30 Die Gammafunktion und die Stirlingsche Formel

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1 3 Die Gammafunktion und die Stirlingsche Formel 35 Charakterisierung der Gammafunktion 36 Darstellung der Gammafunktion 38 Beziehung zwischen der Gammafunktion und der Zetafunktion 3 Stirlingsche Formel 3 Konvergenz der Binomialreihe in den Randpunkten Die Gammafunktion Γ ist eine der wichtigsten nicht elementaren Funktionen der Analysis Sie interpoliert stetig die Fakultäten t t! unter Beibehaltung der Funktionalgleichung t! t(t )! Man bezeichnet allerdings nicht t!, sondern (t )! mit Γ(t) für t N Daher lautet die Funktionalgleichung der gesuchten Funktion Γ : R + R + Γ(t + ) t Γ(t) Wegen des Zusammenhangs mit den Fakultäten spielt die Gammafunktion auch eine Rolle in der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie Sie wird ferner benutzt zur Berechnung von Integralen (37(ii) ist ein Beispiel dafür), und dient in diesem Paragraphen auch zur asymptotischen Berechnung der Binomialkoeffizienten (siehe 3) Die Kenntnis des asymptotischen Verhaltens der Binomialkoeffizienten ermöglicht auch eine Untersuchung der Binomialreihe in den Randpunkten und (siehe 3) Ein Zusammenhang von Gammafunktion und Zetafunktion wird schließlich in 38 dargestellt Die folgende Definition der Gammafunktion geht auf Euler aus dem Jahre 79 zurück Die in 36 gegebene Darstellung der Gammafunktion stammt von Gauß aus dem Jahre 8 3 Die Gammafunktion Für t R + existiert Γ(t) : x t e x dx + Γ(t) heißt Gammafunktion (an der Stelle t) C [3]

2 Kapitel VI Riemann-integrierbare Funktionen Beweis Sei t R + fest Dann ist f : x t e x auf ], [ stetig Zum Nachweis der Konvergenz des angegebenen Integrals soll 95 angewandt werden mit g : x t ], ] und g (x) : c [, [ mit einem noch zu wählendem x c R + Es sind g dx und g dx konvergent (siehe 94(i) und 9(ii)) Somit ist die Bedingung (I) von 95 erfüllt Es ist f g auf ], ] Da lim u u t+ e u ist (siehe 98(iii)), folgt u t+ e u für genügend große u Somit erhalten wir wegen der Stetigkeit von x t+ e x die Existenz eines c R + mit x t+ e x c auf [, [ Also ist f c g x auf [, [ Daher ist auch Bedingung (II) von 95 erfüllt, und wir erhalten die Konvergenz des Integrals nach 95 Die folgende Überlegung zeigt, daß die Jensensche Ungleichung nicht nur aus der Konvexität der Funktion folgt, sondern sogar äquivalent zur Konvexität ist 3 Äquivalente Bedingung zur Konvexität Sei I ein Intervall und f : I R Dann ist f genau dann konvex, wenn für beliebige t, t I und beliebiges < λ < gilt: f(λt + ( λ)t ) λf(t ) + ( λ)f(t ) Beweis Die angegebene Bedingung folgt aus der Jensenschen Ungleichung für n, wenn man λ : λ setzt und somit λ λ λ (siehe 37) Seien zur Rückrichtung t, t I und t < t < t gegeben Es ist zu zeigen (siehe Definition 3): () f(t) f(t ) + f(t ) f(t ) t t (t t ) Wegen t < t < t gibt es ein λ ], [ mit t λt + ( λ)t (siehe 5) Also ist () f(t) λf(t ) + ( λ)f(t ) f(t ) + ( λ)(f(t ) f(t )) nach Voraussetzung Aus () folgt nun aber () wegen λ t t t t Die Gammafunktion Γ ist nicht nur selbst konvex, sondern es ist sogar ln Γ konvex Man spricht in einem solchen Fall von logarithmischer Konvexität 33 Logarithmische Konvexität Sei I ein Intervall und F : I R + Dann heißt F logarithmisch konvex, wenn eine der beiden äquivalenten Bedingungen gilt: (i) (ii) ln F ist konvex Für beliebige t, t I und beliebiges < λ < gilt: F (λt + ( λ)t ) (F (t )) λ (F (t )) λ [3] C

