ), eingeführt worden ist, ist für die kanonische Topologie T über R erfüllt Die kanonische Topologie T über R ist hausdorffsch Seien a, b zwei verschiedene Punkte von R. Dann gibt es eine Umgebung O(a) von a und eine Umgebung O(b) von b mit O(a) O(b) =. C 1 [5] 7

8 Kapitel I Reelle Zahlen Beweis. Da a b ist, ist ε := d(a,b) 2 > 0 nach 5.3(i)b). Dann sind U ε (a) T a und U ε (b) T b, und wir zeigen: (1) U ε (a) U ε (b) =. Zu (1): Wäre c U ε (a) U ε (b), dann würde gelten (siehe Definition 5.4): (2) d(a, c), d(b, c) < ε. Somit erhalten wir folgenden Widerspruch: 2ε = d(a, b) 5.3(iii) d(a, c) + d(c, b) = d(a, c) + d(b, c) < 2ε. 5.3(ii) (2) [5] 8 C 1