3 Die Gammafunktion und die Stirlingsche Formel Beweis (i) (ii) Nach Voraussetzung gilt für t, t I und < λ < (siehe 3): ln(f (λt + ( λ)t ) λln(f (t )) + ( λ)ln(f (t )) ln[(f (t )) λ (F (t )) λ ] Anwendung der monoton wachsenden Exponentialfunktion auf diese Ungleichung liefert (ii) (ii) (i) Seien t, t und < λ < gegeben Es ist zu zeigen (vgl 3) () ln(f (λt + ( λ)t )) λln(f (t )) + ( λ)ln(f (t )) Wendet man die monoton wachsende Logarithmusfunktion auf die nach Voraussetzung gültige Ungleichung in (ii) an, so erhält man ln(f (λt +( λ)t )) ln[((f (t )) λ (F (t )) λ ] λln(f (t ))+( λ)ln(f (t )), also die zu beweisende Beziehung in () 34 Eigenschaften der Gammafunktion Es ist Γ eine Funktion von R + in R + mit (i) Γ() ; (ii) Γ(t + ) tγ(t) für alle t R + ; (iii) Γ ist logarithmisch konvex; (iv) Γ( (n )! für n N Beweis Wegen Γ(t) xt e x dx > ist Γ(t) R + 86 (ii) Seien a < b aus R + Dann folgt mit partieller Integration (siehe 76) a xt e x dx x t e x b a + t a xt e x dx Mit a folgt (benutze 75(iv) für lim a a t ) xt e x dx b t e b + t + xt e x dx Somit liefert b (siehe die Definition der Gammafunktion in 3 und berücksichtige hierzu 99(iii), benutze ferner 98(iii) für lim b b t e b ) Wegen Γ(t + ) + xt e x dx 9(i) x t e x dx tγ(t) x t e x dx folgt die Behauptung (i) Γ() + e x dx lim b (lim a a e x dx) lim b ( e b ) (iv) Der Beweis erfolgt durch Induktion nach n N: (A) ist nach (i) erfüllt (S) Γ(n + ) nγ( n(n )! n! (ii) (IV) (iii) Seien t, t R + und < λ < Setze p : /λ und q : /( λ) Dann gilt: () p + q C [3] 3

4 Kapitel VI Riemann-integrierbare Funktionen Zur Anwendung der Hölderschen Ungleichung (siehe 85(iv)) setze () f(x) : x t p e x p, g(x) : x t q e x q Dann folgt für < a < b (3) a f g dx Wegen () und () gilt: 85(iv) a f p dx /p a gq dx /q (4) f(x)g(x) x t p + t q e x, (5) f p (x) x t e x, g q (x) x t e x Aus (3) (5) erhält man (6) a x t p + t q e x dx [ a xt e x dx] /p [ a xt e x dx] /q Läßt man zunächst a und dann b streben, so folgt also Γ( t p + t q ) (Γ(t )) /p (Γ(t )) /q, Γ(λt + ( λ)t ) (Γ(t )) λ (Γ(t )) λ Somit ist Γ logarithmisch konvex (siehe 33) Die Gammafunktion Γ ist nicht die einzige Funktion von R + in R + mit Γ() und Γ(t + ) tγ(t) für t R + Ist nämlich f : R + R + eine Funktion mit f() und der Periode, dh mit f(t + ) f(t) für t R +, so ist f Γ ebenfalls eine Funktion von R + in R + mit (f Γ)() und (f Γ)(t + ) t(f Γ)(t); ein Beispiel für eine solche beliebig oft differenzierbare Funktion ist etwa f cos(πx) Um so bemerkenswerter ist, daß mit der zusätzlichen Forderung der logarithmischen Konvexität die Gammafunktion eindeutig festgelegt ist 35 Charakterisierung der Gammafunktion (Satz von Bohr-Mollerup 9) Die Gammafunktion ist die einzige Funktion F : R + R + (i) F () ; (ii) F (t + ) tf (t) für alle t R + ; (iii) F ist logarithmisch konvex mit Beweis Nach 34 ist die Gammafunktion Γ eine Abbildung von R + in R +, die (i) (iii) erfüllt Es genügt daher zu zeigen, daß eine Funktion F : R + R + durch die drei Bedingungen (i) (iii) eindeutig bestimmt ist: Zunächst folgt aus der Funktionalgleichung (ii) induktiv: () F (t + (t + n ) (t + ) t F (t) für t R +, n N und somit insbesondere wegen F () : () F ( (n )! für n N [3] 4 C

5 Die Gammafunktion und die Stirlingsche Formel Wegen () und F () genügt es zu zeigen, daß F (t) für t ], [ durch die angegebenen Bedingungen eindeutig bestimmt ist Wir zeigen hierzu, daß aus (i) (iii) folgt: (3) F (t) lim n (n )!n t t(t+)(t+n ) für t ], [ Wir benutzen die logarithmische Konvexität von F Sei hierzu t ], [ fest Dann gilt für n N n + t t(n + ) + ( t)n und somit folgt aus der logarithmischen Konvexität (setze in 33(ii) für λ : t, t : n + und für t : : (4) F (n + t) (F (n + )) t (F () t () (n!) t [(n )!] t (n )!n t Entsprechend folgt aus n + t(n + t) + ( t)(n + + t): (5) n! F (n + ) (F (n + t)) t (F (n + + t)) t (ii) (n + t) t F (n + t) Aus (4) und (5) ergibt sich Zusammen mit () erhalten wir daher n! (n + t) t F (n + t) (n )! n t (6) a n : n!(n+t)t t(t+)(t+n ) F (t) Also gilt an b n Daher ist auch lim n F (t) b n (n )!n t t(t+)(t+n ) : b n F (t) Somit folgt nach dem Sandwichsatz lim n b n, dh es gilt (3) b n F (t) Mit Hilfe von 35 erhalten wir auch 36 Darstellung der Gammafuntion Für jedes t R + ist n! n t Γ(t) lim n t (t + ) (t + Beweis Nach (3) in 35 gilt für t ], [ () Γ(t) lim n (n )!n t t(t+)(t+n ) n Wegen t+n für n folgt aus () die Behauptung für t ], [ Wegen Γ() gilt die Behauptung auch für t Es reicht daher zu zeigen: Gilt die Behauptung für t, so auch für t + Dies folgt aber aus Γ(t + ) tγ(t) t lim n n!n t t(t+)(t+ lim n n!n t+ (t+)(t+ n lim n n!n t+ (t+)(t+(t++ C [3] 5

6 Kapitel VI Riemann-integrierbare Funktionen Diese zwei verschiedenen Darstellungen der Gammafunktion einerseits als Integral in 3 und andererseits als Limes einer Folge in 36 können oft zur Berechnung von Integralen verwandt werden: 37 Korollar (i) Γ( ) π ; x (ii) π e dx Beweis (i) Mit der in 36 angegebenen Darstellung von Γ folgt () Γ( ) lim n oder in äquivalenter Schreibweise () Γ( ) lim n Multiplikation von () und () ergibt n! n [(+/) (+/) (n+/)], n! n [( /)( /)(3 /)(n /)](n+/) : Γ n (/) lim n ( n+/ ) (n!) lim n Also ist Γ( ) π n k k n (k /4) k (+/) ( /) (+/) ( /) (n+/)(n /) k 4k 4k π π 78 (ii) Für < a < b liefert die Substitution x ϕ(u) u mit ϕ (u) u / u / zunächst a e x dx / a / e u u / du Läßt man nun a und anschließend b streben, so erhält man () Wegen a folgt: () e x b e x dx dx + e u u / du Γ( ) (i) π π a e u du (betrachte die Substitution x ϕ(u) u) e x dx e x dx π Also folgt die Behauptung aus () und (), da nach Definition des uneigentlichen Riemann-Integrals (siehe 99) gilt: e x x dx e dx + e x dx Nicht nur die Gammafunktion, sondern auch die Riemannsche Zetafunktion läßt sich durch uneigentliche Integrale definieren Zwischen beiden Funktionen besteht die folgende Relation: [3] 6 C

7 Die Gammafunktion und die Stirlingsche Formel 38 Beziehung zwischen der Gammafunktion und der Zetafunktion Für jedes s > gilt: Γ(s) ζ(s) + e xs x dx Also ist ζ(s) + xs e x dx ( e x + xs e x dx) Beweis Sei < a < b Dann gilt für t [a, b] wegen e t e a < t s e t ts e t e t t s e t n (e t ) n n ts e nt Wegen x s e nx [a,b] b s e nx [a,b] b s (e a ) n ist die Reihe n xs e nx normal und somit gleichmäßig konvergent (siehe 8(ii)) gegen x s /(e x ) Daher erhalten wir (benutze 6(ii) und setze hierzu f n : n k xs e kx ): () a xs e x dx 6(ii) xu/n 7 n a xs e nx dx n n s nb na us e u du ζ(s)γ(s) Also existiert + xs e x dx nach 93, und es gilt daher (siehe 99(iii)): + e xs x dx ζ(s)γ(s) Es bleibt zu zeigen: () + e xs x dx ζ(s)γ(s) Nun gilt für < a < b und jedes N N (benutze die Gleichung in ()): a e xs x dx N n n nb s na us e u du Mit a erhalten wir für jedes N N + xs e x dx N n n s nb + us e u du b liefert daher für jedes N N + xs e x dx ( N n n s ) + us e u du ( N n n s )Γ(s) N liefert dann () 39 Asymptotische Äquivalenz Zwei Folgen (a n ), (b n ) mit a n, b n R\{} heißen asymptotisch äquivalent, wenn gilt: lim n a n /b n Man schreibt hierfür (a n ) (b n ) oder kürzer a n b n C [3] 7

8 Kapitel VI Riemann-integrierbare Funktionen Die Festsetzungen a n : n, b n : n + n liefern zwei asymptotisch äquivalente Folgen, für die a n b n nicht konvergent ist Umgekehrt sind a n : n und b n : zwei Folgen mit a n n b n, aber an b n n liefert eine divergente Folge, also sind (a n ) und (b n ) nicht äquivalent Eine Kenntnis des asymptotischen Verhaltens von n! liefert die Stirlingsche Formel eine Formel, die auch für die Wahrscheinlichkeitstheorie von Nutzen ist Der Beweis der Stirlingschen Formel beruht auf einer Anwendung von Sehnentrapezregel und Wallisschem Produkt 3 Stirlingsche Formel Die Folge der Fakultäten (n!) ist asymptotisch äquivalent zur Folge πn n n e n Genauer gilt für n die Fehlerabschätzung πn n n e n < n! < πn n n e n e (n ) Beweis Wendet man die Sehnentrapezregel (s 8) auf f : ln(k + x) [, ] mit k N an, so erhält man wegen f : (k+x) k+ k ln(x) dx ln(k + x) dx 7(i) () 8 (ln(k) + ln(k + )) + mit einem ξ ξk k [k, k + ] Summiert man in () von k bis n, so erhält man: n () ln(x) dx n k ln(k) ln( + Nach 77(i) gilt ferner: n (3) ln(x) dx n(ln( ) + Aus () und (3) erhält man n k ln(k) n(ln( ) + + ln( (4) n k ξ k n k ξ k (n + )ln( n + r n mit r n : n k ξk Setze c n : e rn und wende die Exponentialfunktion auf (4) an (beachte ln(n!) n k ln(k)), dann ergibt sich: (5) n! n n+ e n c n Wegen < ξk k existiert (6) r : lim n r n und somit auch (7) c : lim n c n e r k, ξk Für die Aussage über die asymptotische Äquivalenz reicht es wegen (5) und (7) zu zeigen, daß c π ist Nun gilt: [3] 8 C

9 Die Gammafunktion und die Stirlingsche Formel (8) c n c n (n!) e n ( n+ e n n n+ (! n (n!) n(!, (9) lim n c n c n (7) c c c Das Wallissche Produkt (siehe 78) liefert () π lim (k) 78 n k (k )(k+) lim Nun ist [ n k (k) (k )(k+) ]/ 4 n 3 5 (n ) n+ 4 ( n+/ 4 4 n n n ( 3) (3 5) (n )(n+) 3 (n )( n (n!) n+/ (! Also folgt aus () und der Stetigkeit der Wurzelfunktion: () π limn n (n!) n+/ (! lim n (n!) n n(! Somit erhalten wir: c limn (8),(9) n (n!) n(! () π π Zur Fehlerabschätzung beachte, daß für n gilt: < r n r kn (4),(6) ξk kn < k n dx x (n ) Also ist wegen c n e rn und c e r < c n /c e rn r < exp( (n ) ) Daher folgt aus (5) zusammen mit c π < c n < π exp( (n ) ): n n+/ e n π < n! < n n+/ e n π exp( (n ) ) (5) 3 Asymptotisches Verhalten von Sei b R \ N Dann gibt es eine Konstante c c(b) R + mit c/n +b Beweis Sei zunächst b < Setze t : b Dann ist t R +, und es gilt: ( t) n t( t )( t n+) n! t(t+)(t+ n!(t+ Also ist n +b ) n n t ( t) n t(t+)(t+ n!n t (+t/, und somit gilt nach 36 () lim n n +b ) n Γ( b) Daher gilt die Behauptung mit c Γ( b) Es verbleibt der Fall b und b N Also gibt es ein k N mit k < b < k C [3] 9

10 Kapitel VI Riemann-integrierbare Funktionen Daher folgt für b : b k aus () lim n k) n n +(b k) Γ( b+k) Also gilt lim n k) n k (n k) +(b k) Γ( b+k) und durch Multiplikation mit ( n k n )+(b k) auch () lim n k) n k n +(b k) Γ( b+k) Es ist ( (3) b b(b )(b k+) k n(n )(n k+) n k) Also gilt: lim n ) n n +b lim n nk b(b )(b k+) (3) n(n )(n k+) k) n k n +b k () b(b )(b k+) Γ( b+k) : c(b) 3 Konvergenz der Binomialreihe in den Randpunkten (i) (ii) (iii) Für b ist die Binomialreihe n x n gleichmäßig konvergent in [, ], und es gilt für alle t [, ] : ( + t) b n t n Für < b < ist die Binomialreihe für t konvergent und für t divergent Es gilt für alle t ], ] : ( + t) b n t n Für b divergiert die Binomialreihe sowohl in t als auch in t Es gilt für alle t ], [: ( + t) b n t n Beweis Die Gültigkeit der angegebenen Potenzreihenentwicklung von ( + t) b folgt für t ], [ in allen drei Fälle aus 4(i) (i) Der Fall b N ist trivial (siehe auch 4(i)) Sei also b und b N Nun ist g : [, ] R, definiert durch () g(t) : ( + t) b, t [, ], stetig (siehe 75(iv)) Setzt man dann () f(t) : n t n, so gilt nach der Vorbemerkung: (3) f(t) g(t) für t ], [ Wegen b N gibt es nach 3 eine Konstante K mit ) n K für n n +b Somit haben wir für n (4) ) n x n [,] K n +b [3] C

11 Wegen + b > ist n K n +b Die Gammafunktion und die Stirlingsche Formel konvergent, also n x n normal konvergent auf [, ] und somit gleichmäßig konvergent auf [, ] (benutze 8(ii)) Daher ist die in () definierte Funktion f stetig auf [, ] (benutze 3(i)) Hieraus und aus () und (3) folgt f(t)) g(t) für t [, ], also die Darstellung von ( +t) b durch die angegebene Binomialreihe auch noch für t und t (ii) Für < b < gilt wiederum (benutze 3) ) n K n +b Nun ist ) n ( ) n ) ( n und b ( n+) / b ) n n b n+ < Also folgt die Konvergenz von n n (benutze das Leibnizsche Kriterium 94) Also ist die Binomialreihe an der Stelle konvergent und daher auf [, ] gleichmäßig konvergent (siehe ) Daher ist die durch die Binomialreihe definierte Funktion f auch an der Stelle stetig (benutze 3(i)) Setzt man nun wieder g(t) : ( + t) b für t ], ], so gilt nach Vorbemerkung f(t) g(t) für t ], [ und, wegen der Stetigkeit von f und g in, dann auch f() g(), also die Darstellung von (+t) b durch die angegebene Binomialreihe auch noch für t Es ist (5) ) c n und es gilt n n +b divergent, und somit auch die Reihe ( ) n n, (siehe 3) Da + b < ist, ist die Reihe c n n +b n (benutze zb ) Wegen (5) ist daher die Binomialreihe an der Stelle divergent (iii) Für b konvergiert wegen 3 nicht gegen Null Also muß die Binomialreihe an den Stellen und divergent sein Das folgende Beispiel zeigt, daß eine gleichmäßig konvergente Reihe, deren Gliederfolge aus differenzierbaren Funktionen besteht, gegen eine nicht differenzierbare Grenzfunktion konvergieren kann (Zusammen mit Beispiel (ii) belegt dies die Bemerkungen vor 7) Genauer kann man sogar eine gleichmäßig konvergente Reihe finden, deren Gliederfolge aus Polynomen besteht, ohne daß die Grenzfunktion differenzierbar sein muß 33 Beispiel ( / ) x k [, ] Dann konvergiert f n gleichmäßig auf [, ] Setze f n : n k n gegen + x (siehe 3(i)) Wegen t für t [, ] konvergiert ( / n ) (x ) k gleichmäßig auf [, ] gegen + (x ) x also n k Also ist die Reihe ( / ) k k (x ) k, deren Gliederfolge aus Polynomen besteht, eine gleichmäßig auf [, ] konvergente Reihe, deren Grenzfunktion x im Nullpunkt nicht differenzierbar ist C [3]